Resuelve. Unidad 3. Sistemas de ecuaciones. BACHILLERATO Matemáticas II. Los fardos de cereal. Página 89

Transcripción

1 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Resuelve Págin 9 Los rdos de cerel Resuelve el role chino de los rdos de cerel rocediendo de or siilr coo lo resolvieron ellos. Recuerd el éodo de Guss que rendise el curso sdo en en cuen que, en los cudros, ls ecuciones esán descris en coluns en ve de en ils. Llos:. er cerel. cerel. er cerel Del enuncido deducios ls ecuciones: Solución: 9,, 99

2 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Sises de ecuciones lineles Págin 9 Verddero o lso? ) En un sise de ecuciones con dos incógnis (, ) l ecución iene, enre ors, l solución (, ). ) En un sise con res incógnis (,, ) l ecución no iene senido. c) En un sise con res incógnis (,, ) l ecución sí iene senido. Reresen un lno. lguns soluciones sus son (,, ), (,, ), (,, ). d) Si esos en el lno (dos incógnis,, ) l ecución reresen l eje X. e) Si esos en el escio (res incógnis,,, ) l ecución reresen l lno XZ. ) Verddero, orque. ) Flso. En un ecución no ienen or qué recer ods ls incógnis. c) Verddero. El vlor de l ercer coordend uede ser culquier. d) Verddero. En el eje X odos los unos ienen l segund coordends igul cero. e) Verddero. En el lno XZ odos los unos ienen l segund coordend igul cero. Sin resolverlos, elic or qué son equivlenes los siguienes res de sises: ) ( ) ) ( c) d) ( ) ) Heos susiuido l segund ecución or el resuldo de sur ls dos que eníos. ) Heos susiuido l rier ecución or el resuldo de resrle l segund ecución l rier. c) En el rier sise, l ercer ecución se oiene sundo ls dos riers. El reso es igul que en ). d) Heos susiuido l segund ecución or el resuldo de resrle l segund ecución l rier.

3 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Posiles soluciones de un sise de ecuciones lineles Págin 9 Resuelve e inerre geoéricene los siguienes sises de ecuciones: ) ) c) d) ), () Veos si cule l.ª ecución: () Solución:,. Son res recs que se corn en el uno (, ). ) L.ª ecución se oiene sundo ls dos riers; odeos recindir de ell. Solución: λ, λ, λ. Son res lnos que se corn en un rec. c) Ls dos riers ecuciones son conrdicoris. El sise es incoile. Los dos rieros lnos son rlelos el ercero los cor. d) Solución:,,. Son res lnos que se corn en el uno (,, ). ) Resuelve ese sise: ) ñde un ercer ecución de odo que sig siendo coile. c) ñde un ercer ecución de odo que el sise se incoile. d) Inerre geoéricene lo que hs hecho en cd cso. ) Solución:, ) Por ejelo: (su de ls dos neriores) c) Por ejelo: 9 d) En ) Son dos recs que se corn en d, n. En ) L nuev rec ién s or d, n. En c) L nuev rec no s or d, n. No eise ningún uno coún ls res recs. Se corn dos dos.

4 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Sises esclondos Págin 9 Reconoce coo esclondos los siguienes sises resuélvelos: ) ) c) d) ) ` Solución:, ) ` ` 9 Solución:, 9, c) ` ` 9 9 Soluciones: λ, 9 9λ, λ, λ d) ` ` Solución:,, 9 9 Son esclondos esos sises? Resuélvelos: ) ) c) d) ) ` ` Solución:,, ) Soluciones: λ, λ, λ c) Soluciones: λ, λ, λ

5 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II d) ` ` Solución:,,, Págin 9 Trnsor en esclondos resuelve. ) ) c) d) w w w ) (.ª) (.ª) (.ª) Solución:, ) (.ª) ` (.ª) (.ª) ` (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ` ` (.ª) (.ª) Solución:,, (.ª) (.ª) : (.ª) ` c) (.ª) ` (.ª) (.ª) ` (.ª) (.ª) (Podeos rescindir de l.ª, ues es igul que l.ª). Soluciones:, λ, λ (.ª) (.ª) : () d) (.ª) w ` w (.ª) (.ª) w (.ª) (.ª) (.ª) w (.ª) ` w (.ª) : w 9 Solución:,,, w (.ª) (.ª) (.ª) 9 (.ª) (.ª) w (.ª) ` w (.ª) (.ª) w (.ª) (.ª) w w 9w ` 9 ` 9 9w w w

6 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Méodo de Guss Págin 9 Verddero o lso? ) Es osile que un sise incoile, l licr el éodo de Guss, dé lugr un sise esclondo coile. O vicevers. ) l licr el éodo de Guss, el sise esclondo l que se lleg inlene es del iso io que el sise inicil, ues odos los sos que se dn rnsorn cd sise en oro equivlene él. ) Flso. Ls soluciones de un sise no deenden del éodo eledo r resolverlo. ) Verddero. Ls soluciones de un sise no deenden del éodo eledo r resolverlo. Págin 9 Resuelve esos sises de ecuciones uilindo el éodo de Guss: ) ) c) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) () (.ª) (.ª) Solución:,, ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Ls dos riers ecuciones son conrdicoris. El sise es incoile. c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Soluciones: λ, λ, λ

7 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Resuelve edine el éodo de Guss. ) ) w w w c) w w w 9 ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Soluciones:,, l l l 9 ) w w w (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) w w Solución:,,, w c) w w w 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 w 9 9 w 9 Solución:,,, w 9

8 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discusión de sises de ecuciones Págin 99 Discue, en unción de k, esos sises de ecuciones: k ) ) k k k ) k k Si k, qued: k k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k k Sise incoile indeerindo. Soluciones: l, l, l Si k, es coile deerindo. Lo resolveos: k k ; k k k k ( k ) ( k) k k Solución:, k, k ) k k k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k k Si k, qued: El sise es incoile. Si k, es coile deerindo. Lo resolveos: k k ; k k k k k ( k ) ( k) k k k k k ( k ) Solución: k, k k, k k k k k k k

9 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discue esos sises de ecuciones en unción de k : k ) ) k k k ) k k k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k k Si k, qued: Sise incoile. Si k, es coile deerindo. Lo resolveos: ( k ) k k k k k k k k k k k Solución: k, k k k, k k k k ) k k k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) k k k Si k, qued: Sise incoile. Si k, es coile deerindo. Lo resolveos: k ( k ) k k k k k k d k n k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k Solución: k k, k k, k k k k 9

10 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Un nuevo crierio r ser si un sise es coile Págin lic el eore de Rouché r verigur si los siguienes sises son coiles o incoiles: ) ) c) ) ' ( ) ( ) ' ' rn rn El sise es coile. ) ' ' rn (' ) rn ( ) El sise es incoile. c) ' Clculos el rngo de : ; ; rn ( ) Clculos el rngo de ' : rn (' ) rn ( ) El sise es incoile.

11 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Siguiendo el iso roceso que en el ejercicio nerior, verigu si los siguienes sises son coiles o incoiles: ) ) c) ) ' Clculos el rngo de : rn ( ) Clculos el rngo de ' : (ues l.ª l.ª colun son igules) rn (' ) rn ( ) El sise es coile. Oservción: Coo l.ª colun de ' l.ª son igules, necesriene rn (' ) rn ( ); es decir, el sise es coile. ) ' Seos que rn ( ) (ver rdo ) de ese ejercicio). Clculos el rngo de ' : rn (' ) rn ( ) El sise es incoile. c) ' Seos que rn ( ) (ver rdo c) del ejercicio nerior). Clculos el rngo de ' : rn (' ) rn ( ) El sise es coile.

12 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Regl de Crer Págin Enunci l regl de Crer r un sise de res ecuciones con res incógnis. c c c Si rn ( ) rn (' ) Por no, el sise es coile. Su solución es:,, siendo l ri que resul de susiuir en l ri l colun de los coeicienes de or l colun de los érinos indeendienes. nálogene, se oienen susiuendo en l colun de los coeicienes de l incógni corresondiene or l de los érinos indeendienes. Uilindo l regl de Crer, resuelve el siguiene sise de ecuciones: 9 9 ; ; Por no:,, Págin Deuesr l regl de Crer r un sise de res ecuciones con res incógnis. Procede de or nálog coo se h hecho en es ágin. Teneos un sise de res ecuciones con res incógnis: c c, con c Heos de desejr cd un de ls incógnis. Eeceos or l. Pr desejr, heos de eliinr,. Eso se consigue ulilicndo ls res ecuciones, que llos (), (), (), or los djunos de los coeicienes de l : () c () c () c

13 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Sundo, oeneos un iguldd que vos nlir or res: El coeiciene de l es: El coeiciene de l es: nálogene, se ve que el coeiciene de es cero. El érino indeendiene es: c c c, que es el deerinne de l ri que resul l susiuir en l colun de los coeicienes de or l colun de los érinos indeendienes: c c c Reciulos: l eecur l su () () (), oeneos: Pueso que, odeos desejr l, oeneos: Pr desejr l hrí que ulilicr ls ecuciones (), (), () or,,, resecivene. Y nálogene rocederíos r desejr, oeniéndose:,

14 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II licción de l regl de Crer sises culesquier Págin Resuelve los siguienes sises de ecuciones: ) ) c) d) ) ' Clculos el rngo de : rn ( ) Clculos el rngo de ' : (l.ª l.ª colun son igules) rn (' ) El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución: Soluciones: λ, λ, λ ) ' Seos, or el rdo ), que rn ( ). Clculos el rngo de ' : rn (' ) rn ( ) El sise es incoile. c) ` ' Coo rn ( ) Clculos el rngo de ' : ' rn (' )

15 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l úli ecución licr l regl de Crer: ; Solución:,, ; d) ' Coo ' 9, enonces rn (' ) rn ( ). El sise es incoile.

16 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II 9 Sises hoogéneos Págin Resuelve los siguienes sises de ecuciones: ) ) 9 c) d) ) Por no, rn ( ) n.º de incógnis. El sise solo iene l solución rivil:,, ) 9 9 Seleccionos el enor rn ( ) Podeos suriir l.ª ecución sr l l segundo iero: Soluciones: λ, λ, λ c) ` rn ( ) n.º de incógnis. El sise solo iene l solución rivil:,, d) ` rn ( ) Pr resolverlo, sos l l. iero: ; ; Soluciones: λ, λ,, λ

17 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Resuelve. ) ) c) d) 9 ) ` Clculos el rngo de : ; ; Por no, rn ( ). El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de ls dos úlis ecuciones sr l l segundo iero: Soluciones: λ, λ, λ ) ` El enor socido ls.ª,.ª.ª ecuciones es: rn ( ) n.º de incógnis El sise iene solución únic, que es l solución rivil or ser hoogéneo. Solución:,,

18 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II c) ` ; rn ( ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución sr l l segundo iero: Soluciones: λ, λ, λ, λ d) 9 ` 9 rn ( ) n.º de incógnis El sise iene solución únic, que es l solución rivil or ser hoogéneo. Solución:,,,

19 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discusión de sises edine deerinnes Págin Discue resuelve. ) ) ) Si, qued: ' ; ' k k ± 9 ± ± Toos el enor: rn ( ) rn (' ) rn ( ) El sise es incoile. Si, qued: / ' / Toos el enor: rn () / / rn (' ) rn ( ) El sise es incoile. Si / rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis, el sise es coile deerindo. Lo resolveos: ; Solución:,, 9

20 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) k k ' k k ' k k k Si k, qued: ' ± ± k k Toos el enor: rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución: Sundo: ; Solución:, Si k, qued: ' / / / rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución: Sundo: ; Solución: Si k k, rn (' ) rn ( ), el sise es incoile.

21 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discue resuelve, en unción del ráero, el siguiene sise de ecuciones: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e o ( ) Si, qued: ( )( ) ( ) Sise coile indeerindo. Soluciones: λ, λ Si, qued: Sise coile indeerindo. Soluciones: λ, Si rn ( ) El sise iene solo l solución rivil:,

22 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II For ricil de un sise de ecuciones Págin 9 Eres en or ricil resuelve (en en cuen el ejercicio roueso de l ágin de l unidd nerior). ) ) ) X B En el ejercicio de l ágin heos clculdo. X B X B 9 Solución:,, ) e e e o o o B X C En el ejercicio de l ágin heos clculdo B. B X C X B C e e e e o o o o Solución:, Eres en or ricil resuelve. ) ) ) ` X B Clculos l invers de l ri : eise

23 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II X B X B Solución:,,, ) ` X B Resolveos el sise esclondo. Solución:,,,

24 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Ejercicios roles resuelos Págin. Discusión de sises licndo el éodo de Guss Hlo ú. Discue resuelve, en unción del ráero, licndo el éodo de Guss. ) ) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, el sise es coile deerindo. ( ) Solución:,, Si, el sise es coile indeerindo. Soluciones: λ, λ, λ ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si, el sise es coile deerindo. Solución:,, Los res lnos se corn en un uno. Si, l ri qued: El sise es incoile. Los lnos se corn dos dos.

25 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Págin. Discusión de sises licndo el eore de Rouché Hlo ú. Discue los siguienes sises de ecuciones resuélvelos cundo sen coiles: ) ) ) Si rn ( ) rn (' ) el sise es coile deerindo. Pr cd vlor de disino de, eneos un sise con solución únic, que or l regl de Crer es: Solución:,, Son res lnos que se corn en un uno. Si : ( ) ( ) ' rn rn El sise es incoile. Son res lnos que se corn dos dos. Si : rn ( ) Coo l colun de érinos indeendienes es igul l colun de coeicienes de, eneos que rn (' ) rn ( ), el sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, oos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero: λ,, λ Los lnos se corn en un rec.

26 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) Eeos esudindo el rngo de ', que uede ser : Si rn (' ) rn ( ), el sise es incoile. Si, quindo l ercer ecución: rn ( ) rn (' ), el sise es coile deerindo: licos l regl de Crer oeneos:,, Los lnos se corn en un uno: P (,, ). Págin. Sises que deenden de dos ráeros Hlo ú. Discue resuelve según los vlores de n el sise siguiene: n n Clculos el deerinne de l ri de coeicienes: Si rn ( ) rn (' ) el sise es coile deerindo. Pr cd vlor de disino de, eneos un sise con solución únic: Si n : n n, n n n, n n n n n Ls dos riers ecuciones son igules. El sise es coile indeerindo. El sise qued: Psndo l segundo iero oeneos:, λ, λ Si n, ls dos riers ecuciones reresenn dos lnos rlelos. El sise es incoile.

27 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II. Sises hoogéneos Hlo ú. Discue resuelve ese sise de ecuciones: Es un sise hoogéneo, luego siere es coile. Clculos el deerinne de l ri de coeicienes: Si rn ( ) rn (' ) el sise es coile deerindo. Pr cd vlor de disino de, eneos un sise con solución únic: (,, ), l solución rivil. Si rn ( ) rn (' ) el sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, oos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero: Soluciones: λ, λ, λ. Sises con ás incógnis que ecuciones Hlo ú. Discue ese sise de ecuciones resuélvelo en el cso : Coo no es cudrd, vos clculr su rngo: clculos los siguienes deerinnes:,, Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis el sise es coile indeerindo. Psos l segundo iero coo ráero or no her selecciondo l colun de coeicienes de r el enor disino de cero., λ, λ, Si rn ( ) 9 Si ñdios l colun de érinos indeendienes: 9 rn (' ) rn ( ) el sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, oos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráeros: Soluciones:,,, µ l µ l µ

28 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Ejercicios roles guidos Págin. Sise ricil Ddo ese sise de ecuciones: ( ) hllr l ri B, sin clculr l ri invers de, siendo l ri de coeicienes B l de érinos indeendienes. ) X B ) X B B c) X es l solución del sise: ( ) Pr que eis el sise iene que ener solución únic. Luego. En esos csos, Solución: X ;. Sises con ininis soluciones Sen S S' dos sises de ecuciones con dos incógnis que diieren solo en los érinos indeendienes. Si S es coile indeerindo, lo será ién S'? Si S es coile indeerindo signiic que l colun de érinos indeendienes es linelene deendiene de ls coluns de los coeicienes. l cir los érinos indeendienes, cios l colun corresondiene uede que ser linelene indeendiene con ls neriores, luego uede que el sise resule ser incoile.

29 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones 9 Meáics II. Sise coile r culquier vlor del ráero Se el sise de ecuciones: ) Coror que es coile r culquier vlor de. ) Clculr su solución en or ricil en el cso. c) Resolver r uilindo el éodo de Guss. ) Si rn ( ) rn (' ) el sise es coile deerindo, iene solución únic. Si : rn ( ) ñdios l colun de érinos indeendienes: rn (' ) rn ( ) El sise coile indeerindo, iene ininis soluciones. Es coile r culquier vlor de. ) : X B X B X c) : (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª),,

30 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II. ñdir un ecución un sise ñdir un ecución l sise de odo que se: ) incoile. ) coile deerindo. c) coile indeerindo. ) Hceos (.ª) (.ª) Cios el érino indeendiene El sise: es incoile. ) l, l, l Un solución es:,, ñdios l ecución El sise: es coile deerindo. c) Hceos (.ª) (.ª) Poneos es nuev ecución que es coinción linel de ls neriores. El sise: es coile indeerindo.

31 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Ejercicios roles rouesos Págin Pr rcicr Méodo de Guss Resuelve, si es osile, los siguienes sises: 9 ) ) c) d) ) 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ; 9 ; 9 Solución:,, ) e o (.ª) (.ª) (.ª) e o Si oos λ, ls soluciones son: l, l, l c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) L segund ecución es iosile: El sise es incoile. d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ; 9 ; λ Soluciones: λ, λ, λ

32 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Esudi resuelve or el éodo de Guss. ) ) c) d) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Sise coile deerindo. Lo resolveos: ; Solución:,, ) ` (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Sise coile indeerindo. Lo resolveos: ; ; l Soluciones: λ, λ, λ c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 9 (.ª) (.ª) : (.ª) (.ª) Sise coile deerindo. Lo resolveos: Solución:,,

33 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II d) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 Sise coile indeerindo. Lo resolveos: 9 ; ; ; λ Soluciones: λ, λ,, Resuelve or el éodo de Guss. ) ) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (/) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución:,, ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Solución:,,,

34 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Discue los siguienes sises según los vlores del ráero : ) ) c) d) ( ) ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Sise coile deerindo. Si Sise incoile. ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Sise coile deerindo r odo. c) Si Sise incoile. Si Sise coile deerindo. d) ( ) Si Sise coile indeerindo. Si Sise coile deerindo con solución,,. Discue los siguienes sises resuélvelos cundo se osile: ) (/) ) c) d) ) (/ ) / (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Sise coile indeerindo. Lo resolveos: l Soluciones: λ, λ Si Sise coile deerindo. ( ) Solución:,

35 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Sise coile indeerindo. Lo resolveos: Hceos λ Soluciones: λ, λ, λ Si Sise incoile. c) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : () (.ª) (.ª) Si Sise coile deerindo. Solución:, Si Sise incoile d) ` (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si Sise coile indeerindo. (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Hciendo λ: Soluciones: λ, λ, λ Si Sise incoile.

36 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Teore de Rouché. Regl de Crer lic el eore de Rouché r verigur si los siguienes sises son coiles o incoiles: ) ) c) d) e) ) ) ' Coo ', eneos que: rn () rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l ercer ecución: Sundo: Solución:, ) ' Teneos que que rn ( ) Coo rn (' ) rn ( ) Por no, el sise es incoile. c) ' Coo, eneos que rn ( ). deás,. Luego rn (' ) rn ( ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l ercer ecución: Sundo: Soluciones: λ, λ, λ

37 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II d) ' Coo, eneos que rn ( ). Coo rn (' ) rn ( ) Por no, el sise es incoile. e) ` ' Coo ', eneos que rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución. licos l regl de Crer: Solución:,, ) ' Coo, eneos que rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Lo resolveos edine l regl de Crer: Solución:,,

38 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Resuelve los siguienes sises licndo l regl de Crer: ) ) c) d) ) ' e o ; Solución:, ) ' Teneos que. ; ; Soluciones: l, l, l, l c) ` ' ; ; Solución:,, d) ; Soluciones:, λ μ, λ, μ

39 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones 9 Meáics II Esudi resuelve esos sises, cundo se osile: ) ) c) d) ) ' Coo, eneos que: rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Lo resolveos edine l regl de Crer: ; ; Solución:,, ) ' Coo, eneos que rn ( ). deás,. Luego rn (' ) rn ( ). Por no, el sise es incoile. c) ' Coo,, eneos que: rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Pr hllr sus soluciones, odeos rescindir de l.ª ecución resolverlo en unción de : Soluciones: λ, λ, λ

40 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II d) ` ' Teneos que '. Luego rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución: ; ; Solución:,, 9 Resuelve los siguienes sises hoogéneos: ) ) 9 ) Coo, enonces, rn ( ). El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución sr l l segundo iero: - ; Soluciones:,, l l l ) 9 ` 9 Coo 9, enonces rn ( ) n.º de incógnis. El sise solo iene l solución rivil:,,.

41 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discusión de sises edine deerinnes Eise lgún vlor de r el cul esos sises engn ininis soluciones?: ) ) ) ' 9 Si, qued: ' Coo, enonces rn ( ) rn (' ) El sise es incoile. Si rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Por no, no eise ningún vlor de r el que el sise eng ininis soluciones. ) ' ± 9 ± Si, qued: ' L.ª l.ª ecución son conrdicoris, luego el sise es incoile. Si, qued: ' Ls coluns.ª,.ª.ª son igules, ; luego, rn ( ) rn ('). El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Por no, el sise iene ininis soluciones r.

42 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Págin Discue los siguienes sises hoogéneos en unción del ráero : ) ) c) d) ) Coo es hoogéneo, seos que rn ( ) rn (' ). Si Coo rn ( ) rn (' ) El sise es coile indeerindo. Si Solo iene l solución rivil,,. ) ' Coo es hoogéneo, seos que rn ( ) rn (' ). Si o Coo ± ± rn ( ) rn (' ) El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ). Solo eise l solución rivil,,. c) ' Coo es hoogéneo, seos que rn ( ) rn (' ). Si Coo El sise es coile indeerindo. Si d) Si rn ( ) rn (' ) rn ( ) rn (' ). Solo eise l solución rivil,,. ' Coo El sise es coile indeerindo. rn ( ) rn (' ) Si rn ( ) rn (' ). Solo eise l solución rivil,,.

43 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Discue los siguienes sises según los vlores del ráero : ) ) c) d) e) ) ) ' Si, qued: ' Conrdicoris Sise incoile. Si, qued: ' Conrdicoris Sise incoile. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. ) ' ± ± 9 Si, qued: ' Conrdicoris Sise incoile. Si, qued: '. Ls coluns.ª,.ª.ª son igules. Coo rn (' ) rn ( ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo.

44 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II c) ' Si, qued: ' Coo, enonces: rn ( ) rn (' ) El sise es incoile. Si, qued: rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. d) ' Si, qued: ' ± ± ± Conrdicoris Sise incoile. Si, qued: '. L.ª l.ª il son igules. deás,. Luego, rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo.

45 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II e) ` ' ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils (9 ) ( ) deás, 9 rn ( ) Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si rn (' ) rn ( ). El sise es incoile. ) ` ' ' Eliinndo de l.ª il, Si, qued: ' Enonces: rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Si, qued: rn ( ) < rn (' ) El sise es incoile.

46 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Esudi los siguienes sises de ecuciones. Resuélvelos cundo sen coiles e inerre geoéricene ls soluciones oenids: ) ) c) ( ) d) ( ) ( ) ) L ri socid l sise, erundo ls dos riers ils enre sí, es: Usndo el éodo de Guss oeneos: Si El sise es incoile. Si El sise es coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: l, l, l Inereción geoéric: Si, eneos res lnos que se corn dos dos. Si, eneos res lnos que se corn en un rec. ) Si rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Lo resolveos usndo l regl de Crer:,, Si : ñdios l.ª colun: rn (' ) rn ( ) Luego, rn ( ) rn (' ) El sise es incoile.

47 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Si : rn ( ) ñdios l.ª colun l.ª il: rn (' ) Luego, rn ( ) rn (' ) El sise es incoile. Inerreción geoéric: Si, eneos res lnos que se corn en un uno. Si, el rier el ercer lno son rlelos. Si, el rier el segundo lno son rlelos. c) Si rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Lo resolveos usndo l regl de Crer oeneos:,,. Si : rn ( ) ñdios l.ª colun: rn (' ) Luego, rn ( ) rn (' ) El sise es coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: λ, λ, Inerreción geoéric: Si, eneos res lnos que se corn en un uno. Si, los res lnos se corn en un rec. d), Si rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Usndo l regl de Crer:,, Si : Ls ecuciones.ª.ª reresenn el iso lno.

48 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: λ,, λ Si : rn ( ) ñdios l.ª colun: rn (' ) En ese cso el sise es incoile. Inerreción geoéric Si, eneos res lnos que se corn en un uno. Si, dos lnos son coincidenes se corn en un rec con el ercero. Si, los lnos se corn dos dos. For ricil de un sise Eres en or ricil resuelve uilindo l ri invers: ) ) c) d) ) ` X B Eise. L clculos: α ij dj ( ) (dj ( )) (dj ()) / / Luego: / / X B X B X B Por no:,,

49 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones 9 Meáics II ) X B Eise. L clculos: α ij dj ( ) (dj ( )) (dj ( )) Luego: X B X B X B Por no:,, c) X B Eise. L clculos: α ij dj ( ) (dj ( )) (dj ( )) Luego: X B X B X B Por no:,, d) X B Eise. L clculos: α ij dj ( ) (dj ( )) (dj ( )) Luego: X B X B X B Por no:,,

50 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Escrie en l or hiul esos sises resuélvelos si es osile: ) e o e o ) e o ) l l l l l l ; Soluciones: l, l, ) Coroos si iene solución: rn (' ) rn ( ) Coo rn ( ) rn (' ), el sise es incoile. l l l l Escrie ls ecuciones lineles del sise X B, siendo resuélvelo. X B Mulilicndo ls rices del rier érino: Resolveos el sise: ' B, B ; ; Solución:,,

51 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Resuelve el siguiene sise: X B Clculos ( eise ): α ij dj ( ) (dj ( )) (dj ()) Por no: X B X B 9 Luego, ; es decir:,, Pr resolver Un nderí uili res ingredienes, B C r elorr res ios de r. L r T se hce con unidd de, de B de C. L r T llev uniddes de, de B de C. Y l T necesi uniddes de, de B de C. Los recios de ven l úlico son, l T ;, l T l T. Siendo que el eneicio que se oiene con l ven de cd r es de, clcul cuáno le cues l nderí cd unidd de, B C. Llos X l ri de recios or unidd de, B C, resecivene. L ri que indic los ingredienes en relción con el io de r es: B C T T T El gso r cd io de r es:,,,, Podeos clculr l solución edine l resolución del siguiene sise:,,, L solución es:, L unidd cues,, l unidd B cues l unidd C cues,.

52 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II 9 ) Hll un núero de res cirs l que l su de ls cenens ls uniddes con el dole de ls decens es ; l dierenci enre el dole de ls cenens l su de ls decens ás ls uniddes es 9 l edi de ls cenens decens ás el dole de ls uniddes es. ) Es osile enconrr un núero de res cirs si cios l ercer condición or el rile de ls cenens ás ls decens es? ) El núero uscdo es. El sise que eres ls condiciones del role es: ( ) 9 9,, El núero es 9. ) El sise resulne es: ( ) 9 Ese sise no iene solución, luego no h ningún núero que veriique ess condiciones. Un uoóvil sue ls cuess k/h, ls j 9 k/h en llno rch k/h. Pr ir de B rd hors inuos, r volver de B, hors inuos. Cuál es l longiud de cino llno enre B si seos que l disnci enre B es de 9 k? Llos l longiud de cino llno enre B, l longiud de cues rri endo de B l longiud de cues jo endo de B. Teneos que: 9 k, hors 9, hors (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) 9 9, k, k 9, k Solución: L longiud de cino llno enre B es de 9, k.

53 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Un erson h oenido de eneicio or inverir un ol de en res eress:, B C. L su del dinero inverido en B ue veces el inverido en C, los eneicios ueron el % en, el % en B el % en C. ) Plne un sise de ecuciones r verigur l cnidd inverid en cd eres. ) Prue que si >, el sise es coile deerindo. c) Hll l solución r. ) Sen,, ls cniddes inverids en, B C, resecivene. Plneos el sise:,,,,,, ),,, (.ª) (.ª) (.ª) (.ª), (.ª),, Si : El sise es incoile. Si : El sise es coile deerindo. Por no, si >, el sise es coile deerindo. c), solución:,,. Págin Tres coercines invieren en l cor de ordendores de los odelos, B C de l siguiene or. El riero inviere en los de io, en los de io B en los de io C. El segundo dedic los de io, los de io B los de io C el ercero,, resecivene, en los odelos, B C. Desués de venderlos odos, l renilidd que oiene el riero es el %, el segundo el % el ercero el %. Deerin l renilidd de cd uno de los odelos vendidos. Llos l ri de renilidd or odelo:, B C, resecivene. L ri que indic l inversión en relción con el coercine es: B C.º.º.º L renilidd r cd coercine es:,,, Podeos clculr l renilidd or odelo edine l resolución del siguiene sise: cu solución es:,,, L renilidd del odelo es del %, l renilidd del odelo B es del %, l renilidd del odelo C es del %.

54 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Un cjero uoáico coniene 9 illees de, euros. Se se que iene lcendos que el núero de illees de euros es el dole que el núero de illees de euros. ) Plne un sise de ecuciones que releje ls condiciones del role. Prue que si [,, ], el sise es coile deerindo. ) Puede her illees de o euros en el cjero? c) Resuelve el sise r. ) Llos l núero de illees de, l núero de illees de l núero de illees de. El sise que eres ls condiciones del role es: 9 9 Pr, l ri de coeicienes es: Su deerinne resul: rn ( ) rn (' ) Luego el sise es coile deerindo. Pr, l ri de coeicienes es: Su deerinne es: rn ( ) rn (' ) Luego el sise es coile deerindo. Pr, l ri de coeicienes es: Su deerinne es: rn ( ) rn (' ) Luego el sise es coile deerindo. ) Pr, el sise es: 9,, L solución no es osile orque el núero de illees no uede ser negivo. Pr, l ri de coeicienes es:

55 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Su deerinne es: rn ( ) rn (' ) Luego el sise es coile deerindo. 9,, L solución no es osile orque el núero de illees no uede ser un núero rccionrio. Pr culquier de los dos csos el sise iene solución, ero no son soluciones reles. c) Pr, el sise es: 9,, H illees de, illees de illees de. Discue resuelve los siguienes sises: l ) l l ) ( ) ( ) l l c) l l d) ) l l l l l l l λ, λ Si λ λ rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. Usndo l regl de Crer:, l, l l l l Si λ : Ls dos riers ecuciones son equivlenes. Sise coile indeerindo. Psos l segundo iero coo ráero. Soluciones: λ, λ,

56 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Si λ : rn ( ) ñdios l cur colun. rn (' ) Sise incoile. ) ( ) ( ), Si rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Usndo l regl de Crer:,, Si : rn ( ) <, ero rn (' ) Sise incoile. Si : rn ( ) <, ero rn (' ) Sise incoile. c) l l l l Esudios el deerinne de l ri de coeicienes: l l l λ λ λ, λ Si λ λ rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Usndo l regl de Crer: l l l l l l l l l,, l l l l l l Si λ : ñdios l cur colun. rn ( ) rn (' ) Sise coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: μ, μ, μ

57 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II Si λ : rn ( ) ñdios l cur colun. rn (' ) Sise coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: μ,, μ d) L ri de coeicienes es:, cuo deerinne es Si, rn ( ) rn (' ) Luego el sise es coile deerindo. Usos l regl de Crer. Solución:,, Pr, l ri de coeicienes es: rn ( ) ñdios l úli colun. rn (' ) Sise incoile. Pr, l ri de coeicienes es: rn ( ) ñdios l úli colun. rn (' ) Sise incoile. Pr, l ri de coeicienes es: rn ( )

58 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II ñdios l úli colun. rn (' ) Sise coile indeerindo. Toos ls dos riers ils sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: λ, λ, λ Discue los siguienes sises en unción del ráero resuélvelos cundo sen coiles: ) ) c) k k k k d) ) ` Ese sise es coile or ser hoogéneo. L ri de coeicienes es: Su deerinne es: Si rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Solución:,, Si : Ls dos riers ecuciones son equivlenes Sise coile indeerindo. El sise qued: Soluciones:,, λ ) L ri de coeicienes es: Su deerinne es:,

59 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Si rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Uilindo l regl de Crer:,, Si : rn ( ) ñdios l úli colun. rn (' ) Sise incoile. Si : rn ( ) ñdios l úli colun. rn (' ) Sise coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. l, l, l c) k k k ` k L ri lid es: k k k k Su deerinne es: k k k k k Si k rn (' ) Sise incoile. Si k : Ls ecuciones.ª.ª son equivlenes, nos qued: El deerinne de l ri lid es: rn (' ) Coo rn ( ) <, el sise es incoile. Ese sise no iene solución r ningún vlor de k. 9

60 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II d) ` L ri lid es: Su deerinne es:, Si rn (' ) Sise incoile. Si : Ls ecuciones.ª.ª son equivlenes, or no el sise es equivlene : El deerinne de l ri de coeicienes es: rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Usndo l regl de Crer:,, Si : El enor ordo or los coeicienes de ls res riers ecuciones es: rn ( ) rn (' ) Sise coile deerindo. Toos ls res riers ecuciones: Usndo l regl de Crer:,,

61 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Se l ri: ) Deerin r qué vlores de l ri es singulr. ) Resuelve, si es osile, el siguiene sise r : ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) es singulr r. ) Si El sise qued: rn ( ) ñdios l cur colun. rn (' ) Sise incoile. Si El sise qued: Ls ecuciones.ª.ª son equivlenes. rn ( ) ñdios l cur colun. rn (' ) Sise coile indeerindo. Toos ls dos riers ecuciones sos l segundo iero coo ráero. Soluciones: λ,,

62 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Se el sise de ecuciones: c c c ) Jusiic que r los vlores de los ráeros,, c el sise es coile. ) Deerin los vlores de los ráeros, c r los que se veriic que (,, ) (,, ) es solución del sise. c) Jusiic si dich solución es o no es únic. ) c c c Pr,, c, el sise qued: El deerinne de l ri de coeicienes es: rn ( ) rn (' ) Coo rn ( ) rn (' ), el sise es incoile. ) Susiuios ls incógnis or los dos resolveos ls ecuciones. Oeneos el sise: c c c Ls nuevs incógnis son,, c. c c c El deerinne de l ri de coeicienes es: rn ( ) Sise coile deerindo. Solución:,, c c) Coo el sise es coile deerindo, l solución es únic.

63 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) Deuesr que el siguiene sise de ecuciones iene siere solución r culquier vlor de α β: ( ) ) Es osile que eng ininis soluciones r lgún vlor de α β? ) ( ) ' rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo r culquier vlor de α β. ) El deerinne de l ri de coeicienes es: rn ( ) El sise será siere coile deerindo, luego l solución siere será únic. No uede her ininis soluciones. Cuesiones eórics 9 Verddero o lso? Jusiic us resuess on ejelos. ) un sise con dos ecuciones dos incógnis que es coile indeerindo, odeos ñdirle un ecución que lo rnsore en incoile. ) Si S S' son dos sises equivlenes con solución únic que ienen igules los érinos indeendienes, enonces los coeicienes de ls incógnis ién son igules. c) Pr, el sise iene ininis soluciones que deenden de un ráero. d) El sise nerior es incoile si. e) El sise iene siere solución r culquier vlor de. ) El sise e o c es coile indeerindo r culquier vlor de. g) Si el deerinne de l ri lid de un sise de curo ecuciones res incógnis es disino de cero, el sise iene solución únic. h) Si el rngo de l ri de coeicienes de un sise es enor que el núero de incógnis, el sise es coile indeerindo. ) Verddero. Teneos el sise: Coile indeerindo.

64 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Le ñdios l ecución:. Incoile. ) Flso. Los siguienes sises son equivlenes, ienen igules los érinos indeendienes no ienen los isos coeicienes en ls incógnis. c) Flso.,, Pr el sise iene ininis soluciones, ero deenden de dos ráeros que: rn ( ) rn (' ) Podeos quedrnos con un sol ecución sr dos incógnis l segundo iero coo ráeros. d) Verddero. El rngo de l ri de coeicienes es: El enor iene coo rngo: rn ( ) < rn (' ) Coo los rngos no coinciden, el sise es incoile. e) Flso, r el rngo de l ri de coeicienes es: rn ( ) < ñdios l.ª colun l enor. rn (' ) Luego r, el sise es incoile, or no, no iene solución. ) Verddero, rn ( ), coo solo h dos ils, ' no iene ás rngo. Es coile deerindo r culquier vlor de. g) Flso, uede ser ién incoile. Tiene ', ero rn ( ) El sise es incoile.

65 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II h) Flso, uede ser ién incoile. rn ( ), rn (' ) Págin En un sise de igul núero de ecuciones que de incógnis, el deerinne de l ri de coeicienes es igul. Resonde rondene ls siguienes reguns: ) Puede ser coile? ) Puede ener solución únic? c) Se uede licr l regl de Crer? ) Sí, odrí ser coile indeerindo si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. ) No, ues l ser rn ( ) < n.º de incógnis, el sise no uede ser coile deerindo. c) Sí, si es coile, sndo l. iero ls incógnis que se necesrio. Si dos sises de curo ecuciones lineles con curo incógnis, X B X B', ienen un is ri de coeicienes, uede ser incoile uno de los dos sises ienrs que el oro es coile deerindo? No. Si uno de ellos es coile deerindo es orque rn ( ) rn (' ). Por no, si es l is ri en los dos sises, ién en el oro será rn ( ). Luego los dos serín coiles deerindos. Deerin un ri r que el sise hoogéneo X se equivlene l ecución ricil: ` j (, ) L ecución ricil dd l odeos escriir sí: Si llos e o X, enonces: X. Por no, l ri que uscos es e o. Sen, B C. c c Jusiic que si el sise X B es coile deerindo, enonces el sise X C ién lo es. Si X B, es coile deerindo rn ( ) rn (' ). Pr ello, el siguiene deerinne dee ser igul : c c

66 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Clculos el deerinne de l ri lid corresondiene l sise X C : c c Los dos deerinnes ienen el iso vlor, orque el segundo se oiene susiuendo l.ª colun or ell ás l su de ls ors dos, luego vlen cero r los isos vlores de, c. Por no, el sise X C es coile deerindo. Pr roundir Esudi resuelve cundo se osile. ) ) ) ` ' rn ( ) (L.ª colun deende linelene de ls res riers). ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ( ) Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Pr resolverlo, odeos rescindir de l.ª ecución sr l l. iero: ; ; Soluciones: l, l, l, l Si rn ( ) rn ('). El sise es incoile.

67 BCHILLERTO Unidd. Sises de ecuciones Meáics II ) ` ' (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) ils Si, qued: ' Incoile Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Lo resolveos: ( ) ; ; ; Soluciones:,,, Discue los siguienes sises: ) ) c) c d) ) ' Si, qued: ' ; ; Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo.

68 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) Si rn ( ) rn (' ). El sise es incoile. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo, culquier que se el vlor de. ' ( )( ) Si, qued: ' Si Sise incoile. Si, qued: ' L.ª il l.ª son igules. Conrdicoris, no ser que. rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis Sise coile indeerindo. Si, qued: ' L.ª colun l.ª son igules. rn () ( ) Si rn ( ) rn (' ). El sise es incoile. Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo r culquier vlor de. c) ' c c rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo r culquier vlor de, c. d) '

69 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Si, qued: ' rn ( ) Si rn ( ) rn (' ). El sise es incoile. Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si, qued: ' rn ( ) Si rn ( ) rn ('). El sise es incoile. Si rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo r culquier vlor de. Ddo ese sise de ecuciones: donde α, β Á rnsórlo en un sise equivlene que no deend de los ráeros α, β; es decir, rnsórlo en un sise en el que sus ecuciones se eresen solo en unción de ls incógnis. Inerreos el sise l revés, es decir: Pr que ese sise eng solución, el siguiene deerinne dee ser igul : 9

70 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II En ese cso, r clculr α β, oos ls dos riers ecuciones oeneos un sise coile deerindo: Ls soluciones son: α, Susiuios α β or sus vlores en el sise originl oeneos: d n d d n d d n d Ls ecuciones de ese sise se eresn solo en unción de ls incógnis. n n n

71 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II uoevlución Págin Resuelve or el éodo de Guss el siguiene sise e inerrélo geoéricene: (.ª) (.ª) ` (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) : (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) l Soluciones: λ, λ, λ. Son curo lnos con un rec en coún. Un rnsoris iene res ciones P, Q R en los que cen un ciero núero de conenedores de res ios, B C. En el ción P cen conenedores del io, del io B del C. En el ción Q, cen conenedores del io, del B del C. Y en el ción R, cen del, del B del C. Si se hn de rnsorr conenedores del io, del io B del io C, cuános vijes h de hcer cd ción si odos los vijes los hcen olene llenos? Llos: vijes del ción P vijes del ción Q vijes del ción R P Q R B C Oeneos el sise de ecuciones:,, El ción P iene que dr vijes. El ción Q iene que dr vijes. El ción R, iene que dr vijes.

72 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II ) Discue, en unción de, el siguiene sise: ( ) ) Resuelve el sise nerior r el cso. ) ( ) ' ( ) ( ) ( ) Si, qued: ' El sise es incoile. Si, qued: ' Coo, enonces rn ( ) rn (' ) < n.º de incógnis. El sise es coile indeerindo. Si : rn ( ) rn (' ) El sise es coile deerindo. ) Pr, qued: ' seos que El sise en ese cso es coile deerindo. Lo resolveos licndo l regl de Crer: ; ; Solución:,,

73 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Deuesr que no h vlores de r los que ese sise no eng solución. Resuélvelo: ' Si : ' L.ª colun se oiene sundo l.ª l.ª. Luego, rn ( ) rn (' ). El sise es coile. (En ese cso serí coile indeerindo, ues: rn ( ) rn (' ) ). Lo resolveos en ese cso. Podeos rescindir de l.ª ecución: ; Soluciones: λ, λ, λ Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Lo resolveos en ese cso: ; ; ( ) Solución:,, Por no, no h ningún vlor de r el que el sise no eng solución. El rngo de l ri de los coeicienes de un sise de curo ecuciones con res incógnis es. Qué rngo uede ener l ri lid? En se ello, cuáns soluciones endrá el sise? L ri lid es un ri cudrd de orden. Su rngo uede ser (si ' ) o (si ' ). Si rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis El sise será coile deerindo. Si rn ( ) rn (' ) El sise será incoile.

74 Unidd. Sises de ecuciones BCHILLERTO Meáics II Discue resuelve el siguiene sise: Según el eore de Rouché, el sise endrá solución si el rngo de l ri de coeicienes el de l ri lid son igules. ' Coo l ri lid es de orden, uscos los vlores que nuln su deerinne. ' ils (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) (.ª) Si ' Coo rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise es coile deerindo. Si rn ( ) rn (' ). El sise es incoile. Resolución si : Toos ls ecuciones.ª,.ª.ª: De l.ª l.ª ecución oeneos En l.ª Solución:,, Or or de resolver el role Si resolveos el sise ordo or ls ecuciones.ª,.ª.ª, oendríos l solución,,. Llevndo esos vlores l.ª ecución,. Ese es el vlor de que hce el sise coile. Pr culquier oro vlor de, el sise no iene solución. En un sise hoogéneo de res ecuciones dos incógnis, l ri de los coeicienes iene rngo. Di, rondene, cuáns soluciones endrá el sise. En un sise hoogéneo el rngo de l ri de coeicienes el de l ri lid siere coincide que l ñdir un colun de ceros no ci el rngo. Por no, eneos que rn ( ) rn (' ) n.º de incógnis. El sise será coile deerindo. Solo iene un solución que es l rivil:,.