Problemas del tema 3. Sistemas lineales e invariantes en el tiempo

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Catalina Fuentes Zúñiga
hace 7 años
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1 Ingeniería Informática Medios de ransmisión (M) Problemas del tema Sistemas lineales e invariantes en el tiempo Curso 8-9 7//8

2 Enunciados. Considere el sistema de la figura Retardo de segundo ( ) x(t) ( ) + y(t) Figura : ( ) a) Encuentre la relación entre x(t) e y(t) b) Es un sistema lineal? c) Es un sistema invariante? d) Calcule la salida para la señal de entrada x(t) de la figura x(t) - - Figura :. Calcule la convolución y(t) = x(t) h(t) de las siguientes señales: a) x(t) = h(t) = u(t). b) x(t) = u(t) u(t t ) y h(t) = u(t) u(t t ) donde t > t >. c) x(t) = u(t ) y h(t) = u(t). t d) x(t) = e at u(t) y h(t) = e bt u(t) con a b. e) x(t) = h(t) = e at u(t). f ) x(t) = t k u(t) y h(t) = u(t) siendo k entero y k >. g) x(t) = u(t + ) u(t ) y h(t) = δ(t + ) + δ(t ).

3 x(t) h(t) Figura : h) x(t) y h(t) como en la figura. Calcule la salida y(t) de un sistema LI caracterizado por h(t) cuando a su entrada se aplica x(t): a) x(t) = e t u(t) y h(t) = u(t ) b) x(t) = u(t) u(t ) + u(t 5) y h(t) = e t u(t ) 4. Un pulso rectangular x(t) = u(t) u(t ) de duración es la entrada a un sistema LI de respuesta al impulso h(t) = e at u(t), siendo a >. Calcule la salida. 5. Estudie las propiedades de linealidad e invarianza del sistema dado por el esquema de la figura 4 h(t) y(t) cos ω t Figura 4: 6. Determine y dibuje la salida y(t) de cada uno de los siguientes sistemas cuanda la entrada es el siguiente tren de impulsos x(t) = k= k= a) h(t) = u(t) u(t ) para =,, δ(t k) b) h(t) = [sen πt][u(t) u(t )] para =, c) h(t) = δ(t) δ(t ) 7. Determine si los siguientes sistemas LI son estables y/o causales a) h(t) = e t u(t ) b) h(t) = e t u( t) c) h(t) = e t u(t + )

4 d) h(t) = e t u( t) e) h(t) = e 4 t f ) h(t) = te t u(t) g) h(t) = ( e t e (t )/) u(t) 8. Para cada uno de las siguientes relaciones entrada/salida de sistemas LI, determine la respuesta al impulso. Indique si los sistemas son estables y/o causales. a) y(t) = b) y(t) = t c) y(n) =, d) y(n) = n k= x(τ)dτ. e τ x(t τ )dτ. x(n k). k= k n x(k + ). 9. Considere que la salida de un sistema LI y(t) es la convolución entre la se nal de entrada x(t) y la respuesta al impulso h(t). Obtenga en función de y(t) las siguientes se nales a) h(t) x(t t ) b) x(t) h(t t ) c) x(t t ) h(t t ) d) Calcule δ(t ) δ(t ). Considere un sistema LI cuya respuesta al impulso viene dada por h(t) = e (t ) u(t ) () a) Determine la respuesta de este sistema cuando la entrada x(t) es la se nal de la figura 5 x(t) - Figura 5: b) Considere la interconexión de sistemas mostrada en la figura 6 donde h(t) es la respuesta al impulso del enunciado. Calcule la salida y(t) cuando la entrada es la se nal del apartado (b). Hágalo de dos formas: 4

5 d (t-) h(t) x(t) - + y(t) h(t) Figura 6: ) Calculando la respuesta al impulso del sistema global y a continuación usando la integral de convolución para calcular la salida. ) Utilizando el resultado del apartado (a) junto con las propiedades de la convolución para calcular y(t) sin necesidad de evaluar la integral de convolución.. (Septiembre 95) Considere dos señales de duración limitada. La primera de ellas, x (t), comienza en t y acaba en t. La segunda, x (t), comienza en t y acaba en t 4. Si se convolucionan estas dos señales, se obtiene una tercera x (t) = x (t) x (t), también de duración limitada, que comienza en t 5 y acaba en t 6. a) Determine los valores de t 5 y t 6 en función de t, t, t y t 4. b) Haga la convolución entre las siguientes dos señales y compruebe el resultado del apartado anterior. x (t) x (t) 4 Figura 7:. Los siguientes pares entrada-salida han sido observados durante la operación de un sistema invariante en el tiempo x (t) = δ(t) + δ(t ) x (t) = δ(t ) x (t) = δ(t 4) y (t) = δ(t ) + δ(t ) y (t) = δ(t ) + δ(t ) y (t) = δ(t + ) + δ(t) + δ(t ) Se puede obtener alguna conclusión acerca de la linealidad del sistema?. Los siguientes pares entrada-salida han sido observados durante la operación de 5

6 un sistema lineal x (t) = δ(t + ) + δ(t) + δ(t ) x (t) = δ(t + ) δ(t) δ(t ) x (t) = δ(t) + δ(t ) y (t) = δ(t + ) + δ(t) δ(t ) + δ(t ) y (t) = δ(t + ) + δ(t) + δ(t ) y (t) = δ(t) + δ(t ) + δ(t ) Se puede obtener alguna conclusión acerca de la invarianza en el tiempo del sistema? 4. Si y(t) = x(t) h(t) demuestre que y(t)dt = x(t)dt h(t)dt () 5. (Marzo 96) Considere un sistema LI que cuando la entrada es x (t) = δ(t) δ(t ) la salida es y (t) = e t u(t) y cuando la entrada es x (t) = δ(t) + δ(t ) la salida es y (t) = e t u(t). a) Calcule x (t) x (t). b) Calcule la respuesta al impulso del sistema. c) Calcule la respuesta en frecuencia del sistema. 6. Considere las señales x(t) = u(t ) u(t 5) y h(t) = e t u(t). a) Calcule y(t) = x(t) h(t) b) Calcule g(t) = (dx(t)/dt) h(t) c) Cual es la relación que existe entre g(t) y y(t)? 7. Demuestre que la operación de convolución es conmutativa, i.e., x(t) h(t) = h(t) x(t) 8. La respuesta al escalón s(t) de un sistema LI es la salida que se obtiene cuando la entrada es un escalón unidad. Demuestre que la respuesta al impulso h(t) es la derivada de la respuesta al escaln, i.e., h(t) = ds(t) dt 6

7 Soluciones. a) y(t) = x(t) x(t ) b) No lineal. c) Invariante. d) d). a) y(t) = t u(t) t < t < t < t b) y(t) = t t < t < t t + t t t < t < t + t t > t + t c) y(t) = ln(t)u(t ) d) y(t) = b a (e at e bt )u(t) e) y(t) = te at u(t) f ) y(t) = tk+ k+ u(t) g) y(t) = x(t + ) + x(t ) g) 7

8 5 4 h) h). a) y(t) = ( e (t ) )u(t ) t < b) y(t) = (e e t ) < t < e (t ) e e t < t < 6 e (t ) e (t 5) e t t > 6 t < 4. y(t) = ( a e at ) < t < a (e a(t ) e at ) t > y(t) [En la gráfica, =;a=] 5. Lineal, no invariante. a) [=] a) [=] 6. a) a) [=] 8

9 b) [=] b) b) [=] c) c) 7. a) Estable, causal. b) No estable, no causal. c) Estable, no causal. d) Estable, no causal. e) Estable, no causal. f ) Estable, causal. g) No estable, causal. 8. a) h(t) = u( t) No estable, no causal. b) h(t) = e t u(t ) No estable, causal. {, n c) h(n) = Estable, no causal. resto d) h(n) = (n+) u(n + ) Estable, no causal. 9. a) y(t t ) b) y(t t ) c) y(t t ) d) δ(t ) t <. a) y a (t) = e (t ) < t < 4 e (t 4) e (t ) t > 4 9

10 b) ) h(t) = e (t ) u(t ) e (t ) u(t ), de modo que t < e (t ) < t < y(t) = e (t ) e (t ) < t < 4 e (t 4) + e (t ) e (t ) 4 < t < 5 e (t 4) e (t ) + e (t ) e (t 5) t > 5 ) y(t) = y a (t) y a (t ). a) t 5 = t + t y t 6 = t + t 4 t < t < t < 4 b) y(t) = 4 < t < 6 t < t < 7 t >. No es lineal.. No es invariante. 7. a) x (t) x (t) =δ(t) δ(t ) b) h(t) = (e t + e t )u(t) c) H(jw) = ( +jw + 8. a) y(t) = +jw ) t < e (t ) < t < 5 e (t 5) e (t ) t > 5 b) g(t) = e (t ) u(t ) e (t 5) u(t 5) c) g(t) = y(t) dt

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