Circuitos eléctricos paralelos RLC en Corriente Alterna

Transcripción

1 Circuios elécricos paralelos RLC en Corriene Alerna Beelu Gonzalo Esudiane de Ingeniería en Sisemas de Compuación Universidad Nacional del Sur, Avda. Alem 253, B8000CPB Bahía Blanca, Argenina Sepiembre 20 Resumen: En ese informe se esudiará una aplicación sobre uno de los emas de la maeria Funciones de Variable Compleja. Dicho ema es Transformada de Laplace y veremos como es usada cuando se quieren resolver circuios del esilo RLC en paralelo. Palabras clave: Circuios RCL, Laplace, corriene alerna. I. INTRODUCCIÓN El análisis de la corriene alerna (CA) es una rama de la elecrónica que permie el análisis del funcionamieno de los circuios RLC paralelos que esán compuesos de resisencias, condensadores e inducores con una fuene de corriene alerna, en cuano a su análisis nos daremos cuena que endremos que operar con números complejos y con ecuaciones diferenciales donde se usará la ransformada de Laplace para luego poder resolver dicho circuio. Resula imporane, anes de adenrarse en la resolución del circuio RLC en paralelo que se encuenra en la sección IV, dar algunas definiciones y enunciar algunas propiedades, con el objeivo de faciliar la comprensión de concepos, que serán mencionados en los aparados II y III. II. EXPLICACIÓN DE LOS ELEMENTOS DEL CIRCUITO RLC Un circuio RLC es un circuio en el que solo hay resisencias, bobinas y condensadores, esos res elemenos ienen, por ecuaciones caracerísicas una relación lineal enre ensión e inensidad. Ahora se deallara esos res elemenos que componen el circuio. A. Resisencia En corriene alerna la oposición al paso de la corriene elécrica iene dos componenes, una real y ora imaginaria. Dicha oposición ya no se llama resisencia sino impedancia Z (La impedancia es una magniud que esablece la relación (cociene) enre la ensión y la inensidad de corriene). La impedancia se expresa mediane un número complejo, por ejemplo de la forma a jb, siendo a la pare real del número complejo y b su pare imaginaria. Pues bien, una resisencia presena una impedancia que sólo iene componene real, ya que la su componene imaginaria es de valor cero. Tendremos enonces que en el caso que nos ocupa la impedancia oal del circuio será igual al valor que presene la resisencia R, ya que no exise ningún oro elemeno en el circuio. Así pues: Z = R j0 Una resisencia ideal es un elemeno pasivo que disipa energía en forma de calor según la ley de Joule. También esablece una relación de proporcionalidad enre la inensidad de corriene que la araviesa y la ensión medible enre sus exremos, relación conocida como ley de Ohm (esablece que la inensidad que

2 circula por un conducor, circuio o resisencia, es inversamene proporcional a la resisencia (R) y direcamene proporcional a la ensión (E)): u () = i () R Donde i() es la corriene elécrica que araviesa la resisencia de valor R y u() es la diferencia de poencial que se origina. En general, una resisencia real podrá ener diferene comporamieno en función del ipo de corriene que circule por ella. B. Condensador El condensador presenará una oposición al paso de la corriene alerna. Dicha oposición se llama reacancia capaciiva. Cuál es la nauraleza de la reacancia capaciiva? Ese ipo de oposición al paso de la corriene elécrica es de carácer reacivo, enendiendo al cosa como una "reacción" que inroduce el condensador cuando la ensión que se le aplica iende a variar lenamene o nada. Cuando el condensador esá oalmene descargado se compora como un corocircuio. Cuando esá oalmene cargado como una resisencia de valor infinio. Para valores inermedios de carga se comporará como una resisencia de valor inermedio, limiando la corriene a un deerminado valor. Como en corriene alerna el condensador esá coninuamene cargándose y descargándose, mienras más lenamene varíe la ensión (frecuencia baja) más iempo esará el condensador en esado de casi carga que en esado de casi descarga, con lo que presenará de media una oposición ala al paso de la corriene. Para variaciones rápidas de la ensión (frecuencias alas) el efeco será el conrario y por ano presenará una oposición baja al paso de la corriene. Podemos decir, por ano, que la nauraleza de ese ipo de oposición es de carácer elecrosáico: la carga almacenada en el condensador se opone a que ése siga cargándose y esa oposición será mayor cuano más carga acumule el condensador. El circuio presenará una impedancia al paso de la corriene alerna dada por: Z = 0 jxc El condensador ideal puede definirse a parir de la siguiene ecuación diferencial: du() i () = C d donde C es la capacidad, u() es la función diferencia de poencial aplicada a sus erminales e i() la corriene resulane que circula. Comporamieno en corriene alerna: En CA, un condensador ideal ofrece una resisencia al paso de la corriene que recibe el nombre de reacancia capaciiva, X C, cuyo valor viene dado por la inversa del produco de la pulsación (ω) por la capacidad, C: C. Bobina X C = jwc La bobina presenará oposición al paso de la corriene elécrica y ésa será reaciva, de manera similar al caso capaciivo. Sin embargo, la nauraleza de la reacancia induciva no es de carácer elecrosáico, sino de carácer elecromagnéico. Una bobina inducirá en sus exremos (debido a su auoinducción) una ensión que se opondrá a la ensión que se le aplique, al menos durane unos insanes. Ello provoca que no pueda circular

3 corriene libremene. Cuano mayor sea la velocidad de variación de la ensión aplicada mayor valor endrá la ensión inducida en la bobina y, consecuenemene, menor corriene podrá circular por ella. Así, a mayor frecuencia de la ensión aplicada mayor será la reacancia de la bobina y, a la inversa, a menor frecuencia de la ensión aplicada menor será la reacancia de la bobina. La impedancia que presena la bobina, y por ende el circuio, será la siguiene: Z = 0 jxl Comporamieno en corriene alerna: En corriene alerna, una bobina ideal ofrece una resisencia al paso de la corriene elécrica que recibe el nombre de reacancia induciva, X L, cuyo valor viene dado por el produco de la pulsación (ω=2fπ) por la inducancia, L: X L = Lω Si la pulsación esá en radianes por segundo (rad/s) y la inducancia en henrios (H) la reacancia resulará en ohmios. di() v () = L d III. INTRODUCCIÓN A LA RESOLUCIÓN DE CIRCUITOS RLC PARALELOS Para conocer el funcionamieno de un circuio deberíamos, aplicar las leyes de Kirchhoff, A. La ley de corrienes de Kirchhoff En cualquier nodo, la suma de la corriene que enra en ese nodo es igual a la suma de la corriene que sale. De igual forma, La suma algebraica de odas las corrienes que pasan por el nodo es igual a cero Luego deberíamos resolver un sisema de ecuaciones diferenciales, para deerminar la ensión e inensidad en cada una de las ramas. Como ese proceso se hace exremadamene laborioso a parir de que en un circuio halla más de dos bobinas o condensadores (esaríamos frene a ecuaciones diferenciales de más de segundo orden), lo que se hace en la prácica es escribir las ecuaciones del circuio y después simplificarlas a ravés de la Transformada de Laplace, en la que derivadas e inegrales son sumas y resas con números complejos, se le suele llamar dominio complejo, B. La ransformada de Laplace Una función f() definida para odos los números posiivos 0, es la función F(s), definida por: siempre y cuando la inegral esé definida. Cuando f() no es una función, sino una disribución con una singularidad en 0, la definición es

4 Figura : Circuio RLC en paralelo Para después resolver un sisema de ecuaciones lineales complejo y luego aplicarle la Ani ransformada de Laplace, y finalmene, devolverlo al dominio del iempo. IV. SOLUCIÓN DEL CIRCUITO RLC PARALELOS DE CORRIENTE ALTERNA La fuene de corriene i () de la figura, es la que excia el circuio con corriene alerna. El inducor lleva una corriene inicial i (0 ) 2. En la misma dirección de i 2 (). El volaje inicial del condensador es v c (0 ) con la polaridad opuesa al senido de la corriene i 3 () Por la ley De Kirchhoff sabemos que i () i () 2 i () 3 = i () () Hallamos el equivalene de cada una de esas corrienes, viso en la sección II Para el caso de la resisencia es: i () = Rv () (2) Para el inducor: Para el capacior: i2() = v() L (3) dv() = (4) i3() C d Remplazamos esas (2), (3) y (4) en () dv() C v() Rv() = i () d L (5) Aplicamos la ransformada de Laplace, y el resulado es: i2(0 ) Is () = RVs () Vs () scvs () Cv(0) (6) sl s Arreglamos esa ecuación, de al forma que se pueda ver de forma más clara i2(0 ) V() s = I() s Cv(0) (7) sc R s sl

5 El primer facor de esa ecuación corresponde a la función del sisema, mienras que el segundo facor Iω corresponde a la función de exciación Is () = LI { sen( ω) } =, y las condiciones iniciales. De 2 2 s ω acuerdo a lo anerior, el primer facor es una impedancia que puede ser expresada de la siguiene forma: Zs () = sc R sl (8) O una admiancia cuyo valor es: Y() s = sc R Z() s = sl (9) Los polos de Z(s) o los ceros de Y(s), deerminan el comporamieno ransiorio de la función respuesa V(s). Aniransformando se obiene en el dominio del iempo la función respuesa a la exciación alerna: i2(0 ) Is () Cv(0) v () L { V() s} L s = = (0) Y() s V. CONCLUSIÓN En ese arículo pudimos apreciar como el uso de la ransformada de Laplace nos permie hacer más simple el enconrar una solución cuando se raa de rabajar con circuios RLC en paralelo. Permiiéndonos comprender mucho mejor el comporamieno de ese ipo de circuios REFERENCIAS [] Wikipedia, La enciclopedia libre,analisis de circuio de corriene alerna [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/análisis_de_circuios_de_corriene_alerna#circuio_serie_rlc, [Acceso el 29 de agoso de 20]. [2] Wikipedia, La enciclopedia libre, Inducor [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/inducor, [acceso el 29 de agoso de 20]. [3] Wikipedia, La enciclopedia libre, Condensador [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/condensador_el%c3%a9crico, [acceso el 29 de agoso de 20]. [4] Wikipedia, La enciclopedia libre, Resisor [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/resisor, [acceso el 29 de agoso de 20]. [5] Terra, Circuios RLC en corriene alerna, [Inerne], disponible en hp:// [acceso el 29 de agoso de 20]. [6] Wikipedia, La enciclopedia libre, Leyes de Kirchhoff [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/leyes_de_kirchoff, [acceso el 29 de agoso de 20]. [7] Wikipedia, La enciclopedia libre, Leyes de Kirchhoff [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/transformada_de_laplace, [acceso el 29 de agoso de 20]. [8] Wikipedia, La enciclopedia libre, Leyes de Kirchhoff [inerne], disponible en hp://es.wikipedia.org/wiki/impedancia, [acceso el 29 de agoso de 20]. [9] Transformed de Laplace [inerne], disponible en hp://eicei.ripod.com/siebuilderconen/siebuilderfiles/laplace.pdf, [acceso el 29 de agoso de 20].