Integral de línea de campos escalares.

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1 Integrl de líne de cmpos esclres. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv prmetrizd por σ : [, b] R n de modo que i) σ (1) [, b]. ii) σ([, b]) D(f). iii) f σ es continu en [, b]. Se define l integrl de f lo lrgo de como f = b (f σ)(t) σ (t) dt. Si f σ es continu trozos o bien σ es de clse (1) trozos, l integrl se define como sum de ls integrles en cd intervlo de continuidd. Se puede demostrr (veremos más delnte el cso generl) que el vlor de l integrl no depende de l prmetrizción que define l curv. Ejemplo. Si es l hélice prmetrizd por σ(t) = (cos t, sen t, t) (t [0, 2π]) y f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, entonces f = 2π 0 (cos 2 t + sen 2 t + t 2 ) 2 dt = 2π 0 2(1 + t 2 ) dt = 2π 2 3 (3 + 4π 2 ). Interpretción geométric. Si P = {t 0, t 1,..., t m } es un prtición de [, b] y s i = t i t i 1 σ (t) dt = σ (ξ i ) (t i t i 1 ) represent l longitud de l curv en el intervlo [t i 1, t i ], entonces f = lím m m i=1 f(u i ) s i = lím m m f(σ(ξ i )) σ i(ξ i ) (t i t i 1 ). Integrl de líne de cmpos vectoriles. Sen F : R n R n un cmpo de fuerzs y l tryectori descrit por un prtícul bjo l cción de F, prmetrizd por σ : [, b] R n. Si l tryectori es un rect dd por el vector d y F es un fuerz constnte, el trbjo relizdo por l fuerz lo lrgo de l tryectori es F d. i=1 1

2 Si l tryectori es un curv, dividimos [, b] en subintervlos [t 0, t 1 ], [t 1, t 2 ],..., [t m 1, t m ] y llmmos s i = σ(t i ) σ(t i 1 ) y F i 1 l fuerz plicd en σ(t i 1 ). Un vlor proximdo del trbjo lo lrgo de l curv σ([t i 1, t i ]) es W i = F i 1 s i F i 1 σ (t i 1 ) t i. El vlor totl del trbjo se proxim medinte l sum W = m W i i=1 m F i 1 σ (t i 1 ) t i. i=1 Tomndo límites, podemos suponer que W = b F (σ(t)) σ (t) dt. Definición. Si F : R n R n es un cmpo vectoril continuo sobre σ([, b]) y σ (1) [, b], definimos l integrl de líne de F lo lrgo de como F = b F (σ(t)) σ (t) dt. L propi definición indic que el vlor de l integrl depende, no sólo del cmpo vectoril, sino de l prmetrizción que define l curv. Vemos que l prmetrizción sólo fect l signo de l integrl. mbio de prámetro en l integrl de líne. Si ϕ y ψ son dos prmetrizciones regulres y equivlentes, podemos distinguir dos csos: - Si ϕ y ψ conservn l orientción, entonces ϕ F = ψ F. - Si ϕ y ψ invierten l orientción, entonces ϕ F = ψ F. En el primer cso, sbemos que existe λ : [, b] [α, β] biyectiv y creciente (es decir λ() = α, y λ(b) = β), tl que ψ λ = ϕ. Entonces ϕ F = = b β α F (ϕ(t)) ϕ (t) dt = b F (ψ(u)) ψ (u) du = F (ψ(λ(t))) ψ (λ(t)) λ (t) dt En el segundo cso, existe λ : [, b] [α, β] biyectiv y decreciente, tl que ψ λ = ϕ. ψ F. 2

3 Entonces ϕ F = = b α b F (ϕ(t)) ϕ (t) dt = F (ψ(λ(t))) ψ (λ(t)) λ (t) dt F (ψ(u)) ψ (u) du = F. β ψ Relción entre l integrl de líne de cmpos esclres y l de cmpos vectoriles. Si llmmos T (t) l vector unitrio tngente l tryectori, T (t) = σ (t)/ σ (t), result b σ (t) b F = F (σ(t)) σ (t) σ (t) dt = F (σ(t)) T (t) σ (t) dt. σ Deducimos sí que l integrl de líne del cmpo vectoril F se reduce l integrl de líne de l componente tngencil de F lo lrgo de σ. Notción. Si F (F 1,..., F n ) es un cmpo vectoril, escribiremos F = F 1 dx F n dx n. L expresión n i=1 F i dx i se llm form diferencil. Ejemplos. lculr l integrl del cmpo vectoril F lo lrgo de l curv indicd. i) F (x, y, z) = (x, y, z), σ(t) = (cos t, sen t, t), 0 t 2π. ii) F (x, y, z) = (x 2, xy, 1), σ(t) = (t, t 2, 1), 0 t 1. iii) F (x, y, z) = (cos z, e x, e y ), σ(t) = (1, t, e t ), 0 t 2. iv) F (x, y, z) = (x 3, y, z), σ es l circunferenci situd en el plno Y Z de rdio y centro el origen. Teorem fundmentl de l integrl de líne. Sen f : R n R un cmpo esclr y un curv regulr prmetrizd por σ : [, b] R n tl que f (1) (σ[, b]). Entonces f ds = f(σ(b)) f(σ()). 3

4 Demostrción. Definimos l función uxilir g(t) = f(σ(t)), t [, b]. Entonces, por l regl de l cden, g (t) = f(σ(t)) σ (t), de donde b b f ds = f(σ(t)) σ (t) dt = g (t) dt = g(b) g() = f(σ(b)) f(σ()). Observciones. 1. El resultdo sigue siendo válido si l curv es regulr trozos (bst descomponer l integrl en sum de integrles sobre cd tryectori regulr). 2. Si es un curv cerrd, f ds = 0 (pues los puntos inicil y finl de l tryectori coinciden). Ejemplos. 1. Si es l hélice prmetrizd por σ(t) = (cos t, sen t, t), t [0, 2π], y F (x, y, z) = (x, y, z), entonces F = f, con f(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2, de donde 2 F ds = f(σ(2π)) f(σ(0)) = f(1, 0, 2π) f(1, 0, 0) = 2π Si es l circunferenci x 2 + y 2 = r 2, z = 1 y F (x, y, z) = (2x, 3y 2, 4z 3 ), entonces σ(t) = (r cos t, r sen t, 1), t [0, 2π], y F (x, y, z) = f, donde f(x, y, z) = x 2 + y 3 + z 4. Así pues, F ds = f(σ(2π)) f(σ(0)) = f(r, 0, 1) f(r, 0, 1) = Si queremos clculr el trbjo relizdo por l fuerz F ( x ) = G mm x l x 3 mover un prtícul de ms m desde el punto (1, 2, 2) hst el punto (0, 5, 0) lo lrgo de culquier curv suve trozos, bst observr que F = f, donde f( x ) = G mm, de modo que x F ds = f(0, 5, 0) f(1, 2, 2) = G mm G mm

5 Independenci de l tryectori. Medinte los siguientes resultdos, vmos estblecer ls condiciones que se requieren pr que un integrl de líne se independiente de l tryectori. ondición necesri y suficiente pr que l integrl se independiente de l tryectori. Si F : R n R n un función continu en un dominio D, l integrl F ds es independiente de l tryectori si y sólo si F ds = 0 pr tod tryectori cerrd en D. Pr poder plicr este resultdo, necesitmos responder l siguiente pregunt: Qué funciones tienen integrl independiente de l tryectori? Se D un bierto conexo y representmos por l fronter de D. Si F es continu en D y F ds es independiente de l tryectori, entonces F es conservtivo, es decir F es el grdiente de lgún cmpo esclr. Bst pr ello definir l función f(x, y, z) = F ds, donde es culquier curv contenid en D que v desde un punto fijo (x 0, y 0, z 0 ) hst (x, y, z), y comprobr que f = F. L form más sencill de elegir dich curv es seguir l tryectori formd por los tres segmentos de rect que unen los puntos (x 0, y 0, z 0 ), (x, y 0, z 0 ), (x, y, z 0 ), (x, y, z), pues dichos segmentos llevn direcciones prlels los ejes coordendos. En l práctic es posible clculr el potencil de un cmpo conservtivo medinte este método. Ejemplo. Sen F (x, y, z) = (y, x, 0) y l curv prmetrizd por σ(t) = (t 4 /4, sen 3 tπ/2, 0), t [0, 1]. Pr clculr F, bst observr que F es un cmpo conservtivo y que f(x, y, z) = xy es el potencil de F. Por tnto, sbiendo que σ(0) = (0, 0, 0) y σ(1) = (1/4, 1, 0), result: F = f = f(1/4, 1, 0) f(0, 0, 0) = 1/4. El resultdo nterior no especific qué cmpos son conservtivos pues, en generl, no es sencillo comprobr l independenci de l integrl respecto l tryectori. uándo un cmpo vectoril es conservtivo? ondición necesri: Si F = (F 1, F 2, F 3 ) es un cmpo conservtivo de clse (1) 5

6 en un dominio D, entonces F 1 y = F 2 x, F 1 z = F 3 x, F 2 z = F 3 y. (Observemos que est condición equivle decir que rot F = 0.) ondición suficiente: Si D es un región biert simplemente conex y F un cmpo vectoril de clse (1) en D tl que rot F = 0, entonces F es conservtivo. [En el cso de R 2, este resultdo es consecuenci del teorem de Green.] Ejemplo (ley de conservción de l energí). Se F un cmpo de fuerzs continuo que se plic un prtícul de ms m lo lrgo de un tryectori dd por σ : [, b] R 3, siendo σ() = A y σ(b) = B los puntos inicil y finl de l tryectori. Por l segund ley del movimiento de Newton, F (σ(t)) = m σ (t). El trbjo ejercido vendrá ddo por l fórmul W = F ds = b F (σ(t)) σ (t) dt = m 2 b d dt ( σ (t) 2 ) dt = m 2 ( σ (b) 2 σ () 2 ) = m 2 ( v(b) 2 v() 2 ) = E(B) E(A), lo que represent precismente l vrición de l energí cinétic de l prtícul. En prticulr, si F es un cmpo conservtivo, F = f o bien F = V, donde V es l energí potencil del objeto, entonces W = F ds = V ds = V (σ(b)) + V (σ()) = V (A) V (B). Igulndo mbos resultdos, obtenemos l ley de conservción de l energí E(B) E(A) = V (A) V (B), o bien E(B) + V (B) = E(A) + V (A) (lo que justific el nombre de cmpo conservtivo l que verific est propiedd). Teorem de Green. Un resultdo fundmentl del cálculo vectoril es el teorem de Green, que permite expresr un integrl doble sobre un región pln D como un integrl de líne sobre l curv fronter de dich región. Su primer mnifestción corresponde un 6

7 trbjo sobre electricidd y mgnetismo que publicó el mtemático y físico inglés G. Green en 1828, unque de form independiente fue descubierto por el mtemático ruso Ostrogrdski. El teorem firm que, si F = (P, Q) : R 2 R 2 es un cmpo vectoril de clse (1) en un bierto A R 2 y es un curv cerrd simple suve trozos contenid en A y que recorre en sentido ntihorrio l fronter de l región D, entonces D ( Q x P ) dxdy = y P (x, y) dx + Q(x, y) dy. Est fórmul permite tmbién clculr áres de regiones plns medinte un integrl de líne. Pr ello podemos utilizr culquier de ls fórmuls siguientes: (D) = x dy = y dx = 1 x dy y dx, 2 pues en los tres csos se verific que Q x P y = 1. El teorem de Green tmbién es válido cundo l curv no es simple, por ejemplo cundo l región D no se simplemente conex (es decir que teng lgún gujero en su interior). Ejemplos. 1. lculr (3y esen x ) dx + (7x + y 4 + 1) dy, donde es l circunferenci x 2 + y 2 = 9. Al plicr el teorem de Green, si llmmos D l región x 2 +y 2 9, l integrl se clcul fácilmente por (7 3) dxdy = 4(D) = 4π 3 2 = 36π. D 2. lculr el áre de un elipse x2 + y2 2 b = 1. 2 Prmetrizmos l elipse medinte l función σ(t) = ( cos t, b sen t), con 0 t 2π. Así, 2π áre = x dy = cos t b cos t dt = πb. 0 y 3. lculr x 2 + y dx + x dy, donde es culquier tryectori cerrd 2 x 2 + y2 simple y orientd positivmente, que se fronter de un región D que contiene 7

8 l origen. En este cso l función integrndo no es continu en el origen, de modo que definimos D l región interior pero exterior, que es l circunferenci contenid en D de centro el origen y rdio ε. Sobre l función sí es continu, por lo que se puede plicr el teorem de Green. Teniendo en cuent demás que Q x P = 0, tenemos: y P dx + Q dy = ( Q D x P ) dxdy = 0. y Por otr prte, P dx + Q dy = P dx + Q dy P dx + Q dy = 0, es decir P dx + Q dy = P dx + Q dy y est últim integrl se puede clculr prmetrizndo l circunferenci por σ(t) = (ε cos t, ε sen t). Así: P dx + Q dy = 2π 0 (sen 2 t + cos 2 t) dt = 2π. Form vectoril del teorem de Green. Hciendo uso del operdor rotcionl, l fórmul dd en el teorem de Green se puede escribir como F ds = rot F k dxdy. D Ahor bien, por definición, l integrl de líne corresponde l integrl de l componente tngencil de F lo lrgo de l curv. Un fórmul similr que involucr l componente norml de F lo lrgo de es l siguiente: F n ds = div F dxdy ( n represent el vector unitrio norml exterior l curv), fórmul que recibe el nombre de teorem de l divergenci en el plno. D Ejercicios. 1) Si es el perímetro del cudrdo unidd, recorrido en sentido ntihorrio, clculr x2 dx + xy dy. 8

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