Tema 1. Sección 2. Incompatibilidad de la mecánica de Newton con el electromagnetismo.

Transcripción

1 Tema. Seión 2. Inompatibilidad de la meánia de Newton on el eletromagnetismo. Manuel Gutiérrez. Departamento de Álgebra, Geometría y Topología. Universidad de Málaga Málaga. Spain. Abril de 200. Pensando en el prinipio de relatividad omo un prinipio que debe tener un ierto signifiado universal, debería poder extenderse a las leyes de la Físia y no sólo a las de la meánia. Sin embargo las euaiones del eletromagnetismo son inompatibles on las transformaiones de Galileo. El eletromagnetismo, estableido por J. C. Maxwell en 864, se rige por las euaiones de Maxwell que odifian ómo, en el vaío, las argas elétrias en movimiento generan un ampo elétrio E : R R 3 R 3 que depende del tiempo y de las oordenadas espaiales, y otro magnétio B : R R 3 R 3, y también ómo evoluiona en el espaio una arga elétria en presenia de los ampos E y B. De dihas euaiones destaamos que ada una de las omponentes de E y de B en ualquier referenia inerial satisfae la euaión de ondas 2 u 2 t u x u x u 2 x 2 = 0 3 siendo una onstante independiente del sistema de referenia, que se obtiene de otras onstantes fundamentales del eletromagnetismo, y uyo valor es aproximadamente 300,000 km sg. Se interpreta omo la veloidad de la luz en el vaío. Para verlo, basta analizar la euaión en una dimensión espaial 2 2 u t u x 2 = 0. Sea f : R R una funión on derivada segunda ontínua, y definimos h(t, x) = x t, entones la funión u(t, x) = f h(t, x) es una soluión de la euaión. a funión f representa la forma de una onda y la funión u resulta ser la onda anterior desplazándose por el eje x a veloidad. En efeto, nótese que la funión u es onstante a lo largo ada línea reta x = t+a. Esta onda en movimiento representa una partíula luz y por eso a la onstante se le llama veloidad de la luz en el vaío.

2 2 Hay un heho relevante nuevo, y es que la veloidad de la luz además de ser finita, es onstante y además la misma onstante en todos los sistemas ineriales, violando la ley de adiión de veloidades de la meánia de Newton. El desubrimiento de la naturaleza ondular de la luz hizo que, omo toda teoría ondulatoria, se pensara en el fluido éter sobre el que la luz se propaga. Se propuso que la euaión de ondas sólo es válida en una familia de referenias ineriales en reposo respeto al éter, a pesar de que este argumento va en ontra de la universalidad del prinipio de relatividad. Mihelson y Morley hiieron un experimento en 887 para determinar la veloidad de la tierra on respeto al éter pues se pensaba que en algún momento tendrían veloidades relativas muy distintas en su movimiento orbital, de lo ontrario el éter estaría siguiendo a la tierra, algo que nadie estaba dispuesto a admitir. Pero la onlusión del experimento fué negativo, es deir, no observaron ninguna diferenia en el valor de la veloidad de la luz. El experimento onsistía en lo siguiente. En un dispositivo on dos brazos perpendiulares de longitud se pone una fuente de luz monoromátia a la izquierda, y un semiespejo en el origen O inlinado 45 o. Se supone iniialmente que el éter se desplaza de dereha a izquierda paralelo al eje horizontal on veloidad v. Una parte de los rayos de luz siguen el trayeto desde la fuente

3 3 F OAOC, mientras que otra parte sigue el trayeto F OBOC, para llegar a la ámara de fotos en C. Un rayo de luz desde A hasta O emplea un tiempo t = v y desde O hasta A emplea otro tiempo t 2 =. En total el tiempo que tarda en ir y volver por +v v + +v = 2 v = 2 el brazo A es T = t + t 2 = a veloidad u de otro rayo de luz que va de O a B se desompone en una veloidad w de norma más la veloidad de arrastre del éter v. Esto se puede pensar omo un baro que va a veloidad sobre el agua (en nuestro aso el éter) y ruza un rio perpendiularmente uyo agua lleva veloidad v. 2 ). Por tanto el tiempo que tarda en ir de O a B es s = ( 2 v 2 ) 2. Como la situaión es simétria para el trayeto de B a O, el tiempo que tarda en la vuelta es s 2 =, y el tiempo total empleado en la ida y vuelta es ( 2 v 2 ) 2 S = s + s 2 = = ( 2 ) 2 2 ) 2. Si haemos el oiente, se tiene T S = 2 ) 2 ) 2 = 2 ) 2 >. Esta diferenia de tiempos se tradue en que los rayos llegan a la ámara de fotos on un desfase en sus longitudes de ondas. El aparato tiene suspendidos sus brazos en una pisina de merurio, on lo que se puede repetir el experimento interambiando los papeles de los brazos A y B. Mihelson y Morley habían alulado que la diferenia de los patrones de las longitudes de ondas en las dos posiiones iniial y final sería medible en la ámara fotográfia. Sin embargo no se observó ninguna diferenia. Entre los intentos de expliar el experimento de Mihelson-Morley manteniendo la idea de éter el más importante es el propuesto por Fitzgerald en 892. Según él, todo uerpo moviéndose por el éter on veloidad v se ontrae on un fator ) 2 2 sólo en la direión del movimiento relativo on el éter. Así, en el experimento de Mihelson-Morley, la barra A se aorta en ese fator, y por tanto el tiempo total de un rayo de luz en ir y volver por él es T = 2 ) 2 ) 2 = 2 ) 2

4 4 de modo que T S = 2 ) 2 2 ) 2 lo que expliaría el resultado del experimento. En 895 H. A. orentz presentó una teoría de la materia según la ual la materia está ompuesta de argas elétrias que generan ampos eletromagnétios. Según él, estos ampos sufren el efeto de su paso por el éter de tal forma que ourre la ontraión propuesta por Fitzgerald. Esta idea fué apoyada por Poinaré, pero surgía un nuevo problema: Si las longitudes dependen de la veloidad relativa on el éter y éste es indetetable, qué sentido tiene medir longitudes. Estaba laro que la euaión de ondas no podía ser la misma en todas las referenias ineriales tal omo se entiende en la meánia de Newton, o diho de otra forma, no es invariante por el grupo de Galileo. Trabajando on una dimensión espaial, si R(t) y S(s) son dos referenia ineriales en posiión estandar on veloidad relativa v sabemos que sus oordenadas se relaionan por la transformaión de Galileo G : R 2 R 2 dada por ( ) ( ) ( ) t 0 s = x v y es deir, G(s, y) = (s, vs + y). Si la funión u(t, x) = f(x t) es una soluión de la euaión de ondas en la referenia R, en la otra referenia S la funión se esribe w(s, y) = u G(s, y) = f((v )s + y), y derivando se tiene de modo que 2 s 2 = s = f (v ) y = f s 2 = f (v ) 2 y 2 = f ) + 2 w y 2 = f (v )2 ( 2 + y por tanto no satisfae la euaión en general. orentz estaba interesado en enontrar unas transformaiones lineales distintas de las de Galileo que dejaran invariante a la euaión de ondas. Si se modifia la transformaión de Galileo por : R 2 R 2 definida por ( ) ( ) ( ) t v = γ s 2 x v y

5 5 siendo γ =, esto es, (s, y) = ( γ ( s + v y ), γ(vs + y) ), entones w(s, y) = 2 2 u (s, y) = f ( γ (v ) s + γ ( ) ) v y, y derivando luego s = f γ(v ) ( y = f γ v ) s 2 = f γ 2 (v ) 2 ( y 2 = f γ 2 v ) 2 2 s w y 2 = 2 f γ 2 (v ) 2 + f γ 2 ( ) 2 v = 0 por tanto es de nuevo una soluión de la euaión. Es importante resaltar que a orentz esto le pareió un truo matemátio sin ningún sentido físio pues obsérvese que la transformaión no es de Galileo, en partiular t = γ(s + v 2 y) no respeta el tiempo absoluto. as transformaiones anteriores se llaman transformaiones de orentz y forman un grupo llamado Grupo de orentz. a situaión se resume en que no se podía mantener la universalidad del prinipio de relatividad para todas las leyes de la Físia, junto on la invariania de las leyes de la meánia por el grupo de Galileo (que signifia que dihas leyes son las mismas en todas las referenias ineriales) y la invariania del eletromagnetismo por el grupo de orentz (que signifia que sus leyes son las mismas en una familia extraña de sistemas de referenia que no tienen sentido físio). Einstein onfiaba plenamente en el eletromagnetismo de Maxwell al que onsideraba extremadamente elegante. Además reía que la introduión del éter estropeaba la teoría. Por otra parte pensaba que debía mantenerse la universalidad del prinipio de relatividad, de modo que se propuso revisar los fundamentos de la meánia de Newton dando proedimientos operativos para alarar el proeso de medir, y para ello respetó los siguientes prinipios.. Prinipio de relatividad. as leyes de la Físia son las mismas en todas las referenias ineriales. 2. Constania de la veloidad de la luz. a luz sigue una trayetoria reta on veloidad onstante y finita en ualquier referenia inerial. Con la primera hipótesis eleva la relatividad de Galileo a la ategoría de prinipio universal pues sustituye las leyes de la Meánia por las de la Físia. Con la segunda rehaza la existenia del éter y otorga validez a las euaiones de Maxwell en todas las referenias ineriales.

6 6 Con todo esto, Einstein onstruye la relatividad espeial obteniendo que la noión de simultaneidad es relativa y que el grupo que relaiona las referenias ineriales no es el de Galileo sino el de orentz, onluyendo ahora que ambas teorías son invariantes por el mismo grupo. Aunque aparentemente esto destruye la meánia de Newton, en realidad las diferenias sólo se manifiestan a veloidades omparables a la de la luz. En ambio, uando los uerpos que observamos se mueven on veloidades bajas, omo ourre en la vida otidiana, se reprodue muy aproximadamente la meánia de Newton, lo que explia porqué nuestra intuiión es más próxima a las ideas de Newton. Por otra parte, Minkowski (que fué profesor de Einstein) observó que, normalizando a =, el grupo de orentz atúa sobre R 4 omo el grupo de las isometrías lineales de la métria uya matriz en la base anónia es η = Siguiendo las ideas de Felix Klein, este grupo da lugar a la Geometría de orentz, uyo objeto fundamental es la métria anterior llamada métria de Minkowski. Con esto se logró geometrizar la relatividad espeial permitiendo adoptar nuevos puntos de vista. Por ejemplo, ahora las referenias ineriales están formadas por un punto y una base ortonormal para la métria de Minkowski, reuperando la elegania perdida al pasar de tres a uatro dimensiones on la meánia de Newton. Pero más importante aún es que esto supuso el primer paso para inorporar la gravitaión en un esquema neesariamente más amplio donde la geometría diferenial aabaría adquiriendo el protagonismo, en espeial el análisis tensorial en variedades y la teoría de onexiones.