Probabilidad Condicional

Transcripción

1 Probabilidad Condicional Independencia condicional Como hemos dicho, las probabilidades condicionales tienen las mismas propiedades que las probabilidades no condicionales. Un ejemplo más es el siguiente: Se dice que los eventos son condicionalmente independientes dado B, si para cada subcolección de esos eventos se tiene que

2 Teorema de Bayes Si se conoce Pr(A B i ) para cada i, el teorema de Bayes proporciona una fórmula útil para calcular las probabilidades condicionales de los B i eventos dado A.

3 Teorema de Bayes Sea B i,...,b k los eventos que forman una partición del espacio S tal que Pr(B i )>0 para j=1,2,...,k y sea A un evento tal que Pr(A) >0. Entonces para i=1,...,k, tenemos que

4 Teorema de Bayes Suponga que el ministerio de sanidad está ofreciendo hacer un test gratis para una cierta enfermedad. El test tiene una fiabilidad del 90%. Por otro lado, una colección de datos indican que la posibilidad de tener esa enfermedad es de 1 entre Como el test es gratis, no duele y es rápido, decidimos hacer el test. Cuál es la probabilidad de tener la enfermedad después de saber que el resultado del test fue positivo?

5 Teorema de Bayes Se tienen 3 diferentes máquinas M 1 M 2 M 3 con las que se hace un producto. Los productos fabricados se guardan en un almacén y se sabe que el 20% de esos productos fueron hechos con la máquina M 1, 30% con la M 2 y 50% con M 3. También se sabe que el 1% de los productos hechos con la máquina M 1 son defectuosos, mientras que con M 2, 2% son defectuosos y con M 3, 3% de los productos son defectuosos.

6 Teorema de Bayes Pregunta: Si se selecciona aleatoriamente un producto del almacén y resulta que éste es defectuoso, cuál es la probabilidad de que dicho producto fuese producido por M 2?

7 Probabilidad Condicional Teorema de Bayes para probabilidades condicionales:

8 Definición: Sea S el espacio muestral de un experimento. Una función real definida sobre el espacio S es una variable aleatoria. Ejemplo: Se lanza una moneda 5 veces. Sea X la función (real) que cuenta el número de veces que sale cara en un posible resultado. Si r ={cara, cara,cruz,cara, cruz} entonces X(r)=3

9 Las variables aleatorias puede ser: - Discretas (número de valores finito o infinito contable) - Continuas (si toma valores en intervalos de la recta real)

10 Cuando se específica una medida de probabilidad sobre el espacio muestral se pueden determinar las probabilidades asociadas con los valores posibles que toma la variable aleatoria X. La colección de todas las probabilidades de X es la distribución de X.

11 Ejemplo: distribución de X: suma de valores obtenidos en el lanzamiento de dos dados

12 Ejemplo: Se lanza una moneda 10 veces y sea X la variable aleatoria que corresponde al número de caras que se obtienen en una secuencia. En este ejemplo, los valores de X son 0,1,2,..,10. Para cada valor de x, la probabilidad Pr(X=x) es la suma de las probabilidades de todos los resultados del evento {X=x}

13 Función de probabilidad y soporte: Si una variable aleatoria X tiene una distribución discreta, la función de probabilidad de X se define como la función f tal que para cada número real x, f(x)=pr(x=x) La cerradura del conjunto {x:f(x) > 0} se le llama soporte de la distribución.

14 Función de probabilidad: Teorema. Si X es una variable aleatoria discreta que toma los valores x 1,x 2,... con probabilidades p 1,p 2,..., respectivamente, la función de probabilidad (pf) asigna probabilidades a todos los posibles valores de X tal que f(x)=pr(x=x)=p i si x=x i f(x)=0 de otra forma Además

15 Función de probabilidad acumulativa: Se define la función de probabilidad acumulativa (cpf) de X, F(x), cuyo valor da la probabilidad que como: Además, con la función de probabilidad acumulativa podemos calcular la probabilidad de que X se encuentre entre los valores

16 Propiedades de la función de probabilidad acumulativa: La función de probabilidad acumulativa, F(x), es una función no decreciente de x y F(x)=1 para

17 Lanzamiento de dos dados Función de distribución o función de probabilidad acumulativa:

18 5 ejemplos de distribuciones discretas: - Distribución de Bernoulli - Distribución uniforme - Distribución binomial - Distribución de Poisson - Distribución geométrica

19 Distribución de Bernoulli: Una variable aleatoria X que toma únicamente 2 valores, digamos 0 y 1, con Pr(X=1)=p, se dice que sigue una distribución de Bernoulli con parámetro p: Pr(X=1)=p y Pr(X=0)=1-p En este caso se puede escribir la función de probabilidad como:

20 Distribución uniforme: Sea a y b números enteros ( ). Suponga que una variable aleatoria es igualmente probable para cada uno de los enteros a,...,b. Se dice entonces que la variable aleatoria X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b.

21 Distribución Uniforme: Teorema. Si X tiene una distribución uniforme sobre los enteros a,...,b,la función de probabilidad de X está dada por

22 Distribución binomial: Esta distribución describe procesos que consisten de un número de intentos independientes con dos posibles resultados. Es usual llamar a los posibles resultados: éxitos y fracasos

23 Distribución binomial: Digamos que tenemos los eventos A y B, con Si la probabilidad de que ocurra un éxito es Pr(A)=p, entonces la probabilidad de un fracaso es Pr(B)=q=1-p Si se realizan n intentos, entonces la variable aleatoria X está dada por: X=número de veces que A ocurre (éxitos). Por lo que X puede tomar los valores 0,1,..., n

24 Si se realizan n intentos y x son éxitos una posible secuencia es:

25 Distribución binomial: La función de probabilidad de que en n intentos x sean éxitos está dada por: Comment: para n=1, tenemos la fp de Bernoulli

26 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Brown Einstein (~1820) (1905)

27 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Caminante aleatorio en 1D: Una partícula salta una distancia l en un tiempo (promedio) Al tiempo t la partícula ha dado saltos

28 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Supongamos que R saltos han sido hacia la derecha y L saltos hacia la izquierda. De este modo n= R + L Ahora supongamos que la partícula dió m saltos más hacia la derecha, es decir, m = R - L

29 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es: de donde:

30 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Usando la distribución binomial encontramos que la función de probabilidad de encontrar a la partícula en m, después de n saltos, es: de donde:

31 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski) Suponiendo que con y utilizando la aproximación: se encuentra que o bien Con coeficiente de difusión D:

32 Movimiento Browniano (enfoque de Einstein- Smoluchowski)

33 Distribución de Poisson: Nos da la probabilidad de obtener un número dado de éxitos, en un número de intentos que no podemos enumerar. a) Tiempo de llegada aleatorias a un sitio b) Ocurrencia de desastres naturales

34 Distribución de Poisson: : promedio de eventos (éxitos) en cierto intervalo (de tiempo, por ejemplo).

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36 La distribución de Poisson puede obtenerse de la distribución binomial considerando los límites: De modo que

37 Ejemplo: Suponga que un estudiante recibe aleatoriamente whatsapps. Si en promedio recibe 10 whatsapps durante la clase de Métodos Matemáticos (50 minutos). Calcule la probabilidad de que en esos 50 minutos reciba 0, 1, 2, y 3 mensajes.

38 Distribución de geométrica (problemas de tiempo de espera) Cuánto tiempo hay que esperar para lograr un primer éxito?

39 Ejemplo: Suponga que un restaurant ofrecerá una comida gratis al primer cliente que llegue que cumpla años ese día. Cuánto tiene que esperar el restaurant para que la primera persona cumpliendo años aparezca? i.e., cuántos clientes visitarán el restaurant antes de que aparezca la primera persona que cumple años?