Valores especiales de la función zeta

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1 Valore epeciale de la función zeta Alexey Behenov de Marzo de 7 La función zeta de Riemann Definición. La función zeta de Riemann etá definida por la erie infinita ζ := n n = Obervación. La erie de arriba e abolutamente convergente para todo C tal que Re >. Demotración. Si = a + i b, tenemo = n a. Podemo uar el criterio integral de convergencia: n n a n e convergente i y olamente i dx <. xa En efecto, tenemo [ x a ] n n a dx = lím = lím xa n a n a. a Ete límite exite preciamente cuando a >. Note que para = e obtiene la erie armónica que e divergente. Demotración Nicolá Oreme, iglo XIV. En la erie ζ = reemplacemo cada término n por el número máximo k n. Se obtiene una erie }{{}}{{}}{{} = = = que e obviamente divergente. Por tanto la erie armónica e también divergente.

2 En PARI/GP:? zeta % = Para > la función ζ e monótonamente decreciente, y e tiene lím ζ = : ζ = Teorema Fórmula del producto de Euler. n n = p primo p. La fórmula de arriba tiene una gran importancia en la teoría de número y fue decubierta por Euler. He aquí la demotración original, reproducida de u artículo Variae obervatione circa erie infinita : Si x = , entonce x = , y ubtraendo e obtiene 3 x =

3 Luego, 4 y 3 4 no da 3 x = x = Depué de aplicar operacione imilare para todo lo número primo, todo lo término excepto el primero e eliminan: = x, de donde e encuentra la erie x: Q.E.D Dejo al lector penar por qué eta demotración e eencialmente correcta. = x = Lo valore ζk El iguiente reultado fue decubierto por Euler: Teorema. Para todo k ζk := + k + 3 k + 4 k + = k+ B k k k! πk. E algo orprendente: lo número de Bernoulli urgen del etudio de la uma de potencia i n i k, y ahora lo mimo número aparecen en uma de potencia infinita! Lo primero valore de ζk on entonce ζ = π 6, , ζ4 = π4 9,833..., ζ6 = π6 945, , ζ8 = π8 945,477..., π ζ = ,994..., 69 π ζ = ,

4 En particular, el cálculo de ζ = e conoce como el problema de Bailea que fue formulado por el matemático italiano Pietro Mengoli en 644. La primera olución fue encontrada por Euler en 735. Ejercicio. Calcule la uma parciale n N n en PARI/GP. Note que u convergencia a ζ e batante lenta. Eto explica un iglo de ufrimiento de lo matemático que trataban de obtener un valor aproximado de ζ... hata la llegada de Euler. Corolario. k+ B k > para todo k. E decir, B k = y lo igno de lo número de Bernoulli pare e alternan. Demotración. k+ B k = k! ζk k π k. También e ve que B k k, y que B k crece muy rápido con k: B +,66667, B 4,33333, B 6 +,38, B 8,33333, B +,75758, B,534, B 4 +,66667, B 6 7,957, B 8 +54,9778, B 59,44. Primera demotración de la fórmula para ζk. Hemo vito en la lección de ayer la erie 5 t cott = + k k B k k! tk. k En el análii complejo e deduce otra erie [Ahlfor, Complex analyi, Chapter 5, ] cott = t πn, n Z que correponde a la decompoición en fraccione imple de una función meromorfa: cott tiene polo imple en t = πn para todo n Z con reiduo lím t πn t t πn cott = lím cot + πn t Por n Z t πn e entiende lím N N n N t πn. Luego, ent + πn = lím t n cot t n ent =. 4

5 t cott = t t + n = n = k t πn n t πn + t = t + πn n πn t = n t k t k = πn la erie geométrica πn n k n k Comparando coeficiente con 5, tenemo k t πn t πn t k π k = ζk t k k π k. cambiando el orden de umación k k B k ζk = k! π k. Serie de Fourier para B k x Vamo a neceitar el iguiente reultado del análii armónico, que e un cao epecial de la erie de Fourier: Hecho. Sea f : R R una función continua por trozo y periódica: f x + = f x. Entonce para todo x R donde f e continua y la derivada izquierda y derecha de f exiten pero no neceariamente coinciden e tiene f x = f n e πinx, donde f n := e πinx f x dx. n Z En nuetro cao, no interean la funcione f x := B k x x, donde B k x e el k-éimo polinomio de Bernoulli. Para k > la función B k x x e continua y para k = e dicontinua en lo punto x = n Z. También B k x x e lia para k >, pero B x no e lia en lo punto x = n Z, donde exiten la derivada izquierda y derecha, pero on diferente. B x x B 3 x x B 4 x x B 5 x x B 6 x x 5

6 Lo coeficiente de la erie de Fourier para f x e calculan fácilmente. Para n = tenemo f = B k x dx =. Luego, para n = y k = podemo uar integración por parte b f x gx dx = [ f x gx] b a b a f x g x dx: e πinx x dx = πin = πin e πinx x dx [e πinx x ] a e πinx dx = πin. } {{ } = Para k > integración por parte y la relación B k x = k B k x no dan f n = Entonce, la erie de Fourier e e πinx B k x dx = πin = πin e πinx B k x dx [ e πinx B k x ] k = k e πinx B πin k x dx k k = πin e πinx B k x dx = = = k! πin k k! πin k e πinx x dx πin = k! πin k. e πinx B k x dx 6 B k x x = k! e πinx πi k n Z n k. n = Como un cao epecial, e obtiene la fórmula para ζk: Segunda demotración de la fórmula para ζk. Para x = la identidad 6 no da k! B k = B k = k π k k! = k+ n nk k ζk. πk Note que lo valore en lo entero impare ζk + no e obtienen con ete método. 6

7 Lo valore ζk + Lo valore en lo entero poitivo impare ζ3, ζ5, ζ7, ζ9, ζ,... on má miterioo. Al parecer, on número tracendente. Recordemo que un número z C e irracional i z / Q. Por otro lado, un número z e algebraico i z e una raíz de algún polinomio con coeficiente en Z. Por ejemplo, e un número algebraico irracional. Si z no e algebraico, e dice que e tracendente. Puede demotrare que lo número algebraico forman un conjunto numerable, y entonce cai todo lo número on tracendente! Lamentablemente, e muy difícil demotrar que un número epecífico e tracendente. Por ejemplo, π y e on tracendente e un corolario del célebre teorema de Lindemann Weiertra. Por upueto, lo número ζk = k+ B k k k! πk on también trancendente, ya que π e tracendente de hecho, e uno de lo poco número epecífico cuya tracendencia e puede demotrar!. Lo valore ζk + deberían de er tracendente por alguna razón má ofiticada, y e upone que entre ζk + ditinto no hay ninguna relación algebraica. Sin embargo, todavía no hay demotracione ni iquiera de que lo ζk + ean irracionale. En 977 el matemático francé Roger Apéry demotró que el número ζ3, e irracional. La tumba de Apéry en Parí lleva la incripción Roger APÉRY = p q Lo método de Apéry no e generalizan para demotrar que ζ5 e irracional; hay poco reultado en eta dirección. El matemático francé Tanguy Rivoal demotró en que entre lo número ζ3, ζ7, ζ9,... hay una infinidad de irracionale, mientra que el matemático ruo Wadim Zudilin demotró en que por lo meno un número entre ζ5, ζ7, ζ9 y ζ e irracional. Valore ζ, ζ, ζ 3,... La función zeta puede er definida en todo plano complejo véae [Ahlfor, Complex analyi, Chapter 5, 4] o cualquier libro de la teoría de número: Hecho. La función ζ puede prolongare analíticamente al plano complejo como una función meromorfa con un polo imple de reiduo en =. Eta prolongación, que también e denota por ζ, atiface la iguiente ecuación funcional: 7 ζ = π en π Γ ζ. 7

8 Aquí Γz := xz e x dx denota la función Gamma. En particular, Γn = n! para n =,, 3, 4,... Gracia a la ecuación funcional y la fórmula de Euler ζk = k+ B k k k! πk, podemo obtener lo valore de la función en lo entero negativo. En efecto, para lo entero negativo pare = k tenemo ζ k = k π k en πk Γk + ζk + =. }{{} = Y para lo = k + impare, ζ k + = k+ π k+ π k + en k +! ζk + = k+ π k+ k+ k +! k k+ B k+ k +! π k+ = B k+ k +. Ya que B n = para n impar, en ambo cao e tiene ζ n = B n+ n +. Ademá, para n = la prolongación analítica no da ζ = = B, aí que eta fórmula e válida también para n =. n : ζn : ζ Depué ζ e decreciente hata u polo en =. 8

9 Terminamo por el cálculo de ζ = encontrado por Euler: Para la erie geométrica la derivada formal no da de donde para x = ic! + x + x + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 + x 7 + x 8 + = x + x + 3 x + 4 x x x x x 7 + = x, = 4. Luego, 3 ζ = ζ 4 ζ = = = 4, lo que implica ζ =, Q.E.D. El lector no debería tomar en erio el argumento de arriba ni uar método imilare en u demotracione. 9

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