CAMPOS ESCALARES TEMA 11 Y VECTORIALES

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1 MATEMÁTICAS I (Ing. Téc. Sistemas de Telecomunicación) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL (Ing. Téc. Telemática) CAMPOS ESCALARES TEMA 11 Y VECTORIALES En términos abstractos un campo vectorial definido en un abierto U de R n no es otra cosa que una aplicación de U en R m. La teoría que exponemos aquí va dirigida a proporcionar un formalismo más adecuado a los modelos de la Física y de la Técnica, así como la interpretación en este contexto particular de los conceptos que se definen relacionados con la derivación, cuando esas aplicaciones representan magnitudes escalares o vectoriales. Aunque algunas definiciones y propiedades se enuncian en espacios R n de dimensión arbitraria, el lector que lo prefiera puede pensar en los casos de aplicación habitual, es decir, R 2 y R 3. 1 CAMPOS. OPERADORES DIFERENCIALES. Definición Sea U un conjunto abierto de R n. i) Un campo escalar de clase C k en U es una función f: U R de clase C k. ii) Un campo vectorial de clase C k en U es una aplicación F : U R m, m>1, de clase C k. El índice k recorre el conjunto de los números enteros positivos, entendiéndose que las aplicaciones de clase C 0 son las continuas. Ejemplos: 1) Son campos escalares la temperatura o la celeridad. 2) Son campos vectoriales la velocidad o cualquier campo de fuerzas (gravitatorio, eléctrico, magnético, etc.). Notación: Sea U un abierto de R n. Al conjunto de las aplicaciones f de clase C k definidas en U con valores en R p, f: U R p, lo denotaremos por C k (U, R p ). No es difícil comprobar que estos espacios, dotados de la suma habitual de funciones y el producto de números reales por funciones, son espacios vectoriales. La palabra operador se utiliza para designar las aplicaciones lineales entre este tipo de espacios vectoriales, en distinción con el caso de los espacios euclídeos. Cuando la imagen de un campo por un operador se define en términos de las derivadas parciales de sus componentes, se dice que el operador es diferencial.

2 Campos escalares y vectoriales 2 Ejemplo: La aplicación que a cada función f de clase C 1 en un abierto U de R n le asigna la función continua f/x 1 es un operador diferencial definido en C 1 (U, R). A continuación se presentan los operadores usuales que se manejan en la Física y sus propiedades básicas. Gradiente de un campo escalar Definición Sea f un campo escalar de clase C 1 en un abierto U de R n. Se denomina gradiente de f al campo vectorial definido por ( f f(x) = (x), f (x),..., f ) (x), x U. x 1 x 2 x n Propiedades Sean f,g campos escalares de clase C 1 en un abierto U de R n y c un número real. Se verifica: i) (f + g) = f + g. ii) (cf)=c f. iii) (f g)=f g + g f. iv) Si g(x) 0,x U, ( f/g) = (g f f g)/g 2. Observación De las propiedades i) y ii) se deduce que el gradiente es un operador definido en el espacio de los campos escalares de clase C 1 en un abierto U que toma valores en el espacio de los campos vectoriales continuos en U, f C 1 (U, R) f C 0 (U, R n ). Formalmente escribiremos = ( x 1, x 2,..., ). x n Definición Sea U un abierto de R n y F : U R n un campo vectorial continuo. Se dice que F es conservativo si existe un campo escalar f de clase C 1 en U tal que f(x) =F (x) para cada x U. En este caso, se dice que el campo f es una función potencial de F. Observaciones i) En ciertos modelos físicos, si f = F, se dice que f es una función potencial de F. Esto no debe causar ningún trastorno o confusión, es simplemente otro convenio de notación.

3 Campos escalares y vectoriales 3 ii) Veremos más adelante, al estudiar el concepto de integral curvilínea, que el adjetivo conservativo tiene un significado físico preciso. Observación Si F es el gradiente de un campo escalar f de clase C 2 en un abierto U de R n, entonces se sigue del lema de Schwarz que F i (x) = 2 f (x) = 2 f (x) = F j (x), 1 i, j n, x U. x j x j x i x i x j x i Sin embargo, el recíproco no es necesariamente cierto, a no ser que se impongan condiciones adicionales sobre la geometría de U. Definición Sea U un subconjunto abierto de R n. i) Se dice que U es estrellado respecto de un punto a U si para cualquier elemento x de U el segmento de extremos a y x, dado por {t x +(1 t)a : t [0, 1]}, está contenido en U. Se dice que U es estrellado si lo es respecto de alguno de sus puntos. ii) Se dice que U es convexo si para cada par de elementos x, y de U el segmento de extremos x e y, dado por {t x +(1 t)y : t [0, 1]}, está contenido en U. Obviamente un abierto convexo es estrellado respecto de cualquiera de sus puntos. Proposición (Lema de Poincaré) Sea F un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto estrellado U de R n. Entonces F es el gradiente de un campo escalar en U si, y sólo si, F i (x) = F j (x), x U, i,j=1, 2,...,n. (1) x j x i Observaciones i) La demostración teórica de la existencia de potenciales requiere de la noción de integral curvilínea que veremos más adelante, aunque la resolución práctica se reduce en la mayoría de los casos a un cálculo elemental de primitivas. Se puede mostrar que dos potenciales de un mismo campo conservativo (en general, en un abierto conexo) difieren en una constante. ii) Aunque el resultado anterior sigue siendo válido para una familia más amplia de abiertos, los denominados simplemente conexos, no se verifica para abiertos arbitrarios.

4 Campos escalares y vectoriales 4 Rotacional de un campo vectorial Definición Sea F =(F 1,F 2,F 3 ) un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U de R 3. Se define el rotacional de F como el campo vectorial ( F3 rot F (x) = y (x) F 2 z (x), F 1 z (x) F 3 x (x), F 2 x (x) F ) 1 y (x), x U. Observaciones i) En la terminología anglosajona se denota rot F = curl F. ii) El siguiente determinante simbólico es útil para recordar la fórmula que define el rotacional: i j k rot F = x y z. F 1 F 2 F 3 Por esta razón el rotacional del campo F también se representa por F. Propiedades Sean F =(F 1,F 2,F 3 ), G =(G 1,G 2,G 3 ) dos campos vectoriales y f un campo escalar, todos ellos de clase C 1 en un abierto U de R 3. i) rot(f + G) =rotf + rot G. ii) Si c R, rot(c F )=c rot F. iii) rot(f F )=f rot F + f F. Observación De lo anterior se deduce que rot es un operador diferencial de C k (U, R 3 ) en C k 1 (U, R 3 ). Proposición Sea f un campo escalar de clase C 2 en un abierto U de R 3, entonces rot( f) =0. Definición Se dice que un campo F =(F 1,F 2,F 3 ) de clase C 1 en un abierto U de R 3 es irrotacional si su rotacional es idénticamente nulo en U, es decir, rot F (x) =0 para cada x U. Un campo conservativo de clase C 1 es, en virtud de la proposición anterior, irrotacional. El recíproco viene dado por el lema de Poincaré, que en este caso se escribe: Proposición Sea F =(F 1,F 2,F 3 ) un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto estrellado U de R 3. Entonces F es conservativo si, y sólo si, es irrotacional.

5 Campos escalares y vectoriales 5 Divergencia de un campo vectorial Definición Sea F =(F 1,F 2,...,F n ) un campo vectorial de clase C 1 en un abierto U de R n. Se define la divergencia de F como el campo escalar n F j div F (x) = (x) = F 1 (x)+ F 2 (x)+ + F n (x), x U. x j x 1 x 2 x n Formalmente, j=1 div F = F = ( x 1, x 2,..., razón por la cuál también se denota div F = F. ) (F 1,F 2,...,F n ), x n Propiedades Sean F, G: U R n dos campos vectoriales y f un campo escalar, todos ellos de clase C 1 en el abierto U de R n. i) div(f + G) = div F + div G. ii) Si c R, div(c F )=c div F. iii) div(f F )=f div F + f F. Observación De lo anterior se deduce que div es un operador diferencial de C k (U, R n ) en C k 1 (U, R). Proposición Si F =(F 1,F 2,F 3 ) es un campo vectorial de clase C 2 en un abierto U de R 3, entonces div(rot F )=0. Definición Se dice que un campo F =(F 1,F 2,F 3 ) de clase C 1 en un abierto U de R 3 es solenoidal o incompresible si su divergencia es idénticamente nula en U, div F (x) = 0 para cada x U. Según 1.21 el rotacional de un campo vectorial es solenoidal. Recíprocamente: Proposición Sea F =(F 1,F 2,F 3 ) un campo vectorial de clase C 1 definido en un abierto estrellado U de R 3. Entonces F es el rotacional de un campo vectorial G si, y sólo si, F es solenoidal. Observaciones i) Si F =(F 1,F 2,F 3 ), G =(G 1,G 2,G 3 ) son campos vectoriales en un abierto de R 3 tales que rot G = F (G al menos de clase C 1 ) se dice que G es un potencial vectorial de F. Nótese la analogía que existe entre los resultados 1.17 y 1.23.

6 Campos escalares y vectoriales 6 ii) Al igual que sucede con los potenciales escalares, la búsqueda de potenciales vectoriales en el caso de que el abierto U sea conexo se reduce al cálculo de primitivas. Si el campo F =(F 1,F 2,F 3 ) es de clase C 1 y solenoidal en el intervalo U de R 3,la ecuación rot G = F es el sistema de ecuaciones en derivadas parciales G 3 y G 2 z F 1 G 1 z G 3 x F 2 G 2 x G 1 y F 3 Gracias al resultado 1.15, podemos suponer, por ejemplo, que G 3 0; entonces, es posible dar unas primeras expresiones para G 1 y G 2 a partir de las dos primeras ecuaciones: G 2 z F 1 G 2 = F 1 dz + C 2 (x, y), G 1 z F 2 G 1 = F 2 dz + C 1 (x, y), siendo C 1 y C 2 las correspondientes constantes (respecto de z) de integración. Podemos suponer a continuación, por la misma razón que antes, que C 2 0, con lo que ya hemos determinado G 3 y G 2. Para concluir, basta determinar C 1 a partir de la tercera ecuación. Así se ha encontrado un potencial vectorial de F ; los demás se obtienen sumando a éste gradientes.