Vectores, Intro al cálculo vectorial, Campos escalares

Transcripción

1 Vectores, Intro al cálculo vectorial, Campos escalares Camilo Espejo 1 camilo.espejo@utadeo.edu.co 1 Maestría en Modelado y Simulación Departamento de Ciencias Básicas, Univerisdad Jorge Tadeo Lozano 18 de febrero de 2016 MM&S - Fundamentos matemáticos para el Modelado y la Simulación

2 Sumario Vectores en el plano y en el espacio Magnitudes escalares y vectoriales Producto interno o producto punto Producto vectorial o producto cruz Cálculo vectorial Funciones vectoriales, escalares y sus campos Funciones de varias variables Funciones vectoriales Funciones escalares y gradiente Ejemplo de uso del gradiente

3 Vectores en el plano y en el espacio Cantidades escalares y vectoriales Escalares: cantidades que se definen completamente con un solo valor numérico, su magnitiud.

4 Vectores en el plano y en el espacio Cantidades escalares y vectoriales Escalares: cantidades que se definen completamente con un solo valor numérico, su magnitiud. Temperatura Distancia Volumen Masa Densidad Energía Carga eléctrica

5 Vectores en el plano y en el espacio Cantidades escalares y vectoriales Escalares: cantidades que se definen completamente con un solo valor numérico, su magnitiud. Temperatura Distancia Volumen Masa Densidad Energía Carga eléctrica Vectoriales: Cantidades que se definen completamente con su magntiud y su dirección.

6 Vectores en el plano y en el espacio Cantidades escalares y vectoriales Escalares: cantidades que se definen completamente con un solo valor numérico, su magnitiud. Temperatura Distancia Volumen Masa Densidad Energía Carga eléctrica Vectoriales: Cantidades que se definen completamente con su magntiud y su dirección. Desplazamiento Velocidad Campo eléctrico Fuerza Momentum Aceleración

7 Vectores en el plano y en el espacio Álgebra de vectores Igualdad: a = b a = b α a = α b

8 Vectores en el plano y en el espacio Álgebra de vectores Igualdad: a = b a = b α a = α b Adición: a + b = c El vector resultante va de la cola del primer vector a la cabeza del último. Propiedades: Clausurativa, conmutativa, asociativa, modulativa, invertiva, distributiva respecto al producto por escalar. Vector calculator 1, vector calculator 2

9 Vectores en el plano y en el espacio Álgebra de vectores Igualdad: a = b a = b α a = α b Adición: a + b = c El vector resultante va de la cola del primer vector a la cabeza del último. Propiedades: Clausurativa, conmutativa, asociativa, modulativa, invertiva, distributiva respecto al producto por escalar. Vector calculator 1, vector calculator 2 Producto por escalar: na = a + a + + a }{{} n veces

10 Vectores en el plano y en el espacio Componentes rectangulares y vectores unitarios Una vez introducimos un sistema de coordenadas, podemos usar varias representaciones para los vectores: a = [a 1, a 2, a 3 ] donde P : (x 1, y 1, z 1 ) y Q : (x 2, y 2, z 2 ) son la cola y la cabeza del vector y a 1 = x 2 x 1, a 2 = y 2 y 1 y a 3 = z 2 z 1. También se usan los vectores unitarios: i, j, k (miden 1 y su dirección es paralela a cada eje cartesiano x, y, z respectivamente). En este caso: a = a 1 i + a 2 j + a 3 k La anterior ecuación describe al vector a como una suma de tres vectores, cada uno a lo largo de uno de los ejes.

11 Vectores en el plano y en el espacio Producto interno o producto punto a b = a b cos(θ) = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 Applet dot product

12 Vectores en el plano y en el espacio Producto vectorial o producto cruz Cross product applet Cross product MathInsight Cross product Calculator

13 Cálculo vectorial Funciones vectoriales, escalares y sus campos Campos escalares: Heating up Watch the video to see how global temperatures respond to the business as usual scenario, where carbon dioxide concentrations rise to 936 parts per million more than double today s levels of 400 parts per million by the year Campos vectoriales: Dynamic earth A giant explosion of magnetic energy from the sun, called a coronal mass ejection, slams into and is deflected completely by the Earth s powerful magnetic field. The sun also continually sends out streams of light and radiation energy. Earth s atmosphere acts like a radiation shield, blocking quite a bit of this energy. Much of the radiation energy that makes it through is reflected back into space by clouds, ice and snow and the energy that remains helps to drive the Earth system, powering a remarkable planetary engine the climate. It becomes the energy that feeds swirling wind and ocean currents as cold air and surface waters move toward the equator and warm air and water moves toward the poles all in an attempt to equalize temperatures around the world.

14 Funciones de varias variables Funciones vectoriales y Campos vectoriales v(p) = [v 1 (P), v 2 (P), v 3 (P)] = v 1 (P)i + v 2 (P)j + v 3 (P)k

15 Funciones de varias variables Funciones vectoriales y Campos vectoriales v(p) = [v 1 (P), v 2 (P), v 3 (P)] = v 1 (P)i + v 2 (P)j + v 3 (P)k v(x, y, z) = [v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)]

16 Funciones de varias variables Funciones vectoriales y Campos vectoriales v(p) = [v 1 (P), v 2 (P), v 3 (P)] = v 1 (P)i + v 2 (P)j + v 3 (P)k v(x, y, z) = [v 1 (x, y, z), v 2 (x, y, z), v 3 (x, y, z)] = v 1 (x, y, z)i + v 2 (x, y, z)j + v 3 (x, y, z)k Ejemplo: Posición, velocidad y aceleración de un objeto en movimiento circular uniforme. r(t) = r cos(ωt)i + r sin(ωt)j Las funciones vectoriales definen un campo vectorial sobre su dominio.

17 Funciones de varias variables Funciones escalares y Campos escalares f (P) = f (x)

18 Funciones de varias variables Funciones escalares y Campos escalares f (P) = f (x) f (P) = f (x, y)

19 Funciones de varias variables Funciones escalares y Campos escalares f (P) = f (x) f (P) = f (x, y) f (P) = f (x, y, z)

20 Funciones de varias variables Funciones escalares y Campos escalares f (P) = f (x) f (P) = f (x, y) f (P) = f (x, y, z) f (P) = f (t 1, t 2, t 3,..., t n ) Derivadas parciales y gradiente: [ ] f f = x, f y, f z = f x i + f y j + f z k

21 Ejemplo Un fabricante de televisores planea introducir dos nuevos productos, una pantalla plana LCD de 19 pg con un precio al por menor (PPM) sugerido por el fabricante de $ 339 y un LCD de 21 pg con un MMP de $ 399. El costo para la compañía es de $ 195 por cada LCD de 19 pg y de $ 225 por cada LCD de 21 pg, más $ de costos adicionales fijos. En el mercado competitivo en el que estos equipos deben venderse, el número de ventas por año afectará el promedio del precio de venta. Se estima que, para cada tipo de equipo, el promedio del precio de venta cae en un centavo por cada unidad adicional vendida. Adicionalmente, las ventas de los LCD de 19 pg afectan el precio de los de 21 pg y viceversa. Se estima que el precio promedio de venta de los LCD de 19 pg se reducirá por 0.3 centavos adicionales por cada LCD de 21 pg vendido, y el precio del LCD de 21 pg caerá por 0.4 centavos por cada LCD de 19 pg vendido. Cuántas unidades de cada tipo deben ser fabricadas?