FACULTAD DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

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1 ESCUELA POLTÉCNCA NACONAL FACULTAD DE NGENERÍA ELÉCTRCA PRONOSTCO HORARO DE LA DEMANDA EN BARRAS DE SUBTRANSMSON DEL SSTEMA QUTO POR TESS PREVA A LA OBTENCÓN DEL TTULO DE NGENERO ELÉCTRCO QUTO AGOSTO DE 988 ^

2 Certfco que la presente tess, ha sdo desarrollada por el Sr- Vcente Hallo bajo m dreccón ~Tn í/m:d Us Tucpparfca /ü/rector de Tess

3 AGRADECMENTO Al ng, Mlton Toapanta drector del presente trabajo A tocas aquellas personas e nsttucones que colaboraron para llevar adelante el desarrollo de la presente tess, en especal al ng. Santago Sánchez por su valosa colaboracón.

4 ÍNDCE DE MATERAS Pag. NTRODUCCÓN PRONOSTCO DE CARGA 2. ntroduccón Aspectos generales La carga eléctrca 4 2.2,2 Factores que afectan a la demanda ó Factores ncontrolables Factores controlables 9 2»2-3 Pronostco o predccón Plazos de pronóstco 2-3 Técncas de pronóstco Métodos cualtatvos Métodos cuanttatvos Causales o explcatvos 5 2-3»2-2 Seres ds Tempo Modelos matemátcos Modelos causales Métodos de Regresón Múltple Modelos de Sares de Tempo Método de Suavzamento ,2 Método da Descomposcón Modelos ARMA o de Box-JenUns Aplcabldad de las técncas de 32 pronóstco 2-5. Generaldades Técncas de pronóstco recomendadas 35 METODOLOGÍA PARA EL PRONOSTCO HORARO DE LA DEMANDA EN BARRAS

5 Pag. 3. ntroduccón Pronóstco total del sstema 37 3=2- Modelos ARMA de Box-Jenkns *. l Modelos Autoregresvo Modelos de Meda Móvl Modelos Autoregresvos de Medas Móvles ARMA(p.,q) ,4 Modelos Estaconales ,5 Modelo General Estaconal MultplcatvotSS 5 3B2.2 Metodología de Box-Jenkns Pronóstco de carga en barras 56 3,3= Caracterstcas en la predccón por 56 barras Métodos para la modelacón de carga en barras Factores de Dstrbucón Análss de los datos Obtencón de los valores de demanda horaros representatvos de las dferentes barras Obtencón de los Factores de Dstrbucón P ranos tco Consderacones de valdez del Método de Factores de Dstrbucón 64 V PRONOSTCO HORARO DE LA CARGA EN BARRAS DEL SSTEMA DE SUBTRANSMSON DE LA E.E.Q.S.A 4. ntroduccón Pronóstco horaro de la demanda total del Sstema Quto 66

6 4.2. Consderacones generales Característcas generales del Sstema Eléctrco Quto Análss prelmnar 68 4,2.3 'Tratamento de los datos Metodología de Box-Jenkns dentfcacón ,4.2 Estmacón 74 4,2-4.3 Dagnóstco Pronóstco Pronóstco horaro de la demanda en barras de Subtransmsón Consderacones Generales Consderacones prevas Característcas de la carga por subestacón Determnacón de los Factores de Dstrbucón Seleccón de barras y determnacón de sus valores representatvos de demanda horara Obtencón de los factores de dstrbucón Pronóstco en barras utlzando FD Precsón del pronóstco Pronóstco de las barras del sstema modeladas ndvdualmente medante Box-Jenkns» 26 4,4 Comparacón de resultados Conclusones 28 V COMENTAROS Y CONCLUSONES GENERALES 30

7 - v- Pág BBLOGRAFÍA 34 ANEXOS. Anexo A; Tablas de resultados Anexo B: Parcentles de la dstrbucón Ob-cuadrado con v grados de lbertad 53

8 ÍNDCE DE TABLAS Pag, Tabla. Tabla 2. Tabla 3. Tabla 4- Tabla 5- Tabla 6. Tabla 7* Tabla 8. Tabla 9. Estmacón de los parámetros de la sere TQT-B y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón de los resduos. 38 Estmacón de los parámetros de la sera TOT-C y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón de los resduos 39 Estadístcas da los resduos de la sere TOT-B 40 Estadístcas de los resduos de la sere TOT-C Aporte hstórco en porcentaje de la S/E Epclachma al Sstema Quto en el año Aporte hstórco en porcentaje de la S/Norte al Sstema Quto an el año Estmacón de los parámetros de la sere EP-B y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón de los resduos 44 Estadístca de los resduos de la sere EP-B 45 Estmacón de los parámatros de la sere EP-C y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón de los resduos 46 Tabla 0. Estadístca de los resduos de la sere EP-C 47 Tabla - Estmacón de los parámetros de la sere NQR-B y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón ds los resduos 48 Tabla 2. Estadístca de los resduos da la sere NOR-B 49

9 - v - Pag. Tabla 3. Estmacón de los parámetros de la sera NOR-C,, y pcos sgnfcatvos en las funcones de autocorrelacón de los resduos 50 Tabla 4. Estadístca de los resduos de la sere NüR-C 5

10 - vl - ÍNDCE DE FGURAS Pag- Fg. Fg 2. Fg 3«Fg 4- Fg 5- Curva de demanda de potenca de los días mércoles del Sstema Quto 5 Curva de demanda de potenca del Sstema Quto del da 25 de Dcembre de nfluenca de la temperatura en la demanda de potenca, 8 Pronóstco de demanda en Planfcacón de Sstemas 2 Gráfcos de dferentes formas de presentacón de rk y rkk 44 Fg 6. Funcón de autocorrelacón 46 Fg 7. Funcón de autocorrelacón parcal 47 Fg 8. Funcón de autocorrelacón 48 Fg 9» Funcón de autocorrelacón parcal 48 Fg 0. Metodología de predccón de Box - Jenkns 54 Fg - Procedmento de pronóstco por Factores de Dstrbucón 6 Fg 2. Dagrama de flujo del programa Tseres 67 Fg 3- Curva de Demanda de Potenca S.E-Q. 69 Fg 4- Fg 5- Fg 6. Fg 7. Fg 8n Curva de Demanda horara de potenca del Sstema Quto 72 Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo TQT-B 75 Funcón de autocorrelacón parcal de la sere TOT-B 76 Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo TÜT-C 77 Funcón de autocorrelacón parcal de trabajo TOT-C 78

11 VH - Pag. Fg 9- Errores horaros en el pronóstco de demanda con los modelos de Box - Jenkns 84 Fg 20. Dagrama unflar del Sstema "Quto" 88 al año 986 Fg 2- Fg 22- Fg 23. Fg 24. Fg 25. Curvas de demanda de la S/E Norte y el sstema Quto (datos de los meses febrero, marzo y abrl de 986) 9 Curvas de demanda de la S/E Epclachma y el sstema Quto (datos de los meses febrero, marzo y abrl de 986) 92 Curva de demanda de la sere de trabajo de la S/E EPCLACHMA 95 Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo EP-B. 97 Funcón de autocorrelacón parcal de la sere EP-B 98 Fg 26. Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo EP-C 0O Fg 27» Fg 28. Fg 29«Fg 30- Fg 3, Fg 32- Fg 33- Fg 34- Funcón de autocorrelacón parcal de la sere de trabajo EP-C 0 Curva de demanda de la Subestacón Norte correspondente a la sere de trabajo ( ) 06 Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo NOR-B 08 Funcón de autocorrelacón parcal de la sere NQR-B 09 Funcón de autocorrelacón de la sere de trabajo NOR-C Funcón de autocorrelacón parcal de la sere NQR-C 2 Factores de Dstrbucón horaros de las Subestacones Norte y Epclachma 6 Pronóstco de la demanda en la Subestacón Epclachma medante F- D* 20

12 CAPTULO NTRODUCCÓN El pronóstco de demanda es la base fundamental de nformacón tanto para el área de planfcacón como para la de operacón de un sstema eléctrco de potenca, pronóstco que puede ser realzado medante métodos cualtatvos o cuanttatvos que permten estmar el valor futuro de la demanda varable, y optmzar los recursos futuros del sstema- En esta nvestgacón se analza el pronóstco de la demanda horara de potenca en barras» La modelacón matemátca del pronóstco de demanda para una crcunstanca dada del sstema, requere de un gran numero de observacones. Cuando exste un cambo en el sstema, se debe encontrar otra ecuacón de pronóstco que modele este nuevo estado del sstema, lo. que mplca que el número de ecuacones de pronóstco se ncrementa en forma consderable s se quere atender la operacón del sstema para cualquer crcunstanca. Los métodos comunes de pronóstco de demanda permten modelar el comportamento de la demanda en un sto o regón determnada del sstema. Su aplcacón para casos en que se requere conocer el comportamento de la demanda en varos stos del sstema al msmo nstante, mplca procesos ndependentes que son bastante complcados. En este trabajo se analza los resultados de la utlzacón de los modelos ARMA de Box-Jenkns en el pronóstco de demanda del Sstema Total y en barras de Subtransmsón, as como el empleo d Factores de Dstrbucón porcentuales en la modelacón de la demanda horara de varas barras de un sstema

13 eléctrco, en base a los catos de demanda totales de este sstema a modelar. Esta teoría supone que la magntud total de la potenca puede dstrburse en forma proporconal a cada una de las barras del sstema, de acuerdo a la nformacón hstórca de partcpacón de cada una de estas barras en la demanda total, para cualquer estado de operacón del sstema. De esta manera,, la modelacón se haría solamente para el pronóstco del sstema total,para cualquer estado del sstema,(en el presente trabajo para días normales) a los que se aplca los Factores de Dstrbucón prevamente calculados para obtener las magntudes da la demanda de potenca horara en cada barra. Esta nformacón es necesara en un centro de despacho de carga que., puede ser a tempo real,, para la programacón y mantenmento de undades generadoras,mantenmento de lneas, determnacón de flujos de carga que permtan prever los mecansmos correctvos que mantengan operable un sstema eléctr co.etc. Para llegar al objetvo planteado, el trabajo ha sdo dvddo en tres partes fundamentales. La prmera que corresponde al Captulo,en la que se descrbe las más mportantes metodologías usadas para el pronóstco, determnando de acuerdo al perodo de la predccón, la más aconsejable. El Captulo ndca la metodología para el pronóstco horaro de la demanda en barras, para lo cual se descrbe los modelos de Box-Jenkns que es uno de los métodos mas efectvos en el pronóstco horaro del sstema, para luego defnr el proceso ha segurse en la determnacón de los factores de dstrbucón y su aplcacón al pronóstco horaro en las barras del Sstema Eléctrco de la Empresa Eléctrca Quto S.A.

14 3 Capítulo V consttuye la aplcacón práctca del Captulo 5en el que se analza las ventajas del método propuesto con las que se obtendría al modelar ndvdualmente cada barra por el método de Box--Jenkns. Este estudo es de mucha mportanca para nuestro medo puesto que actualmente las empresas eléctrcas no utlzan modelos matemátcos para predecr la demanda horara de potenca del sstema, n de sus barras»

15 CAPTULO PRONOSTCO DE CARGA 2. NTRODUCCÓN Los planes de expansón y operacón de un sstema eléctrco engloban procedmentos con los cuales un sstema de potenca se prepara para abastecer una carga- Obvamente el proceso de planfcacón debe comenzar con una estmacón de la carga e- léctrca en el perodo futuro que sea de nterés, sendo el procedmento por el cuál se determna la carga eléctrca futura denomnado predccón de carga. Que dependendo de la a- plcacón ya sea para operacón o planes de expansón se clasfca en pronóstco a largo, medano9corto y muy corto plazo, cuyos lapsos varían de acuerdo a los dferentes objetvos que se pretenda aplcar. En la predccón de carga exsten dos tpos de problema: la predccón de energía y la predccón de demanda que es de nuestro nterés- Se descrbe en este captulo, el comportamento de la demanda eléctrca frente a dferentes factores que ejercen su nfluenca, as como varas técncas de pronóstco., y su aplcacón de acuerdo a los objetvos y fnes que se persga, y que pueden ser la predccón de demanda con fnes de operacón, en expansón de sstemas., y en otros casos, para cuyo propósto será necesaro realzar las modfcacones necesaras de acuerdo a las varables de nterés. 2-2 ASPECTOS GENERALES 2.2. LA CARGA ELÉCTRCA La carga en un sstema eléctrco, está compuesto de un snnúmero de aparatos de consumo eléctrco cuyo comportamento n-

16 dvdual es bastante aleatoro, lo que haca cas mposble modelar la carga en forma exacta: afortunadamente, cuando se consdera en forma global la demanda eléctrca total sque uñó* trayectora determnada, la msma que se representa poruña curva de duracón de carqa la cual puede ser estadístcamente modelada. Una curva de carqa puede exhbr una perodcdad dara,(como se apreca en la t-~g. donde la demanda presenta un comportamento de los día mércoles' de varas semanas) semanal, mensual,anual etc, de acuerdo al perodo que se consdere en el análss y al oblato de la modelacón. ou.uu Curva d carga de los los días méreol -ílo 00 t 0,00 /0, n M \\ Vtí J í 'Jí A V lí ^ M'-4 lí \ r h íl lí ft V -3U,00 0, wu 00. Üü SO.00 - HO.ÜO V \ y V V -V ft J. y OBSERVACONES Fg.. Curva de demanda de potenca de los días mércoles del Sstema Quto,

17 2-2.2 FACTORES QUE AFECTAN A LA DEMANDA El comportamento de la carga está nfluencado por dos grupos de factores ben dferencadosrfactores ncontrolables y factores controlables Factores ncontrolables Son aquellos y pueden ser : sobre los cuales no se tene un control drecto a) Factores peródcos Como resultado del cclo de trabajo y descanso de nuestra socedad, durante el perodo de la observacón, se tene un comportamento peródco defndo, el msmo que se refleja en el perfl que adoptan las curvas de demanda durante los dferentes das de la semana con cambos graduales en el transcurso de la msma, as como hora a hora durante el da con puntos de carga pco y de carga mnma» Otro factor que afecta la curva de carga son las condcones estaconales y la localzacón geográfca de la carga. Durante el año, a más de la nfluenca producda por las varacones estaconales se tene otros factores no tpcos como son aquellos que ocurren durante los das festvos., que modfcan la curva de demanda,como se refleja sn la Fg. 2 donde se encuentra grafzada la curva horara de demanda de potenca del Sstema Quto de un día vernes 25 de dcembre de 987 y que muestra un perfl completamente dferente al normal., con un decrecmento notable de la demanda. b) Factores clmátcos El clma juega un papel mportante en el comportamento de

18 la carga. Las varables clmátcas o atmosfércas de mayor sgnfcacón y que afectan a la demanda son: a.- Temperatura b. - Humedad c.- Nubosdad d.- ntensdad um n o s a e.- Velocdad del vento f.- Precptacíón Estas varables ejercen su nfluenca prímordalmente en los sstemas de lumnacón J]calefaccón y are acondconado, producendo una varacón en el consumo ñor-mal de enerca y demanda de potenca en certas perodos, con vaj ores que dferen según la zona geográfca donde se encuentra ubcado el sstema asocado a esa carga, la nfluenca de la temperatura en los datos de demanda puede aprecarse en la Fg í SO horas Sstema Fn. 2 Curva de demanda de potenca del Sstema Quto del día 25 de dcembre de 937,

19 CC < ncuo. 2 U co E o X m < ce o: UJ DL "5: -a UJ Fg,3 MW nfluenca de la temperatura en la demanda de potenca

20 c) Factores aleatoros Estos factores producen varacones de carga tanto pequeñas corno grandes y pueden ser clasfcadas de la manera sguente: * Pequeños dsturbos aleatoros.- Los cuales reflejan la naturaleza aleatora de la carga a nvel clel abonado. * Grandes dsturbos aleatoros predecbles en el tempo-- Ejemplos típcos son los programas de televsón de nterés general, aunque su comenzo y duracón pueden ser conocdos, sus efectos en la carga son ncertos. * Grandes dsturbos no predecbles- Por ejemplo la operacón de grandes fábrcas que tenen cargas sgnfcatvas en la red, corno son las acerías.etc., sobre cuya operacón no se tene conocmento prevo. d) Factores polítcos y económcos Por ejemplo los perodos de crecmento y recesón económcos así como el establecmento de polítcas ha segurse en el área eléctrca que permten una expansón o un estancamento de la msma Factores controlables Son aquellos producdos por accón drecta del operador, por ejemplo: varacones de voltaje y potenca, as como tambén polítcas de consumo y penalzacón ejercdas por las empresas eléctrcas- Otro factor controlable es la nterrupcón del servco eléctrco por motvo de suspensones temporales en el sstema,

21 0 cuando se realza manobras de operacón y control, o durante el mantenmento programado de lneas, centrales y subestacones. En dfntva múltples son los factores que afectan el comportamento de la demanda,sendo ndspensable cuantfcar la nfluenca de los más sgnfcatvos PRONOSTCO O PREDCCÓN El pronostcar sgnfca ndcar lo que podría suceder en el futuro. En nuestro caso es el, procedmento por medo del cual se determna la carga eléctrca esperada en un perodo futuro,en base de un análss estadístco o subjetvo del comportamento hstórco del msmo, exstendo la posbldad y más aun la certeza de que los resultados no sean los más a- certados debdo a los factores anterormente señalados. En todo caso se trata de reducr a un mínmo el error entre lo real y lo pronostcado* En el pronóstco de carga exsten dos problemas dferentes; la predccón de energía y la de potenca. Las empresas deben generar y suplr la potenca eléctrca necesara en el nstante en que ésta es demandada., y tener' la sufcente energía para proporconar este requermento de potenca por el tempo que sea solctado. - Pronóstco de Energía-- Se utlza en la planfcacón del sstema de potenca de centrales de generacón, en la compra de energía, en los posbles ngresos que tendría la empresa, etc. - Pronóstco de demanda.- La predccón de demanda tene qu ver con el nvel de la capacdad nstalada; se utlza generalmente en la planfcacón y en la operacón de un sstema

22 eléctrco, Plazos de pronóstco { 3*rü pronóstco de la carga se hace usualmente para tres lapsos de tempo: a muy corto.corto, medano, y largo plazos. Estos perodos varan a su vez dependendo del u operacón) en el que se va a utlzar el pronóstco y pueden ser: L J área (planfcacón * Muy corto plazo: de mnutos a horas * Corto plazo; de horas a das # Medano plazo: de semanas a meses # A largo plazo: de meses a años En la operacón se utlzan generalmente los perodos de corto tempo, dejando para la planfcacón de sstemas los lapsos de largo tempo - La Fg. 4 ndca un resumen esquemátco de la aplcacón del pronóstco en la planfcacón de un sstema eléctrco, sendo múltples las áreas que as lo requeren» según las cuales la metodología camba, como a contnuacón se descrbe» S se requere realzar un estudo de planes de expansón de sstemas de dstrbucón se necesta de un análss prevo de crcutos y almentadores radales, que conducen al análss técnco de subestacones. Los métodos de pronóstco utlzados nvolucran una gran cantdad de varables tanto eléctrcas como socoeconómcas y el pronóstco debe ser realzado para lapsos de tempo comprenddos entre 2 y 8 años. Para un estudo de planes de expansón de sstemas de transmsón, el pronóstco debe ser realzado de 5 a 20 años, y se necesta de nformacón técnca para el horzonte de estudo

23 2 ts?,to cé subestacones corno ae crcutos da transmsón y de 'sstemas de generacón, necestando por tanto del estudo da cargas por mcroáreas como de las olobales del sstema. Por consguente, los métodos utlzados hasta llegar al objetvo pueden ser varos El estudo de planes de expansón de sstemas de generacón requere del pronóstco para un perodo de tempo que va desde os lü a os 25 años. PREDCCÓN CE CARGA EN ÁREAS PEQUERAS PREDCCÓN DE CARGA TOTAL DEL SSTEHft 2-8 AROS 5-28 AROS 8 A 25 AROS ANÁLSS DE CRCUTOS í ALHENTADORES RADALES ANÁLSS TÉCNCO DE SUBESTACONES ANÁLSS TÉCNCO DE CRCUTOS DE TRANSMSÓN ANÁLSS DE ahbbbeasaoshbb, TÉCNCO DE SSTEHftS GENERACÓN DE EXPANSÓN DE SSTEMAS DE DSTRBUCÓN PLANES DE EXPANSÓN DE SSTEMAS DE EXPANSÓN DE SSTEMAS DE GENERACÓN F Cj. 4 Pronóstco de demanda en planfcacón de sstemas

24 2.3 TÉCNCAS DE PRONOSTCO Las dferentes técncas de pronóstco pueden ser clasfcadas en dos grupos: métodos cualtatvos y métodos cuanttatvos.!?] 2-3- MÉTODOS CUALTATVOS Estos métodos se utlzan cuando no se tene dsponobles datos hstórcos,, o cuando éstos son lmtados- La base para la predccón consste en llegar a un concenso de las opnones de expertos que medante su experenca y con procedmentos alternatvos de análss puedan expresar sobre el terna que se esté tratando. Esta dependenca del juco del exparto hace que estos métodos sean menos atractvos que los métodos cuanttatvos los msmos que tenen base matemátca.. Generalmente se utlza los métodos cualtatvos cuando se desea pronostcar cambos que se podrían presentar en un modelo, en el que los datos hstórcos no son sufcentes para pronostcar este cambo. En este caso se requere nterpretar los datos dsponbles y poder determnar los posbles factores causales o correlaconados que ndquen el cambo en cuestón- Este estudo es realzado por "expertos" los cuales son ndvduos con un profundo conocmento de la stuacón a analzar- Dentro de los métodos cualtatvos se tene: a) Método Delph Este método. es posblemente el más común de los métodos cualtatvos- En esta técnca, la predccón se realza luego de que un grupo de expertos tratan sobre preguntas especfcas

25 como por ejemplo la nfluenca de un nuevo electrodoméstco en el consumo de energía- Los técncos no necesaramente deben estar reundos, pueden estar en contacto por cualesquer sstema de comuncacón, con lo que se logra que los jucos emtdos no estén nfluencados por el comportamento del grupo. Las desventajas son varas, como por ejemplo múltples respuestas sn llegar a un consenso. M b) Matrces de mpacto Cruzado Este método relaconado cercanamente con el Delph, descrbe dos tpos de datos para un conjunto de posbles desarrollos futuros. El prmer tpo estma la probabldad de que cada desarrollo pueda ocurrr dentro de un perodo especfcado de tempo en el futuro. El segundo estma la probabldad que la ocurrenca de cualquera de los desarrollos potencales po~ dran afectar en la probabldad de ocurrenca de cada uno de los otros. La base del análss es perfecconar las probabldades relaconadas a la ocurrenca de un ndvdual desarrollo futuro y su nteraccón con otros desarrollos, de tal manera que puedan ser utlzados para desarrollar escenaros que subsecuentemente puedan ser utlzados en la predccónc) Ajuste Subjetvo de Curvas Los datos hstórcos se ajustan a curvas predetermnadas de acuerdo al crtero del experto» Se aplca en el caso en que no se dspone de la sufcente cantdad de datos como para realzar un análss cuanttatvo. d) Comparacones Tecnológcas ndependentes del Tempo Se denomna as al método que realza la predccón para el perodo de estudo de una varable de la que no se dspone

26 nformacón hstórca., comparándola con el desarrollo obtendo por la msma varable en una área de smlares característcas; por ejemplo, s se trata de realzar el pronóstco de demanda de un pueblo del que se tene poca nformacón, se debe comparar con pueblos de guales característcas de los que se tene la sufcente nformacón como para determnar la tendenca de crecmento, la que se asgna al área de estudo» La dfcultad de éste método radca en la determnacón de la relacón exstente en la tendenca de crecmento de la varable a pronostcar MÉTODOS CUANTTATVOS Estos métodos utlzan la nformacón hstórca de un fenómeno para determnar matemátcamente su comportamento pasado y luego poder predecr su tendenca futura. Los métodos cuanttatvos de predccón se pueden clasfcar en: Causales o Explcatvos Son aquellas técncas que asumen que la varable que se desea predecr o varable dependente es funcón de un conjunto de varables ndependentes cuyos valores ya se conoce. La prncpal dfcultad de estos métodos s el requermento de dsponer de datos pasados de la varable dependente y de las varables ndependentes as como de los valores de las varables ndependentes para el perodo que se desea pronostcar. Dentro de estas técncas causales, el modelo de regresón múltple es el más utlzado.

27 Seras de Tempo Una sere de tempo se la defne como una secuenca cronológca de observacones de una varable determnada. Se asume en estas técncas que los factores que causaron el crecmento y el comportamento de la varable de estudo en el pasado persstrán en el futuro;' por lo tanto el modelo que representa el comportamento de la demanda en el pasado se repetra peródcamente en el futuro. Entre las técncas de seres de tempo se tene:.- Modelos de Suavzamento Estos modelos tratan de elmnar las fluctuacones aleatoras exstentes sobre el esquema o comportamento normal de una sere. 2-- Modelos de Descomposcón Descomponen a una sere en cuatro componentes: tendenca, cíclca,estaconara y aleatora, los que se descrben más adelante. La predccón de la sere se obtene medante una combnacón de las predccones ndvduales de los dferentes componentes. 3." Modelo de Box-Jenkhjs Este tpo de modelo contempla la posbldad de que los valores hstórcos estén relaconados entre s, es decr que cada nuevo valor dependa del anteror en su magntud así como tambén en los valores de los errores entre el valor pronostcado y el real de las observacones pasadas.

28 7 2.4 MODELOS MATEMÁTCOS Sendo los métodos cuanttatvos los de mayor precsón, y sujetos de ser modelados medante técncas computaconales a contnuacón se descrbe en forma general la estructura matemátca de cada uno de ellos MODELOS CAUSALES El método más conocdo es el método de regresón múltple. 2.4-, Método d Regresón Múltple a.- Conceptos báscos La regresón múltple tene por objeto estudar la relacón que puede exstr entre una varable observada llamada varable dependente y dos o más varables denomnadas ndependentes que la explcan. Un modelo de regresón múltple puede ser representado por la sguente ecuacón: Yt=Bo+BXt+B2X2t+.. -+BpXpt + t (2.) Donde: Yt * es la varable dependente en el perodo t. ps representa el número de varables ndependentes utlzadas en el modelo,, Xt,X2t,.-..Xpt, representan los valores de las p varables ndependentes en el perodo t. BoaB,..-sBp,son los parámetros que relaconan.

29 8 la varable dependente Yt a las p varables ndependíentes t es la componente aleatora del error, que descrbe la nfluenca en Yt de todos los demás factores a.jenos a las p varables ndependentes» b.- Condcones Para poder aplcar éste método se necesta que se cumpla cuatro condcones báscas.caso contraro se obtendrá resultados nexactos: l.«la varable dependente debe estar lnealmente relaconada a cada varable ndependente; esta relacón puede verse s se grafza la varable dependente Y con cada varable ndependente X- La lneardad mnmos cuadrados» debe cumplrse para poder aplcar el método de S no se encuentra esta relacón lneal, se debe aplcar métodos de conversón que transformen a la varable en una nueva varable que exhba una relacón lneal con respecto a Y. 2*~ La varanza debe permanecer constante en todo el rango de observacones- 3.- Los resduos deben ser ndependentes unos de otros sucesvamente,, es decr no estar correlaconadas* Que los resduos no sean ndependentes mplca que una varable ndependente mportante ha sdo omtda o que se ha utlzado una errónea forma funconal en la ecuacón de regresón, por lo tanto para elmnar la correlacón exstente

30 se debe nclur una nueva varable ndependente o cambar la forma funconal del modelo y s subsste el problema se puede realzar dferencacones que conssten en formar una nueva sere de datos o sere de trabajo, con los valores obtendos al restar cada par de observacones sucesvas para cada, varable. 4.~ La cuarta condcón para aplcar el método de regresón múltple es que los valores resduales tengan una dstrbucón normal- Es mportante tambén determnar cuales varables se encuentran relaconadas entre s, de tal manera que el modelo sea funcón úncamente de las varables más mportantes; caso contraro se obtendrá una matrz cas sngular, lo que complca los cálculos computaconales* e.- Construccón del Modelo La construccón del modelo nvolucra dos pasos fundamentales que son: especfcar un apropado conjunto de varables ndependentes y determnar la forma funconal de la regresón que relacona la varable dependente y un conjunto de varables ndependentes ( es decr s se tene una relacón cuadrátca., lneal..etc.) - La mportanca de cualquer varable en un modelo de regresón múltple puede determnarse por la llamada " t de student" (tbj-statstc) y que está defnda por la ecuacón: [-5] Donde: bj 4-K- T.UJ- \^ > ( O * j "? } ^ Sbj bj9 es el estmado medante mínmos cuadrados de los coefcentes Bj-

31 20 Sbj 5 es un valor de error estándar del estmado bj. Los valores de tb.j se obtene de tablas para dferentes valores y números de parámetros. Sb se calcula de acuerdo a la sguente ecuacón: Sbj (2.3) Donde /2!n (Yt~?t)2 t=l J (2-4) y: n9 es el número de observacones. p3 es el número de varables ndependentes. Cjjs es el (j,j) elemento de la matrz (XTX)~ Yty valor real al tempo t. Yt, valor pronostcado al tempo t. Los estmados por mínmos cuadrados (bo,b,.-»bp) de les parámetros Bo»B»-.-Bp están dados por la ecuacón matrcal: (2.5) Donde: b (2.6)

32 XT, es la transpuesta de la matrz X y (XTX)~ es la nversa de la matrz (XTX). Y Y2 Xn X2 Xl2. - X22.. -Xlp Yn Xn Xn p La medcón de los errores de pronóstco ndcan s el modelo de pronóstco es apropado. Su magntud puede ser determnada a través del Error Medo Cuadrátca., S MODELOS DE SERES DE TEMPO En estos modelos se analzan los datos hstórcos dsponbles de la varable a pronostcar para determnar el modelo que representa el comportamento hstórco de la varable, y luego extrapolar esta sere para determnar los valores futuros. Una sere es un conjunto de observacones ordenadas en el tempo, las msmas que pueden ser contnuas o dscretas- En nuestro caso se tratará con seres dscretas con ntervalos de medcón que pueden ser horaros, daros, semana les..mensuales o anuales. El análss de cualesquer sere de tempo está precedda por un estudo y tratamento de los datos que,van a ser utlzados en el proceso de pronóstco, con el fn de corregr o e- lmnar los posbles valores erróneos,, que podran afectar el

33 22 modelo. Es recomendable en los métodos de predccón por seres de tempo, realzar una grafzacón de los valores observados durante el comportamento hstórco del fenómeno, para tener una vsón global del msmo. Los métodos más utlzados son: suavzamíento, descomposcón y modelos de Box-Jenkns, los msmos que se descrbrán a contnuacón en forma general Método de Suavzamento En los métodos de suavzamento se consdera que exste en los valores de las varables a ser pronostcadas un compo tamento fundamental o básco. Por lo tanto la meta de estas técncas consste en dstngur y elmnar las fluctuacones aleatoras del modelo básco de la sere medante un suavzamento de los datos hstórcos. Una vez encontrado el patrón de comportamento se.podrá realzar el pronóstco. Entre las técncas de suavzamento las rnás conocdas son: medas móvles y suavzamento exponencal. a) Medas Móvles Este método consste en determnar a partr de un conjunto de valores observados, el promedo de los msmos y luego utlzar este promedo corno., un pronóstco para el sguente perodo. '". El numero de observacones utlzadas para obtener el promedo es determnado por la persona que hace el pronóstco y debe permanecer constante. Por lo tanto cada nueva observacón p*~"ducrá la elmnacón de la observacón más antgua,

34 23 realzándose el cálculo de la meda con cada nuevo dato. Esta es la razón por lo que se denomna el modelo de "medas móvles" - La representacón matemátca del modelo es la sguente: Xt + Xt «. +Xt - N+a+Xt - N + Yt-t- ~ ~ (2.8) N t _ V v. A N =t-n+l Donde: Yt s es el valor pronostcado al tempo t» X-t, es el valor actual al tempo t. N, es el numera de datos que abarcan el prome- do- Como se apreca en la Ecuacón 2-9, se da la msma mportanca a todas las observacones. Una forma más smplfcada de la ecuacón anteror se puede obtener de la sguente manera: La meda promedo para el perodo t dado por: Xt- + Xt-a Y (^ *- ~ N La Ecuacón 2-8 queda entonces

35 2/f Yt + = Yt! (2.) Se puede ver que cada nueva predccón es un ajuste de la predccón anteror o precedente» Cuando se observa una pequeña aleatoredad en los datos se utlza un N pequeño» En cambo cuando exste bastante fluctuacón en los valores se utlza una valor de N mayor, por consguente se tene un mayor suavzamento. Este método no se adapta a datos con tendencas de crecmento rregulares.,, estaconales o cíclcas; es útl en formas de crecmento regular (más adelante se defnen estas formas). b) Suavzamento Exponencal En el método de las medas móvles se necesta almacenar las "N" últmas observacones, as corno tambén se da gual mportanca a todas las observacones. Esto no ocurre con el método de suavzarnento exponencal en el que se da mayor mportanca a los datos mas recentes, ya que los nuevos datos contenen mejor nformacón de lo que sucederá en el futuro próxmo ya que se supone que la tendenca se mantene* El procedmento matemátc.o en el que se basa el suavzamento exponencal es el sguente: Supóngase que se tene dsponble solamente el valor obseí vado más recente y además el valor pronostcado efectuado para ese msmo perodo., en cuyo caso la Ecuacón 2. puede ser modfcada s se remplaza el valor observado en el perodo (t-n+) por un valor aproxmado, el msmo que puede ser

36 el valor pronostcado en el perodo precedente. Con esta modfcacón se tene : Xt Yt j _ * t + ~.,_._ _»,L T V., Y t N N Agrupando; Yt + = Xt + - Yt (2.3) N \ / S se defne a como: N (2.4) entonces la forma general de pronóstco por suavzamento exponencal es:, ~ ; f" VÍ -J (2.5) S\ Se nota en esta ecuacón,, que se necesta almacenar las N observacones pasadas, úncamente la más recente observacón y el más recente pronóstco* Además se debe selecconar un valor apropado de oí'. La Ecuacón 2.5 puede ser expandda susttuyendo el valor de Yt - Yt + =<*Xt + (l-<*) ocxt- H-(l-ct)Yt-) (2-6) (2-7)

37 26 Generalzando: (2-8) Como t* puede tomar valores entre O y, por lo tanto en la ecuacón anteror se puede ver, que la mportanca de las observacones decrece ' exponencalment a medda que se aleja de la más recente observacón- Al reagrupar los térmnos de la Ecuacón 2.5 se obtene; Yt + = Yt+* (Xt~Yt) (2-9) Por lo tanto la nueva predccón es smplemente la anteror rnás a veces el error (Xt-Yt) producdo en el pronóstco precedente. c) Método de Wnter Tanto el método de las medas móvles como el de suavzamento exponencal tenen la desventaja de no poder ajustarse al cambo del patrón básco de la sere- Este nconvenente es superado por el método de Wnter.Este método utlza factores de ajuste tendencal y estaconal- El método de Wnter tene tres ecuacones báscas. c* Xt -^ Yt = 4- (l^)fyt-+bt-) (2.20) Donde: bt = ^ (Yt-Yt-)+(!» tf )bt- (2.2) Xt t = B + (l-b)t-l (2,22) Yt

38 2? \a tendenc Donde: L, es la longtud de la estaconaldad., es el factor de ajuste de la estaconaldad.. b, es el ajuste en la predccón. B, es el factor de suavzamento estaconal. f, es el factor de suavzamento de la tendenca. La predccón de acuerdo al método de Wnter es calculada como: Ft + rn = (Yt+bt + mut-l + m (2.23) Donde: m, es el perodo para el cual se quere hacer el pronóstco. Uno de los prncpales problemas en este método es determnar los valores de ex? ss tf que mnmcen el error medo cuadratco Método de Descomposcón Este método trata de dentfcar cuatro componentes de los que se presume está compuesta una sere de tempo y que son: Y = T*C*E* * Tendencal..- (T) que exste cuando hay un ncremento o decremento general en el valor de la varable sobre el tempo. Generalmente es representada por un polnomo de bajo grado [e cente debdo al aumento del numero de abonados y de la utlzacón de un número mayor de aparatos eléctrcos a lo largo

39 del tempo. * Cíclco. (C) sgue generalmente una trayectora de onda pasando de valores altos a valores bajos cada certo perodo de tempo. La componente cclca es la más dfcl de predecr debdo a que no se repte en un perodo constante de tempo. Por ejemplo el comportamento del cclo económco que nfluye en el crecmento de la demanda. * Estaconal»- (E) que da las fluctuacones sobre un perodo determnado de tempo de acuerdo a una constante estaconal. La estaconaldad puede estar dado por los das de la semana, o por los meses del año- * Componente rregular- () que sempre está presente debdo a las fluctuacones errátcas. Cada componente debe ser modelado en forma separada para obtener el pronóstco total de los valores futuros.!. La sere puede estar representada por la ecuacón Y = T*C*E* (2.24) en la que los cuatro componentes son los factores multplcatvos del total» La relacón tambén puede ser adtva.en caso de ser un modelo^multplcatvo, los componentes se encuentran de la sguente manera:; Componente estaconal-- Esta componente puede ser obtenda utlzando medas móvles para determnar el Índce estaconal. Y - T*C* (2-25)

40 - Componente de tendenca.- Medante el método de mínmos cuadrados se puede determnar la ecuacón de la curva que represente la tendenca en la sere de datos resultante al elmnar el componente estaconal. - Componente cíclca e rregular-» Luego de encontrada las dos componentes anterores, queda por determnarse la componente cclca e rregular. Y.«.«_ T*E Para determnar la componente cclca se aplca medas móvles a C* para luego obtener la componente rregular medante. C* C - j (2-27) Modelos ARMA de Box-Jenkns Estos modelos consderan a los valores de una sere como estadístcamente dependentes, es decr que puede pensarse que un dato pasado o hstórco esté relaconado con una dato actual de alguna manera. El método de Box-Jsnkns utlza esta dependenca para producr un pronóstco a corto plazo con resultados más precsos comparados con los modelos de regresón o los de ajuste exponencal. El método de Box-Jenkns postula tres clases de modelos regulares: a.- Autoregresvos (AR)

41 30 b-- Medas Móvles (MA) c.- Autoregresvos de Medas Móvles (ARMA) A más de estos modelos regulares se tene por nclusón de la componente estaconal, los modelos estaconales. Las ecuacones matemátcas de los modelos menconados son: Modelo Autoregresvo AR(P): Yt=0Yt-+02Yt-2+03Yt PYt-p + et (2-28) Donde: Yt-, Yt~ , Yt-p, son los valores prevos de la msma varable en los perodos t-, t-25 t-3,....., t-p. 0, son los coefcentes del modelo obtendos por mínmos cuadrados, et, es el error y representa la parte aleatora que no puede ser explcada por el modelo- El error no debe estar correlaconado- Modelo de Medas Móvles MA(q): Donde; Yt=et-9et--92et-2-, - - -,- qet-q (2.28) et es el error y es gual a (Yt-Yt). e-t- p et-2 s. -.» t-q, son los valores del error prevos, es decr la varable dependente es una funcón de los valores del error- Modelo Autoregresvo de Medas Móvles (ARMA(p,q)) Este modelo puede ser descrto como una combnacón de los

42 procesos AR(p) y MA(q). Su forma general es la sguente Yt=0 Yt-+02Yt-2 +, pYt-p-6et--92et-2, e^et-q +e-t (2.29) Donde la varable Yt depende tanto de los valores pasados corno de los errores entre los valores actuales y pronostcados de la sere. Al combnar los modelos báscos descrtos con dferentes operadores cuya descrpcón y defncón se realza en el numeral 3.2 del captulo, se obtenen los sguentes modelos cuyas ecuacones smplfcadas son las sguentes: Modelo ARMA ntegrado (ARMA) Que son los modelos ARMA, pero cuya sere orgnal sufró modfcacones (dferencacones) con el objeto de cumplr restrccones de estaconardad. Está representado por la ecuacón: 0fB)VdZt = e(b) t (2.30) Donde: Vs es el "operador dferenca" B, es el "eperador regresvo" Zt, es la sere de trabajo obtenda al dferencar la sere orgnal yt. Modelo.ARMA estaconal (SARMA) Utlzado cuando la sere presenta un comportamento estaconal. d ecuacón «fe : * '**'. Zt = (l-b»-)d(l-b)<íyt (2.3)

43 Donde: L, es el perodo de la estaconaldad- D, es el número de dferencacones estaconales d, es el numero de dferencacones regulares Modelo General Estaconal Multplcatvo O^rj.^N Se obtene cuando se utlza los dferentes operadores estaconales y regulares. Está representado por: 0P(B)$p(8~)Zt =<f +8q(B)6Q(BL.)6t (2-32) Donde: $p(bl), es un "operador estaconal es un "operador estaconal de medas moví les". Este modelo representa la forma más general de los modelos de 2-pU C-S /3. Box-Jenkns y es el que se (ha aplcado)en este trabajo para el pronóstco en barras de subtransmsón. 2-5 APLCABLDAD DE LAS TÉCNCAS DE PRONOSTCO 2-5- Generaldades La seleccón de la técnca más apropada de pronóstco en cualquer área en la que se requera su utlzacón responde a las sguentes nterrogantes: a) Plazo de pronóstco ; Se debe determnar el lapso de tempo en el futuro. De acue do a estos perodos exsten técncas que son adaptables unas más que otras.,

44 33 Generalmente los métodos cualtatvos de pronóstco se utlzan en estudos de predccón a largo plazo. Los métodos cuanttatvos de predccón son utlzados en pronóstcos a largo,, medano y corto plazos, sendo más comunes en los dos al tmos casos. Un segundo punto que hay que consderar dentro del plazo de predccón es el numero de perodos para los cuales se desea realzar el pronóstco. b) Comportamento hstórco de los datos Un aspecto fundamental para determnar la técnca de pronóstco que se va a utlzar., es asumr el modelo hstórco que más se ajuste a la nformacón que se tene* As por ejemplo algunas seres pueden tener modelos tendencales, estaconales, o cíclcos; otras pueden consderarse smplemente compuestos de un valor promedo más fluctuacones aleatoras. c) Tpo de modelo Dentro de las técncas exstentes es necesaro defní r el tpo de modelo de acuerdo a las varables de mayor nfluenca. S se consdera que el valor a pronostcar es dependente solo de la msma varable, se podrá utlzar seres de tempo9 s se quere nclur otros factores se puede utlzar modelos causales. d) El costo Comprende los costos de desarrollo, almacenamento ejecucón y operacón del modelo» de datos, e) Precsón Los requermentos de precsón vararán de acuerdo a las ne-

45 cesdades y objetvos para los cuales se realza el pronóstco. As por ejemplo en certas stuacones un pronóstco con el 5% de error puede ser aceptable, en otros casos un error del 5% puede ser desastroso* Para pronóstco de carga horara a corto plazo., la cuantfcacón del error conlleva el análss de los sguentes crteros: - S ben la precsón es usualmente medda en térmnos estadístcos de la desvacón estándar del error en la predccón.puede ser más razonable consderar el máxmo error como crtero de precsón* - El error en el pronóstco de demanda horara puede ser consderado de acuerdo a la hora del da en la que ocurre- Un error en horas de baja demanda es menos crítco, que s se produce a las horas de carga pco. - En los modelos que no consderan varables exógenas como son los factores clmatológcos., se acepta un error mayor para las 24 horas de predccón, del orden del 3.5%], f) Facldades de aplcacón del modelo El modelo escogdo debe ser de fácl operacón y aplcable en la práctca, por lo cual se debe entender tanto sus aspectos técncos fundamentales,, corno poder nterpretar sus resultados para varas stuacones de funconamento del modelo. Se debe tomar tambén en cuenta el tempo dsponble entre el nco de la mplementacón del método y la fecha en que se requere la predccón-

46 35 2,5.2 Técncas de pronóstco recomendadas Como los perodos de predccón de la demanda se los clasfca en corto, medano y largo plazos9por lo tanto se debe ndcar las metodolocjas mas apropadas a los dferentes perodos de tempo. a) Pronostco a largo plazo Corresponde a perodos mayores a un año y se utlzan usualmente los métodos de regresón.,suavzamento y descomposcón. En planfcacón puede realzarse el pronostco de la demanda medante la extrapolacón de curvas polnómcas, una de las cuales es la curva S. Tambén se utlza modelos de regresón múltple que pronostcan la demanda como una funcón de varables (económcas., demográfcas, clmátcas,etc),, permtendo obtener la ecuacón de la demanda en funcón de aquellas varables fuertemente correlaconadas- Para la aplcacón de éste método es necesaro que se dsponga de proyeccones confables de las dstntas varables ndependentes para el perodo que se desea obtener el pronóstco. b) Pronóstco a medano plazo En este perodo los plazos de medcón son mensuales.. A más de los métodos utlzadados en el pronóstco a largo plazo se utlzan los modelos ARMA'-para perodos no mayores de 5 a 20 mesas debdo a las condcones ntrnsecas del modelo,, y con datos hstórcos mayores a 60 mesesrs Para el caso en que exsta estaconaldad puede utlzarse tambén el método de Wnter.

47 36 c) Pronóstco a corto y muy corto plazos Corresponde al perodo de mnutos a días- En este perodo los datos se vuelven muy aleatoros, por lo tanto se necesta métodos que consderen ésta característca. Uno de los métodos mas utlzados son los de tpo estocástcoa es decr aquellos que consderan la varable a pronostcar como un proceso aleatoro» Es el caso de los modelos ARMA los cuales consderan además las varacones estaconales.actualmente exsten desarrolladas técncas para el pronóstco a muy corto plazo que utlzan datos hstórcos de la msma varable en combnacón con varables exógenas como son los factores clmátcos y que han sdo aplcados con éxto en ambentes de tempo real.[?].

48 CAPTULO 3, NTRODUCCÓN En este captulo se procede a defnr la metodología a segurse para determnar el pronóstco horaro de la demanda en barras de subtransmsón. Como.el objetvo del trabajo es obtener los valores de demanda en barras sgnfcatvas del sstema a partr del pronóstco total del msmo, es necesaro por lo tanto determnar el modelo y la técnca de pronóstco más adecuada que se ajuste a los datos hstórcos exstentes. Una vez obtendo el modelo de pronóstco total del sstema, y con éste los valores futuros de demanda, se procade a determnar la metodología ha segurse para obtener el pronóstco en barras del sstema. 3.2 PRONOSTCO TOTAL DEL SSTEMA Como el pronóstco en cada barra se va a relaconar con el pronóstco total del sstema es mportante que se dsponga de un modelo que descrba lo más fel posble el comportamento del sstema» Numerosas técncas se han desarrollado sobre el pronóstco horaro de demanda, unas más sofstcadas que otras y con dferente grado de dfcultad, algunas de las cuales fueron descrtas en el Captulo.En el presente trabajo se utlzará la metodología de Box-Jenkns para realzar el pronóst-

49 38 co por las sguentes ventajas sobre los demás métodos: Es aplcable Místco. a varables con un comportamento no deterrn- - Su utlzacón es muy dfundda para realzar el pronóstco de la demanda a corto plazo. (Ref. íf Por haber sdo probado con buenos resultados en el pronóstco de demanda a muy corto plazo. (Ref. # ,-4 - Porque consdera que cada nuevo valor esta relaconado con el anteror lo que es verdadero en el comportamento de la demanda horara. La metodologa de Box-Jenkns tene como prncpal desventaja la necesdad de requerr de certo conocmento y experenca para construr y manejar estos modelos. Se descrbe a contnuacón los dferentes modelos y la metodologa que sgue Box-Jenkns hasta llegar al pronóstco. Defncones prelmnares. Para entender mejor el desarollo y la teoría de los dferentes modelos., se defnrá prevamente algunos térmnos. a) Rudo blanco ; Se llama rudo blanco a un proceso dscreto generado por varables aleatoras normales e ndependentes con meda cero y varanza c- 2 tal que : E( O ~ O para todo t (valor esperado) Var( t) = <r 2 t para todo t (varanca) E(<ft.íTe) = O para todo s X t (covaranca)

50 39 b) Seres de tempo estaconaras y no estaconaras Una sere de tempo es estaconara s sus valores fluctúan alrededor de una meda constante., caso contraro será no estaconara. Los modelos de Box Jenkns requeren de esta condcón para ser aplcados* S la sere no es estaconaría y no posee varacones cíclcas se puede realzar dferencacones que conssten en restar a cada observacón su predecesora. S la sere es aún no estaconara se puede realzar una nueva df erencacón. Por lo tanto para la prmera dferencacón se tene: Zt = Yt - Yt- Para t=2,...n Para la segunda dferencacón : Zt = Yt» 2Yt- + Yt-2 Frecuentemente s necesta realzar dferencacones estaconales para lo cual se defne el "operador regular regresvo B", tal que : BYt = Yt- (3-) 8"Yt = Yt-m (3.2) Donde: m, es el orden de la dferencacón. Se defne el "operador regular de dferencacón,v" como: V s - B (3-3) Luego: Vyt = (l-b)yt = Yt «BYt (3-4) = Yt -Yt- (3.5) = (l-b)2yt = (l»2b+b2)yt (3.6) = Yt-28Yt + B2Yt (3,7)

51 = Y-t - 2Yt- 4 Yt-2 3.8) = Zr (3.9) Donde : 2-t, es la sere de trabaja : Yt, es la sere orgnal de observacones- En forma general s se requere realzar d dferencacones regulares para obtener una sere estaconara se empleará la ecuacón: V«Yt =(l-b)dyt (3.0) Donde; d, es el orden de la dferencacón regular Ocasonalmente será necesaro tomar el logartmo de la sere orgnal..especalmente s se nota una tendenca crecente y sobre estos valores tomar dferencacones» c) Funcones de autocorrelacón y autocorrelacón parcal En una sere estaconara se asume que la relacón o las propedades estadístcas entre n observacones no se ven afectadas s se camba el orgen del tempo, es decr las propedades al orgen t: Zt, Zt+,Zt+n- son las msmas que al orgen t+j: Zt+ B Ztn- + j,....-zt + n +j. Para determnar la relacón entre dos medcones separadas por pasos de k undades de tempo se utlza la,"funcón de autocorrelacón" (fk) dada por: CovíZt *Zt-t-k) P -.,._- ;. f -z -\ \ Var(Zt) Dmensonalmente: - á fk ^ (3.2) pk=p-k k puede ser estmado utlzando los valores de Zk medante

52 la "Funcón muestral de autocorrelacón" (rk), y cuya ecuacón es:. n~k (Zt-Z)ÍZt+k-Z) (Zt-Z)2 t=a (3.3) Donde: Z, es el promedo de las observacones;.. 3Zn y está dado por la ecuacón; n Z Zt t-a _,_ n-a+ k, son los perodos de las observacones n, # de las observacones. afl es el orgen de la sere Tanto la funcón de autocorrelacón parcal as como la funcón muestral de autocorrelacón se da corno un lstado o un gráfco para cada observacón o perodo k = l,2.,. En una sere estaconara la funcón de autocorrelacón decrece exponencalmente con el 'tempo o se corta luego de una observacón k = qs es decr : Pk -O para k > q (3-5) A pesar de que fk^o la funcón muestral de autocorrelacón rk probablemente sea muy pequeña pero no gual a cero. Por lo tanto se necesta determnar cuan pequeño debe ser rk para conclur que /k ro

53 Una regla práctca que ayuda a determnar esta condcón es utlzar la prueba del estadístco t, de modo que: PK-0 trk! rk! Srk - 2 para las observacones q+l,q+2.. (3.6) Donde: rks es la funcón muestral de autocorrelacón y l O,..».-. _ ««, /.!_ O o r k - ^^ ^ T (n - a + )/2 k-l /2 (3.7) La "Funcón de autocorrelacón parcal" ( / k<) se utlza para determnar el modelo partcular de la sere de tempo estaconara y da la medda de la autocorrelacón entre dos observacones cualesquera Zt y Zt + k separadas por K undades de tempo, sn consderar los efectos de las observacones ntermedas. El estmado de ^kk se denomna "Funcón muestral de autocorrelacón parcal" (rkk) y esta dada por la ecuacón: k- > _u r\~j. k = l k- - rk-, j rj s (3.8) Donde rkj =rk-, - rkkrk-,k-j para 3=,2,--..k-