Geometría convexa y politopos, día 1

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1 Geometría convexa y poltopos, día 1 Alexey Beshenov 8 de agosto de 2016 Los objetos geométrcos que nos nteresan en esta hstora son subconjuntos de R n. Voy a denotar los puntos de R n por letras x, y, z,... en negrta y las letras cursvas van a denotar las coordenadas, por ejemplo x = (x 1,..., x n ), donde x R. (En la pzarra en lugar de x será más fácl escrbr x.) Recordemos que R n tene estructura de espaco vectoral, afín, euclídeo, métrco, topológco, etc. Voy a denotar todas estas estructuras por el msmo símbolo R n. En partcular, para cada punto x R n tene sentdo la multplcacón por λ R: λ x := (λ x 1,..., λ x n ), y para cada pareja de puntos x, y R n se tene su suma x + y := (x 1 + y 1,..., x n + y n ). Tenemos el producto escalar (defndo postvo, smétrco, blneal) x, y := x 1 y x n y n. Voy a usar la notacón Recordemos la desgualdad del trángulo x := x, x. y tambén la desgualdad del trángulo nversa x + y x + y x y x y Esto defne una estructura de espaco métrco con dstanca d(x, y) := x y. En fn, tenemos la topología estándar sobre R n que es nducda por esta dstanca. Es decr, los subconjuntos abertos son unones arbtraras o nterseccones fntas de las bolas abertas B(x 0, ɛ) := {x R n x 0 x < ɛ} para x 0 R n y ɛ > 0. Las letras X, Y van a denotar subconjuntos de R n. La letra K va a denotar un subconjunto convexo (de la palabra konvex en alemán) y las letras P y Q van a denotar poltopos y poledros convexos. 1. Conjuntos convexos 1.1. Defncón. Un subconjunto A R n se llama un subespaco afín s se cumple una de las sguentes condcones equvalentes: 1

2 1) para cada dos puntos dferentes x 1, x 2 A la recta que pasa por x 1 y x 2 : está tambén contenda en A, {x 1 + λ (x 2 x 1 ) λ R} = {λ 1 x 1 + λ 2 x 2 λ 1 + λ 2 = 1} 2) A contene todos los puntos de R n afínmente dependentes de A. Se dce que x R n es afínmente dependente de A s x es una combnacón afín de certos puntos x 1,..., x k A: x = λ x 1 k para certos coefcentes λ R tales que λ = 1. De hecho, para k = 2 la condcón 2) es la msma cosa que 1). Entonces 2) mplca 1). Ahora sea A un subconjunto que satsface la condcón 1). La condcón 2) se demuestra por nduccón sobre k: el caso k = 1 es trval, y para k 2, s tenemos un punto x = λ x 1 k donde λ = 1 y x 1,..., x k A, entonces sn pérdda de generaldad λ k 1 y λ λ k 1 0, y ( x = (λ λ k 1 ) 1 k 1 λ λ λ k 1 x lo cual sgnfca que x pertenece a la recta que pasa por los puntos ) + λ k x k, ( ) λ 1 k 1 λ 1 + +λ x k 1 y x k Defncón. Se dce que un subconjunto X R n es afínmente ndependente s X no contene nngún punto x X que sea afínmente dependente de X \ {x}. Notamos que la condcón 2) de arrba no depende del orgen de coordenadas 0 R n, y se ve fáclmente que X R n es afínmente ndependente s y solamente s para dferentes puntos x 0,..., x k X la relacón α x = 0 0 k para α = 0 mplca que α 0 = = α k = 0. Es decr, los vectores x 1 x 0,..., x k x 0 son lnealmente ndependentes. Medante álgebra lneal básca se ve que cada subespaco afín A R n contene un subconjunto afínmente ndependente maxmal {x 0,..., x d }, tal que A es el conjunto de todos los puntos de R n afínmente dependentes de {x 0,..., x d }: A = { 0 d λ x λ = 1} Defncón. El número d de arrba se llama la dmensón de A. Los números λ se llaman las coordenadas barcéntrcas respecto a {x 0,..., x d }. En otras palabras, se puede defnr sobre A una estructura de R-espaco vectoral (escogendo como orgen de coordenadas a x 0 A), y la dmensón de este espaco vectoral es la dmensón de A. Los puntos {x 1,..., x d } defnen una base partcular de este espaco vectoral Ejemplo. La dmensón del plano R 2 es 2 porque se puede encontrar 3 puntos x 0, x 1, x 2 afínmente ndependentes (los vectores x 1 x 0 y x 2 x 0 son lnealmente ndependentes): 2

3 1.5. Defncón. Un subconjunto K R n se llama convexo s se cumple una de las sguentes condcones equvalentes: 1) para cualesquera dos puntos dferentes x 1, x 2 K el segmento de la recta entre x 1 y x 2 [x 1, x 2 ] := {x 1 + λ (x 2 x 1 ) 0 λ 1} = {λ 1 x 1 + λ 2 x 2 λ 1, λ 2 0, λ 1 + λ 2 = 1} está tambén contendo en K, x 1 x 2 x 1 x 2 convexo no convexo 2) K contene todos los puntos de R n convexamente dependentes de K. Se dce que x R n es convexamente dependente de K s x es una combnacón convexa de algunos puntos x 1,..., x k K: x = λ x 1 k para algunos coefcentes λ 0 tales que λ = 1. Noten que la dferenca entre la defncón de un subconjunto convexo y un subespaco afín es que para un conjunto convexo se pde que λ sean no negatvos, y entonces la equvalenca de las condcones 1) y 2) se demuestra de la msma manera. Tambén notamos que cada subespaco afín de R n es un ejemplo (poco nteresante) de un conjunto convexo. El conjunto vacío es tambén convexo Observacón. Sean K R n y L R m dos conjuntos convexos y sea f : R n R m una aplcacón afín. Entonces f (K) R m y f 1 (L) R n son tambén convexos. Demostracón. Recordemos que una aplcacón afín f : R n R m se caracterza como una aplcacón tal que para cada famla de puntos x, para λ x donde λ = 1 se tene f ( λ x ) = λ f (x ). S f (x ) f (K), entonces para cualquer combnacón convexa tenemos λ f (x ) = f ( λ x ) f (K). } {{ } K De modo smlar, s x f 1 (L), es decr f (x ) L, entonces es decr λ x f 1 (L). f ( λ x ) = λ f (x ) L, 3

4 1.7. Ejercco. Cuáles son los subconjuntos convexos de R 1? Dgamos que dos subconjuntos X y Y son dferentes s uno no se trasforma en otro por una homoteca de razón postva (una aplcacón x λ x con λ > 0). Cuáles son los subconjuntos convexos dferentes de R 1? Aquí hay un par de ejemplos de conjuntos convexos que no son subespacos afnes: 1.8. Ejemplo. Una bola en R n (cerrada o aberta) es un conjunto convexo. Sn pérdda de generaldad, la bola está centrada en 0 R n. Sean x 1 y x 2 dos puntos en la bola de rado r, es decr x 1 r y x 2 r. Sea x = x 1 + λ (x 2 x 1 ) = (1 λ) x 1 + λ x 2 para 0 λ 1. Entonces por la desgualdad del trángulo x (1 λ) x 1 + λ x 2 r. Para la bola aberta susttuyan por < Ejemplo. Sea v 0 un punto en R n y α R algún número fjo. Entonces el subconjunto H := {x R n x, v = α} es un hperplano que dvde R n en dos semespacos abertos H + := {x R n x, v > α}, H := {x R n x, v < α}. x 2 2 v H + 0 H 2 x 1 H Ejemplo: v = (1, 1), α = 2, H = {(x 1, x 2 ) R 2 x 1 + x 2 = 2}. H + y H son convexos. Por ejemplo, s x 1, x 2 H +, entonces para cualquer λ 1, λ 2 0 tales que λ 1 + λ 2 = 1 tenemos λ 1 x 1 + λ 2 x 2, v = λ 1 x 1, v + λ 2 x 1, v > α. S en lugar de las condcones > y < se consderan y, entonces se tene semespacos cerrados correspondentes H + y H Ejemplo. Sean v 0,..., v n R n+1 algunos puntos dferentes tales que {v 0,..., v n } es afínmente ndependente. Entonces el símplce con vértces v 0,..., v n es el subconjunto de R n defndo por S := { α v α = 1, α 0}. 0 n 4

5 Se ve fáclmente que S es convexo. De hecho, s x 1 = 0 n α (1) v y x 2 = 0 n α (2) v son puntos de S (es decr, α (1) = α (2) = 1) y λ 1, λ 2 0 son algunos números postvos tales que λ 1 + λ 2 = 1, entonces λ 1 x 1 + λ 2 x 2 = (λ 1 α (1) + λ 2 α (2) ) v, 0 n que es tambén un punto de S porque λ 1 α (1) + λ 2 α (2) = λ 1 α (1) + λ 2 α (2) = λ 1 + λ 2 = 1. Normalmente en R n+1 se consderan los puntos v 0 = (1, 0,..., 0), v 1 = (0, 1,..., 0),..., v n = (0, 0,..., 1), y el conjunto correspondente se llama el n-símplce estándar: n := {(α 0,..., α n ) R n+1 α = 1, α 0}. x 3 v 2 v 0 x 1 v 1 x Ejemplo. Un subconjunto C R n se llama un cono de vértce 0 s 0 C y para cada punto x C y cada λ > 0 tambén λ x C. Notemos que C es convexo s y solamente s para cada x, y C tenemos x + y C. En otras palabras, un cono convexo C es un subconjunto de R n tal que 0 C y C es cerrado bajo combnacones lneales postvas. En general, un cono de vértce a se obtene por la traslacón paralela de un cono de vértce 0. Un hperplano es un caso partcular de un cono. 0 0 Ahora s X R n es un subconjunto, entonces el conjunto C(X) := {λ x x X, λ 0} es el mínmo cono que contene a X. S K R n es convexo, entonces C(K) es un cono convexo. 5

6 C(K) K 0 Las sguentes propedades son fácles de demostrar y las dejo como un ejercco: Ejercco. 1) S K R n y L R m son conjuntos convexos, entonces K L R n+m es tambén convexo. 2) Sea {K α } una famla de conjuntos convexos en R n (ndexada por algún parámetro real α). Entonces su nterseccón α K α es tambén convexa. 3) La unón de conjuntos convexos α K α cas nunca es convexa. Sn embargo, s la famla {K α } α satsface α β K α K β, entonces su unón es tambén convexa. 4) Para dos subconjuntos X, Y R n su suma de Mnkowsk es el subconjunto X + Y := {x + y x X, y Y}. Demuestre que s X y Y son convexos, entonces X + Y es tambén convexo. Hermann Mnkowsk ( ) fue un matemátco alemán de orgen judío, conocdo por sus contrbucones en geometría, teoría de números y físca matemátca. 6

7 Nacó en el Impero ruso, en el terrtoro actual de Ltuana. Su famla se mudó a Köngsberg en el Mnkowsk recbó su doctorado en Köngsberg bajo la dreccón de Ferdnand von Lndemann. Estudó formas cuadrátcas y establecó la geometría de los números. Mnkowsk trabajó en unversdades de Bonn, Gotnga, Köngsberg y Zürch. En Zürch fue uno de los profesores de Albert Ensten. Muró repentnamente a los 44 años de ruptura del apéndce. Varos conceptos y resultados en matemátcas tenen su nombre, entre ellos la suma de Mnkowsk que hemos defndo arrba y los teoremas sobre conjuntos convexos y retículos: Sea Λ R n un retículo (por ejemplo, Λ = Z n ). Sea K R n un conjunto convexo, smétrco respecto a 0 (es decr, s x K, entonces x K). S vol K > 2 n det Λ, entonces el teorema de Mnkowsk dce que K contene un punto x Λ, x 0. Sea Λ R n un retículo y sea K R n un conjunto convexo, smétrco respecto a 0, tal que vol K <. Entonces el segundo teorema de Mnkowsk da una estmacón de vol K: donde 2 n n! det Λ λ 1 λ n vol K 2 n det Λ, λ := ínf{λ > 0 λk contene vectores lnealmente ndependentes de Λ}. El teorema de Hasse Mnkowsk: s F(X 1,..., X n ) Q[X 1,..., X n ] es una forma cuadrátca (un polnomo homogéneo de grado 2 en n varables), entonces la ecuacón F(X) = 0 tene una solucón no trval x Q n, x 0 s y solamente s F(X) = 0 tene solucón no trval en cada complecón Q p (ncluso Q = R). La demostracón del teorema de Hasse Mnkowsk usa el teorema de Mnkowsk de arrba Observacón. S K R n es un conjunto convexo, entonces su nteror y clausura topológca 7

8 son tambén convexos. nt K := K := F = {x K B(x, ɛ) K para algún ɛ > 0}, F K F aberto en R n F = {x R F K F cerrado en R n n B(x, ɛ) K para cualquer ɛ > 0}. Demostracón. Vamos a demostrar la parte sobre nt K. Sea x 1 nt K. Entonces B(x 1, ɛ) K para algún ɛ > 0. Luego, para cualquer punto x 2 K por la convexdad de K tenemos λ 1 B(x 1, ɛ) + λ 2 x 2 = B(λ 1 x 1 + λ 2 x 2, λ 1 ɛ) K para λ 1 > 0, λ 2 0, λ 1 + λ 2 = 1. x 1 x 2 En otras palabras, para cualquer x 1 nt K y x 2 K tenemos [x 1, x 2 ) nt K. En partcular, s x 1, x 2 nt K, entonces [x 1, x 2 ] nt K. El argumento de arrba demuestra que los conjuntos convexos tenen la sguente propedad especal: s R es un rayo con orgen en x nt K, entonces R nterseca la frontera fr K como mucho en un punto. S K fr K = {y}, entonces [x, y) nt K y R \ [x, y] R n \ K. S K no es acotado, puede ser que R fr K =, y en este caso R nt K. x y x Ejercco. Termne la demostracón del caso de K. Noten que en general el nteror nt K de un conjunto convexo K R n puede ser vacío. Por ejemplo, s S = { α v α = 1, α 0} 0 n 0 n es un símplce en R n+1, entonces S no contene nngún subconjunto que sea aberto en R n+1, smplemente porque S pertenece al hperplano H = { α v α = 1}. 0 n 0 n Pero H es un espaco afín, de hecho el espaco afín mínmo que contene a S, y el nteror de S como subespaco topológco de H no es vacío, es dado por ntrel S = { α v α = 1, α > 0}. 0 n 8

9 Esto recbe el nombre de nteror relatvo (a H). La frontera relatva de S está dada por S \ ntrel S = S, 0 n donde S es el símplce con vértces {v 0,..., v n } \ {v }, que se obtene ponendo α = Defncón. S K R n es un conjunto convexo, entonces la envolvente afín de K es el conjunto af K := A. A K A es un subespaco afín de R n La dmensón de K es la dmensón del espaco afín af K. Se ve que af K = { λ x λ = 1}, 0 m 0 m donde {x 0,..., x m } K es un conjunto maxmal de puntos afínmente ndependentes y m = dm K. La envolvente afín es nteresante por la sguente razón: Observacón. Sea K un conjunto convexo no vacío. Entonces el nteror de K como subconjunto de af K no es vacío. Este se llama el nteror relatvo y se denota por ntrel K. En partcular, s nt K =, entonces af K R n y K pertenece a algún hperplano en R n. Demostracón. S K no es vaco, entonces contene el símplce af K = { λ x λ = 1} 0 m 0 m S = { λ x λ = 1, λ 0}, 0 m 0 m con vértces en certos puntos x 0,..., x m K, y luego su barcentro m m x pertenece a ntrel S ntrel K. Los conjuntos convexos tenen buenas propedades topológcas. Por ejemplo, para cualquer espaco topológco X tenemos nt X X, nt X nt X. Pero en general nt X X (por ejemplo, s X es un punto) y nt X nt X (por ejemplo, s X es una bola en R n sn un punto nteror). Sn embargo, s X es convexo y nt X, entonces hay nclusones nversas Proposcón. Sea K R n un conjunto convexo. Entonces nt K = K, s nt K, nt K = nt K, ntrel K = K, s ntrel K, ntrel K = ntrel K, fr K = fr(nt K) = fr(k), s nt K. Aquí fr K := K \ nt K es la frontera de K. 9

10 Demostracón. La últma formula es una consecuenca formal de las dos prmeras. Las formulas con ntrel son tambén consecuencas de las fórmulas con nt. Para la prmera fórmula, s x K, entonces para cualquer ɛ > 0 exste y K tal que x y < ɛ. Por nuestra hpótess, exste un punto z nt K, y por lo tanto [z, y) nt K, como hemos vsto en Entonces para cualquer ɛ > 0 exste y nt K tal que x y < ɛ. Hemos demostrado que K nt K. Para la segunda fórmula, tenemos que demostrar que nt K nt K. Prmero supongamos que nt K =. Tenemos dos posbldades: K =, y en este caso obvamente nt K = nt K, K, y en este caso ntrel K y por lo tanto af K R n y nt K = nt K =. Entonces, el caso nt K = es trval y podemos suponer que nt K. Escojamos un punto z nt K. Para un punto x nt K sea R el rayo que empeza en z y pasa por x. La condcón x nt K quere decr que B(x, ɛ) K para algún ɛ > 0, y por lo tanto exste y B(x, ɛ) tal que x (z, y). Pero [z, y) nt K, como hemos observado antes (el rayo puede ntersecar la frontera solo una vez, y esta nterseccón no puede estar antes de y porque y K). z x y 10

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