APLICACIONS DE LA DERIVADA

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1 0 APLICACIONS DE LA DERIVADA Pàgina 7 Relació del creiement amb el signe de la primera derivada Analitza de la mateia manera la corba següent: f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 f crece f' > 0 f decrece f' < 0 Pàgina 75 Relació de la curvatura amb el signe de la segona derivada Descriu anàlogament el tram CD i els trams DE, EF i FG següents: A B C D E F G f convea f cóncava f' decreciente f' creciente f'' < 0 f'' > 0 CD f convea f' decreciente f" < 0 DE f cóncava f' creciente f" > 0 EF f convea f' decreciente f" < 0 FG f cóncava f' creciente f" > 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

2 Dibuia el gràfic d una funció, f, que complisca les condicions següents: La funció està definida en [0, 7]. Només pren valors positius. Passa pels punts (0, ), (, ) i (7, ). En l interval (, ), la funció és convea. En l interval (, ), f > 0. En l interval (, 6), f és decreient. En l interval (6, 7), f es còncava Pàgina 76. Troba les rectes tangents a la corba: 5 y en els punts d abscisses 0,,. Calculamos la derivada de la función: y' (5 + 6)( ) ( ) ( ) Ordenadas de los puntos: y(0) 0; y() ; y() 50 Recta tangente en (0, 0): y'(0) 8 y 8 Recta tangente en (, ): y'() 9 y 9( ) 9 + Recta tangente en (, 50): y'() y 50 + ( ) ( ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada

3 . Troba les rectes tangents a la circumferència: + y + y 0 en els punts d abscissa 0. Obtención de las ordenadas correspondientes: + y + y y 6 + y 0 y + y 0 ± ± 00 y ± 0 y Punto (, ) y 7 Punto (, 7) Para hallar la pendiente en esos puntos, derivamos implícitamente: + yy' + y' 0 y'(y + ) y' y + y + Así: y'(, ) ; y'(, 7) 5 5 Recta tangente en (, ): y ( ) Recta tangente en (, 7): y 7 + ( ) Pàgina 77. Donada la funció y 9 + 5, esbrina: a) On crei. b) On decrei. y' 6 9 ( ) ( )( + ) a) < y' > 0 f es creciente en (, ) > y' > 0 f es creciente en (, + ) b) < < y' < 0 f es decreciente en (, ) Pàgina 79. Comprova que la funció y /( ) té només dos punts singulars, en 0 i en 6. Esbrina de quin tipus és cada un d aquests dos punts singulars; per fer-ho, has d estudiar el signe de la derivada. Unitat 0. Aplicacions de la derivada

4 y' ( ) ( ) ( )(( ) ) ( ) ( ) ( 6 ) ( ) y' 0 ( 6) 0 ( 6) ( ) 0 6 f'( 0,0) > 0 f'(0,0) > 0 En 0 hay un punto de infleión. f'(5,99) < 0 f'(6,0) > 0 En 6 hay un mínimo relativo. a) Troba tots els punts singulars (abscissa i ordenada) de la funció y +. Mitjançant una representació adequada, esbrina de quin tipus és cada un d aquests. b) Ídem per a y a) y' + ( + ) y' 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Dos puntos singulares. Los dos puntos están en el intervalo [ ;,5], donde la función es derivable. Además, f ( ) 7 y f (,5),7. En (0, 0) hay un punto de infleión. En (, ) hay un máimo relativo. b) y' ( +)( +)( +) y' 0 Punto (, 0) Punto (, ) Punto (, 0) Los tres puntos están en el mismo intervalo [, 0], donde la función es derivable. Además, f ( ) f (0) 9. Hay un mínimo relativo en (, 0), un máimo relativo en (, ) y un mínimo relativo en (, 0). Tres puntos singulares. 9 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

5 Pàgina 8. Estudia la curvatura de la funció: y f'() ; f''() Punto (0, 5) f''() 0 ( ) 0 Punto (, 7 ) ( f'''() 7 8; f'''(0) 0; f'''( ) 0) Los puntos (0, 5) y (, ) son puntos de infleión. 7 La función es cóncava en (, 0) U (, + ), pues f''() > 0. La función es convea en el intervalo ( ) 0,. Estudia la curvatura de la funció: y f'() + 9; f''() 6, pues f''() < 0. f''() Punto (, ) ( f'''() 6; f'''() 0) El punto (, ) es un punto de infleión. La función es convea en (, ), pues f''() < 0. La función es cóncava en (, + ), pues f''() > 0. Pàgina 8. Troba el nombre positiu la suma amb vint-i-cinc vegades el seu invers del qual siga mínima. Llamamos al número que buscamos. Ha de ser > 0. Tenemos que minimizar la función: 5 f () + f'() 5 5 f (5) (no vale, pues >0) (Como f () +, f () +, y la función es continua en (0, + ); hay 0 + un mínimo en 5). + Por tanto, el número buscado es 5. El mínimo es 0. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

6 . De tots els triangles rectangles els catets dels quals sumen 0 cm, troba les dimensions d aquell que tinga l àrea màima. + y 0 y 0 y (0 ) 0 Área, 0 < < 0 Tenemos que maimizar la función: 0 f () y, 0 < < 0 0 f'() y ( 5 f (0) 0; f (0) 0; f (5) ; y f es continua. Luego, en 5 está el máimo). Los catetos miden 5 cm cada uno. El área máima es de,5 cm.. Entre tots els rectangles de perímetre m, quin és el que té la diagonal més icoteta? d (6 ) +, 0 < < 6 d 6 Tenemos que minimizar la función: f () (6 ) +, 0 < < 6 f'() (6 ) + + (6 ) + (6 ) + f'() (6 ) + ( f (0) 6; f (6) 6; f () 8,; y f () es continua. Luego, en hay un mínimo). El rectángulo con la diagonal menor es el cuadrado de lado m.. Determina les dimensions que ha de tindre un recipient cilíndric de volum igual a 6,8 litres perquè puga construir-se amb la menor quantitat possible de llanda. Suponemos el recipiente con dos tapas: V 6,8 l 6,8 dm h r πr r h Área total πrh + πr πr(h + r) Unitat 0. Aplicacions de la derivada 6

7 Como V π r h, r h 6,8 h 6,8 h, r r Así: Áreal total πr ( + r) ( π + r ) r Tenemos que hallar el mínimo de la función: f (r) π ( + r ), r >0 f'(r) π ( + r ) π ( ) 0 + r 0 r (Como f (r) +, f (r) +, y f es continua en (0, + ); en r hay r 0 + un mínimo). r r r h El cilindro tendrá radio dm y altura dm. r r + r + r r Pàgina 8. Calcula, aplicant-hi L Hôpital: a) sen ( + cos ) b) 0 cos 0 a) ( ) 0 e e sen 0 0 e + e cos b) ( ) 0 sen ( + cos ) cos e e sen cos ( + cos ) + sen ( sen ) cos + ( sen ). Calcula: a) e + b) 0 a) e + e b) ( ) ( ) e Unitat 0. Aplicacions de la derivada 7

8 Pàgina 85. Aplica-hi L Hôpital: (cos + sin ) / 0 Para poner (cos + sen ) / en forma de cociente, tomamos logaritmos en f () (cos + sen ) /. 0 (ln[ f ()]) ( ln(cos + sen )) ( ). Calcula: ( / ) + + Pàgina ( sen + cos )/(cos + sen ) f () e e 0 ( / ) ( ) + ( / ln ) ln ln + / / ln(cos + sen ) / ( / ) ln ( / ). a) Eplica per què y sin complei les hipòtesis del teorema de Rolle en l interval [0, π]. b) En quin punt es verifica la tesi del teorema de Rolle? a) y sen es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. Además, f (0) f (π) 0. Por tanto, cumple las hipótesis del teorema de Rolle b) y' cos 0 (0, π) π Pàgina 88. Aplica el teorema del valor mitjà, si és possible, a la funció:: f () + en [, ] Calcula el valor corresponent a c. f () es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: f (b) f (a) b a f ( ) f ( ) 6 6 ( ) + Unitat 0. Aplicacions de la derivada 8

9 f'() 6 La tesis se cumple en c.. Repetei l eercici anterior per a la funció g () +. g() es derivable (y, por tanto, continua) en todo Á. En particular, es continua en [, ] y derivable en (, ). Luego, cumple las hipótesis del teorema del valor medio. Veamos dónde cumple la tesis: g(b) g(a) b a g( ) g( ) 0 ( 9) 9 ( ) + g'() ± + 0 ± ± Por tanto, se cumple la tesis en c. ±,9,5. Demostra que f() complei les hipòtesis del teorema del valor mitjà en l interval [, 6]. En quin punt complei la tesi? f () si < si f () ( ) 5 f () ( + 0 9) 5 f () es continua en. + f () 5 Luego, f () es continua en el intervalo [, 6]. (Para está formada por dos polinomios). Veamos si es derivable: si < f'() + 0 si > En, tenemos que f'( ) f'( + ). Por tanto, la función es derivable en (, 6). Su derivada es: si f'() + 0 si > Luego, se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 9

10 Veamos dónde cumple la tesis: f (6) f () 6 5 f'(c) La tesis se cumple en c. 5. Aplicant-hi el teorema de Rolle, demostra que + b 0 no pot tindre més d una arrel en l interval [, ] qualsevol que siga el valor de b. (Fes-ho per reducció a l absurd: comença suposant que hi ha dues arrels en aquest interval). f () + b es continua en [, ] y derivable en (, ). 9 f'() 0 La derivada solo se anula en y en. Supongamos que f () tiene dos raíces en [, ], sean c y c. Por el teorema de Rolle, como f (c ) f (c ) 0, eistiría un c (c, c ) tal que f'(c) 0. Pero f'() solo se anula en y en, que no están incluidos en (c, c ), pues c, c. Hemos llegado a una contradicción. Por tanto, + b 0 no puede tener más de una raíz en el intervalo [, ], cualquiera que sea el valor de b. 6. Calcula p, m i n perquè: f () + p si m + n si 5 complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l interval [, 5]. On complei la tesi? Representa-la. Si, la función es continua, pues está formada por polinomios. Su dominio es [, 5]. En, para que sea continua, ha de ser: f () ( + p) 9 + p f () (m + n) m + n 9 + p m + n + f () m + n 9 + p Unitat 0. Aplicacions de la derivada 0

11 Si (, 5) y, su derivada es: f'() + p si < < m si < < 5 Para que f () sea derivable en, ha de ser: f'( ) 6 + p f'( + ) m 6 + p m Para que se cumplan las hipótesis del teorema de Rolle, además, debe tenerse que f ( ) f (5); es decir: f ( ) p f (5) 5m + n p 5m + n Uniendo las tres condiciones anteriores, tenemos que: 9 + p m + n 6 + p m p 5m + n Con estos valores: 8 m ; n 9; p 0 f'() (, 5) 5 La tesis se cumple en c. f () 0 + si < < 8 si < si si 5,8 5 5, Pàgina 90. Demostra que: Si f és contínua en [a, b], derivable en (a, b) i f () < 0 per a (a, b), aleshores f és decreient en [a, b]. Si tomamos dos puntos cualesquiera < de [a, b], se cumplen las hipótesis del teorema del valor medio en [, ] y, por tanto, su tesis: f ( ) f ( ) f'(c) < 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

12 Se deduce que f ( ) f ( ) < 0 y, por tanto, f ( ) < f ( ). La función es, pues, decreciente en [a, b].. Demostra que: Si f'( 0 ) 0 i f''( 0 ) < 0, aleshores f presenta un màim en 0. Si h < 0, entonces: Si h > 0, entonces: f'( f''( 0 ) 0 + h) f'( 0 ) f'( 0 + h) < 0 h h h 0 h 0 f'( 0 + h) > 0 f es creciente a la izquierda de 0 () f'( 0 + h) < 0 f es decreciente a la derecha de 0 () Por () y (), f presenta un máimo en 0, ya que es creciente a la izquierda de 0 y decreciente a su derecha. Pàgina 97 EXERCICIS I PROBLEMES PROPOSATS PER A PRACTICAR Recta tangent Troba l equació de la recta tangent a les corbes següents en els punts que s indiquen: a) y ln (tg ) en b) y sin 5 en c) + y 8y en π a) Ordenada en el punto: y 0 8 ( + tg π Pendiente de la recta: y' y'( ) tg 8 ) Recta tangente: y ( ) π 8 π b) Ordenada en el punto: y 6 π 8 π 6 π Unitat 0. Aplicacions de la derivada

13 Pendiente de la recta: 5 cos 5 π y' y'( ) 5( /) sen 5 6 / Recta tangente: y ( ) π c) Ordenadas en los puntos: + y 8y y 8y ± 6 60 y Pendiente de las rectas: 8 ± y 5 Punto (, 5) y Punto (, ) + yy' 8y' 0 y'(y 8) y' y 8 y y'(, 5) 5 y'(, ) Recta tangente en (, 5): y 5 ( ) y + 7 Recta tangente en (, ): y + ( ) y + Troba les tangents a la corba y paral leles a la recta + y 0. S La pendiente de la recta + y 0 es m. Buscamos los puntos en los que la derivada sea igual a : y' ( ) ( ) + + y' ( + ) ( ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, ) Recta tangente en (0, 0): y Recta tangente en (, ): y ( ) y + 8 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

14 Escriu les equacions de les tangents en els punts que s hi indiquen: e a) y Sh e en 0 i ln b) y + + en 0 c) y ( + ) sin en 0 y π e a) y' + e En 0 f (0) 0; f'(0) y En ln f (ln ) ; f'(ln ) 5 y + ( ln ) b) y' ; f'(0) ; f (0) y + c) Hallamos la derivada tomando logaritmos: ln y ln( + ) sen ln y sen ln( + ) y' y cos ln( + ) + sen + y' ( + ) [ sen cos ln( + ) + sen ] + En 0: f (0) ; f'(0) 0 y En π: f (π) ; f'(π) ln(π + ) y ln(π + ) ( π) 5 S Troba un punt del gràfic y en el qual la recta tangent siga paral lela a y + 8. La pendiente de la recta y + 8 es m. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() + f'() + y 7 El punto es (, 7). Unitat 0. Aplicacions de la derivada

15 5 Troba una recta que siga tangent a la corba: S y + i que forme un angle de 5º amb l ei d abscisses. Hi ha cap punt de la corba en què la recta tangent siga horitzontal? Si forma un ángulo de 5 con el eje de abscisas, su pendiente es tg 5. Buscamos un punto en el que la derivada valga : f'() f'() y 9 La recta es: y + ( ) y + Veamos si hay algún punto de la curva en el que la recta tangente sea horizontal; es decir, en el que la derivada valga cero: f'() 0 y Punto (, ) 9 6 Obtín l equació de la recta tangent paral lela a l ei d abscisses en les corbes següents: a) y ln b) y e c) y sin Una recta paralela al eje de abscisas tiene pendiente cero. a) y' ln + ln + y' 0 ln + 0 ln e y e e La recta tangente en el punto (, ) es: y e e e b) y' e + e ( + )e. Como e 0 para todo : y' ( + ) 0 0 Punto (0, 0) Punto (, /e ) En el punto (0, 0), la recta tangente es: y 0 En el punto ( ), e, la recta tangente es: y e c) y' cos y' 0 cos 0 π π + πk + πk y π π + πk + πk y Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

16 π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y π En los puntos ( + πk, ), con k Z, la recta tangente es: y 7 Troba l equació de la recta tangent a la corba y y en el punt (, ). Para hallar la derivada tomamos logaritmos: y y y ln + ln y ln y ln + ln y 0 Derivamos: y' y' ln + y + ln y + 0 y y' y ln + y + y ln y + y' 0 y'(y ln + ) y y ln y y' y y ln y y ln + y'(, ) Por tanto, la ecuación de la recta tangente en (, ) es: y ( ); es decir, y + 8 Troba el punt del gràfic de y en el qual la tangent forme un angle de 60º amb l ei X. Escriu l equació d aquesta tangent. Si forma un ángulo de 60 con el eje X, su pendiente es tg 60. Buscamos un punto en el que la derivada valga : y' y' y El punto es (, ). La recta tangente en ese punto será: y + ( ) y + y + Unitat 0. Aplicacions de la derivada 6

17 Màims i mínims. Punts d infleió 9 Troba els màims, mínims i punts d infleió de les funcions següents: S a) y b) y ( 8) c) y d) y + e) y f) y e ( ) + a) f'() + 9 f'() 0 ( ± 6 + ) 0 ± y 0 y Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, 0) y un máimo en (, ). Puntos de infleión: f''() 6 0 y Como f''() < 0 para < y f''() > 0 para >, el punto (, ) es un punto de infleión. b) y 8 f'() f'() 0 ( ) 0 0 y 0 y (/) f' < 0 f' < 0 f' > 0 Hay un mínimo en (, ). f''() 0 ( ) 0 0 y 0 / y (6/8) f'' > 0 f'' < 0 f'' > Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). Unitat 0. Aplicacions de la derivada 7

18 c) f'() 6 f'() 0 ( 6) 0 0 y 0 / y (7/6) f' < 0 f' < 0 f' > Hay un mínimo en (, ). f''() ( ) 0 0 y 0 y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un punto de infleión en (0, 0) y otro en (, ). d) f'() f'() 0 ( + ) 0 0 y 0 f' < 0 f' > 0 0 Hay un mínimo en (0, 0). f''() + 0 para todo. No hay puntos de infleión. e) f'() ( + ) f'() y f' > 0 f' < 0 0 Hay un máimo en (0, ). f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) 6 ( + ) f''() 0 ± ± ± y f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada 8

19 Hay un punto de infleión en (, ) y otro en (, ). f) f'() e ( ) + e e ( + ) e f'() 0 e 0 0 (pues e 0 para todo ) y f'' < 0 f'' > 0 0 Hay un mínimo en (0, ). f''() e + e e ( + ) f''() 0 y e f'' < 0 f'' > 0 e Hay un punto de infleión en (, ). 0 Estudia els intervals de creiement i decreiement de les funcions següents S i digues si tenen màims o mínims: a) y b) y c) y d) y + + a) y. Dominio Á {, } f'() 0 0 ( ) Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: crece en (, ) U (, 0) decrece en (0, ) U (, + ) ( ) tiene un máimo en 0, Unitat 0. Aplicacions de la derivada 9

20 b) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + + ( + ) ( + ) 5 ( + ) f'() > 0 para todo. Por tanto, la función es creciente en (, ) U (, + ). No tiene máimos ni mínimos. c) y. Dominio Á + f'() ( + ) + ( + ) ( + ) ( + ) f'() > Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 0 La función: decrece en (, 0) crece en (0, + ) tiene un mínimo en (0, 0) d) y. Dominio Á {0} f'() ( ) + + f'() 0 para todo 0. f'() > 0 para todo 0. La función es creciente en (, 0) U (0, + ). No tiene máimos ni mínimos. Troba els intervals de creiement i els màims i mínims de les funcions S següents: 8 a) y b) y + c) y ( ) d) y e) y 9 f) y 8 ( ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada 0

21 8 a) y 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() ( ) (8 ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 6 ± ± ± 8 6 / Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 f' > 0 La función: es creciente en (, 0) U ( ) 0, es decreciente en (, ) U (, ) 9 tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en ( ), b) y +. Dominio Á {, } U (, + ) f'() ( ) ( + ) ( ) ( ) ( ) f'() Signo de la derivada: f' > 0 f' > 0 f' < 0 f' < 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, 0) es decreciente en (0, ) U (, + ) tiene un máimo en (0, ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada

22 c) y. Dominio Á {, } f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f'() 0 ( ) 0 0 Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, ) tiene un punto de infleión en (0, 0) d) y. Dominio Á {} f'() ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ) ( ) f'() 0 ± 6 ± + 0 ± Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' > 0 f' < 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

23 La función: es creciente en (, ) U (, ) es decreciente en (, ) U (, + ) tiene un mínimo en (, ) tiene un máimo en (, 9) e) y 9. Dominio Á f'() 6 9 ( ) ± + ± 6 f'() 0 Signo de la derivada: ± f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) tiene un máimo en (, 5) tiene un mínimo en (, 7) f) y 8 8. Dominio Á {0, } ( ) f'() 8( 6) 8( 6) ( ) ( ) 8( 6) ( ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 0 f' < 0 La función: es creciente en (0, ) es decreciente en (, 0) U (, ) U (, + ) tiene un máimo en (, ) Estudia la concavitat, conveitat i punts d infleió de les funcions següents: S a) y + b) y 6 c) y ( ) d) y e e) y + f) y ln ( + ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada

24 a) y +. Dominio Á f'() ; f''() 6 f''() Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 0 La función: es convea en (, 0) es cóncava en (0, + ) tiene un punto de infleión en (0, ) b) y 6. Dominio Á f'() ; f''() f''() 0 ( ) 0 Signo de f''(): f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 La función: es cóncava en (, ) U (, + ) es convea en (, ) tiene un punto de infleión en (, 5) y otro en (, 5) c) y ( ). Dominio Á f'() ( ) ; f''() ( ) f''() 0 f''() > 0 para Por tanto, la función es cóncava. No tiene puntos de infleión. d) y e. Dominio Á f'() e + e ( + )e ; f''() e + ( + )e ( + )e f''() 0 (e 0 para todo ) Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada

25 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) tiene un punto de infleión en ( ), e) y. Dominio Á { } + f'() ( + ) ( ) + ( +) ( +) f''() 6 ( +) e ( +) f''() 0 para todo. Signo de f''(): f'' < 0 f'' > 0 La función: es convea en (, ) es cóncava en (, + ) no tiene puntos de infleión f) y ln( + ). Dominio (, + ) f'() f''() + ( +) f''() < 0 para (, + ) Por tanto, la función es convea en (, + ). PER A RESOLDRE Estudia si les funcions següents tenen màims, mínims o punts d infleió en el punt d abscissa : a) y + ( ) b) y + ( ) c) y ( ) 6 d) y + ( ) 5 a) f'() ( ) ; f''() 6( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

26 b) f'() ( ) ; f''() ( ) f' < 0 f' > 0 f'' > 0 f'' > 0 Hay un mínimo en. c) f'() 6( ) 5 ; f''() 0( ) f' > 0 f' < 0 f'' < 0 f'' < 0 Hay un máimo en. d) f'() 0( ) ; f''() 0( ) f' > 0 f' > 0 f'' < 0 f'' > 0 Hay un punto de infleión en. Pàgina 98 Escriu l equació de la recta tangent a la corba y en el punt ( ),. Comprova que el segment d aquesta recta comprés entre els eios de coordenades està dividit en dues parts iguals pel punt de tangència. f'() ; f'() 9 Ecuación de la recta tangente en (, ) : y ( ) 9 Puntos de corte de la recta tangente con los ejes coordenados: 0 y Punto ( ) 0, y 0 6 Punto (6, 0) dist [( ), ( )], 0, ( 0) + ( ) dist [( ), ], (6, 0) (6 ) + ( ) La distancia es la misma. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 6

27 5 Donada la paràbola y, troba un punt en què la recta tangent a la corba en aquest punt siga paral lela a la corda que unei els punts (0, 0) i (, 8). La cuerda que une los puntos (0, 0) y (, 8) tiene pendiente: 8 m Buscamos un punto de la función y en el que la derivada valga : f'() 6 f'() 6 El punto es (, ). 6 Troba l equació de la recta tangent a la corba y 0 en el seu S punt d infleió. Hallamos su punto de infleión: f'() ; f''() f''() 0 6 f'' < 0 f'' > 0 6 Hay un punto de infleión en (, ) Pendiente de la recta tangente en ese punto: f'( ) 6 Ecuación de la recta tangente: 7 y ( ) Estudia els intervals de creiement i els màims i mínims de la funció donada per: y + ± ± f () f'() + si < + si + si > + si < si < < + si > Unitat 0. Aplicacions de la derivada 7

28 En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). Veamos dónde se anula la derivada: + 0 Pero f'() + para < y >. 0 y f'() para < < Por tanto f'() se anula en. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 La función: es creciente en (, ) U (, + ) es decreciente en (, ) U (, ) tiene un máimo en (, ) tiene un mínimo en (, 0) y otro en (, 0). 8 Estudia l eistència de màims i mínims relatius i absoluts de la funció y. f () f'() si < + si si > si < si < < si > En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). En no es derivable, pues f'( ) f'( + ). La derivada se anula en 0. Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 La función tiene un máimo relativo en (0, ). No tiene máimo absoluto ( f () f () + ). + Tiene un mínimo relativo en (, 0) y otro en (, 0). En estos puntos, el mínimo también es absoluto, puesto que f () 0 para todo. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 8

29 9 Troba el valor de c de manera que la funció y tinga un únic etrem relatiu. + c S Es tracta d un màim, d un mínim o d un punt d infleió? f'() e ( + c) e e ( + c ) ( + c) ( + c) e f'() 0 + c 0 ± c Para que solo haya un etremo relativo, ha de ser: c 0 c En este caso sería: e y ; f'() + e ( +) ( +) f'() 0 f'() > 0 si f () es creciente si. Hay un punto de infleión en. 0 Estudia el creiement de la funció: f () e (cos + sen ) i determina els màims i mínims de la funció per a [0, π]. Consideramos la función: f () e (cos + sen ) para [0, π]. Calculamos la derivada: f'() e (cos + sen ) + e ( sen + cos ) e ( cos ) e cos f'() 0 cos 0 Signo de la derivada: π π (para [0, π]) f' > 0 f' < 0 f' > 0 0 π π π La función: es creciente en [ ) 0, π ( U π, π] π π es decreciente en (, ) π tiene un máimo en (, e ) π/ ( ) tiene un mínimo en π, eπ/ Unitat 0. Aplicacions de la derivada 9

30 Donada la funció y a + b a, calcula els valors de a i b sabent que la funció té dos punts d infleió, un en i un altre en /. f'() a + 9b 6 a f''() a + 8b 6 f''() 0 a + 8b 6 0 f''(/) 0 a + 9b 6 0 a + b 0 a + b 0 Restando las igualdades: a + 0 a Sustituyendo en la -ª ecuación: b 0 b Siga f () a + b + c + d un polinomi que complei f () 0, f (0) S i té dos etrems relatius per a i. a) Troba a, b, c i d. b) Són màims o mínims els etrems relatius? a) f () a + b + c + d f'() a +b + c f () 0 a + b + c + d 0 a + b + d a f'(0) c c b f'() 0 a + b + c 0 a + b c f'() 0 a + b + c 0 6a +b d Así: f () 5 + ; f'() + ( ) ( ) 6 b) Signo de la derivada: f' > 0 f' < 0 f' > Hay un máimo para y un mínimo para. La corba y + a + b + c talla l ei d abscisses en i té un punt S d infleió en (, ). Calcula a, b i c. y + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unitat 0. Aplicacions de la derivada 0

31 f ( ) 0 + a b + c 0 a b + c a 6 f () 8 + a + b + c a + b + c 7 b f''() 0 + a 0 a 6 c De la funció f() a + b sabem que passa per (, ) i en aquest punt té tangent paral lela a la recta + y 0. a) Troba a i b. b) Determina n els etrems relatius i els intervals de creiement i decreiement. 0 a) f () a + b; f'() a + b f () a + b f'() a + b a b f () + b) f'() 6 + f'() 0 ( ) 0 Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f' < 0 La función: es decreciente en ( ), ( U, + ) es creciente en ( ), tiene un mínimo en ( ), tiene un máimo en (, ) 5 La funció f () + a + b + c verifica que f (), f'() 0 i que f no té etrem relatiu en. Calcula a, b i c. Si és f'() 0 i no hi ha etrem relatiu, ha d haver-hi una infleió en. f () + a + b + c f'() + a + b f''() 6 +a Unitat 0. Aplicacions de la derivada

32 f () + a + b + c f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b c 0 f () + 6 Siga f () + a + b + 5. Troba a i b perquè la corba y f() tinga S en un punt d infleió amb tangent horitzontal. Si en tiene un punto de infleión con tangente horizontal, ha de ser f'() f''() 0. f () + a + b +5 f'() + a + b f''() 6 + a f'() 0 + a + b 0 f''() a 0 a b f () La corba y + α + β + γ talla l ei OX en i té un punt d infleió S en (, ). Calcula els punts de la corba que tinguen recta tangent paral lela a l ei OX. f () + α + β + γ; f'() + α + β; f''() 6 + α f () 0 + α + β + γ 0 f () 7 + 9α + β + γ f''() α 0 α 9 β γ 6 Así: f () 9 + 6; f'() 8 + Puntos con tangente horizontal: 8 ± 88 8 ± 6 f'() Los puntos son (, 0) y (, ). 8 ± Troba els punts de la corba y + en què la recta tangent a aquesta passe pel punt (0, 8). Escriu les equacions de les rectes tangents. L equació de la tangent és y f (a) + f'(a) ( a), on f (a) a + a i f'(a) a +. Substituei en l equació de la tangent i fes que aquesta passe per (0, 8). La ecuación de la tangente en (a, f (a)) es y f (a) + f'(a)( a). Unitat 0. Aplicacions de la derivada

33 Como f(a) a + a y f'(a) a +, queda: y a + a + ( a +) ( a) Si la recta tangente pasa por (0, 8): 8 a + a + ( a +) ( a) 8 a + a a a a 6 a a 6 Hay dos puntos: (, 6) y (, 6) a a Recta tangente en (, 6): f'( ) y 6 + ( + ) y 8 Recta tangente en (, 6): f'() 6 y 6 + 6( + ) y Troba els punts de la corba y 5 + en què la recta tangent a S aquesta passe per l origen de coordenades. Escriu les equacions d aquestes tangents. y 5 + ; f'() 6 5 La recta tangente en un punto (a, f (a)) es: y f (a) + f'(a)( a); es decir: y a 5a + + (6a 5) ( a) Para que pase por el origen de coordenadas, ha de ser: 0 a 5a + + (6a 5) ( a) 0 a 5a + 6a + 5a a a Hay dos puntos: (, ) y (, ) Recta tangente en (, ): f'( ) 7 y 7( + ) y 7 Recta tangente en (, ): f'() 7 y + 7( ) y 7 a a Unitat 0. Aplicacions de la derivada

34 0 Donada la funció f () + : S a) Troba l equació de la recta tangent a f en un punt qualsevol a. b) Troba el valor o valors de a perquè aquesta recta passe pel punt P (0,0) (eterior a la corba). a) f () + ; f'() La recta tangente en a es: y f (a) + f'(a)( a); es decir: y a a + +(a ) ( a) b) Para que la recta pase por (0, 0) será: 0 a a + + (a ) ( a) 0 a a + a + a a a a Pàgina 99 Troba l angle que formen les rectes tangents a les funcions f() i g() en el punt d abscissa : f () g() Recorda que l angle de dues rectes es pot calcular aií: tg α m m on + m, m i m són els pendents de les rectes. m La pendiente de la recta tangente a f () en es: f'() f'() La pendiente de la recta tangente a g() en es: g'() g'() El ángulo que forman las dos rectas será: 6 tg α α 5 Troba el domini de definició, màims, mínims i intervals de creiement i decreiement de les funcions següents: a) y ln b) y + a) y ln. Dominio (0, + ) f'() ln + ln + ( ln + ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada

35 f'() 0 ( ln + ) 0 0 (no vale, pues no está en el dominio) ln + 0 ln e / e Signo de la derivada: 0 f' < 0 f' > 0 e / La función: es decreciente en (0, e / ) es creciente en (e /, + ) tiene un mínimo en ( e /, e ) b) y +. Dominio Á + f'() (La función no es derivable en 0 ni en ). ( + ) f'() Signo de la derivada: f' < 0 f' < 0 f' > 0 0 f' > 0 La función: es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en (, ) Entre tots els triangles isòsceles de perímetre 0 cm, quin és el d àrea màima? S Perímetro + y 0 y 0 Altura h y (c ) (0 ) y h Área y h (0 ) 0 5 (5 ) 0 5 (5 ) (0 5) Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

36 Tenemos que maimizar la función área: f () f'() f'() ( ) 0 5 ± ± 5 5 ± 5 5 (no vale) 0 ( 5 no vale, pues quedaría y 0, al ser perímetro 0) (f'() > 0 a la izquierda de 0 y f'() < 0 a la derecha de 0. Por tanto, en 0 hay un máimo). Luego, el triángulo de área máima es el equilátero de lado 0 cm, cuya área es 5, cm. Es vol construir un recipient cònic de generatriu 0 cm i de capacitat màima. Quin n ha de ser el radi de la base? h R 0 cm h + R 00 R 00 h (consideramos la raíz positiva, pues h 0). Volumen πr h π (00 h )h π (00h h ) Tenemos que maimizar la función volumen: f (h) π (00h h ) f'(h) π (00 h ) f'(h) 0 00 h 0 h ( f'(h) > 0 a la izquierda de h y f'(h) < 0 a la derecha de h Luego, en h hay un 00 máimo). Por tanto, el radio de la base será: R 00 h R Unitat 0. Aplicacions de la derivada 6

37 5 S Es desitja construir una caia tancada de base quadrada la capacitat de la qual siga 8 dm. Esbrina les dimensions de la caia perquè la superfície eterior siga mínima Volumen y 8 dm y 8 y Superficie y Tenemos que hallar el mínimo de la función superficie: f () + f'() + + f'() y (En hay un mínimo, pues f'() < 0 para < y f'() > 0 para > ). Por tanto, la caja ha de ser un cubo de lado dm. 6 En un triangle isòsceles de base cm (el costat desigual) i altura 0 cm, S s inscriu un rectangle de forma que un dels seus costats estiga sobre la base del triangle i dos dels seus vèrtes sobre els costats iguals: a) Epressa l àrea, A, del rectangle en funció de la longitud de la seua base,, i digues quin és el domini de la funció. b) Troba el valor màim d aquesta funció. a) A Los triángulos ABC y DEC son semejantes; luego: A B 0 cm AB BC EC DE cm y D B E C Como AB 0 cm BC 6 cm 0( ) 5( ) 0( ) y y 6 DE y EC tenemos que: y y Por tanto, el área del rectángulo es: (60 5) 60 5 A y 6 6 A() puede tomar valores entre 0 y. Por tanto, el dominio de A() es: Dominio (0, ) Unitat 0. Aplicacions de la derivada 7

38 b) Hallamos el máimo de A(): 60 0 A'() 6 A'() y 5 (En 6 hay un máimo, pues A'() > 0 para < 6 y A'() < 0 para > 6). El máimo de la función A() se alcanza en 6, que corresponde al rectángulo de base 6 cm y altura 5 cm. En este caso, el área es de 0 cm (que es el área máima). 7 De tots els rectangles d àrea 00 dm, troba les dimensions del que tinga la S diagonal mínima. d Área y 00 dm y La diagonal mide: d + y Tenemos que minimizar la función: d() y d'() d'() y 0 (En 0 hay un mínimo, pues d'() < 0 a la izquierda de 0 y d'() > 0 a la derecha de 0). Por tanto, la diagonal mínima corresponde al cuadrado de lado 0 dm. + ( 00 ) Un triangle isòsceles té el costat desigual de m i l altura relativa a aquest costat de 5 m. Troba un punt sobre l altura tal que la suma de distàncies als tres vèrtes siga mínima. altura 5 m d d d 6 6 La suma de las distancias a los tres vértices es: S d + d Pero: d + 6 y d 5 Por tanto: S() Unitat 0. Aplicacions de la derivada 8

39 Tenemos que minimizar la función S(): S'() S'() (consideramos solo la raíz positiva, pues 0). (En hay un mínimo, pues S'() < 0 a la izquierda de este valor y S'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto buscado se encuentra a m de la base, situado sobre la altura. 9 Troba la base i l altura d una cartolina rectangular de perímetre 60 cm que, en fer la volta completa al voltant d un costat vertical, genere un cilindre de volum màim. y Perímetro cartulina +y 60 + y 0 0 y Volumen πy πy (0 y) π(0y y ) Tenemos que maimizar la función: V(y) π(0y y ) V'(y) π(60y y ) V'(y) 60y y 0 y(0 y) 0 y 0 (no vale) y 0 0 (En y 0 hay un máimo, pues V'(y) > 0 a la izquierda de este valor y V'(y) < 0 a su derecha). Los lados de la cartulina medirán 0 cm y 0 cm. 0 El punt P(, y) recorre l el lipse d equació: + S 5 9 Deduei les posicions del punt P per a les quals la seua distància al punt (0,0) és màima i també aquelles per a les quals la seua distància és mínima. y D P(, y) y La distancia de P a (0, 0) es: D + y 5 5 Como P es un punto de la elipse: 5 + y ( ) y Unitat 0. Aplicacions de la derivada 9

40 Así, la distancia es: D() ( ) El dominio de la función es el intervalo [ 5, 5]. Hallamos el máimo y el mínimo de D(): D'() D'() 0 0 (En 0 hay un mínimo relativo, pues D'() < 0 para < 0 y D'() > 0 para > 0). Veamos el valor de D() en 0 y en los etremos del intervalo [ 5, 5]: D(0) ; D( 5) D(5) 5 Por tanto, las posiciones de P que nos dan la distancia máima son P(5, 0) y P( 5, 0); y las que nos dan la distancia mínima son P(0, ) y P(0, ). S En un quadrat de costat 0 cm volem recolzar la base d un cilindre l àrea lateral del qual és 50 cm. Quin ha de ser el radi del cilindre perquè el seu volum siga el major possible? Área lateral cilindro πrh 50 cm 50 h πr El volumen del cilindro es: h V πr h πr 50 πr 5r V(r) 5r Al estar apoyada la base sobre el cuadrado, tenemos r que el dominio de V(r) es el intervalo (0, 5]. 0 cm 0 cm Tenemos que maimizar V(r) 5r, con r (0, 5]. Como V(r) es una función creciente, su máimo se alcanza en r 5. Donada la funció f: [, e] Á definida per f () + ln, determina S quines de les rectes tangents al gràfic de f tenen el màim pendent. La pendiente de la recta tangente a f () en a es f'(a). Tenemos que hallar el máimo de: f'() +, [, e] Unitat 0. Aplicacions de la derivada 0

41 Calculamos la derivada de f'(); es decir, f''(): f''() f''() 0 0 [, e] (En hay un máimo relativo de f'(), pues f''() > 0 a la izquierda de ese valor y f''() < 0 a su derecha). Hallamos f'() en y en los etremos del intervalo [, e]: f'() 0,5; f'() 0; f'(e) e 0, e Por tanto, la recta tangente con pendiente máima es la recta tangente en. La hallamos: f () + ln ; f'() La recta es: y + ln + ( ) Es desitja construir un dipòsit de llautó amb forma de cilindre d àrea total S 5 cm. Determina el radi de la base i l altura del cilindre perquè el volum siga màim. h r Área total πrh + πr 5 cm 5 πr h πr Volumen πr h πr 5 πr r(7 πr ) 7r πr πr Tenemos que maimizar la función V(r) 7r πr : V'(r) 7 πr V'(r) 0 7 πr 0 r 7 9 r π π π (En r hay un mínimo, pues V'(r) < 0 a la izquierda de este valor y π V'(r) > 0 a su derecha). 6 Para r h, dimensiones del cilindro de volumen máimo. π π Volem fer un envàs amb forma de prisma regular de base quadrada i capacitat 80 cm. Per a la tapa i la superfície lateral usem un determinat material, però per a la base hem d emprar un material un 50% més car. Troba les dimensions d aquest envàs perquè el preu en siga el menor possible. Unitat 0. Aplicacions de la derivada

42 y Volumen y 80 cm y 80 Para la tapa y el lateral z /cm Para la base,5z /cm El precio total será: P z( + y) +,5z( ) z( + ) +,5 z 0 z( + ) +,5 z z( + +,5 ) 0 z(,5 + ) 0 80 Tenemos que minimizar la función que nos da el precio: 0 P() z(,5 + ) P'() z( ) ( ) 5 0 z 5 0 P'() y 5 (En hay un mínimo, pues P'() < 0 a la izquierda de ese valor y P'() > 0 a su derecha). El envase debe tener la base cuadrada de lado cm y 5 cm de altura. 5 Entre tots els triangles inscrits en una semicircumferència de 0 cm de diàmetre, quin és el d àrea S màima? 0 cm h La base mide 0 cm. El área es: 0 h Área 5h; h (0, 5]. El de área máima será el que tenga la máima altura; es decir, h 5 cm. Su área es 5 cm. Pàgina 00 6 Amb una làmina quadrada de 0 dm de costat es vol construir una caia sense tapa. Per fer-ho, es retallen uns quadrats dels vèrtes. Calcula el costat del quadrat retallat perquè el volum de la caia siga màim. Si l altura de la caia no pot passar de dm, quina és la mesura del costat del quadrat que hem de retallar? Unitat 0. Aplicacions de la derivada

43 0 dm 0 dm 0 0 El volumen de la caja es: V() (0 ), (0, 5) Tenemos que maimizar esta función: V() (0 ) (00 + 0) V'() ( 0 + 5) 0 ± ± 00 V'() ± (no vale) 5/ (En 5/ hay un máimo, pues la derivada es positiva a la izquierda de este valor y es negativa a su derecha). Por tanto, el lado del cuadradito es 5/. Si la altura no puede pasar de dm; es decir, si (0, ), obtenemos el mismo resultado: 5/. 7 Donat r > 0, prova que entre tots els nombres positius i y tals que + y r, la suma + y és màima quan y. Como + y r y nos dicen que y > 0, entonces: y r Así, la suma es: S + y + r Tenemos que maimizar la función S() + r : S'() + r r r r S'() 0 r r r r Como >0 r (En r hay un máimo, pues S'() > 0 a la izquierda de ese valor y S'() < 0 a su derecha). Hallamos y: y r r r r Por tanto, la suma es máima cuando y. r Unitat 0. Aplicacions de la derivada

44 8 El valor, en milions d euros, d una empresa en funció del temps t ve donat per f(t) 9 (t ), 0 t,5. Deduei en quin valor de t en va aconseguir el màim valor i en quin valor de t n aconseguí el valor mínim. Derivamos la función f (t): f'(t) (t ) Los puntos críticos son: f'(t) 0 (t ) 0 t 0 t La función f tiene un punto crítico en (, 9). f''(t) f''(t) < 0 (, 9) es un máimo. Además, como la función es una parábola con las ramas hacia abajo, el mínimo se alcanzará en uno de los etremos del intervalo: f (0) 5 f (,5),75 (,5;,75) es un mínimo. Por tanto, el máimo se alcanza para t y el mínimo para t,5. 9 De totes les rectes que passen pel punt (, ), troba la que determina amb els eios de coordenades, i en el primer quadrant, un triangle d àrea mínima. Las rectas que pasan por el punto (, ) son de la forma: y + m( ) (, ) Hallamos los puntos de corte con los ejes de la recta: Con el eje Y 0 y m Punto (0, m) Con el eje X y 0 Punto ( m m ), 0 El área del triángulo es: A(m) ( ) ( ( m) ) ( m ) + m m m m Hallamos el mínimo de la función: A'(m) ( ) + m + m m m (no vale) A'(m) 0 m + 0 m (m no vale, pues no formará un triángulo en el primer cuadrante la recta con los ejes). Unitat 0. Aplicacions de la derivada

45 (En m hay un mínimo, pues A'(m) < 0 a la izquierda de ese valor y A'(m) > 0 a su derecha). Por tanto, la recta es: y ( ); es decir: y + 50 Calcula la generatriu i el radi que ha de tindre un pot cilíndric de llet condensada, l àrea total del qual (incloent-hi les dues tapes) és de 50 cm, perquè el seu volum siga màim. g Área total πrg + πr 50 cm 50 πr g πr Volumen πr g πr 50 πr 75r πr πr r Tenemos que maimizar el volumen: V(r) 75r πr ; V'(r) 75 πr V'(r) 0 75 πr 0 r 75 5 π π (Solo consideramos la raíz positiva, pues r > 0). 5 π 5 (En r hay un máimo, pues V'(r) > 0 a la izquierda de ese valor y π V'(r) < 0 a su derecha). 5 Por tanto: r y g π 0 π 5 Dos pals de i 8 m d altura disten entre si 0 m. Es desitja col locar un cable que unisca un punt del sòl entre els dos pals amb els etrems d aquests. On cal situar el punt del sòl perquè la longitud total del cable siga mínima? 8 m ( 0) + ( + ) ( 60 + ) La longitud total del cable es: L() + + (0 ) + 8 ; es decir: m 0 L() m L'() Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

46 L'() ( 0) ( 0) + ( 60 + ) ( 0) ( + ) 60 + ( )( + ) ± ± ± 7 60 (no vale) (En hay un mínimo, pues L'() < 0 a la izquierda de ese valor y L'() > 0 a su derecha). Por tanto, el punto del suelo debe situarse a m del poste de m (y a 8 m del poste de 8 m). 5 Calcula el punt de la corba y + en què el pendent de la recta tangent siga màim. La pendiente de la recta tangente a f () hallar el máimo de f'(). f'() ( + ) + en es f'(). Tenemos que f''() ( + ) + ( + ) ( + ) + 8 ( + ) ( + ) f''() ± 6 ( + ) f'' > 0 f'' < 0 f'' > 0 f'() f'() 0 + En hay un máimo (absoluto) de f'() y en hay un mínimo (absoluto) de f'(). Por tanto, el punto en el que la pendiente de la recta tangente es máima es: ( ), Unitat 0. Aplicacions de la derivada 6

47 5 Dins del triangle limitat pels eios OX i OY i la recta + y 8, s inscriu S un rectangle de vèrtes (a, 0), (0, 0), (a, b) i (0, b). Determina el punt (a, b) a què correspon el rectangle d àrea màima. 8 b + y 8 (a, b) El punto (a, b) es un punto de la recta + y 8. Por tanto, a + b 8; es decir, b 8 a. Como el rectángulo está inscrito en el triángulo, a (0, ). El área del rectángulo es: Área a b a (8 a) 8a a, a (0, ) a Tenemos que maimizar la función: A(a) 8a a, a (0, ) A'(a) 8 a 0 a b (En a hay un máimo, pues A'(a) > 0 a la izquierda de este valor y A'(a) < 0 a su derecha). Por tanto, el punto es (, ). 5 Calcula, utilitzant la regla de L Hôpital, els its següents, que són del tipus S 0 0 ( ) : a) + ln (e sin b) + ) c) 0 0 cos a d) b arctg e) f) 0 0 sin 0 ln ( + ) g) ln (cos ) h) i) sin j) ( sin ) 0 a) ln (e b) + ) e e + sen cos c) 0 cos 0 sen Hallamos los ites laterales: cos cos ; + 0 sen 0 + sen e e sin cos cos () Unitat 0. Aplicacions de la derivada 7

48 a d) b a ln a b ln b a ln a ln b ln 0 0 b 6 arctg ( + e) + ( + ) ) 0 sen 0 cos 0 sen 0 cos e f) e e e sen cos sen 0 cos 0 sen e e sen cos + e sen sen 0 0 cos sen cos tg g) ln (cos ) ( + tg 9 ) 0 ln ( + ) + h) ( + ) i) cos () cos () sen () sen sen sen sen cos 0 0 cos sen + cos sen cos + cos sen j) ( ) Calcula els its següents: a) cos ln (tg ) b) (cos + sin ) / (π/) 0 c) (tg ) cos d) (e + ) / π/ 0 e) ( + ) / + f) ln ( ) + g) ( sen ) cotg h) ( ) tg Unitat 0. Aplicacions de la derivada 8

49 a) cos ln (tg ) (0 + ) ( ) (π/) + tg tg + tg cos ( + tg ) (π/) sen (π/) tg (π/) tg cos cos tg cos ( + ) 0 0 (π/) (π/) ln (tg ) cos + + b) (cos + sen ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (cos + sen ) / ln (cos + sen ) sen + cos cos + sen Por tanto: (cos + sen ) / e 0 c) (tg ) cos. Tomamos logaritmos: π/ ln (tg ) cos cos ln (tg ) π/ π/ (*) 0 (*) (ver apartado a)) Por tanto: (tg ) cos e 0 π/ d) (e + ) /. Tomamos logaritmos: 0 ln (e + ) / ln (e + ) e e + Por tanto: (e + ) / e 0 e) ( + ) /. Tomamos logaritmos: + ln ( + ) / ln ( + ) Por tanto: ( + ) / e 0 + f) ln ( ) ln ( + ) ln ( + ) + ln [ ( + ) ] ln e Unitat 0. Aplicacions de la derivada 9

50 g) ( sen ) cotg ( sen ) /tg. Tomamos logaritmos: 0 0 cos ln ( sen ) /tg ln ( sen ) sen 0 0 tg 0 ( + tg ) Por tanto: ( sen ) cotg e / 0 h) ( ) tg. Tomamos logaritmos: 0 0 ln ( ) tg tg ln ( ) Por tanto: ( ) tg e sen ( ln ) [tg ( ln )] 0 0 cos ln sen sen cos 0 0 cos sen sen 56 Troba els its següents: S tg 8 a) b) c) cos + cos 0 e π/ sec a) cos sen 0 0 e 0 e tg 8 cos b) π/ sec + 0 π/ sen π/ sen cos c) cos + sen + cos Pàgina 0 57 Calcula els its següents: tg a) ( ) b) ( ) 0 sin π/ cos (/π) c) e ( ) e e Unitat 0. Aplicacions de la derivada 50

51 a) ( ) 0 sen cos + cos sen b) ( ) π/ sen cos 0 tg (/π) sen sen 0 cos sen + cos (/π) tg cos π/ (cos ) ( (/π)) /π cos + tg sen cos π/ sen ( (/π)) + cos ( /π) /π 0 Hallamos los ites laterales: π/ f (), f () + ( siendo f () ). e e e e e e + e (e e)( ) e e (e e)( ) c) ( ) π/ + cos tg (/π) e e e e e ( ) + (e e) e ( ) + e + e e 58 Calcula: a) (e / + e / ) b) (e / + e / ) a) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 + ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 + ) e / ( / ) + e / ( / ) ln (e / + e / ) e / + e / 0 + / 0 + / e / + e (*) e / + / 0 + e / + e / 0 + e / + ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e 0 + b) (e / + e / ). Tomamos logaritmos: 0 0 ln (e / + e / ) ln (e / + e / ) (0 ) 0 Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

52 ln (e / + e / ) e / + e (*) + e / / 0 / 0 e / + e / 0 + e / ( (*) Dividimos numerador y denominador entre e / ). Por tanto: (e / + e / ) e e 0 QÜESTIONS TEÒRIQUES 59 El gràfic adjunt correspon a la funció derivada, f, d una funció f. a) Estudia el creiement i decreiement de f i digues si té màim o mínim. f'() b) Estudia la concavitat i conveitat de f. Té punt d infleió? a) Signo de la derivada: f' < 0 f' > 0 f'( ) 0 Por tanto, la función f es decreciente en (, ) es creciente en (, + ) tiene un mínimo en. b) Como f'() es una recta con pendiente, entonces f''() > 0. Por tanto, f es una función cóncava. No tiene puntos de infleión. 60 Troba una funció f el gràfic de la qual no siga una recta i on hi haja infinits punts en què la recta tangent al gràfic de f siga y. f () cos Veamos que la recta tangente a f () en los puntos de la forma πk, con k Z, es y. f (πk) cos (πk) f'() sen f'(πk) sen (πk) 0 La recta tangente es: y Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

53 b 6 Siga f () a +, amb a i b nombres positius. Demostra que el valor mínim de f en (0, + ) és ab. f'() a b a b f'() 0 a b 0 ± f''() b f''( ) > 0 b a en b a hay un mínimo. f''( ) < 0 b a en b a hay un máimo. Además, f () + y f () b a Luego, en b a se encuentra el mínimo absoluto de f (). Este mínimo vale: b a b a a b b a f ( ) a a b Es decir, el mínimo de f () en (0, + ) es ab. b b/a ab ab ab 6 Si la funció f té derivades primera i segona i és f(a) 0 i f (a) 0, pot presentar f un màim relatiu en el punt a? En cas afirmatiu, posa n un eemple. Sí puede presentar un máimo. Por ejemplo: f () en 0 es tal que: f' > 0 f' < 0 0 f'() f''() Por tanto: f'(0) 0 y f''(0) 0 En (0, 0) hay un máimo relativo. 6 Una funció f és decreient en el punt a i derivable en aquest. Pot ser f'(a) > 0? Pot ser f'(a) 0? Pot ser f'(a) < 0? Raona-ho. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

54 Si f es decreciente en a y es derivable en él, entonces f'(a) 0. Lo probamos: f decreciente en a signo de [ f () f (a)] signo de ( a) f () f (a) < 0 a f () f (a) Por tanto, f'() 0; es decir: f'(a) 0 a a Ejemplo: f'(a) es decreciente en Á y tenemos que: f'() f'(0) 0 (y f () es decreciente en 0) f'(0) < 0 para 0 6 Si la derivada d una funció f és positiva en el punt 0, és a dir, f (0) > 0, per a quins valors de h es pot afirmar que l increment f (h) f (0) és negatiu? f'(0) h 0 f (h) f (0) h > 0 signo de [ f (h) f (0)] signo de h (para h próimo a cero ) Luego, si f (h) f (0) < 0, ha de ser h < La funció (valor absolut de ), presenta un mínim relatiu en cap punt? En quins punts és derivable? Raona-ho. si 0 si < 0 f () ; f'() si > 0 si > 0 f () no es derivable en 0, pues f'(0 ) f'(0 + ). Por tanto, f es derivable para 0. y Pero f () presenta un mínimo relativo en 0, pues f (0) 0 < f () si 0. De hecho, es el mínimo absoluto de f (). 66 En l equació de la recta y m + b, eplica com es determinarien els nombres m i b perquè siga tangent al gràfic de la funció y f() en el punt en què aquesta té d abscissa p. La ecuación de la recta tangente a y f () en p es: y f (p) + f'(p) ( p); es decir: y f'(p) +[f (p) p f'(p)] Unitat 0. Aplicacions de la derivada 5

55 Por tanto, si la recta es y m + b, tenemos que: m f'(p); b f (p) p f'(p) 67 Un polinomi de r grau a + b + c + d té un màim relatiu en el punt S p. Aquest màim relatiu, pot ser màim absolut de la funció? Raona-ho. Un polinomio de tercer grado no tiene máimo absoluto. Veamos por qué: Si f () a + b + c + d, con a > 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. + Si f () a + b + c + d, con a < 0, entonces: f () + f () no tiene máimo absoluto. 68 Si la derivada d una funció f és positiva per a tots els valors de la variable, hi pot haver dos nombres distints, a i b, tals que f(a) f(b)? Raona-ho. No es posible, si la función es derivable (y nos dicen que lo es, pues f'() > 0 para todo ). Lo probamos por reducción al absurdo: Supongamos que eisten dos números distintos, a y b, tales que f (a) f (b). f () es derivable para todo. Por el teorema de Rolle, habría un punto c, en el que f'(c) 0. Esto contradice el que f'() > 0 para todo. 69 Si f''() > 0 per a tot del domini de f, què podem dir del gràfic de f? Será una función cóncava. 70 D una funció f sabem que f'(a) 0, f''(a) 0 i f'''(a) 5. Podem assegurar que f té màim, mínim o punt d infleió en a? S f tiene un punto de infleión en a. Veamos por qué: f'''(a) 5 > 0 f'' es creciente en a. Como, además, f''(a) 0, tenemos que f''() < 0 a la izquierda de a y f''() > 0 a su derecha. Es decir, f () cambia de convea a cóncava en a. Por tanto, hay un punto de infleión en a. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 55

56 7 Si f (a) 0, quina d aquestes proposicions és certa? S a) f té màim o mínim en a. b) f té una infleió en a. c) f té en a tangent paral lela a l ei OX. Si f'(a) 0, solo podemos asegurar que f tiene en a tangente horizontal (paralela al eje OX). Podría tener un máimo, un mínimo o un punto de infleión en a. Por tanto, solo es cierta la proposición c). Pàgina 0 7 Si y f () és una funció creient en a, es pot assegurar que g() f() és decreient en a? f () f (a) f () es creciente en a > 0. a Como g() f (), tenemos que: g() g(a) a f () + f (a) a g() es decreciente en a f () f (a) a ( ) < 0 7 Es té la funció: S f () si si 0 Prova que f satisfà la hipòtesi del teorema del valor mitjà en [, 0] i calcula el o els punts en què es complei el teorema. Veamos que f () es continua en [, 0]: Si f () es continua, pues está formada por dos funciones continuas. Si : + f () ( ) f () ( ) f() es continua en f() Por tanto, f () es continua en [, 0]. Unitat 0. Aplicacions de la derivada 56

57 Veamos que f () es continua en [, 0]: Si y (, 0), f es derivable. Su derivada es: si < < f'() si < < 0 En, tenemos que: f'( ) f'( + ) Por tanto f () es derivable en (, 0). Su derivada es: si < f'() si < 0 Como f () cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [, 0], eiste f (0) f ( ) / ( /) algún punto, c (, 0) tal que f'(c). 0 ( ) Calculamos c: f'() si < f'() si < 0 (, 0) Por tanto, hay dos soluciones: c y c (, ) (, ) 7 És possible calcular a, b, c perquè la funció: 5 + si < f () a + b + si complisca les hipòtesis del teorema de Rolle en l interva [0, c]? Calculamos a y b para que f () sea continua y derivable. Continuidad: Si f () es continua, pues está formada por dos polinomios. En, tenemos que: Unitat 0. Aplicacions de la derivada 57

58 f () (5 + ) 6 f () (a + b + ) a + b + + f() a + b + Para que sea continua, ha de ser: a + b + 6, es decir, a + b. Derivabilidad: Si f () es derivable. Además: f'() En, tenemos que: 5 si < a + b si > f'( ) 5 f'( + ) a + b Para que sea derivable, ha de ser: a + b 5 Con las dos condiciones obtenidas, hallamos a y b para que f () sea continua y derivable: a + b a + b 5 b a a + a 5 a b Con estos valores de a y b, queda: 5 + si < 5 si < f () f'() + + si + si f'() > 0 para todo Á f () es creciente No eiste ningún valor de c tal que f (0) f (c) No eiste ningún c tal que f () cumpla las hipótesis del teorema de Rolle en [0, c]. 75 La funció y 5 +, omplei les hipòtesis del teorema del valor S mitjà en l interval [0, ]? En cas afirmatiu, digues quin és el 0 que complei la tesi. f () 5 + es continua en [0, ] y derivable en (0, ); luego cumple las hipótesis del teorema del valor medio en [0, ]. Veamos en qué punto, o puntos, cumple la tesis: f'() 0 + f () f (0) 6 ( ) f'() ± ± 5 0 ± ± Hay dos puntos: 0 5 y 5 + Unitat 0. Aplicacions de la derivada 58