PRÁCTICA 6. Para encontrar los valores que optimizan este lagrangiano hay que resolver el sistema de ecuaciones formado por las CPO: 2,, 16

Transcripción

1 0, Una empresa cua función de producción es 2 K L adquiere sus factores productivos a unos precios r1 w2. a) Determine el coste mínimo en el que debe incurrir para producir 16 ud. de output. Para saber el mínimo coste en el que debe incurrir para producir 16 ud. ha que saber las cantidades de capital trabajo que deben contratarse. Una vez conocidas las cantidades a contratar de trabajo capital multiplicando por sus respectivos precios se obtiene el mínimo coste en el que ha que incurrir para producir 16 ud. Para ello ha que resolver el siguiente programa de optimización: ,, Para resolver este programa se forma el siguiente lagrangiano: l ,, Para encontrar los valores que optimizan este lagrangiano ha que resolver el sistema de ecuaciones formado por las CPO: 1 l 2 0,25,, 2 2, 1 2 0,25,, 0 l 2 2,, 0 l 2,, 16, 1 2 0,25,, 2 2, 2,, 16 l 2,, 16 0,25 2 2,, 2,, , Por tanto el mínimo coste en el que debe de incurrir para producir 16 ud es C b) Obtenga el valor del multiplicador de Lagrange si la empresa produce 16 ud ,25,, 1 2 0,25 16, 4 16, c) Determine el coste mínimo en el que debe incurrir para producir 17 ud. de output. Para ello ha que resolver el siguiente programa de optimización: ,, Para resolver este programa se forma el siguiente lagrangiano: l ,, Para encontrar los valores que optimizan este lagrangiano ha que resolver el sistema de ecuaciones formado por las CPO:

2 1 l 2 0,25,, 2 2, 1 2 0,25,, 0 l 2 2,, 0 l 2,, 17, 1 2 0,25,, 2 2, 2,, 16 l 2,, 17 0,25 2 2,, 17 17,35 17,35 2,, 17, Por tanto el mínimo coste en el que debe de incurrir para producir 17 ud es 52,04. Es decir aproximadamente el coste de producir 16 ud, más el valor del multiplicador de lagrange. d) Elabore un archivo de Excel que sea capaz de resolver los apartados anteriores. (no es obligatorio) 2.- La función de costes de una empresa viene dada por la siguiente expresión: 2 3 CT 0,2 + 1,2 + 1,5 a) Realice el gráfico de la función de costes en Excel CT b) Estudie la concavidad/convexidad de la función de costes. Para analizar la concavidad de una función ha que estudiar el signo de la segunda derivada de la función de costes: 2,4 4,5 2,4 0 0,26 CT

3 La segunda derivada de la función de costes es igual a cero si 0,26. Por tanto, en este punto ha un punto de inflexión. Para saber si es cóncava o convexa en el primer tramo (0; 0,26) ha que calcular el signo de la segunda derivada en algún punto de este tramo, por ejemplo, 0,1. 0,1 2,4 0,1 1,5 0 ó Comprobamos el signo de la segunda derivada a partir del punto 0,26, por ejemplo en 1 1 2,4 1 6,6 0 Por tanto esta función de costes tiene un primer tramo cóncavo (desde 0 hasta 0,26) un segundo tramo convexo a partir de 0,26. c) Obtenga las expresiones de las funciones de costes medios (total, variable fijo) costes marginales represéntelas en Excel (el eje de ordenados debe estar entre 0 2). 0,2 1,2 1,5 0,2 1,2 1,5 1,2 1,5 1,2 1,5 2,4 4, CFMe CVMe CTMe CMg d) Determine el output para el que se produce el mínimo del coste marginal. Para conocer el output donde el coste marginal tiene su mínimo ha que igualar la primera derivada del coste marginal a cero despejar:

4 2,4 0 2,4 0,27 e) Determine el output para el que se produce el mínimo del coste variable medio. Para conocer el output donde el coste variable medio tiene su mínimo ha que igualar la primera derivada del coste variable medio a cero despejar: 1, ,2 3 f) Determine el output para el que se produce el mínimo del coste total medio. Para conocer el output donde el coste total medio tiene su mínimo ha que igualar la primera derivada del coste total medio a cero despejar: 0,2 1, ,2 0,2 0 Esto es una ecuación de tercer grado. La forma más fácil para obtener las raíces de este polinomio es usar algún programa matemático. Por ejemplo en Matlab ha que usar el siguiente comando: roots([ ]) Las raíces que proporciona son (0.50, i, i). Como es evidente la primera raíz es la que nos proporciona el output para el que se produce el mínimo del coste total medio. En SAGE ha que usar los siguientes comandos: x PolnomialRing(RationalField(), 'x').gen() f-3*x^3+1.2*x^2+0.2 f.roots() 3.- Dada la función de costes totales K L a) Obtenga la senda de expansión a largo plazo. La senda de expansión se obtiene a partir del proceso de minimización de costes min r K + w L s.a. K K K l r K + w - λ ( - K ) CPO : r + λ K K w + λ K L K λ 0 w K r 0 r λ K w λ K r K w K b) Obtenga la demanda compensada de los dos factores productivos. Se verifican las condiciones teóricas (creciente en el output, creciente en el precio del otro factor decreciente en el precio del propio factor). Para obtener la demanda compensada ha que insertar la senda de expansión en la función de producción despejar las cantidades de capital trabajo:

5 K L 0, L 0, 4 K r w r Vemos como las demandas condicionadas de factores verifican las propiedades teóricas (creciente en el output, creciente en el precio del otro factor decreciente en el precio del propio factor). c) Obtenga la función de costes totales. Verifica las condiciones teóricas (creciente en el output precio de factores homogénea de grado 1 en el precio de los factores). Para obtener la función de costes ha que insertar las demandas condicionadas de factores en los costes operar: C r K + w L C r r 4 + w ( ) 5 C Vemos como la función de costes verifica las propiedades teóricas (creciente en el output precio de factores homogénea de grado 1 en el precio de los factores). d) Obtenga la expresión del coste marginal analice su crecimiento. C La expresión del coste marginal ( + ) Para saber si la función de costes es creciente/decreciente en el nivel de output ha que calcular el signo de la primera derivada de la función del coste marginal: CMg ( + ) > 0 Por tanto, el coste marginal es creciente, es decir dado que la función de producción es cóncava la función de costes es convexa.