. Una de las aplicaciones más importantes de los coeficientes binomiales es el Binomio de Newton : n k)

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1 Permutacioes. E Matemáticas, dado u cojuto fiito co todos sus elemetos diferetes, llamamos permutació a cada ua de las posibles ordeacioes de los elemetos de dicho cojuto. Por ejemplo, e el cojuto 1, 2, 3, cada ordeació posible de sus elemetos, si repetirlos, es ua permutació. Existe u total de 6 permutacioes para estos elemetos: (1, 2, 3, (1, 3, 2, (2, 1, 3, (2, 3, 1, (3, 1, 2 y (3, 2, 1. Proposició 1. Dado u cojuto fiito y ordeado de elemetos, el úmero de permutacioes diferetes posibles es ( 1( 2 1. Demostració. Dado que hay formas de escoger el primer elemeto y, ua vez escogido éste, sólo teemos 1 formas de escoger el segudo elemeto, y así sucesivamete, vemos que cuado llegamos al elemeto k-ésimo sólo teemos k + 1 posibles elemetos para escoger, lo que os lleva a que teemos ( 1( formas de elegir los elemetos de forma ordeada. Deotamos por! a ( Se lee factorial o factorial de. Por defiició 0! = 1. Coeficietes biomiales o Números combiatorios. Los coeficietes biomiales o úmeros combiatorios idica el úmero de formas e que se puede extraer subcojutos a partir de u cojuto dado. De cuátas formas podemos elegir k elemetos de u cojuto dado de? Esto se represeta ( k. Se lee combiacioes de e k. Proposició 2. ( k =! k!( k! = ( 1 ( k+1 k!. Demostració. La elecció ordeada de k elemetos puede hacerse de ( 1 ( k + 1 formas. Ahora, hay que dividir el producto aterior etre el úmero de seleccioes equivaletes. Los k objetos se puede permutar de k! formas. Por tato, ( k = ( 1 ( k+1 k!. Ua de las aplicacioes más importates de los coeficietes biomiales es el Biomio de Newto : (x + y = ( 0 x + ( x 1 y ( x k y k k ( y, dode es u etero positivo. Su demostració se puede hacer fácilmete usado iducció matemática y la propiedad 2 que veremos más adelete. Tomado x = y = 1 e la fórmula del Biomio de Newto teemos ( 0 + ( ( = 2. Este resultado puede obteerse tambié de la siguiete forma. Cotemos el úmero total de subcojutos de u cojuto dado de elemetos. Por ua parte sabemos que es ( ( 0 + ( Otra forma de cotarlos sería estableciedo ua serie de correspodecias etre cada subcojuto y ua serie de sí/o, depediedo si el elemeto está o o e el subcojuto. Por ejemplo, al subcojuto vacío le hacemos correspoder el (o,o,...,o, al formado por todos los elemetos el (sí,sí,...,sí, etc. Así, a cada cojuto le correspode ua seria de sí/o y viceversa. Por tato, como a cada uo de los elemetos le podemos asigar u sí o u o, el úmero total de subcojutos será 2. Otras propiedades importates de los coeficietes biomiales so las siguietes: Propiedad 1. ( ( k = k. Propiedad 2. ( ( k = 1 ( k k. Estas dos propiedades se deduce fácilmete de la proposició 2. Daremos otras solucioes más ituitivas. 1

2 2 Demostració de Propiedad 1. Elegir de elemetos los k co los que os queremos quedar es lo mismo que elegir los k co los que o os queremos quedar. Esto es, ua elecció de k elemetos co los que os queremos quedar determia ua elecció de k elemetos co los que o os queremos quedar y viceversa. Demostració de Propiedad 2. Seleccioemos u elemeto cualquiera de los dados. Dividimos el úmero de subcojutos de k elemetos e dos grupos. Por ua parte, aquellos subcojutos que cotiee el elemeto seleccioado y por otra los que o lo cotiee. E el primer caso teemos ( 1 k 1 subcojutos y e el segudo ( ( 1 k. Por tato, ( k = 1 ( k k. Este último resultado es debido a Blaise Pascal e Qué relació tiee el triágulo de Pascal (o de Tartaglia co las propiedades 1, 2 y los coeficietes biomiales del Biomio de Newto? Nótese que los elemetos de la fila i-ésima so los coeficietes de los sumados e el desarrollo de (x + y i usado el Biomio de Newto. La simetría se debe a la propiedad 1 y el hecho de que la suma de dos elemetos cosecutivos de ua fila sea el elemetos que tiee debajo es cosecuecia de la propiedad 2. El Pricipio Extremal. El Pricipio Extremal tiee aplicacioes e casi todos los campos de las Matemáticas; si embargo, o es fácil de recoocer, y debe ser por tato etreado. Tratamos de probar la existecia de u objeto co ciertas propiedades. El Pricipio Extremal os dice que seleccioemos u objeto que maximiza o miimiza algua fució. Se demuestra que el objeto resultate tiee la propiedad deseada probado que ua pequeña variació aumetaría o dismiuiría la fució dada. Si hay varios objetos óptimos, ormalmete da igual cuál usar. Además, el Pricipio Extremal es muchas veces costructivo, dado u algoritmo para costruir el objeto. Veamos u par de ejemplos. Problema 1. E el parlameto de Sikiia cada miembro tiee a lo sumo tres eemigos etre los restates miembros. Probar que se puede dividir el parlameto e dos salas de maera que cada miembro tega a los sumo u eemigo e su sala. Solució. Cosideremos todas las posibles particioes del parlameto e dos salas. Para cada partició cotamos el úmero total de eemigos E que tiee cada miembro e su sala. La partició co E míimo tiee la propiedad requerida. E efecto, si algú miembro tuviese al meos dos eemigos e su sala, etoces tedrá u eemigo a lo sumo e la otra sala. Si cambiamos a esta persoa de sala dismiuiría E, lo cual es ua cotradicció. Problema 2. U cojuto fiito de putos e el plao tiee la propiedad de que cualquier recta que pasa por dos de ellos pasa por u tercero. Probar que todos los putos está e ua recta. Solució. Sea S u cojuto co la propiedad dada. Si S tiee tres putos es trivial. Supogamos que S tiee más de tres putos y que éstos o está alieados. Etre los pares (P,r que costa de ua recta r que pasa por dos putos de S y u puto P de S que o perteece a esa recta, elijamos el par co distacia míima d etre P y r. Sea E el pie de la perpedicular a r por P (E o tiee por qué perteecer a S. Como r pasa por dos putos de S, digamos A y B, pasa por u tercero, C. Etoces dos de ellos, digamos A y B, está al mismo lado respecto a E. Supogamos que B está más cerca de E que A (puede ser B E. Sea F el pie de la recta perpedicular a AP por B. Como ABF AP E, teemos que BF = P E AB AP < P E = d. Etoces la distacia de B a la recta AP es meor que d. Cotradicció.

3 Este último problema, llamado El problema de Sylvester, fue propuesto por Sylvester e T.Gallai lo resolvió e 1933 de ua forma muy complicada, mietras que L.M.Kelly lo resolvió e 1948 usado la solució que hemos presetado. 3

4 PRINCIPIO DE DIRICHLET O DEL PALOMAR Este teorema surge origiariamete de la observació de que si posees u umero de palomas superior al umero de idos e los que debe ser colocadas, e u ido tedrá que haber al meos 2 palomas. De maera más geeral este pricipio se puede euciar diciedo que si tiees elemetos que quieres repartir e m grupos, tedremos: =cm+r Siedo c el cociete de la divisió y r el resto (r distito de cero, etoces se puede cocluir que e uo de los grupos habrá al meos c+1 elemetos. Ejemplo: La suma de las edades de los 120 estudiates que participaro el año pasado e la Olimpiada Matemática fue de 2002 años. Demostrar que podrías haber elegido al meos a 3 de ellos tales que la suma de sus edades o fuese meor que 51 años. (Fase local 2004 Solució: Podemos aplicar el pricipio del palomar de la siguiete maera. Dividimos a los 120 estudiates e 40 grupos de 3 persoas, si dividimos la suma de las edades por los 40 grupos obteemos: 2002=40 x Por el pricipio del palomar habrá al meos u grupo cuya suma de las edades de sus tres miembros sea c+1, como e este caso c=50, habrá u grupo tal que la suma de las edades de sus miembros sea al meos 51, co lo que se prueba lo que se pedía (existe u grupo tal que la suma de las edades de sus miembros o es meor que 51. COLORACIÓN Existe ua serie de problemas que se puede resolver rápidamete utilizado como criterio la coloració. Esto sigifica que para resolver el problema debemos dividirlo e varios subcojutos y colorear cada uo de ellos. Veamos u ejemplo. Ejemplo: Es posible costruir u rectágulo utilizado las siguietes piezas?

5 Solució: Primero observemos que el úmero total de cuadrados de las piezas es de 20 cuadrados. Ahora colorearemos los cuadrados de las piezas de dos colores de modo aálogo a la forma e la que está coloreado u ajedrez, esto es, dado u cuadrado determiado aquellos adyacetes a él será de distito color si so adyacetes e horizotal o vertical y del mismo color si lo so e diagoal. De esta maera si existiese el rectágulo al teer u umero par de cuadrados (20 tedría que teer la mitad de los cuadrados de cada color. Si aalizamos las piezas teemos que e las siguietes piezas: De los cuatro cuadrados que tiee cada pieza tedría dos de u color y dos del otro.

6 Si embargo, e la otra pieza: Tedrá tres cuadrados de u color y uo del otro. De este modo, al jutar las piezas tedríamos 11 cuadrados de u color y 9 del otro, por lo tato o puede formarse u rectágulo co ellas.

, como el cociente = (n k)!k! Propiedades de los números combinatorios: n k = n. k x n k y k +... ( ) Dando valores x=y=1, se obtiene la igualdad n

, como el cociente = (n k)!k! Propiedades de los números combinatorios: n k = n. k x n k y k +... ( ) Dando valores x=y=1, se obtiene la igualdad n NÚMEROS COMBINATORIOS Def:Dado u úmero etero o egativo, se defie el factorial de (! como el producto! = ( 1...1 Def: Dados dos úmeros,k eteros o egativos tales que k, se defie el úmero combiatorio sobre

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