TEMA 4. Sucesiones de números reales.

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1 Cálculo I E.T.S.I. de Minas Curso TEMA 4. Sucesiones de números reales. Definición. Una sucesión de números reales es una aplicación que a cada número natural n 1leasignaunúnico número real x n R. Dicha sucesión se denota de una de las siguientes maneras: {x n } ó {x n } n N ó {x n } n 1 ó {x n } n=1. (x n )ó(x n ) n N ó(x n ) n 1 ó(x n ) n=1. Normalmente el término n-ésimo de la sucesión, x n, viene dado por una expresión en función de n. Adichaexpresión se le llama término general de la sucesión. En algunas ocasiones la sucesión se define, en vez de mediante un término general, dando los primeros términos de la sucesión siempre y cuando estos permitan averiguar los siguientes. En ese caso, se suele escribir: {x n } = {x 1,x 2,x 3, } ó (x n )=(x 1,x 2,x 3, ) Puesto que el uso de los paréntesis es común para agrupar operaciones, preferiremos las notaciones con llaves. Las sucesiones se pueden definir también mediante una recurrencia; esto es, una fórmula que expresa el término n-ésimo en función de algunos de los anteriores. Para que la sucesión esté bien definida es necesario además dar el valor numérico de los primeros términos de la sucesión. Ejemplos. (1) La sucesión {x n } dada por el término general x n = n 2 es la siguiente: {n 2 } = {1, 4, 9, 16, 25, }. (2) Un ejemplo de sucesión definida mediante una recurrencia es la sucesión de Fibonacci {x n } dada por: x 1 =1 x n = x 2 =1 x n = x n 1 + x n 2, n 3 Obsérvese que esta sucesión es {x n } = {1, 1, 2, 3, 5, 8, 11, }. 1

2 (3) Algunas sucesiones definidas mediante una recurrencia se pueden expresar también mediante un término general. Por ejemplo, la sucesión {x n } definida por: { x1 =1 x n = x n =2x n 1, n 2 tiene como término general x n =2 n 1. Definición. Sea {x n } una sucesión de números reales. (a) Sediceque{x n } está acotada superiormente si M R /x n M, n N. (b) Sediceque{x n } está acotada inferiormente si m R /m x n, n N. (c) Sediceque{x n } está acotada si lo está superior e inferiormente, esto es m, M R /m x n M, n N. Definición. Sea {x n } una sucesión de números reales. (a) Sediceque{x n } es monótona creciente si x n x n+1, n N. (b) Sediceque{x n } es monótona decreciente si x n x n+1, n N. (c) Sediceque{x n } es monótona si es monótona creciente o monótona decreciente. (d) Si en cualquiera de las definiciones anteriores se verifican las desigualdades estrictas, se dirá que la sucesión es estríctamente monótona (creciente o decreciente). 2

3 Ejemplos. (1) La sucesión {x n } dada por el término general x n = n 2 está claramenteacotada inferiormente por 0 pero no está acotada superiormente. Además es fácil ver que es estríctamente creciente ya que: x n+1 =(n +1) 2 = n 2 +2n +1>n 2 = x n, n N. { } 2n 1 (2) La sucesión {x n } = n 2 está acotada ya que trivialmente se tiene que x n > 0 para todo n 1, por lo que está acotada inferiormente, y además 0 (n 1) 2 = n 2 2n +1 2n 1 n 2 2n 1 n 2 1, lo que prueba que está acotada superiormente por 1. Para ver si la sucesión es creciente o decreciente, construyamos una nueva sucesión con la diferencia de los términos n-ésimo y (n+1)-ésimo: d n = x n x n+1 = 2n 1 2(n +1) 1 n 2 (n +1) 2 = 2n2 +1 n 2 (n +1) 2. Claramente, d n > 0, para todo n 1 ya que tanto el numerador como el denominador del término general d n son estríctamente positivos. Por tanto, d n = x n x n+1 > 0 x n >x n+1, lo que implica que {x n } es estríctamente monótona decreciente. Definición. Sea {x n } una sucesión de números reales. (a) Sediceque{x n } es convergente si existe L R tal que ε>0, N N / n N x n L ε. En tal caso, se dice que L es el límite de x n y se escribe x n = L. (b) Sediceque{x n } tiene límite + si En tal caso, se escribe x n =+. (c) Sediceque{x n } tiene límite si M>0, N N / n N x n M. M>0, N N / n N x n M. En tal caso, se escribe x n =. 3

4 (d) Una sucesión se dice que es divergente si x n = ±. Ejemplos. (1) Una sucesión constante {x n } = {K} es convergente y x n = K. (2) La sucesión {x n } = {n} tiene x n =. (3) La sucesión {x n } = { n} tiene x n =. (4) La sucesión {x n } = {1/n} es convergente y tiene x n =0. (5) La sucesión {x n } = {( 1) n /n} es convergente y tiene x n =0. (4) La sucesión {x n } = {( 1) n } no tiene límite ya que los términos pares son 1 y los impares -1. Teorema (de las sucesiones monótonas). Sea {x n } una sucesión monótona. (a) Si {x n } es creciente y acotada superiormente por un número K R entonces {x n } es convergente y x n K. (b) Si {x n } es decreciente y acotada inferiormente por un número K R entonces {x n } es convergente y x n K. (c) Si {x n } es creciente y no está acotada superiormente entonces x n =+. (d) Si {x n } es decreciente y no está acotada inferiormente entonces x n =. Ejemplos. (1) La sucesión monótona creciente {n 2 } no está acotada superiormente y, por tanto, n2 =. { } 2n 1 (2) La sucesión n 2 es decreciente y está acotada inferiormente por 0. El teorema nos asegura entonces que es convergente y que x n 0. (3) La sucesión {x n } = {( 2) n } no tiene límite ya que los términos pares son positivos y se hacen cada vez mayores y los términos impares son negativos y se hacen más pequeños cuanto mayor es n. Así, los términos pares tienden a + mientras que los impares tienden a. Eso implica que no existe el x n. 4

5 Cálculo de límites de sucesiones Proposición. Sean {x n } e {y n } dos sucesiones con límite y supongamos que L 1,L 2 R {± } son sus límites respectivos, esto es: x n = L 1, y n = L 2. Entonces se verifica: (a) (b) (c) (λx n + μy n )=λl 1 + μl 2, λ, μ R. (x ny n )=L 1 L 2. x n = L 1,siL 2 0. y n L 2 (d) (x n) yn =(L 1 ) L 2, si L 1 > 0, donde las operaciones con ± siguen las reglas del cálculo en R {+, } utilizadas en el tema de límites de funciones siempre y cuando no aparezca alguna de las indeterminaciones: [ ], [ ] 0, 0 [, [0 ], [1 ] ], [ 0 0], [ 0]. Proposición. Sea f : I R una función continua. Sea {x n } una sucesión tal que x n = x y supongamos que x I yquex n I para todo n 1. Entonces f(x n)=f(x). Propiedad. Sea f :(a, ) R una función tal que f(x) =L R {± }. Entonces x f(n) =L. Propiedad. Sea {x n } una sucesión de números reales. Entonces: (a) x n =0 x n =0. (b) Si x n =0ylasucesión {y n } está acotada entonces x ny n =0. 5

6 Ejercicio. Calcular el siguiente límite sen(e n )+ln(n). n Solución: Utilizando las reglas del cálculo de límites, se tendrá que, en caso de que los límites de la derecha existan, entonces sen(e n )+ln(n) sen(e n ) ln(n) = + n n n. 1 = 0, utilizando la propiedad (b) an- n Ahora bien, como sen(e n )está acotado y sen(e n ) terior se tiene que =0. n ln(n) Por otro lado, n si existe anteriores: x ln(x) x nos da una indeterminación de tipo [ ]. Podemos estudiar usando la regla de L Hôpital y aplicar entonces una de las propiedades ln(x) x x L H 1/x ln(n) = =0 x 1 n =0. En consecuencia, sen(e n )+ln(n) =0. n Proposición (Criterio del cociente). Sea {x n } una sucesión tal que existe un número N N tal que x n 0 para todo n>n. x n+1 Si existe = L R { } entonces: x n (a) Si L<1 entonces x n =0. (b) Si L>1 entonces x n =. (Obsérvese que si L =1, el criterio no decide). Ejercicio. Calcular el límite (n +1)! e n. 6

7 x n+1 Solución: Utilizaremos el criterio del cociente. Para ello, estudiamos el límite x n que, en nuestro caso, resulta: x n+1 x n = (n +2)! e n+1 (n +1)! e n (n +1)!(n +2)e n = (n +1)!e n e n +2 = = > 1, e (n +1)! por lo que e n =. Para determinar en qué casos una sucesión carece de límite es útil es concepto de subsucesión que definimos a continuación. Definición. Sea {x n } una sucesión de números reales. Se llama subsucesión de {x n } a cualquier sucesión obtenida de tomar infinitos elementos de {x n } sinvariarsuorden. Ejemplo. Las sucesiones {2n} y { 2n 1} son subsucesiones de la sucesión {( 1) n n} pues corresponden con tomar los elementos pares e impares, respectivamente, de esta última. Propiedad. Sea {x n } una sucesión de números reales. (a) Si existe x n = L R ± entonces y n = L para toda subsucesión {y n } de {x n }. (b) Como consecuencia, si {x n } admite dos subsucesiones {y n }, {z n } tales que y n z n o si admite una subsucesión que no tiene límite, entonces no existe tampoco el límite de {x n }. Límites de sucesiones dada por recurrencia Considereramos una sucesión {x n } definida por una recurrencia a un término: { x0 = a x n+1 = f(x n ), n 0. Normalmente se trata de aplicar el teorema de las sucesiones monótonas por lo que trataremos de probar que la sucesión es bien creciente y acotada superiormente o bien decreciente y acotada inferiormente. Eso nos garantizaría que la sucesión {x n } es convergente. En ese caso, si f es continua, el límite tendrá que ser un punto fijo de f como asegura la siguiente proposición. 7

8 Proposición. Sea {x n } una sucesión definida por { x0 = a x n+1 = f(x n ), n 0, donde f es una función continua. Si {x n } converge a L R entonces L es un punto fijo de f, esto es: L = F (L). Demostración. Si x n = L entonces x n+1 = L ya que {x n+1 } es la subsucesión de {x n } obtenida al einar el primer término. Entonces, tomando límites en x n+1 = f(x n ), puesto que f es continua, se tiene: ( ) L = x n+1 = f(x n)=f x n = f(l). Método de estudio de sucesiones recurrentes. Para estudiar el límite de una sucesión dada por una recurrencia { x0 = a x n+1 = f(x n ), n 0, procedemos habitualmente como sigue: (1) Calculamos los puntos fijos de f porque son los posibles límites de la sucesión y porque son los puntos que nos dividen la recta real en intervalos en los que la sucesión es creciente o decreciente ya que si tomamos la función auxiliar g(x) =f(x) x se tiene: g(x n )=f(x n ) x n = x n+1 x n y como entre dos puntos fijos de f (esto es, dos ceros de g) la función g tiene signo constante, tendremos que mientras nos mantengamos entre dos puntos fijos de f, la sucesión es o creciente o decreciente. (2) Miramos en cuál de los subintervalos en que queda dividida la recta real por los puntos fijos de L queda el punto x 0 = a y tratamos de probar que si x n está eneseintervalo (o en un subintervalo de él) entonces x n+1 también está en ese (sub)intervalo. Para ello suele ser necesario hacer consideraciones de crecimiento y decrecimiento de la función f. De esta manera probamos que la sucesión es monótona y que está acotada (al menos por el lado que nos interesa). (3) Dependiendo de si la sucesión es creciente o decreciente, evaluamos a qué punto fijo de f debe converger. 8

9 Ejercicio. Calcular x n siendo x 0 =2 x n+1 = 1 2 ( x n + 3 )., n 0, x n Solución: Observemos que la sucesión viene dada por la recurrencia x n+1 = f(x n ), para la función f(x) = 1 ( x + 3 ) = x 2 x x, donde f(x) > 0siemprequex>0, por lo que f :(0, ) (0, ) es continua. En primer lugar hallamos los puntos fijos de f que son los candidatos a límite: f(x) =x x x = x x = ± 3. Como x 0 =2> 0yf(x) > 0siemprequex>0, sabemos que x n > 0paratodon N y, por tanto, si existe el límite, éste tendrá que ser el punto fijo positivo de f: x n = 3. Para probar que el límite existe veremos que {x n } es monótona decreciente y acotada inferiormente (por 3). Claramente, 2 = x 0 3. Veamos que 2 x n+1 3paratodon 0. Obviamente, esto es lo mismo que probar que 2 f(x n ) 3paratodon 0. Lo veremos por inducción: Para n =0,setienef(x 0 )=f(2) = 1 + (3/4) = 7/4 2y7/4 = 49/16 48/16 = 3. Supongamos que es cierto para x n yprobémoslo para x n+1 : La función f es creciente en ( 3, 2) ya que f (x) = x 2 > ( 3) =0, 2 por tanto, se tiene: 2 x n 3 2 > 7/4 =f(2) x n+1 = f(x n ) f( 3) = 3. De esta relación se deducen dos cosas: 1) La sucesión está acotada: 3 x n+1 2paratodon 0. 2) La sucesión es decreciente ya que la función g(x) =x f(x) solo puede cambiar de signo en los puntos 3, 0, 3 y en el intervalo [ 3, ) (que es donde está completamente nuestra sucesión) es positiva ya que g(2) = 2 (7/4) = 1/4 > 0. Por tanto, 0 g(x n )=x n f(x n ) x n+1 = f(x n ) x n. 9

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