3.1 Definiciones previas

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1 ÍNDICE 3.1 Definiciones previas Operaciones con funciones Límite e una función en un punto Operaciones con límites Infinitésimos Derivaa e una función en un punto Derivaas laterales Interpretación geométrica e la erivaa Ecuaciones e la recta tangente y la recta normal Reglas elementales e erivación Reglas generalizaas e erivación Derivación logarítmica Máximos y mínimos relativos Convexia, concavia y puntos e inflexión Representación gráfica e funciones Definiciones previas Función real e variable real Sea A R un conjunto no vacío e números reales. Llamaremos función real e variable real a toa ley matemática, f, que asigna a caa x A un número real que enotamos por f(x). Se simboliza en la forma: f : A R x f(x) Dominio e una función El conjunto A se llama ominio e la función f y se enota por Dom(f). Es frecuente que una función f venga aa por una expresión matemática sin explicitar el ominio. En tal caso, se entenerá que el ominio e f es el conjunto e toos los números reales para los cuales la expresión está bien efinia. 1

2 2 ÍNDICE Imagen o recorrio e una función Sea la función f : A R y x A. Al número real f(x) se le llama imagen e x meiante la función f. El conjunto formao por toas las imágenes, f(x), cuano x recorre el conjunto A, se enomina imagen o recorrio e la función f y se enota por Im(f), Gráfica e una función Im(f) = {f(x) : x A}. Sea la función f : A R. Llamaremos gráfica e f al conjunto e puntos el plano, Gr(f), ao por Gr(f) = {(x, y) R 2 : y = f(x), x A}. La representación el conjunto Gr(f) en un sistema e coorenaas nos a, por lo general, una curva en R 2 que suele ientificarse por la ecuación y = f(x). EJEMPLO 3.1 f : R R x f(x) = x f : R \ { 2} R x f(x) = x x + 2 Figura 3.1: Gráfica e las funciones f(x) = x y f(x) = x x + 2

3 3.1 Definiciones previas 3 Funciones inyectivas Diremos que la función f : A R es inyectiva si se cumple que x 1, x 2 A, x 1 x 2 f(x 1 ) f(x 2 ), es ecir, si aos os puntos istintos el ominio sus imágenes respectivas son también istintas. Gráficamente se puee eterminar muy fácilmente cuano una función es inyectiva trazano rectas paralelas al eje OX que corten a la gráfica. Si es posible trazar una e estas rectas que corte a la gráfica en más e un punto, entonces la función NO es inyectiva; en caso contrario, la función es inyectiva. EJEMPLO 3.2 La función f : R R, f(x) = x 2 4x no es inyectiva. La función f : R R, f(x) = e x es inyectiva. En ocasiones interesa seleccionar trozos e una función one poamos asegurar su inyectivia. Esto puee conseguirse restringieno el ominio e la función. La función f : R R, f(x) = x 2 4x no es inyectiva. Sin embargo, la función f 1 : [2, + ) R, f 1 (x) = x 2 4x es inyectiva. La función f : R R, f(x) = sen x no es inyectiva. En cambio, la función f 1 : [ π 2, π 2 ] R, f1 (x) = sen x, es inyectiva. Figura 3.2: Gráfica e la función f(x) = x 2 4x en [2, + ). Funciones monótonas Sea una función f : A R. 1) Se ice que f es monótona creciente si se cumple que x 1, x 2 A, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). (3.1.1) Si en (3.1.1) se a la esiguala estricta (f(x 1 ) < f(x 2 )), entonces se ice que f es una función estrictamente creciente.

4 4 ÍNDICE 2) Análogamente, iremos que f es una función monótona ecreciente si x 1, x 2 A, x 1 < x 2 f(x 1 ) f(x 2 ). (3.1.2) Si se a la esiguala estricta (f(x 1 ) > f(x 2 )), entonces se ice que f es una función estrictamente ecreciente. EJEMPLO 3.3 La función f : R R, f(x) = e x, es una función monótona estrictamente creciente. Figura 3.3: Gráfica e la función f(x) = e x La función f : R R, f(x) = x 2 4x es estrictamente ecreciente en el intervalo (, 2] y estrictamente creciente en [2, + ). Sin embargo, no es monótona en R. Si una función es estrictamente creciente (o estrictamente ecreciente) en A, entonces f es inyectiva en A.

5 3.1 Definiciones previas 5 Funciones acotaas Una función f : A R se ice que está acotaa superiormente si el conjunto Im(f) es un conjunto acotao superiormente, es ecir, existe un número M tal que f(x) M, x A. El número M se llama cota superior e la función f en A. Análogamente, se ice que la función f : R R está acotaa inferiormente si el conjunto Im(f) está acotao inferiormente, es ecir, existe m R (que llamaremos cota inferior e f), tal que f(x) m, x A. EJEMPLO 3.4 La función f : R R, f(x) = e x, no está acotaa superiormente. En efecto, ao cualquier M R, existe x R tal que e x > M. La función f : R R, f(x) = x 2 + 4x, está acotaa superiormente. Cualquier número real mayor o igual que 4 es una cota superior e f. En este caso, sup(f) = 4 que se alcanza para x = 2, (f(2) = 4), luego la función f(x) = x 2 + 4x tiene un máximo, max(f) = f(2) = 4. La función f : (0, + ) R, f(x) = ln x, no está acotaa inferiormente puesto que Im(f) = R. La función f : R R, f(x) = e x, está acotaa inferiormente. Cualquier número menor o igual que 0 es una cota inferior e f. En este caso, inf(f) = 0. Sin embargo, no existe ningún x R tal que f(x) = 0, luego la función no tiene mínimo. Diremos que la función f : A R está acotaa si está acotaa inferiormente y superiormente, es ecir, existen m, M R tales que m f(x) M, x A. Esta conición es equivalente a que exista K R, K 0, tal que f(x) K, x A. EJEMPLO 3.5 La función f : R R, f(x) = sen x, está acotaa, puesto que sen x 1, x R. La función f : R R, f(x) = e x, no está acotaa, puesto que no está acotaa superiormente.

6 6 ÍNDICE Función par y función impar Una función f : A R, se ice que es una función par si se cumplen las siguientes coniciones: i) x A x A, ii) f( x) = f(x), x A. De las coniciones i) y ii) se esprene que si f es una función par y x A, entonces los puntos (x, f(x)) y ( x, f(x)) pertenecen a la gráfica e la función. En consecuencia, la gráfica e una función par será simétrica respecto el eje OY. Figura 3.4: Gráfica e una función par EJEMPLO 3.6 La función f : R R, f(x) = x 2, es una función par. f( x) = ( x) 2 = x 2 = f(x). La función f : R R, f(x) = cos x, es una función par. f( x) = cos( x) = cos x = f(x). En general, si f : R R es una función polinómica en la que sólo intervienen potencias pares, entonces f es una función par.

7 3.1 Definiciones previas 7 Una función f : A R, se ice que es una función impar si se cumplen las siguientes coniciones: i) x A x A, ii) f( x) = f(x), x A. De las coniciones anteriores se euce que si f es una función impar y x A, entonces los puntos (x, f(x)) y ( x, f(x)) pertenecen a la gráfica e la función. Esto significa que la gráfica e una función impar es simétrica respecto e origen e coorenaas. Figura 3.5: Gráfica e una función impar EJEMPLO 3.7 La función f : R R, f(x) = x 3, es una función impar, f( x) = ( x) 3 = x 3 = f(x). La función f : R R, f(x) = sen x, es una función impar, f( x) = sen( x) = sen x = f(x). En general, si f : R R, es una función polinómica en la que solo intervienen potencias impares, entonces f es una función impar.

8 8 ÍNDICE Funciones perióicas Una función f : A R, se ice perióica si existe un número ω R, ω 0, tal que, f(x + ω) = f(x), x A. (3.1.3) Si f es una función perióica, se llama períoo e f al menor número ω para el cual se cumple (3.1.3). (Observemos que si ω satisface (3.1.3), entonces cualquier múltiplo entero e ω también la cumple). EJEMPLO 3.8 La función f : R R, f(x) = sen x, es una función perióica e períoo 2π. La función f : R \ {(2k + 1)π/2 : k Z} R, f(x) = tg x, es una función perióica e períoo π. Si E[x] enota la función parte entera e x, entonces la función f : R R, f(x) = x E[x], es una función perióica e períoo 1. Figura 3.6: Gráfica e la función f(x) = x E(x). 3.2 Operaciones con funciones Operaciones algebraicas Sean f : A R y g : B R os funciones. Se efinen las siguientes operaciones: Suma e funciones: (f + g)(x) := f(x) + g(x), x A B. Diferencia e funciones: (f g)(x) := f(x) g(x), x A B.

9 3.2 Operaciones con funciones 9 Multiplicación e funciones: (f g)(x) := f(x) g(x), x A B. Cociente e funciones: ( ) f (x) := f(x), x (A B) \ {x B : g(x) = 0}. g g(x) Multiplicación por un número real: (λ f)(x) = λ f(x), x A (λ R). Composición e funciones Sean f : A R y g : B R os funciones tales que Im(f) Dom(g). Si x A, entonces f(x) Im(f) B, por lo que tenrá sentio calcular g[f(x)]. De esta forma poemos efinir una nueva función que llamaremos composición e f y g, y que notaremos por g f, aa por, Observaciones: g f : f Dom(f) Im(f) Dom(g) R x f(x) g[f(x)] La composición e funciones es una operación que cumple la propiea asociativa. Más concretamente, si f, g y h son tres funciones tales que Im(f) Dom(g) e Im(g) Dom(h), entonces se cumple que h (g f) = (h g) f. En general no se cumple la propiea conmutativa como se pone e manifiesto en los siguientes ejemplos g EJEMPLO 3.9 Sean f : R R, f(x) = e x y g : [0, + ) R, g(x) = x. Entonces se tiene que 1) Im(f) = (0, + ) Dom(g) = [0, + ), luego es posible la composición g f, (g f)(x) = g[f(x)] = g(e x ) = e x. 2) Im(g) = [0, + ) Dom(f) = R, luego es posible la composición f g, (f g)(x) = f[g(x)] = f( x) = e x. Por tanto, f g g f. Sean f : [0, + ) R, f(x) = x y g : R R, g(x) = x 3. Entonces se tiene que 1) Im(f) = [0, + ) Dom(g) = R, luego es posible la composición g f, (g f)(x) = g[f(x)] = g( x) = ( x ) 3. 2) Im(g) = R Dom(f) = [0, + ), luego no es posible la composición f g.

10 10 ÍNDICE Función inversa Sean f y g os funciones. Diremos que f y g son inversas si lo que hace una lo eshace la otra. En términos matemáticos, f y g son funciones inversas si se cumplen las siguientes coniciones 1) Im(f) = Dom(g), Im(g) = Dom(f), 2) (g f)(x) = x, x Dom(f), 3) (f g)(x) = x, x Dom(g). Si f y g son os funciones inversas, entonces se ice que g es la función inversa e f y se enota por g = f 1, o bien que f es la inversa e g, f = g 1. Cálculo e la inversa e una función La conición necesaria y suficiente para que una función f tenga inversa es que sea inyectiva. Si f : A R es una función inyectiva, entonces existe la función que verifica las siguientes coniciones f 1 : Im(f) Dom(f) x f 1 (x) (f f 1 )(x) = x, x Im(f), (f 1 f)(x) = x, x Dom(f). EJEMPLO 3.10 Sea f : R R, f(x) = 2x 5. La función f es inyectiva. Aemás Im(f) = R. Por tanto existe la función f 1, efinia por f 1 : R R x f 1 (x) = x Sea f : R R, f(x) = x 2. La función f no es inyectiva. Por tanto, no existe la función inversa. En estos casos trataremos e restringir el ominio e la función con objeto e obtener tramos one la función sea inyectiva. En nuestro ejemplo poemos consierar la función, f 1 : [0, + ) R x f 1 (x) = x 2 La función f 1 es inyectiva e Im(f 1 ) = [0, + ), luego existe la función f 1 1 aa por f 1 1 : [0, + ) [0, + ) x f 1 1 (x) = + x

11 3.2 Operaciones con funciones 11 De igual forma poíamos haber consierao la función inyectiva f 2 : (, 0] R x f 2 (x) = x 2 Puesto que Im(f 2 ) = [0, + ), la función f 1 2 venrá aa por f 1 2 : [0, + ) (, 0] x f 1 2 (x) = x Gráfica e una función y su inversa Supongamos que f : A R es una función inyectiva y sea f 1 : Im(f) R su función inversa. Observemos que si (x, y) Gr(f), entonces (y, x) Gr(f 1 ), lo cual significa que las gráficas e la función y = f 1 (x) se obtiene intercambiano las coorenaas e los puntos (x, y) e la gráfica y = f(x) y, por tanto, ambas gráficas serán simétricas respecto e la recta y = x. x f y f 1 Esto nos proporciona un métoo para calcular la expresión e la función f 1. y = f(x) Intercambiamos x e y x = f(y) espejamos la variable y y = f 1 (x) x Figura 3.7: Gráfica e las funciones y = f(x) e y = f 1 (x). La función logaritmo como inversa e la función exponencial Consieremos la función f : R R, f(x) = a x, con a > 0, a 1. La función f es una función inyectiva. Aemás Im(f) = (0, + ). Por tanto, existe la función inversa f 1 que llamaremos función función logaritmo en base a y que notaremos por log a x. f 1 : (0, + ) R x f 1 (x) = log a x En el caso particular e que f(x) = e x se obtiene como inversa la función f 1 (x) = log e x que se enomina función logaritmo neperiano y que se enota por ln x.

12 0 < a < 1 a > 1 12 ÍNDICE Figura 3.8: Gráfica e las funciones y = a x e y = log a x. La función arco seno La función f : R R, f(x) = sen x, no es inyectiva, por lo que no existe la función f 1. Sin embargo, si consieramos la función [ f 1 : π, ] π 2 2 R x f 1 (x) = sen x, conseguimos una función inyectiva. Como Im(f 1 ) = [ 1, 1], existirá la función inversa f1 1 : [ 1, 1] [ π, ] π 2 2 x f1 1 (x) = arsen x, que llamaremos rama principal e la función arco seno. Figura 3.9: Gráfica e las funciones y = sen x e y = arsen x. Si elegimos otros intervalos e inyectivia e la función f(x) = sen x, obtenremos iferentes funciones inversas. Toas ellas se llamarán ramas e la función arco seno.

13 3.2 Operaciones con funciones 13 La función arco coseno Consieremos la función f : [0, π] R x f(x) = cos x. La función f es inyectiva e Im(f) = [ 1, 1], por lo que existirá la función inversa que llamaremos rama principal e la función arco coseno, f 1 : [ 1, 1] [0, π] x f 1 (x) = arcos x, Figura 3.10: Gráfica e las funciones y = cos x e y = arcos x.

14 14 ÍNDICE La función arco tangente La función f : ( π 2, π 2 ) R x f(x) = tg x es una función inyectiva e Im(f) = R. Por tanto, existe la función inversa que llamaremos rama principal e la función arco tangente f 1 : R ( π, ) π 2 2 x f 1 (x) = artg x, Figura 3.11: Gráfica e las funciones y = tg x e y = artg x.

15 3.3 Límite e una función en un punto Límite e una función en un punto Sea f : A R y a un punto e acumulación e A. Diremos que si se cumple que lim f(x) = L ó simplemente, lim f(x) = L, x A ε > 0, δ = δ(ε) > 0 : x A, 0 < x a < δ f(x) L < ε. (3.3.1) Observaciones: Para calcular lim f(x) no es necesario que la función f esté efinia en el punto a. Es más, aún en el caso e que f puiera estar efinia en a, el valor e f(a) no influye para naa en el valor el límite. Decir que x A, 0 < x a < δ, significa que x E (a, δ) A y e igual forma, f(x) L < ɛ, puee escribirse como f(x) E(L, ɛ). Esto nos permite expresar la efinición (3.3.1) en términos e entornos e la siguiente manera, lim f(x) = L ε > 0, δ = δ(ɛ) > 0 : x E (a, δ) A f(x) E(L, ɛ). EJEMPLO 3.11 Aplicar la efinición e límite para probar que lim(2x + 5) = 7. x 1 Consieremos la función f(x) = 2x + 5. Dao ε > 0 hemos e encontrar un δ = δ(ε) > 0 tal que En nuestro caso, 0 < x 1 < δ f(x) 7 < ε. (3.3.2) f(x) 7 = 2x = 2x 2 = 2 x 1 < ε x 1 < ε/2. Basta tomar δ = ε/2 para que se cumpla (3.3.2).

16 16 ÍNDICE Límites laterales Sea f : A R y a R. Supongamos que (a, a + δ) A, δ > 0. (3.3.3) (a δ, a) A, δ > 0, (3.3.4) Poemos efinir los límites por la erecha y por la izquiera e la función f en el punto a que notaremos por lim f(x) = lim f(x) y lim f(x) = lim f(x). + x>a En estas coniciones, iremos que x<a lim f(x) = L + ε > 0, δ = δ(ε) > 0 : x A, a < x < x + δ f(x) L < ε. (3.3.5) lim f(x) = L ε > 0, δ = δ(ε) > 0 : x A, a δ < x < a f(x) L < ε. (3.3.6)

17 3.3 Límite e una función en un punto 17 EJEMPLO 3.12 Sea f : A R, f(x) = e 1/x. Probar que lim f(x) = 0. x 0 + Hemos e probar que ao cualquier ε > 0 poemos encontrar un δ = δ(ε) > 0 tal que En nuestro caso la conición (3.3.7) es equivalente a que 0 < x < δ f(x) < ε. (3.3.7) f(x) = e 1/x = e 1/x < ε 1 x < ln ε. (3.3.8) Observemos que si ε 1, entonces ln ε 0 y, por tanto, la conición (3.3.8) se cumple para cualquier valor e x > 0 y, en consecuencia para cualquier valor e δ que elijamos. Para el caso en que 0 < ε < 1 se tiene que f(x) = e 1/x = e 1/x < ε 1 x < ln ε x 1 ln ɛ. Basta tomar δ = 1/ ln ε para que se cumpla (3.3.7) Operaciones con límites 1) Supongamos que lim f(x) = L 1 y lim g(x) = L 2, one a puee ser finito o infinito y L 1, L 2 R. Entonces se cumple que a) lim (f(x) + g(x)) = L 1 + L 2. b) lim (f(x) g(x)) = L 1 L 2. c) Si L 2 0, entonces lim f(x)/g(x) = L 1 /L 2. ) Si L 1 > 0, entonces lim f(x) g(x) = L L 2 1. Las propieaes anteriores siguen sieno válias cuano alguno e los límites L 1 o L 2 es infinito, siempre que no se prouzca alguna ineterminación (Véase Tema 3). 2) Si f está acotaa en un entorno e a y lim g(x) = 0, entonces lim f(x) g(x) = 0.

18 18 ÍNDICE Infinitésimos Sea f : A R y a un punto e acumulación e A. Diremos que f(x) es un infinitésimo en x = a si se cumple que lim f(x) = 0. Análogamente si A es un conjunto no acotao superiormente (inferiormente), se ice que f(x) es un infinitésimo en + ( ) si se cumple que ( ) lim f(x) = 0 lim f(x) = 0. x + x La función f : R R, f(x) = x 2 es un infinitésimo en x = 0, puesto que lim x 0 x 2 = 0. La función f : R R, f(x) = e x es un infinitésimo en, puesto que Infinitésimos equivalentes lim x ex = 0. Supongamos que f(x) y g(x) son os infinitésimos en x = a (finito o infinito). Diremos que f(x) y g(x) son infinitésimos equivalentes y lo notaremos por f(x) g(x), si se cumple que f(x) lim g(x) = 1. Las funciones f(x) = sen x y g(x) = x son infinitésimos equivalentes en x = 0 puesto que lim x 0 f(x)/g(x) = 1. Tabla e infinitésimos equivalentes Si f(x) es un infinitésimo en x = a (finito o infinito), entonces las siguientes funciones son infinitésimos equivalentes sen[f(x)] f(x) arsen [f(x)] tg[f(x)] f(x) artg [f(x)] 1 cos[f(x)] 1 2 f(x)2 ln[1 + f(x)] f(x) a f(x) 1 f(x) ln a (a > 0) 3.4 Derivaa e una función en un punto Sea f : A R, A R y a int(a). Se ice que la función f es erivable en el punto a si existe y es finito el límite f(x) f(a) lim. (3.4.9) x a

19 3.4 Derivaa e una función en un punto 19 Al valor e este límite se le llama erivaa e la función f en el punto a y lo enotaremos por f (a). f(x) f(a) La expresión se llama cociente incremental e la función f en el punto a x a y mie la variación e la función f(x) con respecto a la variación e la variable x en las proximiaes el punto a. Si hacemos x a = h en (3.4.9), poemos expresar la erivaa en la forma, f f(a + h) f(a) (a) = lim. h 0 h La función f : R R, f(x) = k, es erivable en cualquier punto a R. Su erivaa viene aa por f (a) = lim f(x) f(a) x a = lim k k x a = 0. La función f : R R, f(x) = x, es erivable en cualquier punto a R, f (a) = lim f(x) f(a) x a = lim x a x a = 1. La función f : R R, f(x) = x 2, es erivable en cualquier punto a R, f (a) = lim f(x) f(a) x a x 2 a 2 = lim x a = lim (x + a)(x a) x a = 2a.

20 20 ÍNDICE Derivaas laterales Sea f : A R y supongamos que f está efinia en un intervalo e la forma [a, a + δ) con δ > 0. Si existe y es finito el límite f(x) f(a) lim + x a = lim x>a f(x) f(a), x a iremos que la función f es erivable por la erecha en a. Al valor e este límite lo llamaremos erivaa por la erecha e la función f en el punto a y lo notaremos por f (a + ). Análogamente, si f está efinia en un intervalo e la forma (a δ, a] con δ > 0, poemos consierar el límite f(x) f(a) lim x a = lim x<a f(x) f(a). x a Si este límite existe y es finito, iremos que f es erivable por la izquiera en a. Al valor e ese límite lo llamaremos erivaa por la izquiera e la función f en el punto a y lo notaremos por f (a ). Si f : A R y a int(a), entonces, f es erivable en a si, y solamente si, f es erivable por la izquiera y por la erecha en a y, aemás f (a ) = f (a + ) = f (a). Este resultao es especialmente útil para estuiar la erivabilia e funciones efinias a trozos. EJEMPLO 3.13 Estuiar la erivabilia e las siguientes funciones en los puntos que se inican. a) f : R R, f(x) = x, en x = 0. b) { x f : R R, f(x) =, x 1 2x 1, x > 1 en el punto x = 1. a) Calculamos las erivaas laterales en el punto x = 0. f (0 ) = lim x 0 f(x) f(0) x 0 f (0 + ) = lim x 0 + f(x) f(0) x 0 x = lim x 0 x<0 x = lim x 0 x>0 x = lim x 0 x<0 x = lim x 0 x>0 x x = 1, x x = 1. Puesto que f (0 + ) f (0 ), la función f(x) = x no es erivable en x = 0.

21 3.4 Derivaa e una función en un punto 21 Con otra notación: f (0) f(0 + h) f(0) h 0 h = lim = lim = lim h 0 h h 0 h h 0 h = lim 1 = 1, h 0 f +(0) f(0 + h) f(0) h 0 h = lim = lim = lim h 0 + h h 0 h h 0 h = lim 1 = 1. h 0 Por tanto, la función no es erivable en x = 0. b) En este caso, las erivaas laterales en x = 1 vienen aas por f (1 ) = lim x 1 f(x) f(1) x 1 f (1 + ) = lim x 1 + f(x) f(1) x 0 x 2 1 = lim x 1 x<1 = lim x 1 x>1 x 1 = lim x 1 x<1 2x 1 1 x 1 (x + 1)(x 1) x 1 = lim x 1 x>1 2(x 1) x 1 = 2, = 2. Puesto que f (1 )=f (1 + ), la función f es erivable en x=1, sieno f (1)=2.

22 22 ÍNDICE Interpretación geométrica e la erivaa. Sea f : A R y supongamos que f es erivable en un punto a int(a). Gráficamente, representa f(a + h) f(a) h = tg α, es ecir, el cociente incremental nos a la peniente e la recta que pasa por los puntos A(a, f(a)) y P (a + h, f(a + h)). Cuano h 0, la recta que pasa por los puntos A y P se transforma en la recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto A(a, f(a)). La erivaa, f (a), se correspone geométricamente con la peniente e la recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto A(a, f(a)).

23 3.4 Derivaa e una función en un punto Ecuaciones e la recta tangente y la recta normal Sea f : A R una función erivable en a int(a). La recta tangente a la gráfica y = f(x) en el punto A(a, f(a)) tiene e peniente f (a) por lo que su ecuación venrá aa por y = f(a) + f (a)(x a). La recta que pasa por el punto A(a, f(a)) y es perpenicular a la recta tangente se enomina recta normal a la gráfica y = f(x) en el punto A(a, f(a)). Pueen presentarse os situaciones: 1) Si f (a) 0, la peniente e la recta normal será 1/f (a) y su ecuación venrá aa por y = f(a) 1 (x a). f (a) 2) Si f (a) = 0, la recta tangente es la recta horizontal e ecuación y = f(a). En este caso, la recta normal será la recta vertical e ecuación x = a. EJEMPLO 3.14 punto x = 1. Calcula la ecuación e la recta tangente a la curva f(x) = e 2x+2 en el Como a = 1, en primer lugar calculamos f( 1). f( 1) = e 2+2 = e 0 = 1. Para calcular f ( 1), erivamos: f (x) = 2 e 2x+2. Así, la erivaa en el punto a = 1 es: f ( 1) = 2 e 2+2 = 2 e 0 = 2. Finalmente, la ecuación e la recta tangente en el punto x = 1 viene aa por: y f( 1) = f ( 1) (x ( 1)) = y 1 = 2(x + 1) = y = 2x + 3.

24 24 ÍNDICE Figura 3.12: Gráfica e las función y la recta tangente Reglas elementales e erivación En la siguiente lista presentamos las reglas e erivación más usuales a) b) c) ) e) f) g) h) x xα = α x α 1, α R. x ax = a x ln a, a > 0; x log a x = 1 x log a e, a > 0; sen x = cos x, x x tg x = 1 cos 2 x = 1 + tg2 x, x arsen x = 1. 1 x 2 x artg x = x. 2 x sh x = ch x, x ex = e x. x ln x = 1 x. cos x = sen x. x x cotgx = 1 sen 2 x = (1 + cotg2 x). x ch x = sh x.

25 3.4 Derivaa e una función en un punto Reglas generalizaas e erivación Aplicano la regla e la caena obtenemos las siguientes reglas e erivación compuesta a) b) c) ) e) f) g) x [f(x)]α = α [f(x)] α 1 f (x), α R. [ ] n f (x) f(x) = x n n f(x). n 1 x [log a f(x)] = f (x) f(x) log a e, [ ] a f(x) = a f(x) f (x) ln a, x x [sen f(x)] = [cos f(x)] f (x), [tg f(x)] = f x f [ arsen f(x)] = x (x) cos 2 f(x), (x) 1 [f (x)] 2. x [ln f(x)] = f (x) f(x). [ ] e f(x) = e f(x) f (x). x x [cos f(x)] = [sen f(x)] f (x). [cotg f(x)] = f (x) x sen 2 f(x). h) i) f [ artg f(x)] = x (x) 1 + [f (x)] 2. x [ sh f(x)] = [ ch f(x)] f (x), x [ ch f(x)] = [ sh f(x)] f (x).

26 26 ÍNDICE Derivación logarítmica La erivación logarítmica consiste en tomar logaritmos neperianos en la expresión que queremos erivar y a continuación calcular la erivaa aplicano las fórmulas e erivación compuesta. Este métoo e erivación es especialmente útil para obtener la erivaa e funciones cuya expresión viene aa en la forma f(x) = u(x) v(x). En este caso, ln f(x) = ln u(x) v(x) = v(x) ln u(x). Derivano en ambos términos e la iguala anterior, se tiene f (x) f(x) = v (x) ln u(x) + v(x) u (x) u(x). Finalmente, espejano se obtiene la fórmula, ( ) f (x) = v (x) ln u(x) + v(x) u (x) u(x) v(x). u(x) EJEMPLO 3.15 Calcular la erivaa e la función f(x) = x sen x. Tomano logaritmos neperianos, y erivano en ambos términos, se obtiene ln f(x) = ln x sen x = sen x ln x, f (x) f(x) = cos x ln x + sen x x, e one ( f (x) = x sen x cos x ln x + sen x ). x

27 3.4 Derivaa e una función en un punto Máximos y mínimos relativos Sea f : A R y a A. Diremos que f tiene un máximo relativo en a si existe un entorno E(a, δ), tal que f(x) f(a), x E(a, δ) A. (3.4.10) Análogamente, iremos que f tiene un mínimo relativo en a si existe un entorno E(a, δ), tal que f(x) f(a), x E(a, δ) A. (3.4.11) Los puntos one una función tiene un máximo o un mínimo relativo se llaman extremos locales o extremos relativos. Conición necesaria e extremo relativo: Si f tiene un máximo o un mínimo relativo en a y f es erivable en a, entonces f (a) = 0. Observación: La conición f (a) = 0 no es suficiente para garantizar que una función tiene un máximo o mínimo relativo en x = a. Por ejemplo, la función f(x) = x 3 verifica que f (0) = 0 y sin embargo no tiene un extremo relativo en x = 0. Daa una función f, se cumple que: (a) Si f (a) > 0 (la erivaa es positiva), entonces f es creciente en el punto a. (b) Si f (a) < 0 (la erivaa es negativa), entonces f es ecreciente en el punto a. La manera práctica e proceer para eterminar los extremos relativos e una función, así como aquellos intervalos en los que la función crece o ecrece es la siguiente: 1) Calculamos la erivaa e la función y la igualamos a cero. A continuación resolvemos la ecuación resultante, e manera que las soluciones son los posibles extremos relativos e la función. 2) Realizamos una tabla en la que tenemos que poner los puntos obtenios anteriormente y aemás los puntos conflictivos e la función (aquellos one la función no está efinia, o one no es erivable). Toos estos puntos se enominan puntos críticos. 3) En icha tabla, estuiamos el signo e la erivaa. Si icha erivaa es positiva en un intervalo, entonces la función crece en icho intervalo, y si es negativa, la función ecrece. El paso e un intervalo creciente a otro ecreciente o viceversa nos inicará la existencia e un máximo o un mínimo relativo e la función.

28 28 ÍNDICE EJEMPLO 3.16 Estuia los intervalos e crecimiento y e ecrecimiento y los extremos relativos e la función f : R R efinia por f(x) = x 3 3x. Comenzamos calculano la erivaa y obtenieno los valores que la hacen cero. f (x) = 3x 2 3 = 0 = x 2 = 1 = x = ±1. Obtenemos así os puntos críticos, y no hay más pues la función es polinómica y, por tanto, su ominio son toos los números reales. Ahora hacemos una tabla como la siguiente: f (x) + + f(x) Para obtener los signos e f (x) basta tomar un punto en caa intervalo y sustituir en la expresión e la erivaa. Entre y 1 tomamos el 2, con lo que: Entre 1 y 1, tomamos el 0, queano: Entre 1 e se toma el 2, y se obtiene: f ( 2) = 12 3 = 9 > 0. f (0) = 3 < 0. f (2) = 12 3 = 9 > 0. Por tanto, concluimos que la función es creciente en (, 1) (1, ) y ecreciente en ( 1, 1). Aemás, presenta un máximo en el punto x = 1 y un mínimo en x = 1. Para calcular la seguna coorenaa el máximo y el mínimo basta sustituir en la función. Así, el máximo está en el punto ( 1, f( 1)) = ( 1, 2) y el mínimo está en el punto (1, f(1)) = (1, 2).

29 3.4 Derivaa e una función en un punto 29 EJEMPLO 3.17 Estuia los intervalos e crecimiento y e ecrecimiento y los extremos e la función f : R R efinia por f(x) = 2x2 3x e x. Calculamos en primer lugar la función erivaa. f (x) = (4x 3)ex e x (2x 2 3x) (e x ) 2 = ex ( 2x 2 + 7x 3) (e x ) 2 = 2x2 + 7x 3 e x. Ahora, igualano a cero: 2x 2 + 7x 3 e x = 0 = 2x 2 + 7x 3 = 0 = x = 3 y x = 1 2. Notar aemás que no hay más puntos críticos, pues los enominaores e f y f no se anulan para ningún número real. Así pues los únicos puntos críticos son x = 3 y x = 1 2. A continuación hacemos la tabla: f (x) + f(x) ( ) 1 Por tanto, f es creciente en el intervalo 2, 3 y ecreciente en Aemás, f presenta un máximo relativo en el punto (3, f(3)) = (3, 9e ) (3, 0 45) 3 y un mínimo relativo en ( 1 2, f ( )) ( 1 1 = 2 2, 1 ) (0 5, 0 61). e 1 2 (, 1 ) (3, ). 2

30 30 ÍNDICE Convexia, concavia y puntos e inflexión Diremos que una función f es convexa en un intervalo (a, b) si cualquier segmento unieno os puntos e la gráfica e f en (a, b) quea por encima e la gráfica. Análogamente, se irá que f es cóncava en un intervalo (c, ) si cualquier segmento unieno os puntos e la gráfica e f en (c, ) quea por ebajo e la gráfica. Los puntos en los que una función cambia e convexa a cóncava, o viceversa, se llaman puntos e inflexión. Igual que se aplican las erivaas para el cálculo e los máximos y los mínimos y el crecimiento o ecrecimiento e la función, también se pueen aplicar para el estuio e la concavia y la convexia. Daa una función f, se cumple que: Si f (x) > 0 para too x (a, b), entonces la función f es convexa en el intervalo (a, b). Si f (x) < 0 para too x (a, b), entonces la función f es cóncava en el intervalo (a, b). El proceso para eterminar la convexia, concavia y puntos e inflexión es muy similar al el cálculo el crecimiento, ecrecimiento y extremos relativos, únicamente hay que utilizar la erivaa seguna en lugar e la primera. EJEMPLO 3.18 por f(x) = x 3 3x. Estuia la concavia y convexia e la función f : R R efinia Empezamos calculano los valores que anulan la erivaa seguna: f (x) = 6x = 0 = x = 0. Notar que al ser la función polinómica no hay ningún punto que no esté en el ominio o en el que no esté efinia la erivaa seguna. Por tanto, el 0 es el único extremo e intervalo que tenemos que consierar. Hacemos la corresponiente tabla. 0 + f (x) + f(x) Así pues la función es convexa en el intervalo (0, + ) y cóncava en (, 0). Aemás hay un punto e inflexión en (0, f(0)) = (0, 0).

31 3.4 Derivaa e una función en un punto 31 Si a es un punto tal que f (a) = 0 (un posible extremo relativo), entonces: Si f (a) > 0, entonces a es un mínimo e la función. Si f (a) < 0, entonces a es un máximo e la función. Si f (a) = 0 no poemos asegurar naa. (Aunque en realia si se puee saber pero excee los contenios el curso). Ejemplo: Estuiar los intervalos e crecimiento y los extremos e la función: f(x) = x 3 3x Comenzamos calculano la erivaa: f (x) = 3x 2 3. Igualano a cero: 3x 2 3 = 0 = x 2 = 1 = x = ±1, obtenemos os puntos críticos. Calculano la erivaa seguna: Sustituyeno, en x = 1 hay un mínimo. f (x) = 6x f (1) = 6 > 0 f ( 1) = 6 < 0 en x = 1 hay un máximo. Como ya habíamos obtenio anteriormente.

32 32 ÍNDICE Representación gráfica e funciones Con toas estas aplicaciones es sencillo representar gráficamente cualquier función, basánose en los siguientes puntos: 1) Dominio e efinición. 2) Puntos e corte con los ejes: Con el eje x, y = 0. Con el eje y, x = 0. 3) Simetrías. Par si f( x) = f(x). Impar si f( x) = f(x). No tiene simetría si no se a ninguna e esas coniciones. 4) Asíntotas: Verticales, Horizontales y Oblicuas. 5) Crecimiento y ecrecimiento. Extremos relativos. 6) Concavia y convexia. Puntos e inflexión.

33 3.4 Derivaa e una función en un punto 33 Ejemplo: Representa gráficamente la función f(x) = 3x 1 3x ) Dominio e efinición: Dom f(x) = R. 2) Puntos e corte con los ejes: Con el eje x, f(x) = 0: el punto es ( ) 1 3, 0. Con el eje y, x = 0: el punto es (0, 1). 3x 1 3x = 3x 1 = 0 = x = 1 3 f(0) = = 1 1 = 1 3) Simetrías f( x) = 3( x) 1 3( x) = 3x 1 3x x 1 3x = f(x) f no es par. f( x) = 3( x) 1 3( x) = 3x 1 3x x 1 3x = f(x) f no es impar, luego f no tiene simetrías. 4) Asíntotas Verticales: No tiene puesto que Dom f(x) = R. Horizontales: lim x lim x 3x 1 3x = lim x Hay una asíntota horizontal en y = 0. Oblicuas: No hay, pues hay horizontales. 5) Crecimiento Derivano: 3x 1 3x = 0 3( x) 1 3( x) = lim 3x 1 x 3x = 0 f (x) = 3(3x2 + 1) 6x(3x 1) (3x 2 + 1) 2 = 9x2 + 6x + 3 (3x 2 + 1) 2 = 0

34 34 ÍNDICE Igualano a cero: 9x 2 + 6x + 3 = 0 = 3x 2 + 2x + 1 = 0 = x = 1 No hay más puntos críticos, pues Dom f(x) = R. Hacieno la tabla: x = 1 3 Luego f(x) es creciente en Tiene un máximo relativo en (1, f(1)) = ( 1 3, 6 ) ( 1 = 4 3, 3 ). 2 6) Concavia Calculano la erivaa seguna, es: f (x) + f(x) ( ) ( 1 3, 1 y ecreciente en, 1 3 ) (1, ). ( 1, 1 ) y un máximo relativo en 2 f (x) = 54x3 54x 2 54x + 6 (3x 2 + 1) 3 ( 1 3, 2 ) 4 = 3 e igualano a cero no se obtienen raíces exactas, por lo que no se puee hacer este estuio. Con los atos que tenemos, poemos hacer un esbozo e la gráfica e la función: