PROPUESTA A. 2. Se pide:

Transcripción

1 . Dada la ecuación matricial 6 X X A B PROPUESTA A a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.5 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 5 orden. (.5 puntos). Si dividimos el número entre la suma de sus cifras se obtiene de cociente de resto. La suma de las cifras de las decenas de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) b) Cuáles son las cifras del número? (.5 puntos). Se considera la función f 4 ) ( si si. Se pide: a) Estudia la continuidad en =. (.5 puntos) b) Etremos relativos de f en el intervalo (, ). ( punto) 4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcana una acción viene dado por la función f() = t 8t + 48t +, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio de la sesión t. Se pide: a) Precio de la acción a las horas de iniciada la sesión. (.5 puntos) b) A qué hora la acción alcana su valor máimo?, cuál es ese valor? (.5 puntos) 5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el tipo A tiene una probabilidad de doblar su precio de.. para el tipo B. a) Probabilidad de que una acción elegida al aar doble su precio. (.5 puntos) b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.5 puntos) 6. Se ha etraído una muestra de familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 998, 96, 995, 6, 4,,, 994, 8, 69. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica euros. a) Encontrar el intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, Qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos)

2 PROPUESTA B. Una empresa tiene 8 botellas de vino de La Mancha 6 botellas de vino de Valdepeñas. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por tres botellas de La Mancha una de Valdepeñas, que venderá a ; lotes de tipo B formados por una botella de La Mancha dos de Valdepeñas que venderá a 5 euros. a) Dibuja la región factible. ( punto) b) Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la maor cantidad de dinero? (.5 puntos). La asociación de Padres Madres de un IES compra pen drives a tres proveedores diferentes a 6., euros cada pen drive. La factura total asciende a 5 euros. Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al primero, se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (.5 puntos). Se considera la función 4 si f ( ) si. Se pide: 4 si a) Límites laterales de la función f en el punto =. Es continua la función f en =?(.5 puntos) b) Representación gráfica de la función f. ( punto) 4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función B() = en donde representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las condiciones del mercado, se decide que 5. Se pide: a) Beneficio máimo. (.5 puntos) b) Intervalos donde el beneficio crece donde decrece. (.5 puntos) 5. En un pabellón polideportivo ha personas de Albacete, 5 de Ciudad Real, de Toledo 5 de Cuenca. a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, cuál es la probabilidad de que no le toque a ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (.5 puntos) b) Se eligen al aar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una sin que puedan repetir, cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (.5 puntos) 6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica segundos. Se toma una muestra aleatoria de llamadas la media de duración obtenida en esa muestra es de 5 segundos. Se pide: a) Encontrar un intervalo de confiana al 95 % para la duración media de las llamadas. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos)

3 SOLUCIONES PROPUESTA A. Dada la ecuación matricial 6 X X A B a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.5 puntos) b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 5 orden. (.5 puntos) a) Resuelve matricialmente la ecuación. (.5 puntos) Si Sacamos factor común a la matri X por la iquierda, llegamos a que, X ( 6 I A) B Siendo I la matri identidad del mismo orden que X. En tal caso, eclusivamente cuando la matri (6 I A) tenga inversa (es decir, cuando sea cuadrada tenga determinante no nulo), podremos despejar la matri X del modo: X B (6 I A) Además, para que (6 I A) sea cuadrada sólo cabe la posibilidad de que lo sean A e I además tengan el mismo orden. Por lo tanto, X B (6 I A) su número de columnas es igual que el de filas de B., si (6 I A) posee matri inversa, A e I a son del mismo orden b) Si A, calcula la matri X que cumple A X I, donde I es la matri identidad de 5 orden. (.5 puntos) La ecuación tendrá solución, siempre cuando la matri A tenga matri inversa, esto es, cuando su determinante sea. Calculamos el determinante de A, A 5 Por lo tanto, la ecuación tendrá solución. Para calcularla, resolvemos matricialmente según, A X I X A I A

4 4 Calculamos la matri inversa de A, Para ello, procedemos a calcularla mediante la fórmula, A A Adj A t Siendo A t la matri transpuesta de A adj[a t ] la matri adjunta de la transpuesta. Realiamos las operaciones correspondientes: 5 5 ] ) [ 5 A A adj A t t En ese caso, la solución X será: 5/ / A X. Si dividimos el número entre la suma de sus cifras se obtiene de cociente de resto. La suma de las cifras de las decenas de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene. Se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) b) Cuáles son las cifras del número? (.5 puntos) a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) Llamamos al número de centenas; al número de decenas; al número de unidades. En estas condiciones los siguientes enunciados corresponden a las siguientes ecuaciones: Dividimos el número entre la suma de sus cifras se obtiene de cociente de resto. ) ( La suma de las cifras de las decenas de las centenas es el doble de la cifra de las unidades. En cambio, si a esa suma le restamos la cifra de las unidades se obtiene Por lo tanto, el sistema que responde a las condiciones del problema viene determinado por: ) ( Donde, dividiendo la primera ecuación por 9 ordenando el sistema pedido será: 4 6 6

5 5 b) Cuáles son las cifras del número? (.5 puntos) Resolvemos el sistema por el método de Gauss colocando la tercera ecuación como la primera. 4 4 La matri de Gauss queda determinada por: 4 Multiplicamos la primera fila por la sumamos a la segunda. De igual modo, multiplicamos por a la primera fila la sumamos con la tercera: 4 F F F F F F Como la segunda fila puede, en términos de ecuación, ser despejada, pasamos al sistema equivalente resolvemos: Por lo tanto, el número es.

6 . Se considera la función f 4 ) ( si si. Se pide: a) Estudia la continuidad en =. (.5 puntos) b) Etremos relativos de f en el intervalo (, ). ( punto) a) Estudia la continuidad en =. (.5 puntos) Para que una función sea continua en un valor de abcisa = a se debe cumplir que los límites laterales en el punto = a coincidan con a imagen de la abcisa = a. Dicho de otro modo, lim a f ( ) lim a f ( ) f ( a) En nuestro caso, debemos estudiar la continuidad en =. Por lo tanto, estudiaremos los límites laterales el valor de la función en el punto =. lim f ( ) lim 4 ( ) ( ) lim f ( ) lim ( ) ( ) 5 f () ( ) Al coincidir todos los valores, concluimos que la función f es continua en =. b) Etremos relativos en el intervalo (, ). (.5 puntos) Para el estudio de los etremos relativos, descartamos realiar derivadas por cuanto la función es a troos ha un valor absoluto de por medio. Procedemos a localiarlos mediante la representación gráfica. En tal caso, la primera epresión algebraica ( ) es una parábola. El vértice lo tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la epresión, e igualando a cero, obtenemos, [ + 4 ] = (+) ( + ) = = Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia arriba sin más que observar el coeficiente del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a iquierda derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal epresión es. =

7 En esta tabla ha que tener en cuenta que = no pertenece al intervalo (, ) aunque si pertenece al dominio de la epresión que representamos. Por otra parte, la segunda epresión algebraica ( > ) también es una parábola. El vértice lo tiene en el valor que anula la derivada. Por tanto, derivando la epresión, e igualando a cero, obtenemos, [ + ] = ( + ) ( + ) = = Además, sabemos que la parábola es con ramas hacia abajo sin más que observar el coeficiente del monomio de grado dos. Calculamos algunos valores a iquierda derecha de la abcisa del vértice, teniendo en cuenta que nuestro dominio para tal epresión es >. = + 5 En esta tabla ha que tener en cuenta que = no pertenece al intervalo (, ) aunque si pertenece al dominio de la epresión que representamos. Por lo tanto, la representación gráfica pedida será: Concluimos que eiste un máimo relativo de la función f en el intervalo (, ) en el punto (, ) eisten un mínimo relativo de la función f en el intervalo (, ) en el punto (, 5).

8 4. En una sesión de Bolsa el precio, en euros, que alcana una acción viene dado por la función f() = t 8t + 48t +, en donde t representa el tiempo, en horas contado a partir del inicio de la sesión t. Se pide: a) Precio de la acción a las horas de iniciada la sesión. (.5 puntos) b) A qué hora la acción alcana su valor máimo?, cuál es ese valor? (.5 puntos) a) Precio de la acción a las horas de iniciada la sesión. (.5 puntos) Simplemente sustituimos t = en la función: f() = = = = Por lo tanto, la acción vale. b) A qué hora la acción alcana su valor máimo?, cuál es ese valor? (.5 puntos) Para encontrar el máimo de la función en el intervalo [, ], calculamos los máimos mínimos relativos estudiamos la monotonía de la función en este intervalo. La derivada de la función f() = t 8t + 48t + es: f () = 6t 6t + 48 Igualamos a cero resolvemos para conocer los posibles valores de abcisa donde están los máimos los mínimos relativos: 6t 6t 48 ( 6) t ( 6) t ó t Estudiamos el signo de la primera derivada para concluir donde la función es creciente donde es decreciente: Intervalo Valor f () = 6t 6t + 48 Signo f () f() es (, ) 48 + Creciente (, 4) 6 Decreciente (4, + ) Creciente De la información anterior concluimos que la función es tiene un máimo relativo en t =. El valor de la acción en ese momento es: f() = = = = 4 Luego entonces, el momento donde la acción alcana el máimo valor es a las horas vale 4. 8

9 5. Una empresa tiene la misma cantidad de acciones del tipo A que del tipo B. Se sabe que el tipo A tiene una probabilidad de doblar su precio de.. para el tipo B. a) Probabilidad de que una acción elegida al aar doble su precio. (.5 puntos) b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.5 puntos) a) Probabilidad de que una acción elegida al aar doble su precio. (.5 puntos) El problema se puede epresar mediante el siguiente diagrama de árbol: En ese caso, la probabilidad de que una acción elegida al aar doble su precio es: P(Acción dobla su precio) = P(Acción tipo A) P(Dobla su precio / Acción Tipo A) + + P(Acción tipo B) P(Dobla su precio / Acción Tipo B) = = =.5 +. =.5 Por lo tanto, la probabilidad de que una acción elegida al aar se duplique es de.5. b) Si sabemos que una acción ha doblado su precio, cuál es la probabilidad de que sea del tipo B? (.5 puntos) En ese caso, la probabilidad de que la silla sea del tipo B se puede calcular mediante el teorema de Baes según: P ( Tipo B/ Dobla su precio ) P( Dobla su P( Dobla su precio / Tipo B) P( Tipo B) precio / Tipo A) P( Tipo A) P( Dobla su precio / Tipo B) P( Tipo B) Por lo tanto, la probabilidad pedida es de 4. 9

10 6. Se ha etraído una muestra de familias de residentes en un barrio obteniéndose los siguientes datos: 998, 96, 995, 6, 4,,, 994, 8, 69. Se supone que la renta familiar de los residentes en el barrio sigue una distribución normal de desviación típica euros. a) Encontrar el intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, Qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos) a) Encontrar el intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media. ( punto) Sea la variable aleatoria X que mide la duración renta familiar. Según los datos del problema esta variable se distribue mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ =. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = componentes podemos calcular su media muestral: ni i X n En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confiana con α = 9 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X /, n X / n Puesto que α = 9, entonces α = α/ = 5 por lo que α/ =. Por tanto, sustituendo en la fórmula del intervalo: s. 45, 45 (8 8, 58 6) Concluimos que el intervalo de confiana al 9 % para la renta familiar media es (8 8, 58 6). b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) La interpretación es sencilla. Ha una probabilidad del 9 % de que tomada una familia su renta familiar al aar, esta esté entre c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, Qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos) Aumentar el tamaño muestral a que al ser un valor que aparece en el denominador, el intervalo disminuiría. También se puede hacer disminuendo la confiana del intervalo a que el valor α/ sería menor al multiplicar, el resultado sería de menor valor que el actual.

11 SOLUCIONES PROPUESTA B. Una empresa tiene 8 botellas de vino de La Mancha 6 botellas de vino de Valdepeñas. Desea elaborar dos tipos de lotes para regalo con dichas botellas: lotes de tipo A formados por tres botellas de La Mancha una de Valdepeñas, que venderá a ; lotes de tipo B formados por una botella de La Mancha dos de Valdepeñas que venderá a 5 euros. a) Dibuja la región factible. ( punto) b) Cuántos lotes de cada tipo deberá preparar para obtener la maor cantidad de dinero? (.5 puntos) a) Dibuja la región factible. ( punto) Si llamamos al número de lotes del tipo A e al número de lotes el tipo B, tendremos que los datos anteriores nos llevan a una epresión algebraica de la región factible del tipo:, 8 6 Las dos primeras epresiones nos determinan que la región factible se halla en el primer cuadrante. En cuanto a la tercera epresión, + 8, representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta = 8 = Sustituimos en a inecuación en punto (,) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que divide la recta al plano es en el que estará la región factible. + = 8 Como (,) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (,) En cuanto a la cuarta epresión, + 6, igualmente representamos el semiplano de posibles soluciones a que da lugar a partir de, primeramente, la representación de la recta Sustituimos en a inecuación en punto (,) para conocer cuál de los dos semiplanos en los que divide la recta al plano es en el que estará la región factible. + = 6

12 Como (,) verifica la desigualdad, el semiplano a elegir es al que pertenece el punto (,) Representamos la recta el rectángulo en un mismo plano cartesiano determinando la pertenencia a los semiplanos que generan mediante la verificación o no del punto (,), (que la verifican todos). La región coloreada en amarillo es la región factible. Calculamos los vértices de la región factible: Punto A de intersección de las rectas + = 6 e =, da como solución A(, 8). Punto B de intersección de las rectas + = 6 con + = 8, da como solución B(4, 6). Punto C de intersección de las rectas + = 8 con =, da como solución C(6, ). Punto D de intersección de las rectas = con =, da como solución O(, ). b) Determina las cantidades que debe invertir en cada uno de los tipos para que el beneficio sea lo maor posible. (.5 puntos) Sea la función que determina el beneficio vendrá dada por la epresión algebraica: F(,) = + 5 Aplicando los puntos de la región factible a la función encontraremos de entre ellos a aquel que tenga maor beneficio. Ese punto es el punto de maor beneficio de toda la superficie limitada. F(A) = F(, 8) = = + 4. = 4. F(B) = F(4, 6) = = = 58. F(C) = F(6, ) = = 4. + = 4. F(O) = F(, ) = + 5 = + = En conclusión, hemos obtenido que las cantidades de cada tipo de lote para obtener un maor beneficio son = 4 de tipo A e = 6 del tipo B.

13 . La asociación de Padres Madres de un IES compra pen drives a tres proveedores diferentes a 6., euros cada pen drive. La factura total asciende a 5 euros. Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al primero, se pide: a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. (.5 puntos) Hacemos las siguientes asignaciones de incógnitas: Número de pen drives del primer proveedor Numero de pen drives del segundo proveedor Número de pen drives del tercer proveedor a) Plantea un sistema de ecuaciones que responda a las condiciones del enunciado. (.5 puntos) Las condiciones del problema inducen las siguientes ecuaciones lineales: La Asociación de Padres de Madres de un IES compra pen-drives a tres proveedores diferentes a tres proveedores diferentes a 6., euros cada pen drive. La factura total asciende a.5 euros. + + = = 5 Sabiendo que al segundo proveedor le compran el doble del número de unidades que al primero = Simplificamos al máimo las ecuaciones. En la primera la segunda multiplicamos primero por : b) Determina el número de unidades compradas a cada proveedor. ( 5 puntos) Para resolverlo, podemos optar por resolverlo por Gauss o por el método de Cramer. Por el método de Gauss, sea la matri de Gauss,

14 Aplicamos el método de Gauss empeando por cambiar la columna uno por la columna tres para hacerlo más sencillo: Hacemos ceros en los lugares correspondientes hasta hacerlo triangular en su mitad iquierda. Puesto que la fila dos tiene dos ceros en su mitad iquierda, es posible reordenar la matri de Gauss de tal modo que sea triangular: Despejamos en el sistema resolvemos: Por lo tanto, se han comprado 5 pen-drives al primer proveedor, al segundo al tercero. Por el método de Cramer: Dado el sistema, aplicamos ahora el método de determinantes: 4

15 Por lo tanto, se han comprado 5 pen-drives al primer proveedor, al segundo al tercero.. Se considera la función 4 si f ( ) si. Se pide: 4 si a) Límites laterales de la función f en el punto =. Es continua la función f en =? (.5 puntos) b) Representación gráfica de la función f. ( punto) a) Límites laterales de la función f en el punto =. Es continua la función f en =? (.5 puntos) El límite lateral por la iquierda en = será: lim f ( ) lim ( ) () El límite lateral por la derecha en = será: lim f ( ) lim 4 4 Además, como la función f() en = vale: f() = = Observamos que los límites laterales en = coinciden con el valor de la función en el punto. Por tanto, concluimos que la función f es continua en =. b) Representación gráfica de la función f. ( punto) Para dibujar la gráfica vamos estudiando las tres funciones por separado en sus respectivos dominios. Representación de = con Se trata de un segmento horiontal sobre el eje OX con altura hasta = (incluido). 5

16 Representación de = con <. Se trata de un segmento de una función lineal creciente. Tomamos algunos valores para representar: = ( ) = 4 ( ) = = El punto (, 4) no se inclue como punto de la función puesto que para la abcisa = la función no está definida mediante =. Lo representamos como punto hueco. Representación de = + 4 para. Se trata del valor absoluto de una parábola con ramas hacia abajo por ser un polinomio de grado dos con coeficiente principal negativo. Lo primero que haremos será representar la parábola luego transformaremos sus puntos con ordenada negativa en puntos simétricos respecto del eje OX. El máimo de la parábola se alcana para el valor de abcisa que anula su derivada =, es decir, + 4 = 4 = = que es un valor de abcisa dentro del dominio. El punto de Máimo es (, ()) = (, ). Con cinco puntos sobre el dominio construimos la parte de las dos ramas que nos interesa: = = + 4 = + 4 = + 4 = = = 9 + = = = = 5 + = = = Para representar el valor absoluto convertimos en positivas las ordenadas de los puntos con ordenada negativa. De este modo lo que hacemos es una simetría respecto al eje OX en aquellos tramos de la parábola con ordenada negativa. =

17 Por lo tanto, la gráfica de la función a troos determinada en el enunciado es: 4. El beneficio B, en miles de euros, de una sociedad de inversores, viene dado por la función B() = en donde representa los miles de euros invertidos. Estudiadas las condiciones del mercado, se decide que 5. Se pide: a) Beneficio máimo. (.5 puntos) b) Intervalos donde el beneficio crece donde decrece. (.5 puntos) a) Beneficio máimo. (.5 puntos) Calculamos los máimos relativos de la función B() por medio de la derivada: B () = Si anulamos la derivada tendremos que el valor de etremo relativo es t = 4 horas. En estas condiciones, sabiendo que la función B() en realidad es una parábola con ramas hacia abajo puesto que su coeficiente principal es negativo, tendremos que t = 4 horas es un máimo absoluto de la función B() por lo tanto, concluimos que el beneficio máimo será de: B(4) = = = 95

18 b) Intervalos donde el beneficio crece donde decrece. (.5 puntos) Al tratarse de una parábola con las ramas hacia abajo, se conclue fácilmente que en el intervalo (, 4) el beneficio crece mientras que en (4, 5) decrece. 5. En un pabellón polideportivo ha personas de Albacete, 5 de Ciudad Real, de Toledo 5 de Cuenca. a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, cuál es la probabilidad de que no le toque a ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (.5 puntos) b) Se eligen al aar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una sin que puedan repetir, cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (.5 puntos) a) Se sortean dos ordenadores entre todas ellas, cuál es la probabilidad de que no le toque a ningún toledano? (puede tocarle a la misma persona los dos ordenadores). (.5 puntos) Se la variable aleatoria contador X que vale cuenta el número de toledanos al escoger a dos cualesquiera de entre los presentes. Por la descripción del problema estamos tratando una distribución binomial en donde n = la probabilidad de acierto (de escoger un toledano en uno de los dos sorteos) es: Llamamos suceso A = no le toca a ningún toledano el premio en un sorteo. Calculamos su probabilidad mediante la fórmula de la binomial: P ( A) P( X ) Por lo que concluimos que ha una probabilidad de 44 4 % aproimadamente de que no le toque a toledano alguno el premio. b) Se eligen al aar tres personas entre todas ellas para un concurso, de una en una sin que puedan repetir, cuál es la probabilidad de que los tres sean ciudadrealeños? (.5 puntos) La Probabilidad pedida vendrá dada por la fórmula de la probabilidad compuesta: p Por lo que concluimos que ha una probabilidad de 5 % aproimadamente de que sean ciudadrealeños. 8

19 6. La duración de las llamadas de teléfono en una oficina comercial, sigue una distribución normal con desviación típica segundos. Se toma una muestra aleatoria de llamadas la media de duración obtenida en esa muestra es de 5 segundos. Se pide: a) Encontrar un intervalo de confiana al 95 % para la duración media de las llamadas. ( punto) b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos) a) Encontrar un intervalo de confiana al 95 % para la duración media de las llamadas. ( punto) Sea la variable aleatoria X que mide la duración de una llamada de teléfono. Según los datos del problema esta variable se distribue mediante una Normal de desviación conocida e igual a σ = segundos. Por otra parte nos dan una muestra de tamaño n = su media muestral X = 5 segundos. En estas condiciones nos preguntan el intervalo de confiana con α = 95 respecto a la media poblacional. Este intervalo sigue la fórmula: X /, n 9 X / n Puesto que α = 95, entonces α = 5 α/ = 5 por lo que α/ = 96. Por tanto, sustituendo en la fórmula del intervalo: 5 96, 5 96 (48 4, 5 96) Concluimos que el intervalo de confiana al 95 % para la duración media de las llamadas de teléfono es de (48 4, 5 96). b) Interpretar el significado del intervalo obtenido. (.5 puntos) La interpretación es sencilla. Ha una probabilidad del 95 % de que tomada una llamada al aar tenga una duración media entre 48 4 segundos 5 96 segundos. c) Si deseamos obtener un intervalo de anchura menor, qué opciones tendríamos? Raona tu respuesta. (.5 puntos) Podríamos disminuir la confiana del intervalo por lo que el factor α/ disminuiría al multiplicar en la fórmula del intervalo, disminuiría la semi-amplitud, por tanto, el intervalo de confiana. También podríamos aumentar el tamaño muestral con lo que, al estar en el denominador, disminuiría la semi-amplitud del intervalo, por tanto, disminuiría la amplitud del intervalo de confiana.