CAPITULO 2. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION.

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1 Cap. Movimiento en una dimensión. CAPITULO. MOVIMIENTO EN UNA DIMENSION. La cinemática es la ama de la mecánica que estudia la geometía del movimiento. Usa las magnitudes fundamentales longitud, en foma de camino ecoido, de posición y de desplazamiento, con el tiempo como paámeto. La magnitud física masa no inteviene en esta descipción. Además sugen como magnitudes físicas deivadas los conceptos de velocidad y aceleación. Paa conoce el movimiento del objeto es necesaio hacelo especto a un sistema de efeencia, donde se ubica un obsevado en el oigen del sistema de efeencia, que es quien hace la descipción. Paa un objeto que se mueve, se pueden distingui al menos tes tipos de movimientos difeentes: taslación a lo lago de alguna diección vaiable peo definida, otación del cuepo alededo de algún eje y vibación. Genealmente el movimiento de taslación en el espacio está acompañado de otación y de vibación del cuepo, lo que hace que su descipción sea muy compleja. Po esto, se considea un estudio con simplificaciones y apoximaciones, en el cual se popone un modelo simple paa estudia cada movimiento en foma sepaada,. La pimea apoximación es considea al cuepo como una patícula, la segunda es considea sólo el movimiento de taslación, una tecea apoximación es considea el movimiento en una sola diección.. DEFINICIONES. Antes de hace la descipción del movimiento, es necesaio defini algunos conceptos y vaiables físicas que se usaán en este cuso. Cinemática: descibe el movimiento de los cuepos en el univeso, sin considea las causas que lo poducen. Movimiento: es el cambio continuo de la posición de un objeto en el tanscuso del tiempo. Patícula: el concepto intuitivo que tenemos de patícula coesponde al de un objeto muy pequeño que puede tene foma, colo, masa, etc., como po ejemplo un gano de aena. El concepto físico abstacto es una idealización de un objeto consideado como un punto matemático sin dimensiones, que tendá sólo posición, masa y movimiento de taslación. Esto significa que cualquie 39

2 Cap. Movimiento en una dimensión. objeto puede se consideado como patícula, independiente de su tamaño, consideando su masa concentada en un punto que lo epesenta. Ejemplos de objetos que se pueden considea como una patícula son un átomo, una homiga, un avión, la Tiea, etc., en este último caso se justifica si se estudia su movimiento de taslación en tono al Sol. Posición: es la ubicación de un objeto (patícula) en el espacio, elativa a un sistema de efeencia. Es un vecto y se denota po: = xiˆ + yj ˆ + zkˆ (.) donde x, y y z son los valoes de la posición en cada diección, e iˆ, ˆj y kˆ son los vectoes unitaios en la diección de cada eje x, y y z, espectivamente. En una dimensión es simplemente = xiˆ. Es una de las vaiables básicas del movimiento, junto con el tiempo, en el SI se mide en metos. La posición se puede dibuja en un sistema de efeencia en una y dos dimensiones como se muesta en la figua.a y.b espectivamente: Figua.a: Posición en una dimensión. Figua.b: Posición en dos dimensiones. Desplazamiento: el desplazamiento se define como el cambio de posición de una patícula en el espacio (paa indica cambios o difeencias finitas de cualquie vaiable en física se usa el símbolo delta, ). Es independiente de la tayectoia que se siga paa cambia de posición. Paa deteminalo se debe conoce la posición inicial i y final f de la patícula en movimiento. E des- 40

3 Cap. Movimiento en una dimensión. plazamiento es un vecto, que puede se positivo, negativo o ceo, en el SI se mide en metos; se dibuja en el esquema de la figua.. En una dimensión y en dos dimensiones, el desplazamiento es: = x = ( x x ) iˆ (.) f i = ( x iˆ + y ˆ) j ( x iˆ y ˆ) j f i f f i + i Figua.. Vecto desplazamiento en dos dimensiones. Tayectoia: es la cuva geomética que descibe una patícula en movimiento en el espacio, y se epesenta po una ecuación de la tayectoia. En una dimensión es una ecta y = cte, paalela al eje x; en dos dimensiones puede se una paábola y = a + bx o una cicunfeencia x + y = u ota cuva. Distancia: es la longitud que se ha movido una patícula a lo lago de una tayectoia desde una posición inicial a ota final. Su valo numéico en geneal no coincide con el valo numéico del desplazamiento, excepto en casos muy paticulaes. Tiempo: Qué es el tiempo? No es fácil defini físicamente el concepto de tiempo. Es más simple habla de intevalo de tiempo, que lo podemos defini como la duación de un evento, o si consideamos la posición y sus cambios, podemos deci que el tiempo es lo que tada una patícula en movese desde una posición inicial a ota final. 4

4 Cap. Movimiento en una dimensión.. VELOCIDAD Y ACELERACION. Paa descibi el movimiento debemos defini otas vaiables cinemáticas, que son la velocidad y la aceleación... Velocidad media. Paa una patícula que se mueve en diección del eje x, desde la posición inicial x i que en un instante inicial t i se encuenta en el punto P, hasta la posición final x f que en un instante final t f se encuenta en el punto Q, el desplazamiento de la patícula en el intevalo de tiempo t = t f ti es x = x f xi. Se elige el sistema de efeencia que se muesta en la figua.3. Se define la componente x de la velocidad media v mx de la patícula como el cambio de posición en un intevalo de tiempo po la expesión: v mx = x t = x t f f x t i i (.3) Figua.3 Sistema de efeencia en una dimensión paa defini la velocidad media. De su definición se obtiene que la unidad de medida de la velocidad media en el SI es el cuociente ente la unidad de medida de longitud y de tiempo, esto es m/s, que se lee metos po segundo. La velocidad media es independiente de la tayectoia en el movimiento desde P a Q, es un vecto y puede se positiva, negativa o ceo, según el signo o valo del desplazamiento (ya que t > 0 siempe). En una dimensión, si la posición x aumenta con el tiempo (x f > x i ) x > 0, entonces v mx > 0, y la patícula se mueve en diección positiva del eje x, y vicevesa si x < 0. 4

5 Cap. Movimiento en una dimensión. Una intepetación geomética de la velocidad media se puede ilusta en un gáfico x/t llamado gáfico posición - tiempo. La ecta PQ es la hipotenusa del tiángulo de lados x y t, que se muesta en la figua.4. La pendiente de la ecta PQ, que tiene el mismo valo numéico que la v mx, está dada po la tangente del ángulo α que foma la pendiente con el eje hoizontal, cuyo valo es: tan α = x = t pendiente Figua.4a Figua.4b Nota que el gáfico de la figua.4 no es un sistema de efeencia en dos dimensiones, a pesa de tene dos ejes, ya que el eje hoizontal no es de posición, sino de tiempo... Velocidad instantánea. Es la velocidad de la patícula en un instante deteminado. Si se considea que el intevalo de tiempo t se puede hace cada vez más y más pequeño, de tal manea que el instante final t f tiende a coincidi con el instante inicial t i, entonces se dice que el intevalo de tiempo tiende a ceo, o sea t 0. En el límite cuando t 0, también tiende a ceo, po lo que la patícula se encuenta en una posición instantánea. Po lo tanto se puede defini el vecto velocidad instantánea v de la siguiente foma: 43

6 Cap. Movimiento en una dimensión. v = lim t 0 t = d dt (.4) La velocidad instantánea, que llamaemos simplemente velocidad, puede se positiva (negativa) si la patícula se mueve en diección positiva (negativa) del eje x, o ceo, en este caso se dice que la patícula está en eposo. La velocidad tiene la misma intepetación geomética que la velocidad media y en la figua.4b se ilusta en el gáfico x/t una cuva de pendiente positiva, que epesenta una velocidad positiva. Rapidez. Se define como apidez instantánea v a la magnitud o valo numéico del vecto velocidad, po lo tanto es siempe positiva...3 Aceleación media. Lo nomal es que la velocidad de una patícula en movimiento vaíe en el tanscuso del tiempo, entonces se dice que la patícula tiene aceleación. Se define la aceleación media a m como el cambio de velocidad en un intevalo de tiempo, lo que se escibe como: a m = v t = v t f f v t i i (.5) La aceleación media es un vecto, su unidad de medida en el SI es el esultado de dividi la unidad de medida de velocidad y de tiempo, esto es (m/s)/s, que se lee m/s...4 Aceleación instantánea. Es la aceleación a de la patícula en un instante deteminado. De manea análoga a la definición de la velocidad, se escibe: 44

7 Cap. Movimiento en una dimensión. v a = lim t 0 t dv = dt (.6) Como vecto, si la aceleación es positiva (negativa) apunta en diección positiva (negativa) del eje x, independientemente de la diección del movimiento de la patícula. Puede existi una aceleación positiva o negativa y la patícula puede esta aumentando su velocidad, y vicevesa. En el esquema de la figua.5 se muesta paa algunos casos el sentido de la aceleación paa difeentes valoes y signos de la velocidad. Figua.5 Esquema de difeentes sentidos de la aceleación. Si la aceleación es constante, entonces la apidez pomedio se puede calcula como el pomedio aitmético ente los distintos valoes de apidez de la foma: m ( v v ) v = + i f Una intepetación geomética de la aceleación se obtiene del gáfico apidez vesus tiempo o gáfico v/t, donde la pendiente de la cuva epesenta el valo numéico de la aceleación, como se ve en la figua.6. Si la apidez, esto es la pendiente de la cuva, es positiva (negativa), la aceleación es positiva (negativa). En el gáfico se obseva una cuva con pendiente positiva que dismi- 45

8 Cap. Movimiento en una dimensión. nuye su valo hasta ceo, que epesenta un movimiento con aceleación positiva, peo disminuyendo su valo, luego la pendiente se hace negativa, aumentando negativamente su valo y lo mismo ocue con la aceleación. tan α = v t = pendiente = a Figua.6 Gáfico apidez vesus tiempo. La aceleación también se puede escibi como: a = dv = dt d dt dx dt d x = dt que coesponde a la segunda deivada de la posición especto al tiempo. La aceleación también puede vaia en el tiempo, peo esa vaiación no tiene significado físico de impotancia, po lo que no se le da un nombe en paticula. Aunque da/dt podía epesenta o llamase algo así como sacudón o empujón. También puede existi un d(empujón)/dt y así hasta el infinito. Ejemplo.: Una patícula se mueve en diección x > 0 duante 0 s con apidez constante de 8 km/h, luego acelea hasta 5 m/s duante 5 s. Calcula: a) su desplazamiento en los pimeos 0 s, b) la aceleación media en cada intevalo de tiempo, c) la apidez media del movimiento. 46

9 Cap. Movimiento en una dimensión. Solución: Datos t = 0 s, v i = 8 km/h = 5 m/s, t = 5 s, v f = 5 m/s x m a) v = x = v t = 5 0s = 50m t s b) paa t : v i = cte => a = 0 v (5 5) m / s m paa t : a = = = 4 t 5s s c) vi + v f (5 + 5) m / s vm = = = 5 m s.3 DESCRIPCIÓN CINEMÁTICA DEL MOVIMIENTO EN UNA DI- MENSIÓN CON ACELERACIÓN CONSTANTE. E movimiento de una patícula se descibe po completo si se conoce su posición en cualquie instante. Paa enconta leyes que expliquen los difeentes cambios de los cuepos en el tiempo, se deben egista los cambios y descibilos. Algunos cambios son difíciles de descibi, como po ejemplo los movimientos de una nube, fomada po billones de gotitas de agua que se mueven al aza y pueden evapoase o unise paa foma gotas más gandes, o bien los cambios de opinión de una muje. Descibi el movimiento significa pode esponde a la pegunta en que posición se encuenta el cuepo en movimiento en cualquie instante de tiempo? Si la aceleación a vaía en el tiempo el movimiento puede se muy complejo y difícil de analiza. Un caso simple de movimiento es aquel que se ealiza en una diección con aceleación constante. Si la aceleación es constante, entonces la a = am, lo que significa que la velocidad cambia de manea unifome en todo el movimiento. Consideemos pimeo el caso de una patícula que se mueve en diección del eje x con la magnitud de la aceleación a constante. Si v 0 es el valo de la velocidad o apidez en el instante inicial t 0, y v su valo en el instante t, de la definición de a se tiene: 47

10 dv v t t a = dv = adt dv = adt = a dt v0 t0 to dt Cap. Movimiento en una dimensión. v v 0 = a( t t0) v( t) = v + a( t t ) 0 0 (.7) La ecuación.7 pemite detemina la velocidad v = v(t) de una patícula que se mueve en una diección con aceleación a constante, paa cualquie instante t > t 0. Como v 0, a y t 0 son valoes conocidos, se obseva que v es una función lineal del tiempo t, po lo tanto el gáfico apidez vesus tiempo o gáfico v/t es de la foma que se muesta en la figua.7a. Paa a < 0, y paa el caso de una patícula que está disminuyendo su apidez, los gáficos v/t y a/t se muestan en la figua.7b. Figua.7a. Gáficos v/t y a/t, paa a > 0. Figua.7b. Gáficos v/t y a/t, paa a < 0. 48

11 Cap. Movimiento en una dimensión. El valo de la pendiente de la tangente a la cuva v(t) en el gáfico v/t es igual al valo numéico de la aceleación. Paa el movimiento con aceleación constante v(t) es la ecuación de una ecta. Conocida v = v(t) se puede usa la definición de la velocidad paa obtene la posición de la patícula en cualquie instante. dx v = dx = vdt dx = vdt dt Si inicialmente, paa t = t o, la patícula se encuenta en la posición x o y en cualquie instante t se encuenta en la posición x, la velocidad en función del tiempo es v( t ) = v0 + a( t t0 ), eemplazando en la integal, con los límites de integación coespondientes queda: [ v + a( t t )] dt = v ( t t ) + a( t t x t dx = x t ) 0 0 Escita en foma vectoial, se obtiene: x x 0 = v0( t t0 ) + a( t t0 ) Como x o, v o y a son los valoes conocidos paa t = t o, se deduce que x es sólo función del tiempo, así la ecuación que descibe la posición de una patícula en movimiento en función del tiempo x = x(t) es: x = x 0 + v0( t t0 ) + a( t t0 ) (.8) 49

12 Cap. Movimiento en una dimensión. La ecuación.8 es la expesión que pemite detemina el valo de la posición de la patícula en cualquie instante, conocido los valoes iniciales. El gáfico posición/tiempo es una paábola, ya que la ecuación x = x(t) es cuadática en t. La pendiente de la tangente a la cuva en cualquie instante t epesenta el valo numéico de la velocidad de la patícula (figua.8). Esta ecuación x(t) también se conoce como ecuación de itineaio. Figua.8 Gáfico x/t Las ecuaciones x = x(t), v = v(t) y a = cte., foman el conjunto de ecuaciones cinemáticas, que pemiten descibi el movimiento simple de una patícula que se mueve con aceleación constante en una diección, y como con esas ecuaciones se pueden detemina los valoes de esas vaiables paa la patícula en cualquie instante, el movimiento queda completamente descito. Paa el caso paticula de un movimiento con apidez constante, la aceleación de la patícula es ceo, y las ecuaciones del movimiento.7 y.8 se educen a: x = x0 + v0( t t0 v = v = 0 cte. ) Ejemplo.: Demosta que si la aceleación de una patícula en movimiento es constante, se tiene que v = vo + a x. 50

13 Solución: v v0 De v( t ) = vo + a( t to ), se despeja t t0 =, a eemplazando en x = x0 + v0( t t0 ) + a( t t0 ), ( v v0 ) v v0 x x0 = v0 + a a a Cap. Movimiento en una dimensión. v0v v0 ( v vv0 + v0 ) x x0 = +, dividiendo po a a a a a( x x 0 ) = v0v v0 + v vv0 + v0 = v v0 v = v 0 + a x Esta es una expesión escala independiente del tiempo, no es una ecuación geneal, po lo que no se puede usa en cualquie poblema, es de utilidad estingida ya que sólo pemite obtene la magnitud de las vaiables que contiene. Ejemplo.3. un móvil pate desde el eposo en el instante t = 5 s y acelea hacia la deecha a azón de m/s hasta t = 0 s. A continuación mantiene su velocidad constante duante 0 s. Finalmente fena hasta detenese, lo que loga hace 3 segundos más tade. a) Detemina a qué distancia del punto de patida se encuenta en t = 0 s. b) Con qué velocidad se mueve en ese instante? c) A qué distancia de la patida se encuenta cuando empieza a fena? d) Dónde se detiene especto al punto de patida? e) Esciba las ecuaciones coespondientes a: a(t), v(t), x(t) paa cada etapa del movimiento. Solución: Se puede elegi el SR como el cliente guste; una posibilidad se ilusta en la figua.9, donde inicialmente se ubica a la patícula en el oigen O y se empieza a medi el tiempo desde el instante inicial 5 s. a) Se pide evalua x(t) paa t = 0 s, con las condiciones x o = 0, v o = 0, a o = m/s, t o = 5s, t = 0s, en el tamo A 5

14 Cap. Movimiento en una dimensión. x( t ) = x 0 + v0( t t0 ) + a0( t t0 ) x(0 ) = m (0 5 ) s = 5m s Figua.9 b) Ahoa hay que calcula v(t) en t = 0 s, usando la ecuación: v( t ) = v0 + a0( t t0 ) m v(0 ) = 0 + (0 5 )s = 0 m/s s c) Piden evalua x(t) paa t = 0 s, usando esquema y datos del tamo B: x( t ) = x 0 + v0( t t ) + a( t t ) m x ( 0 ) = 5m + 0 ( 0 0 )s + 0 = 5m s d) Aquí se pide calcula x(t) paa t = 3 s, se conoce v f = 0, t 3 =3 s, peo no se conoce a, po lo que se debe calcula. x( t ) = x cálculo de a : 0 + v0( t3 0 ) + a( t 0 ) 5

15 Cap. Movimiento en una dimensión. v = v + a ( t t ) en el tamo C 0 = v + a ( t 3 0 ) a = t 3 v 0 Peo v = cte en el tamo B v = 0 m/s 0m / s a = ( 3 0 )s 0 = 3 m s 0 x( t ) = 5 + 0( 3 0 ) ( 3 0 ) 3 x( 3 ) = 40m = 40m e) Ecuaciones de movimiento: Paa el tamo A: x( t ) = x 0 + v0( t t0 ) + ao( t t0 ) Con x o = 0, v o = 0, a o = m/s, t o = 5s x( t ) = a v( t ) = v + a0( t t0 o ( t 5 ) x( t ) = ( t 5 ) ) v( t ) = ( t 0 Las ecuaciones paa los tamos B y C las puede deduci el alumnos de los esultados obtenidos en c) y d), donde basta eemplaza los valoes en las funciones de posición y apidez en función de t. 5 ) Ejemplo.4. Un auto ingesa en Concepción al puente nuevo a San Pedo con una apidez de 54 km/h, la que mantiene constante mientas ecoe el puente. En el mismo instante en San Pedo oto auto ingesa lentamente al puente con una apidez inicial de 0.8 km/h hacia Concepción, aceleando a m/s. Si la longitud del puente es de 838 m. Calcula a) la posición donde se cuzan, b) la apidez del auto de San Pedo en el instante en que se cuzan, qué comentaio puede hace de este esultado? 53

16 Cap. Movimiento en una dimensión. Solución: Datos: t oa = t ob = 0, x oa = 0, x ob = 838m km h 000m m v oa = 54 = 5, a A = 0 h 3600s km s v = 0.8 km/h = 3 m/s, a B = m/s ob El esquema de la figua.0, muesta el sistema de efeencia elegido: Figua.0. a) El movimiento es en una dimensión con a =cte, las ecuaciones paa cada móvil (A en Concepción, B en San Pedo) son: xa = x0 A + v0 A 0 A 0 A 0 A A = v = v ( t t ) + a ( t t ) x = v t x 5t + a ( t t ) v = v v 5 m/s A 0 A A 0 A 0 A A = x B = x 0B + v 0B ( t t ) + a ( t t ) x = 838 3t t 0 B 0 B v B = v 0B + a B ( t t ) v = 3 t 0 B Cuando se cuzan: x A = x B, entonces 5t = 838 3t 0,5t 0.5t + 8t 838 = 0 54

17 Cap. Movimiento en una dimensión. 8 ± 8 + 4(0.5)(838) t = t = 45.s, t = 40. 6s ( 45.) = 5( 45. ) 678m x = v b) ( 45.) = = 48.m/s = 73.5 km/h B El automóvil de San Pedo no puede acelea duante todo ese tiempo, poque alcanzaía una apidez muy alta, supeando en mucho la máxima pemitida y posible de alcanza..4 CALCULO GRÁFICO DE x Y v. El poceso de integación es gáficamente equivalente a enconta el áea bajo la cuva y = f(x). Se puede usa esta popiedad de las integales paa calcula gáficamente el valo del desplazamiento x y el cambio de apidez v de una patícula en movimiento. De la definición de velocidad se tiene: v = x = dx dt t t 0 dx = vdt v( t) dt x x o dx = t t 0 v( t) dt donde v(t) es la velocidad en cualquie instante. Si se conoce la foma analítica de v(t) se puede calcula la integal, peo si no se conoce, se puede evalua gáficamente y po definición de integal, la expesión anteio se intepeta como (ve figua.a): desplazamiento = áea bajo la cuva v/t Consideando pimeo el caso en que la patícula se mueve con apidez constante v o (significa que su aceleación es ceo), entonces del gáfico v/t, que se 55

18 Cap. Movimiento en una dimensión. muesta en la figua.a, el desplazamiento es el áea del ectángulo de lados v o y t, esto es: desplazamiento = áea ectángulo x = vo t, con v o = cte. Figua. a) izquieda, b) deecha. Consideando ahoa el caso en que la patícula se mueve con apidez v(t) función lineal del tiempo (en este caso la aceleación es constante), o sea v(t) = v o + a(t - t o ), el desplazamiento x de la patícula duante el intevalo de tiempo desde t o a t es igual al áea bajo la ecta v(t) de la figua.b: desplazamiento = áea ectángulo + áea tiángulo x = vo t + v t x = vo t + a( t ) De manea simila se obtiene el calculo gáfico paa el cambio de apidez. Considea una patícula que se mueve con apidez v o en el instante inicial t o y con apidez v en el instante t, que aumenta su aceleación linealmente con el tiempo, o sea a(t) = a o + k(t - t o ), donde a o es el valo inicial de la aceleación 56

19 Cap. Movimiento en una dimensión. y k epesenta el valo de la pendiente de la ecta en el gáfico aceleación vesus tiempo, que debe tene unidad de medida de m/s 3. En este caso estamos extendiendo la descipción del movimiento al caso de una patícula con aceleación vaiable, dejando de lado la esticción impuesta al pincipio de este capítulo. El cambio de apidez v de la patícula duante el intevalo de tiempo desde t o a t es igual al áea bajo la ecta a(t) de la figua.: cambio de apidez = áea ectángulo + áea tiángulo v = a o t + a t Como se popuso, a es una función lineal de t de la foma a(t) = a o +k(t - t o ), entonces a(t) - a o = k(t - t o ), o bien a = k t, eemplazando se tiene: v = a o t + k( t ) Obseva que en este caso se tiene un método paa descibi un movimiento con aceleación vaiable (en este caso linealmente) en el tiempo. Figua. Ejemplo.5: En la figua.3 se muesta el gáfico apidez/tiempo paa una patícula que se mueve en diección positiva del eje x. a) calcula el desplazamiento de la patícula, b) hace el gáfico aceleación/tiempo, c) detemina las ecuaciones de movimiento en cada intevalo de tiempo, d) calcula su posición en los instantes 5, 0 y 0 segundos. 57

20 Cap. Movimiento en una dimensión. Figua.3 Ejemplo 5. Solución. a) El desplazamiento es igual al áea (A) bajo la cuva v/t, que es conveniente calcula po intevalos de tiempo, entonces: m 0 t < 5s : A = x = 0 ( 5s) = 50m s m 5 t < 0s : A = x = 0 ( 5s) = 00m s m m 0 t 0s : A3 = x3 = 0 ( 0s) + 0 ( 0s) = 50m s s xt = x + x + x3 = = 300m b) Los valoes de la aceleación que se pueden calcula de la pendiente del gáfico v/t en cada intevalo de tiempo, se indican en el gáfico a/t de la figua.4. Figua.4. Ejemplo 5, pate b). c) Deteminación de las ecuaciones de movimiento, suponiendo que x o = 0 paa t o = 0. 58

21 Cap. Movimiento en una dimensión. 0 t < 5s : 5 t < 0s : x ( t ) = vot + at x( t ) = x( t ) = x( 5 ) + x( t ) = t vo( t 5) + a( t 5) ( t 5) 0 t 0s : x( t ) = x(0 ) + v x( t ) = o ( t 0) + a( t 0) ( t 0) ( t 0) d) La posición en los instantes pedidos (y en cualquie oto tiempo) se puede calcula con las ecuaciones de movimiento anteioes paa t = 5s: x(t) = t x(5) = (5) = 50 m paa t = 0s: x(t) = 50+0(t-5) x(0)=50+0(0-5) = 50 m paa t = 0s: x(t) = 50+0(t-0)- ½(t-0) x(0) = 300 m Ejecicio: calcula la posición en los instantes.5, 8 y 5 segundos..5 CUERPOS EN CAÍDA LIBRE. Un caso paticula de movimiento en una dimensión, es aquel de los objetos que se mueven libemente en diección vetical ceca de la supeficie de la Tiea, que se conoce como movimiento de caída libe. Galileo (564 64), físico y astónomo italiano, fue el pimeo en estudia el movimiento de caída libe, al obseva que dos cuepos difeentes, al dejalos cae desde la toe inclinada de Pisa, llegaban al suelo casi al mismo tiempo. Expeimentalmente se demuesta que todos los cuepos que se dejan cae ceca de la supeficie de la Tiea, lo hacen con una aceleación apoximadamente constante. Esta aceleación, que se llama aceleación de gavedad, es poducida po una fueza que existe ente cuepos con masa, llamada fueza de atacción gavitacional, cuyo oigen seá explicado en el Capítulo 9. 59

22 Cap. Movimiento en una dimensión. La aceleación de gavedad, que se denota po g es un vecto que apunta hacia el cento de la Tiea, su magnitud aumenta levemente al aumenta la latitud, es deci desde el ecuado hacia los polos, y disminuye al aumenta la altua sobe la supeficie teeste. Su valo medio en la supeficie de la Tiea es apoximadamente de 9.8 m/s. Se dice que un objeto está en caída libe cuando se mueve bajo la influencia sólo de la aceleación de gavedad, despeciando la esistencia (es ota fueza que se esiste al movimiento y que también seá estudiada más adelante) que el aie opone a los cuepos en movimiento, sin impota la velocidad inicial del objeto. Todos los cuepos que se lanzan hacia aiba o hacia abajo, o se dejan cae, lo hacen libemente una vez que se dejan en libetad. La aceleación que adquieen es siempe la aceleación de gavedad, vetical hacia abajo, cualquiea sea la diección inicial del movimiento. Como el movimiento de caída libe es en una dimensión, con aceleación constante, se puede adopta como diección del movimiento al eje vetical y. Po lo tanto se pueden aplica las ecuaciones paa el movimiento en una dimensión, tomando al eje y en la diección del movimiento de caída, po convención positivo hacia aiba. Con esta convención, un movimiento de caída libe de ascenso o de descenso tiene una aceleación g negativa. También se debe tene en cuenta que si el cuepo asciende (desciende) su velocidad seá positiva (negativa) en este sistema de efeencia. De está foma las ecuaciones de movimiento.7 y.8 se tansfoman en las ecuaciones paa caída libe: y = y o + v oy g ( t t ) o (.9) v y = v oy g ( t t ) o (.0) Los gáficos posición/tiempo, velocidad/tiempo y aceleación/tiempo paa una patícula que se lanza veticalmente hacia aiba, desde una posición inicial y o, que no tiene poque se el suelo, son los que se muestan en la figua.5 60

23 Cap. Movimiento en una dimensión. Figua.5. Gáficos y/t, v y /t y a/t, paa a = -g Ejemplo.6: Tito lanza una pieda hacia aiba desde la teaza de un edificio de 50 m de alto, con una apidez inicial de 0 m/s. Cuando está cayendo la pieda pasa justo po el costado del edificio. Calcula a) el tiempo paa que la pieda alcance su altua máxima, b) la altua máxima, c) el tiempo que tada en pasa po el punto inicial, d) la velocidad de la pieda en ese instante, e) el tiempo que tada en llega al suelo, f) la velocidad en ese instante. Solución: Consideando un sistema de efeencia que se muesta en la figua.6, con el eje y positivo vetical hacia aiba y el oigen y o = 0 donde comienza el movimiento de la pieda, con t o = 0 y v o = 0 m/s. a) Cuando la pieda alcanza la máxima altua v = 0: v 0m/s ( t ) = v o gt = 0 v o = gt t = s 0m/s = b) Se pide evalua y(t) paa t = s y = y o + v ) g( t t oy ( t to o ) y = v o t gt ymax = y() = = 0 ( 0m/s) (s) ( 0m/s )( s) m Figua.6 6

24 c) Cuando pasa po el punto inicial y = 0 Cap. Movimiento en una dimensión. y = vot gt = 0 v o gt t = 0 t = 0 y v o gt = 0 t = v g o = ()(0) 0 = 4s d) Hay que evalua v paa t = 4s v o e) En esta posición y = -50 m ( t) = v gt v(4) = 0 (0)(4) = 0 m s y = vot gt 50 = 0t 5t t 4t 0 = 0 t = 5.7s y t =.7s Se descata el tiempo negativo, poque físicamente no es posible. f) v o ( t) = v gt v(5.7) = 0 (0)(5.7) = 37 m s.5. Efectos de g en las pesonas. La capacidad de una pesona paa sopota una aceleación depende tanto de la magnitud como de la duación de ésta. Debido a la inecia de la sange y de los óganos dilatables, las aceleaciones pequeñas tienen poca impotancia si duan sólo facciones de segundo. El límite de toleancia se encuenta cecano a 0g y depende de la esistencia estuctual de los cuepos. La mayoía de las pesonas han expeimentado aceleaciones veticales modeadas en los ascensoes. La sange cicula po vasos dilatables de manea que cuando el cuepo es aceleado hacia aiba, la sange se acumula en la pate infeio de éste. Cuando la aceleación es hacia abajo, aumenta el volumen de sange en la pate supeio del cuepo, a su vez los óganos intenos no se mantienen í- 6

25 Cap. Movimiento en una dimensión. te supeio del cuepo, a su vez los óganos intenos no se mantienen ígidos en su sitio y su desplazamiento duante la aceleación puede poduci sensaciones desagadables. Cuando un avión despega, ateiza o ealiza gios muy ápidos, está sometido a aceleaciones de hasta 9g. El gado de toleancia de un humano a esta aceleación dependeá ente otos factoes del peso, edad y condición física de la pesona. A modo de ejemplo, un piloto que en tiea pesa 80 kilos, cuando es sometido a este valo de aceleación siente epentinamente que su peso es alededo de 70 kilos. Esta misma aceleación hace que la sange fluya hacia los pies del piloto, esto disminuye el etono venoso al coazón con lo cual la pesión baja y el piloto puede pede la visión tempoalmente, paa luego pede la conciencia. También existen aceleaciones negativas duante el vuelo en la cual el piloto expeimenta la aceleación en posición invetida. En ese caso la aceleación hace que la sange fluya al ceebo, el piloto sufe de palidez y su visión se tona oja. Estudios han deteminado que los humanos pueden sopota hasta 9g de aceleaciones positivas y 3g paa aceleaciones negativas. Un piloto que viaja en aviones modenos que incluso alcanzan velocidades cecanas a la del sonido, podía detenese sin peligo en una distancia apoximada de 00 m, peo si esta velocidad fuese unas 00 veces mayo (valoes que pueden se alcanzados en viajes inteplanetaios), la distancia de fenado que necesitaía paa no poduci efectos nocivos en sus tipulantes debe se de apoximadamente 6000km. La azón de esta difeencia está en que la cantidad total de enegía que se disipa duante la desaceleación es popocional al cuadado de la velocidad, lo que es suficiente paa aumenta la distancia unas 0000 veces. Po esta azón se han ceado pocedimientos y apaatos especiales paa potege a los pilotos del colapso ciculatoio que apaece duante aceleaciones positivas. Pimeo, si el piloto apieta sus músculos abdominales en gado extemo y se inclina hacia adelante paa compimi el abdomen, puede evita la acumulación de sange en los gandes vasos abdominales, evitando así la pedida de conciencia. Además se han diseñado tajes anti-g paa peveni el estancamiento de sange en la pate más baja del abdomen y las pienas. Este tipo de taje aplica una pesión positiva en pienas y abdomen, inflando compatimientos de aie a medida que aumenta la aceleación positiva. Además el cuepo humano pesenta de a cm de tejido blando exteno, lo que aumenta la distancia de desaceleación y po lo tanto disminuye la fueza de impacto, po ejemplo, duante una caída. 63

26 PROBLEMAS. Cap. Movimiento en una dimensión.. Cuando Calos viaja en una autopista, pasa po la maca de 60 km. Después sigue moviéndose hasta la maca de 50 km. y luego se devuelve hasta la maca 75 km. Cuál es su desplazamiento esultante especto a la maca de 60 km.? R: 85 km.. Un gato nego se encuenta en una posición final de 3.6 m en diección 40º especto a x, después de ealiza un desplazamiento de 0 cm en 35º especto de x. Detemine su posición inicial. R: 4.m, 56.5º..3 La luz del Sol llega a la Tiea en 8.3 min. La apidez de la luz es de 3 x 0 8 m/s. Calcula la distancia de la Tiea al Sol. R:.5 x 0 m..4 Usted y un amigo conducen ecoiendo 50 km. Usted viaja a 90 km/h y su amigo a 95 km/h. Cuánto tiempo tiene que espealo su amigo al final del viaje? R:.8 min..5 Ana conduce calle abajo a 55 km/h. Repentinamente un niño ataviesa la calle. Si Ana demoa 0.75 s en eacciona y aplica los fenos, cuántos metos alcanza a movese antes de comenza a fena? R: m..6 Las condiciones de movimiento de una patícula que se mueve en diección x son ˆ xo = 7i m, vo = 3ˆ i m/s, a = 4ˆ i m/s, en el instante inicial t 0 = 0. a) Escibi las ecuaciones vectoiales de la posición y velocidad del cuepo en cualquie instante. b) Calcula la posición del cuepo especto al oigen a los 0 s de iniciado el movimiento. c) Aveigua si el cuepo se detiene en algún instante. R: b) 3i m, c) no..7 Una patícula se mueve a lo lago del eje x de acuedo con la ecuación x(t)=(3t -t+3)m. Calcula a) la apidez pomedio ente t = s y t = 3s, y b) la velocidad instantánea en t = s y t = 3s, c) la aceleación pomedio ente t = s y t = 3s y d) la aceleación instantánea en t = s y t = 3s..8 Una patícula se mueve a lo lago del eje x de acuedo con la ecuación x(t)=+3t-t, donde x está en metos y t en segundos. Paa t=3s, calcula a) la posición de la patícula, b) su velocidad c) su aceleación. R: a) m, b) 3m/s, c) m/s. 64

27 Cap. Movimiento en una dimensión..9 Las ecuaciones de movimiento paa dos patículas A y B que se mueven en la misma diección son las siguientes (x en m y t en s). x x A B ( t) = 3.t 6t 0 ( t) = t 4.t Calcula: a) el instante paa el cual las posiciones de A y B coinciden, b) las velocidades de A y B en el instante en que se encuentan en la misma posición.r: a) 3.8s, b) 8.3 m/s, -.7 m/s..0 Un electón en un tubo de ayos catódicos acelea de x0 4 m/s hasta 6x0 6 m/s en.5cm. a) Cuánto tiempo tada el electón en ecoe esta distancia? b) Cuál es su aceleación?. Un electón tiene una velocidad inicial de 3x0 5 m/s. Si expeimenta una aceleación de 8x0 4 m/s, a) Cuánto tadaa en alcanza una velocidad de 5.4x0 5 m/s, y b) qué distancia ecoe en ese tiempo?. Detemine la velocidad final de un potón que tiene una velocidad inicial de.35 x 0 5 m/s, y es aceleado unifomemente en un campo eléctico a azón de.0x0 m/s duante.5x0-7 s. R: 7.0 x 0 4 m/s..3 Un jet supesónico que vuela a 45 m/s acelea unifomemente a azón de 3. m/s duante 0s. a) Cuál es su velocidad final? b) La apidez del sonido en el aie es 33 m/s. Cuántas veces mayo es la velocidad final del avión compaada con la del sonido? R: a) 607 m/s, b).83 veces la apidez del sonido..4 Dos autos A y B se mueven en línea ecta en diección positiva del eje x. En el instante inicial A está en eposo y acelea con m/s. El movimiento de B es con apidez constante de 0m/s. Calcula: a) la distancia que ecoen en un minuto, b) el tiempo que demoaía A en iguala la apidez de B, c) la distancia que los sepaa cuando sus apideces son iguales, d) la aceleación que debeía ejecese sobe B paa que pudiea detenese en 4 s. R: a) 3600m, 00 m, b) 0 s, c) 00 m, d) 5 m/s. 65

28 Cap. Movimiento en una dimensión..5 Un auto que se mueve con aceleación constante ecoe en 6 s la distancia de 60 m que sepaa dos puntos; su apidez al pasa po el segundo punto es de 4 m/s. Calcula: a) la aceleación del auto, b) su velocidad al pasa po el pime punto, c) la posición donde se encontaba en eposo. R: a) 4/3 m/s, b) 6 m/s, c) 4.4m..6 Dos autos viajan a lo lago de una caetea ecta. En el instante t = 0h, el auto A tiene una posición x A = 48 km y una apidez constante de 36 km/h. Más tade en t=0.5h, el auto B está en la posición x B =0 km con una apidez de 48 km/h. Responda las siguientes peguntas: pimeo, gáficamente, haciendo una gáfica de posición vesus tiempo; segundo, algebaicamente, escibiendo las ecuaciones paa las posiciones x A y x B en función del tiempo t. a) Cuál es la lectua del conómeto cuando el auto B sobepasa al auto A? b) En qué posición A es alcanzado po B? c) Cuánto tiempo tanscue desde que A estaba en su punto de efeencia hasta que B lo alcanza? R: a) 6 h, b) 60 km, c) 7.3 h..7 Un auto y un ten se mueven al mismo tiempo a lo lago de tayectoias paalelas a 5m/s. Debido a una luz oja el auto expeimenta una aceleación unifome de.5m/s y se detiene. Pemanece en eposo duante 45s, después acelea hasta una velocidad de 5m/s a una tasa de 5m/s. A qué distancia del ten está el auto cuando alcanza la velocidad de 5m/s, suponiendo que la velocidad del ten se ha mantenido en 5m/s?.8 Una patícula pate desde el eposo de la pate supeio de un plano inclinado y se desliza hacia abajo con aceleación constante. El plano inclinado tiene m de lago, y la patícula tada 3s en alcanza la pate infeio. Detemine a) la aceleación de la patícula, b) su velocidad en la pate infeio de la pendiente, c) el tiempo que tada la patícula en alcanza el punto medio del plano inclinado, y d) su velocidad en el punto medio. R: a) 0.44m/s, b).3m/s, c).s, d) 0.94m/s..9 Dos tenes expesos inician su ecoido con una difeencia de 5 min. A pati del eposo cada uno es capaz de alcanza una velocidad máxima de 60km/h después de acelea unifomemente en una distancia de km. a) Cuál es la aceleación de cada ten? b) A que distancia está el pime ten cuando el segundo inicia su tayecto? c) Qué tan sepaados se encuentan cuando ambos viajan a máxima velocidad? 66

29 Cap. Movimiento en una dimensión..0 Un automóvil que se mueve a una velocidad constante de 30m/s piede velocidad epentinamente en el pie de una colina. El auto expeimenta una aceleación constante de m/s (opuesta a su movimiento) mientas efectúa el ascenso. a) esciba ecuaciones paa la posición y la velocidad como funciones del tiempo consideando x = 0 en la pate infeio de la colina, donde v o = 30m/s. b) Detemine la distancia máxima ecoida po el auto después de que piede velocidad. R: a) 30t-t, -30-t b) 5m.. Paco manejando a 30m/s enta en un túnel de una sola pista. Después obseva una camioneta que se mueve despacio 55m adelante viajando a 5m/s. Paco aplica sus fenos peo puede desacelea sólo a m/s, debido a que el camino está húmedo. Chocaá? Si es así, calcula a qué distancia dento del túnel y en qué tiempo ocue el choque. Si no choca, calcula la distancia de máximo acecamiento ente el auto de Paco y la camioneta. R:.4s, m.. Una bala indestuctible de cm de lago se dispaa en línea ecta a tavés de una tabla que tiene 0cm de espeso. La bala enta en la tabla con una velocidad de 40m/s y sale con una velocidad de 80m/s. a) Cuál es la aceleación pomedio de la bala a tavés de la tabla? b) Cuál es el tiempo total que la bala está en contacto con la tabla? c) Qué espeso de la tabla se equeiía paa detene la bala?.3 Un aficano que se encuenta a 0 m de un león hambiento aanca con una apidez constante de 36 km/h, alejándose en línea ecta del león, que está inicialmente detenido. El león tada segundos en eacciona cuando empieza a pesegui al aficano con una aceleación de 4 m/s, siempe en línea ecta hacia el aficano, que huye hacia un ábol que se encuenta más adelante en la misma ecta. a) Hace un esquema ilustativo de la situación. b) Cuál debe se la máxima distancia a la que debe esta el ábol paa que el aficano pueda subise justo antes que el león lo alcance? c) Calcula la apidez con la que el león llega al ábol. R: b) 6m, c) 30.4 m/s..4 Un camión se mueve a 90 km/h en una caetea ecta. Cuando se encuenta a 70 m de un ábol atavesado en la caetea, el conducto se da cuenta de ello, tadando 0.5 s en eacciona y pesiona los fenos del camión que le impimen una aceleación de 5 m/s. Detemina si el 67

30 Cap. Movimiento en una dimensión. camión choca o no con el ábol cuzado en la caetea. R: si a 5.5 km/h..5 Dos autos se apoximan uno al oto; ambos se mueven hacia el oeste, uno a 78 km/h y el oto a 64 km/h. a) Cuál es la velocidad del pime auto elativa al (en el sistema de efeencia del) segundo auto? b) Cambian su velocidad elativa después de que el uno sobepasa al oto? R: a) 4km/h, oeste, b) no..6 En la figua.7 se muesta el gáfico apidez/tiempo paa una patícula que se mueve en diección del eje x. a) Dibuja el gáfico posición/tiempo, b) calcula el desplazamiento de la patícula, c) hace el gáfico aceleación/tiempo, d) calcula su posición en los instantes 5, 0, 0, 5, 30 y 40 segundos, e) calcula el cambio de apidez en los intevalos 0 y 5, 5 y 0, 0 y 5, 5 y 40 segundos. Figua.7. Poblema.6..7 Dos autos viajan a lo lago de una línea en la misma diección, el que va adelante a 5m/s y el oto a 30m/s. En el momento en que los autos están a 40m de distancia, el conducto del auto delanteo aplica los fenos de manea que el vehículo acelea a m/s. a) Cuánto tiempo tada el cao paa detenese? b) suponiendo que el cao taseo fena al mismo tiempo que el cao delanteo, Cuál debe se la aceleación negativa mínima del auto taseo de manea que no choque con el auto delanteo? c) Cuánto tiempo tada en detenese el auto taseo? R: a).5s, b).3m/s c) 3.s. 68

31 Cap. Movimiento en una dimensión..8 Un automovilista conduce po un camino ecto a una velocidad constante de 5m/s. Cuando pasa fente a un policía motociclista estacionado, éste empieza a acelea a m/s paa alcanzalo. Suponiendo que el policía mantiene esta aceleación, detemine a) el tiempo que tada el policía en alcanza al automovilista, encuente b) la velocidad y c) el desplazamiento total del policía cuando alcanza al automovilista..9 Dos objetos se conectan mediante una baa ígida de longitud L. Los objetos deslizan a lo lago de ieles pependiculaes, como se muesta en la figua.8. Si el que está en el eje x se desliza hacia la izquieda con apidez constante v o, calcula la apidez del oto cuando α = 60. R: 0.58v o. Figua.8 Poblema Un ten viaja de la siguiente manea: en los pimeos 60 minutos se desplaza con velocidad v, en los siguientes 30 minutos lleva una velocidad de 3v, en los 90 minutos que le siguen viaja con una velocidad v/; en los 0 minutos finales, se mueve con una velocidad de v/3. a) Dibuje la gáfica velocidad-tiempo paa este ecoido. b) Qué distancia ecoe el ten en el viaje? c) Cuál es la velocidad pomedio del ten en el viaje completo?.3 Un ten puede minimiza el tiempo t ente dos estaciones aceleando a azón de a = 0. m/s po un tiempo t y después expeimenta una aceleación negativa a = -0.5 m/s cuando el maquinista usa los fenos duante un tiempo t. Puesto que las estaciones están sepaadas sólo po km, el ten nunca alcanza su velocidad máxima. Encuente el tiempo mínimo de viaje t y el tiempo t. R: 55s, 9s. 69

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