Series de datos multivariables

Transcripción

1 Series de datos multivariables Matrices: Repaso Sabemos que Matlab trabaja esencialmente con matrices, de modo tal que un valor escalar es una matriz de 1x1 y un vector es una matriz de 1xN ó Nx1, dependiendo de si se trata de vector fila o vector columna (siendo N la dimensión del vector) Vamos a crear algunas matrices, a modo de repaso: octave> A= [6, -9 ; 4, 10] A= De esta manera hemos creado una matriz por filas. Notar que las filas se separan con ; Algunas formas de acceder a elementos de la matriz: octave> A(2,1) %retorna el elemento de la fila 2, columna 1 ans = 4 octave> A(3) %retorna el tercer elemento, leyendo por columnas ans = -9 octave> A(3,1) octave> A(:) %Error! %retorna la matriz tal como la guarda Matlab (por columnas) ans = octave> A(:,1) % retorna el vector columna, con la 1era columna de A ans = 6 4 octave> A(1,:) % retorna el vector fila, con la 1era fila de A ans = 6-9 octave> length(a) % retorna la mayor dimensión de A ans = 2 octave> size(a) % retorna un vector con la dimensión de A ans = 2 2

2 Algunas Operaciones usando matrices Recordemos que podemos realizar operaciones con matrices usando +, -, *, / pero que hay que tener cuidado de que las dos matrices tengan la misma dimensión. Con la matriz A anterior y B definida: octave> B= [-2,12 ;5, -6] B= octave> A + B % suma de los elementos de ambas matrices ans = octave> A % A traspuesta ans= octave> A *B % A * B ans= octave> a=[3, -1] a = 3-1 octave> A * a % Producto matriz por vector ans = 27 2 octave> A * a produzca error? octave> a * a % Error! Por qué? Cómo se puede hacer el producto sin que se % Genera una matriz a partir de estos vectores ans = Funciones sobre matrices octave> ones(3) octave> zeros(3) % matriz de 3x3 con unos. % matriz de 3x3 con ceros. octave> eye(3) % matriz identidad de 3x3. octave> diag([1,2,3]) % matriz de 3x3 en cuya diagonal se encuentran los elementos del vector. El resto es cero.

3 octave> diag(a) %retorna el vector con los elementos diagonales de A ans = 6 10 octave> diag(diag(a)) %truco para obtener la diagonal de una matriz ans= Algunos datos más octave>a(2,2)= -1/2 ans= % Cambio de un elemento de la matriz octave>a(2,:)= [1 1] ans= %En este caso se cambia toda una fila completa octave>a(4,5)=10 % En este caso, al definir un elemento fuera de las dimensiones, estamos cambiando la matriz ans= octave>a(:,3)=[] % [] indica matriz vacía. En este caso, estamos borrando la tercer columna ans= También se puede trabajar con grupos de filas y columnas, no necesariamente consecutivos, o concatenar matrices para formar matrices más grandes, siempre cuidando el tamaño de las matrices: octave>a=diag([1 2 3]); octave>[a, ones(3,2)] ans= % con esto ampliamos la matriz con columnas octave>[a; eye(3)] % con esto ampliamos la matriz con filas ans=

4 octave>a=[1 3; 2 1]; octave>b=[a eye(2); seros(2) A] % Como será la matriz B? Se pueden extraer submatrices: octave> A=[ ; ; ; ]; octave> A(2:3;2:4) columna % retorna de la segunda a la tercera fila y de la segunda a la cuarta ans= octave> A(2;1:3) % retorna la segunda fila y de la segunda a la cuarta columna ans= octave> A(1;1:2:4) octave> A([3 1 1];) %columnas impares de la primer fila (Hacer!) %filas 3, 1 y 1 y todas las columnas (Hacer!) Se puede hacer intercambio de filas y columnas de manera bastante simple: octave> A=[1 2 3; ; 7 8 9] A= octave> A([1 3];:)=A([3 1];:) % intercambiamos las filas 1 y 3 ans= Comparaciones, Ordenaciones y búsquedas Es bastante simple localizar elementos dentro de una matriz, ordenar, buscar máximo y minimo. octave> A=[1 2 3; ; 2 3 4; 1 1-1] A= octave>max(a) % retorna un vector con los máximos de cada columna ans= 5 7 4

5 octave>[cual,donde]=max(a) %para cada columna, donde indica la fila cual= donde= Cómo hacemos para obtener el máximo de toda la matriz? Al menos hay dos maneras pensar octave>sort(a) %ordena los elementos dentro de la columna de forma ascendente ans= octave>-sort(-a) octave>find(a<0) %ordena los elementos dentro de la columna de forma descendente % find sirve para encontrar los índices de la matriz que cumplen con una determinada condición. En este caso, contando por columnas ans= octave>[i,j]=find(a<0) %en este caso, retorna los índices, pero por el par (fila,columna) Manejo de Archivos Se podría tener una serie de datos, por ejemplos elementos de una matriz, en un archivo de texto, separados por, o por espacios o tabulador y donde cada línea esté separada por enter. De esta manera, podemos recuperar estos datos desde Octave o Matlab con la instrucción load: En el archivo datos.txt podemos tener lo siguiente: Luego, desde Octave: octave>load datos.txt octave>datos datos= %Octave genera una matriz llamada datos con la matriz También podemos grabar nuestra propia matriz (o cualquier variable) desde Octave con la función sabe: octave>datost= datos datos=

6 3 6 9 octave>save salida.txt datost ascii octave>save salida.txt datos datost ascii % esto graba la matriz datost en el archivo salida.txt. La opción ascii es para indicar que se quieren grabar los datos en formato texto plano % se graban ambas matrices, una a continuación de la otra. Pero al realizar el load, ya no se pueden separar las matrices Hay que notar que al realizar load, se genera una matriz con el nombre del archivo a cargar. Muchas veces, los datos de matrices se tienen en Excel. Si desde allí se graban adecuadamente, Octave y Matlab los pueden leer sin problemas con la sentencia csvread: octave>csvread datos.csv Supongamos que en Excel se tiene datos.csv del siguiente modo: 2000,6.30,7.00,9.00, ,6.90,8.00,6.00, ,8.50,6.00,6.00, ,9.20,8.50,8.00, ,5.50,4.20,5.50, ,6.30,6.30,6.20, ,7.20,5.00,6.00, ,8.50,6.00,6.00, ,9.00,8.00,4.00,7.00 Donde cada fila es un año, la primera columna es el año en sí, el resto de las columnas son notas promedios trimestrales Si se tiene un vector, es simple sacar el promedio anual usando la función mean. Para una matriz, esta función se comporta diferente; da como resultado una fila con el promedio de las columnas Para dar el promedio de notas de cada año podríamos hacer lo siguiente: octave>notas=datos ; octave>mean(notas(2:4,:)) % Por qué hacemos la traspuesta? Probar!! ans = Nota: También podemos tener la misma matriz en datos.txt y cargarla en Octave con load datos.txt Gráficos Ya hemos visto como funciona la función plot. Hasta ahora hemos usado plot para dibujar un vector de datos. Qué sucede si queremos dibujar una matriz? Octave dibuja los vectores por filas o por columnas usando diferentes colores para los gráficos. Supongamos que queremos

7 hacer un gráfico de las notas de la matriz del ejemplo anterior. Tomemos sólo las notas, sin los números años: octave>solonotas=notas(2:4,:); octave>plot(solonotas) % obtenemos la matriz de notas % ver como se realiza el gráfico en diferentes colores Veamos algunas cuestiones de plot usando matrices (supongamos que A es una matriz): plot(a): dibuja una línea por cada columna de A en ordenadas, frente al índice de los elementos en abscisas plot(x,a): dibuja las columnas (o filas) de A en ordenadas frente al vector x en abscisas. Las dimensiones de A y x deben ser coherentes: si la matriz A es cuadrada se dibujan las columnas, pero si no lo es y la dimensión de las filas coincide con la de x, se dibujan las filas plot(a,x): análogo al anterior, pero dibujando las columnas (o filas) de A en abscisas, frente al valor de x en ordenadas plot(a,b): dibuja las columnas de B en ordenadas frente a las columnas de A en abscisas, dos a dos. Las dimensiones deben coincidir Hagamos un ejercicio interesante: Es interesante saber que no precisamos trasponer la matriz para graficar, y todo depende de que gráfico queramos hacer. Por ejemplo, si queremos que grafique las notas por año, podemos enviar un vector con los años para las abscisas y la matriz de notas para las ordenadas: octave>anios=2000:2008; octave>plot(anios, solonotas) octave>trimestres=1:3; octave> plot(trimestres, solonotas) % En la matriz están las notas de 9 años %Tenemos a los años en las abscisas %Otra forma de hacer el primer gráfico En estos gráficos, vemos que tanto la escala de x como de y, se ajusta automáticamente a los valores de los vectores o matrices que estamos graficando. Pero, por ejemplo, en el caso de las notas, nos interesa que el eje y tenga los valores desde 1 a 10 y no desde 4, que es la menor nota. Para eso usamos la función axis que ajusta la escala de cada uno de los ejes de modo que varíe entre el mínimo y el máximo valor de los vectores a representar. Este es el llamado modo "auto", o modo automático. Para definir de modo explícito los valores máximo y mínimo según cada eje, se utiliza el comando: mientras que : axis([xmin, xmax, ymin, ymax]) axis('auto') devuelve el escalado de los ejes al valor por defecto o automático. Gráficos Tridimensionales La función más simple para realizar gráficos en 3 dimensiones es la función plot3: plot3(x,y,z,s) donde x, y, z representan cada una de las dimensiones (son 3 ejes) y s es una cadena de caracteres para el color y tipo de línea, tal como vimos en la función plot. Las variables x, y, z pueden ser vectores o matrices.

8 Como ejemplo, podemos mostrar el siguiente gráfico: octave> fi=[0:pi/20:6*pi]; octave> plot3(cos(fi),sin(fi),fi,'r') octave> grid Mostrará el siguiente gráfico: Se puede probar variando la sentencia plot3 para ver girar la espiral en diferentes sentidos Vamos a utilizar varias funciones para realizar gráficos, con lo cual primero explicaremos las diferentes funciones Matlab. Sean x e y dos vectores que contienen las coordenadas en una y otra dirección de la retícula (grid) sobre la que se va a dibujar la función. Después hay que crear dos matrices X (cuyas filas son copias de x) e Y (cuyas columnas son copias de y). Estas matrices se crean con la función meshgrid. Estas matrices representan respectivamente las coordenadas x e y de todos los puntos de la retícula. La matriz de valores Z se calcula a partir de las matrices de coordenadas X e Y. Finalmente hay que dibujar esta matriz Z con la función mesh, cuyos elementos son función elemento a elemento de los elementos de X e Y. Véase como ejemplo el dibujo de la función sen(r)/r (siendo r=sqrt(x2+y2); para evitar dividir por 0 se suma al denominador el número pequeño eps - ya existente en Octave). Para distinguirla de la función test3d anterior se utilizará u y v en lugar de x e y. Crear un archivo llamado sombrero.m que contenga las siguientes líneas: close all u=-8:0.5:8; v=u; [U,V]=meshgrid(u,v); R=sqrt(U.^2+V.^2)+eps; W=sin(R)./R; mesh(w) Ejecutando este archivo se obtiene el gráfico siguiente:

9 La función mesh dibuja en perspectiva una función en base a una retícula de líneas de colores, rodeando cuadriláteros del color de fondo, con eliminación de líneas ocultas. Con respecto al color, se puede decir que el color depende del valor z de la función. Si se ejecuta ahora: octave>surf(w) se obtiene una superficie faceteada, también con eliminación de líneas ocultas. El color de las facetas depende también del valor de la función: Luego, otra cosa interesante es dibujar el contorno de la función sombrero: octave>contour(w,20) octave>contourf(w,20) % donde 20 es la cantidad de líneas de nivel o isolíneas % similar a surf, rellena con colores los espacios entre líneas Realizar el siguiente ejercicio, graficar utilizando mesh, contour y contourf:

10 Como ayuda, la función que resuelve esta ecuación se puede grabar en un archivo test3d.m: function z=test3d(x,y) z = 3*(1-x).^2.*exp(-(x.^2) - (y+1).^2) *(x/5 - x.^3 - y.^5).*exp(-x.^2-y.^2) /3*exp(-(x+1).^2 - y.^2); end