Interfase dieléctrica

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Margarita Mora Casado
hace 7 años
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1 Interfase dieléctrica manuel fernández guasti 7 de febrero de interfase plana Sean dos medios homogéneos 1 y 2 con permitividad y permeabilidad ε 1 y ε 2 respectivamente. Considere soluciones de ondas planas en cada uno de los medios semi-innitos. Sea el campo eléctrico incidente una onda plana E 1i (r, t) = E 01i exp (ik 1i r iωt) (1) y su correspondiente campo magnético B 1i (r, t) = B 01i exp (ik 1i r iωt) = ε 1ˆk1i E 1i. (2) Permita la hipótesis que existe una onda reejada y una transmitida (o refractada) E 1r (r, t) = E 01r exp (ik 1r r iωt) (3) E 2t (r, t) = E 02t exp (ik 2t r iωt) (4) De la ecuación de onda que satisfacen podemos establecer la relación entre las magnitudes de los vectores de onda. k 1i = k 1r = ω c µ1 ε 1 k 2t = ω c µ2 ε 2 2. condiciones de frontera En z = 0 en todos los puntos del plano para todo tiempo los campos deben ser iguales de manera que las fases en la interfase deben ser iguales ik 1i r (x, y, 0) iωt = ik 1r r (x, y, 0) iωt = ik 2t r (x, y, 0) iωt de aquí se establecen las condiciones cinemáticas. Sea ˆn el vector normal a la supercie, en éste caso en la dirección z. Considere el vector r en la dirección 1

2 x, de manera que el ángulo con el vector de onda es k 1i ê x = π 2 θ i, entonces el producto punto es k 1i r (x, 0, 0) = k 1 x sin θ i. El resultado es análogo para los otros vectores de onda y todos se encuentran en el mismo plano, denominado plano de incidencia. Las condiciones cinemáticas son entonces k 1 sin θ i = k 1 sin θ r (5) el ángulo de reexión y el incidente son iguales. Por otro lado, k 1 sin θ i = k 2 sin θ t, invocando la denición del índice de refracción se reproduce la ley de Snell. sin θ i = n 2 sin θ t (6) 3. propiedades dinámicas Las componentes tangenciales de E y H son contínuas mientras que las componentes normales de D y B son contínuas. Para E obtenemos (E 01i + E 01r ) ˆn = E 02t ˆn. (7) Mientras que la continuidad de H = 1 µ B = 1 µ k E deviene ( 1 k 1i E 01i + 1 ) k 1r E 01r ˆn = 1 k 2t E 02t ˆn. (8) Para D = εe obtenemos de la divergencia mientras que la continuidad de B = k E (ε 1 E 01i + ε 1 E 01r ) ˆn = ε 2 E 02t ˆn, (9) (k 1i E 01i + k 1r E 01r ) ˆn = k 2t E 02t ˆn (10) 3.1. Campo eléctrico perpendicular al plano de incidencia De la ecuación (7) se obtiene E 01i + E 01r = E 02t y puesto que (k 1i E 01i ) ˆn = µεωe 01i cos θ i, de la ecuación (8) ( ) ε1 ε1 ε2 E 01i E 01r cos θ i = E 02t cos θ t 2

3 La tercera relación es cero mientras que la última reproduce ésta última igualdad. De éstas dos ecuaciones anteriores podemos obtener la razón de amplitudes de reexión R a = E 01r = n µ 1 cos θ i 1 n 2 2 n2 1 sin2 θ i, (11) E 01i cos θ i + µ1 n 2 2 n2 1 sin2 θ i así como la razón de refracción T a = E 02t E 01i = 2 cos θ i. (12) cos θ i + µ1 n 2 2 n2 1 sin2 θ i 3.2. Campo eléctrico paralelo al plano de incidencia La continuidad del campo eléctrico (7) es entonces ( E01i E 01r ) cos θi = E 02t cos θ t, mientras que la continuidad de H (8) o D contínua (9) y la ley de Snell es ε1 ε1 ε2 E 01i + E 01r = E 02t. De donde obtenemos y R a = n 2 2 cos θ i n 2 2 n2 1 sin2 θ i (13) n 2 2 cos θ i + n 2 2 n2 1 sin2 θ i 2 n 2 cos θ i T a = (14) n 2 2 cos θ i + n 2 2 n2 1 sin2 θ i Incidencia normal - medio no magnético Entonces, =, las relaciones anteriores son 4. Análisis de resultados R a = n 2 n 2 +, T a = 2 n 2 +. (15) En el análisis subsiguiente consideraremos un medio no magnético. 3

4 4.1. Ángulo de Brewster En el caso paralelo, el coeciente de transmisión (14) es nulo si el numerador es cero. Entonces 1 1 n 2 cos 2 n2 1 θ i n 2 tan 2 θ i = 0 2 utilizando la identidad tan 2 θ i + 1 = cos 2 θ i, obtenemos tan θ B = n 2. (16) Éste resultado lo podemos reescribir de la ecuación anterior y la relación de refracción como sin θ B = n 2 cos θ B = n 2 sin (θ t ) donde la segunda igualdad se cumple si θ B + θ t = π/ Reexión total interna Si la luz se transmite de un medio más denso a uno menos denso > n 2 y de la relación de refracción el ángulo de transmisión es 90 (sin θ t = 1) si sin θ c = n 2. (17) para θ > θ c se obtiene reexión total interna. La relación de Snell es entonces sin θ t = sin θ i sin θ c y el coseno del ángulo transmitido es entonces cos θ t = 1 sin2 θ i sin 2 θ c = i sin 2 θ i sin 2 θ c 1. La onda exhibe una fase k 2t r = k 2t (x sin θ t + z cos θ t ) de manera que ( exp (ik 2t r iωt) = exp ik 2t x sin θ ) i sin exp k 2 θ i 2t z sin θ c sin 2 1 exp ( iωt) θ c que representa una onda evanescente en la dirección z. 5. Energía y ujo La densidad de energía promediada en el tiempo es U = 1 (εe E + 1µ ) 4 B B (18) 4

5 que para una onda plana es U = 1 ε E 0 E 0. (19) Mientras que el ujo promedio está dado por el vector de Poynting S = E H (20) que para la onda plana es ε S = µ E 0 E 0 ˆk = n µc E 0 E 0 ˆk. (21) El ujo entre la densidad de energía de (21) y (19) es S U = 1 ˆk = vˆk, µε la velocidad de propagación de la energía. El cociente de los ujos de energía reejado e incidente es R I = R 2 a, mientras que el cociente de los ujos transmitido e incidente es T I = n 2 T 2 a. 5

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