Escuela de Ciencias Exactas y Naturales (ECEN)Profesor: Allan Gen Palma EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN

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Samuel Duarte Soto
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Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr

Eisten vrios métodos pr el cálculo del volumen de un sólido de revolución, en est ocsión se estudirán los siguientes: Método de discos, método de ls rndels el método de cps.

1 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm EL CÁLCULO INTEGRAL EN LA OBTENCIÓN DEL VOLÚMENES DE SÓLIDOS DE REVOLUCIÓN Un sólido de revolución es generdo l girr un región pln en torno un rect denomind eje de revolución. Eisten vrios métodos pr el cálculo del volumen de un sólido de revolución, en est ocsión se estudirán los siguientes: Método de discos, método de ls rndels el método de cps. A continución se ilustrn lgunos sólidos de revolución: Sólido de revolución generdo l girr un región pln lrededor del eje. Sólido de revolución generdo l girr un región pln lrededor del eje. MÉTODO DE LOS DISCOS Este método result prticulrmente útil cundo el eje de revolución es prte del contorno del áre pln. El eje de rotción puede ser el eje o uno prlelo este, sí como puede tmién ser el eje o uno prlelo este. Cundo el eje de rotción es el eje f f () = d

2 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Es conveniente tener en considerción los siguientes psos: ) Se diuj l región pln que generrá el sólido de revolución, pr lo cul se trz l gráfic de l función f entre = =, luego se diuj un rectángulo representtivo de ncho infinitesiml o se de ncho d ltur f (). ) Emplendo el volumen de un cilindro (disco). V = f πr (), pr el cso del disco considerese, r: es = f (). h:es d. d 3) Suponer que el número de rectángulos tiende infinito l plicr el teorem fundmentl del cálculo. v = π d = π f d Clculr el volumen de un sólido de revolución engendrdo por l región limitd por g () = sen, =, = = entorno l eje. π v = π d = π sen d = π sen () d = π π π cos () d = π sen π = π π sen π = π uniddes de volumen.

3 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Cundo el eje de rotción en el eje d f f () = d c Por lo que el volumen está ddo por: d v = π d = π f d c c Clculr el volumen de un sólido de revolución engendrdo por l región limitd por =, =, = = entorno l eje. d h() d

4 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm v = π d = π d = π = π uniddes de volumen. Cundo el eje de rotción es prlelo l eje o l eje. Clculr el volumen de un sólido de revolución engendrdo por l región limitd por: ) f = + =, = = entorno l eje =. v = π( ) d = π + d = π d = π + d = π + d = π = π 6 3 3π + 3 = uniddes de volumen. 3

5 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm ) = + =, = = entorno l eje =. = v = π( ) d = π + d = π d = π + d = π + d = π = π 6 3 3π + 3 = uniddes de volumen. 3

6 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm MÉTODO DE LAS ARANDELAS Este método se emple pr el cálculo de volúmenes de revolución que tienen un hueco, que se produce l girr un región delimitd por dos gráfics el eje de revolución no es prte del contorno del áre pln. Cundo el eje de revolución es el eje El límite superior de l región pln es l gráfic de f () el inferior por g (), desde = hst =, tl como se ilustr en l figur djunt. f() g() Entonces el volumen del sólido de revolución está ddo por, V = π f g d

7 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Clculr el volumen del sólido de revolución determindo por rotción lrededor del eje de l región entre ls gráfics de f () = g () =. Primero se determinrá l intersección entre ls gráfics dds, Por lo tnto el intervlo de integrción es, = = = = =, Ahor flt determinr cuál es l función mor en el intervlo ddo, pr esto st con evlur un vlor entre, como por ejemplo. f = g = = Por lo tnto f > g, V = π f g d = π d = π 3 d = π 3 5 = 5 π 3 5 = π uniddes de volumen 5

8 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm En l figur djunt se ilustr el sólido de revolución.

9 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Cundo el eje de revolución es el eje El límite superior de l región pln es l gráfic de f () el inferior por g (), desde = c hst = d, tl como se ilustr en l figur djunt. d g() f() c Entonces el volumen del sólido de revolución está ddo por, d V = π f g c d Clculr el volumen que se gener l girr l región entre ls gráfics de f() = 3 g() = lrededor del eje. Primero se determinrá l intersección entre ls gráfics dds, 3 = 3 =

10 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm = 3 7 = Por lo tnto el intervlo de integrción es, 3 7, Ahor flt determinr cuál es l función mor en el intervlo ddo, pr esto st con evlur un vlor entre , como por ejemplo. f = g = Por lo tnto g > f , 3+ 7 V = π g f d = π = π d = ,67 uniddes de volumen 3 d π

11 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Método de Cps Pr trjr el método de cps es conveniente que se consideren los siguientes psos: Hcer un osquejo del áre considerr diujr frnjs representtivs prlel l eje de revolución el rectángulo de ncho infinitesiml. Escriir el volumen (circunferenci medi ltur espesor) de l cp cilíndric generd l girr el rectángulo infinitesiml en torno l eje de revolución sumr pr losn rectángulos. Suponer que el número de rectángulos crece indefinidmente plicr el teorem fundmentl del cálculo. Cundo el eje de revolución es el eje. :distnci l que se encuentr el rectángulo representtivo. =f () Rectángulo de ncho infinitesiml =f () V = π lrgo ncho espesor Cp etendid: =f ()

12 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Por lo que el volumen está determindo por: V = π d = π f d Cundo el eje de revolución es un eje prlelo l por ejemplo el = e. V = π e d = π e f d De igul form se procede cundo el eje de revolución es el eje. Por lo que el volumen está determindo por: d V = π d = π c f d Clculr el volumen generdo l girr entorno l eje el áre determind por l curv = el eje, en el intervlo [, ]. Por el método de discos, V = π f d = π d = π d = π ( ) = 8π uniddes de volumen. Por el método de cps V = π d = π = π 6 = 8πuniddes de volumen. 8

13 Cálculo Integrl III- Escuel de Ciencis Ects Nturles (ECEN)Profesor: Alln Gen Plm Clculr el volumen generdo l girr entorno l eje = el áre determind por l curv = el eje =, en el intervlo [, ]. Por el método de discos, V = π d = π 8 por simetrí d = π d = π = π = 56π 5 = uniddes de volumen.

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