ONDAS ( ) ( ) La amplitud y la fase inicial se calculan mediante un sistema que se plantea con la posición y velocidad inicial.

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1 ONDAS Septiebre 06. Pregunta B.- Una onda arónica tranveral e deplaza en el entido poitivo del eje X con una velocidad de 5 y con una frecuencia angular de /3 rad. Si en el intante inicial la elongación en el origen de coordenada e 3/ c y la velocidad de ocilación e c, deterine: a) La función de onda. b) La velocidad de ocilación en el intante inicial a una ditancia del origen igual a edia longitud de onda. a. La ecuación ateática de una onda arónica tranveral que e deplaza en el entido poitivo del eje X expreada en función de eno e: y ( x, t) A en( ω t K x + φ o ) ω 3 ω K 3 v 5 5 La aplitud y la fae inicial e calculan ediante un itea que e plantea con la poición y velocidad inicial. x 0 ; t 0 3 y ( x, t) A en ( ω t K x + φo ) A enφo dy ( ) ( x, t) x 0 ; t 0 v x, t Aωco ( ω t K x + φo ) A coφo dt 3 Dividiendo la expreión de la poición inicial entre la velocidad e obtiene la fae inicial 3 y( 0, 0) A enφo 3 φo rad tgφ 4 v( 0, 0) o : A coφ o φo rad De lo do poible defae iniciale, el único que cuple la condicione iniciale e rad y( 0, 0) A en > 0 φ 4 o rad : 4 3 v( 0, 0) Aωco < 0 4 ( ) y 0, 0 A en < 0 4 φ o rad : 4 v( 0, 0) Aωco < 0 4 Conocida la fae inicial e calcula la aplitud. 0,03 3 A en A 0, y x, t,35 0 en t x +, ( ) ( ) b. Do punto que ditan edia longitud de onda etán en opoición de fae, por lo tanto u velocidade on iguale pero con igno cabiado: v c abién e puede calcular ediante la ecuación de la velocidad particularizando para x y t 0. 3 v( x, t),35 0 co t x K ( 0),35 0 co ,0 c v 5,

2 Junio 06. Pregunta B.- Una onda tranveral e propaga a lo largo de una cuerda tena. En un cierto intante e oberva que la ditancia entre do áxio conecutivo e de. Adeá, e coprueba que un punto de la cuerda paa de una elongación áxia a nula en 0,5 y que la velocidad áxia de un punto de la cuerda e de 0,4. Si la onda e deplaza en el entido poitivo del eje X, y en t 0 la velocidad del punto x 0 e áxia y poitiva, deterine: a) La función de onda. b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración tranveral áxia de cualquier punto de la cuerda. a. La ditancia entre do áxio conecutivo e de Un punto de la cuerda paa de una elongación áxia a nula en 0,5 vax 0,4 v >. La onda e deplaza en OX +. ( 0,0) 0 0,5 4 Conocido el periodo, e calcula la velocidad angular. 0,5 0,5 ω 4 rad 4 0,5 La longitud de onda perite calcular el núero de onda K La aplitud de la onda e obtiene a partir de la velocidad áxia de vibración. y ( x, t) A en ( ω t Kx + φ o ) d y v ( x, t) Aω co ( ω t Kx + φ o ) dx v v ax co ( ω t Kx + φo ) ± vax Aω 0,4 0,4 A 4 A 0,06 4 y( 0, 0) 0 Para calcular el defae inicial e tiene en cuenta: v( 0, 0) > 0 φo 0 rad y( 0,0) A en ( ω 0 K 0 + φo ) A enφo 0 enφo 0 : φo rad v( 0,0) Aω co 0 > 0 v( 0,0) Aω co ( ω 0 K 0 + φo ) Aω coφo : : φo 0 rad v( 0,0) Aω co < 0 La ecuación de la onda e: y( x, t) 0,06 en ( 4 t x)(, ) b. vp a 0,5 dv a + dt ( x, t) Aω en ( ω t Kx φ ) a en ( ω t Kx + φ ) a Aω 0,06 ( 4) 9,47 ax o ± ax o Modelo 06. Pregunta A.- Una onda arónica tranveral de de aplitud y 50 Hz de frecuencia, e propaga con una velocidad de 50 en el entido poitivo del eje X. a) Deterine el período, la longitud de onda, núero de onda y la frecuencia angular de la onda. b) Si en el intante inicial la elongación de un punto de abcia x 3 e y, deterine, en el io intante, el valor de la elongación de un punto de abcia x,75. 3 a. El periodo de la onda e calcula ediante la frecuencia: 4 0 f 50 La longitud de onda e puede obtener de la velocidad de propagación, conocido el periodo: v v 50 50

3 El núero de onda e calcula a partir de la longitud de onda: k La frecuencia angular e calcula ediante la frecuencia o el periodo ω f rad b. La ecuación de la onda e: y ( x, t) A en ( ω t k x + φ o ) 3 y ( x, t) 0 en ( 500 t x + φ ) o El defae inicial e puede calcular a partir de la elongación que tiene un punto de la onda en el 3 y 3,0 0 intante inicial ( ) ( ) 3 3 ( 3,0) 0 0 en ( φ ) y + o en ( 6 + φo ) en ( φo ) φ o 3 y( x, t) 0 en 500 t x intante Conocida la ecuación de la onda, e calcula la elongación de cualquier punto y en cualquier y 3 3 ( '75,0) 0 en 500 0,75 0 en ( 6) 0 Septiebre 05. Pregunta A.- En un punto ituado a igual ditancia entre do fábrica, que eiten coo foco puntuale, e percibe un nivel de intenidad onora de 40 db proveniente de la priera y de 60 db de la egunda. Deterine: a) El valor del cociente entre la potencia de eiión de aba fábrica. b) La ditancia a la que habría que ituare repecto de la priera fábrica para que u nivel de intenidad onora fuee de 60 db. Suponga en ete cao que olo exite eta priera fábrica y que el nivel de intenidad onora de 40 db e percibe a una ditancia de 00. Dato: ntenidad ubral de audición, 0 0 W. a. ntenidad onora de la priera fábrica: β A 40 db ntenidad onora de la egunda fábrica: β B 60 db La potencia de un onido e puede depejar de la definición de intenidad. Onda eférica P P A 4 ArA P P S 4 r : A 4 Ar S PB 4 BrB PB 4 Br A B El cociente entre la potencia de eiión de aba fábrica, teniendo en cuenta que aba etán a igual ditancia (r), e: PA 4 Ar A P B 4 Br B La intenidad e obtiene de la intenidad onora (β). β 0log o 0 β 0 Aplicando al cociente entre la potencia, iplificando y utituyendo: β A β A β B P 0 0 A o P β B B o 3

4 b. En ete apartado, teniendo en cuenta que no varía el foco eior, lo que e antiene contante e la potencia. P P S S Aplicando a la do ditancia: Onda eférica P S S 4r 4r r r r r eniendo en cuenta la relación del apartado a r r 0 β β Junio 05. Pregunta B.- Una onda arónica tranveral e propaga en el entido de la x poitiva. A partir de la inforación contenida en la figura y jutificando u repueta: a) Deterine el periodo, la frecuencia, el núero de onda y la longitud de onda. b) Ecriba la expreión de la función de onda. a. De la grafica e leen lo valore de la longitud de onda ( ), ditancia entre do punto en igualdad de fae, periodo (), tiepo que invierte en un ciclo copleto y aplitud (A), ditancia que hay entre la poición de equilibrio y el punto de elongación áxia. ; 0 c ; A 5 c f 0,5 Hz k 0 0, φ o ω rad La fae inicial e calcula abiendo que y (0, 0) 0 y que v (0, 0) < 0, coo pone de anifieto el b. y ( x, t) A en( ω t k x + ) hecho de que la pendiente de la recta tangente a la grafica y-t a la derecha del origen de coordenada e negativa. φo 0 rad y( 0,0) A enφo 0 : φo rad Para e coger el defae e etudia el igno de la velocidad Aω co 0 Aω > 0 v( 0,0) Aω coφo φo rad Aω co Aω < 0 4

5 ( x, t) 0,05 en( t 0 x ) y + Modelo 05. Pregunta B.- Una onda tranveral que e propaga en una cuerda, coincidente con el eje X, tiene por expreión ateática: y (x, t) en (7t 4x), donde x e y etán expreada en etro y t en egundo. Deterine: a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad áxia de vibración de cualquier punto de la cuerda. b) El tiepo que tarda la onda en recorrer una ditancia igual a la longitud de onda. a. La velocidad de propagación de una onda e puede obtener por ω v k La velocidad angular (ω) y el núero de onda (k), e obtienen coparando la ecuación que no dan co la ecuación genérica de onda y( x, t) A en ( ω t k x + φ ) ω 7 rad o 7 : v,75 ( ) ( ) k 4 rad y x, t en 7t 4x 4 La velocidad áxia e obtiene derivando la expreión de la onda repecto del tiepo: v x, t 7 co 7t 4x 4co 7t 4x ( ) ( ) ( ) v ax co( 7t 4x) v ax 4 b. El tiepo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda e el período. 0,898 ω 7 Septiebre 04. Pregunta A.- Una onda arónica tranveral viaja por una cuerda con una velocidad de propagación v c, una aplitud A c y una longitud de onda 6 c. La onda viaja en el entido negativo de la X y en t 0 el punto de la cuerda de abcia x 0 tiene una elongación y c. Deterine: a) La frecuencia y el núero de onda. b) La elongación y la velocidad de ocilación del punto de la cuerda en x 0,4 y t 0,5. a. La frecuencia de la onda e puede calcular a partir de la velocidad de propagación y de la longitud de onda. v p v p 0 f ; f Hz( ) El núero de onda e puede calcular de u definición: núero de longitude de onda que hay en un ciclo. 00 k b. Para conocer la elongación y la velocidad de vibración de un punto de la onda en un intante deterinado, e neceario conocer u ecuación. La ecuación ateática de una onda que e deplaza en el entido negativo del eje X tiene por expreión: y x, t A en ω t + k x + ω ( ) ( φ o ) f ( rad) 4 rad El único paráetro que falta por conocer e el defae inicial ( φ o ), para lo cual e da el dato de la elongación inicial en x 0 ( y( 0,0) A). 5

6 y ( 0,0) A A en ( ω 0 + k 0 + φ o ) : enφ o ; φ o rad 00 y x, t 0,0en 4 t + x S y ( 0,4; 0,5 ) 0,0en 4 0,5 + 0,4 0,003 3 d y( x, t) ,0co 4 t + x 4 0,04 co 4 t + x dt v ( 0,4; 0,5) 0,04 co 4 0,5 + 0,4 0, 3 La ecuación de la onda e: ( ) ( ) v ( x, t) Junio 04. Pregunta B.- Una onda arónica tranveral e propaga por un edio elático a lo largo del eje X (entido poitivo) produciendo un deplazaiento en la partícula del edio a lo largo del eje Y. La velocidad de propagación de la onda e de 30 iendo u longitud de onda igual a 3. En el intante t 0 el deplazaiento inducido por la onda en el origen de coordenada e nulo, iendo la velocidad de vibración poitiva. Si el deplazaiento áxio inducido por la onda e igual a 0, c: a) Ecriba la expreión ateática que decribe la onda. b) Deterine la áxia velocidad y aceleración de una partícula del edio. a. La ecuación ateática de una onda que e deplaza a lo largo del eje x en el entido poitivo viene dada por la expreión: y ( x,t) A en ( ω t k x + φ o ) y la velocidad de vibración vendrá expreada por la derivada de la ecuación: v x,t Aω co ω t k x + v propagación 30 ; 3 Dato: ( ) ( ) ( ) φ o ; y ( 0,0) 0 ; ( 0,0) 0 v > ; A yáx 0, c 0,00 Con la velocidad de propagación y con la longitud de onda e calcula el periodo, el cuál, perite calcular la velocidad angular. 3 v ; 0, ω 0 rad v 30 0, La longitud de onda, perite calcular el núero de onda (k). k 3 El defae inicial e calcula conocida la poición inicial y el igno de la velocidad inicial. φo 0 rad v( 0,0) Aωco0 > 0 y( 0,0) A enφo 0 : : φo 0 rad φo rad v( 0,0) Aωco < 0 La ecuación ateática de la onda e: y 3 ( x,t) 0 en 0 t x b. Si v ( x,t) Aω co ( ω t k x + ), v co ( ω t k x + φ ) v φ o ax 0 3 v ax Aω áx o 3 0 0,6 La aceleración e obtiene derivando la ecuación de la velocidad. a x,t Aω en ωt kx + φ a en ( ωt kx + φ ) ( ) ( ) a ax o 0 ax o 3 ( 0) 7,9 a Aω ax 6

7 Modelo 04. Pregunta B.- Una onda tranveral e propaga por un edio elático con una velocidad v, una aplitud A o y ocila con una frecuencia f o. Contete razonadaente a la iguiente cuetione: a) Deterine en qué proporción cabiarían la longitud de onda, la velocidad de propagación, el periodo y la aplitud, i e actúa obre el foco eior de onda reduciendo a la itad la frecuencia de ocilación. b) Sin alterar u frecuencia f o, e odifica la aplitud de la onda haciendo que auente al doble. En qué proporción cabiarían la velocidad de la onda, la velocidad áxia de la partícula del edio y la longitud de onda? a. - La velocidad de propagación de la onda olo depende de la propiedade del edio aterial por el que e propaga la onda, por lo que al variar la frecuencia no variará la velocidad de propagación. - eniendo en cuenta la relación exitente entre la velocidad de propagación (que no varía), la longitud de onda y la frecuencia, i e reduce la frecuencia a la itad, la longitud de onda e duplicará. v v f f f f f :Si f : Coparando : v v f f f f - Si e reduce la frecuencia a la itad, el periodo auenta al doble. f f f f f :Si f : Coparando : f f f f - La aplitud no depende de la frecuencia b. - La velocidad de la onda no depende de la aplitud, depende de la propiedade del edio en el que e propaga. - La velocidad áxia de vibración auentara al doble. váx A ω v áx A ω A A : Coparando : v áx váx v áx A ω váx A ω A A - La longitud de onda no depende de la aplitud, coo e vio en el apartado a. Modelo 04. Pregunta A.- Un epectador que e encuentra a 0 de un coro forado por 5 perona percibe el onido con un nivel de intenidad onora de 54 db. a) Calcule el nivel de intenidad onora con que percibiría a un olo iebro del coro cantando a la ia ditancia. b) Si el epectador ólo percibe onido por encia de 0 db, calcule la ditancia a la que debe ituare del coro para no percibir a éte. Suponga que el coro eite onda eférica, coo un foco puntual y todo lo iebro del coro eiten con la ia intenidad. Dato: Ubral de audición, o 0 W a. eniendo en cuenta que cada iebro del coro e un foco puntual y que todo lo iebro del coro tienen igual potencia. La intenidad ( ) que recibiría un epectador a una deterinada ditancia procedente del coro erá: 5P S Siendo P la potencia de cada iebro del coro. La intenidad ( ) que recibiría un epectador a ea ia ditancia de un único iebro del coro erá: Coparando aba expreione: P S 7

8 P S 5P 5 S La intenidad onora (β) que recibiría el epectador en cada una de la ituacione anteriore eria: β 0log β 0log o o Si e depejan la intenidade y e copara: β β 0 0 ( β β) o 0 o β : β 0 0 o 0 o 0 Sutituyendo la relación obtenida entre la intenidade: ( β β ) oando logarito deciale, e depeja la intenidad onora (β ) que e percibiría cuando cantae un olo iebro del coro. ( β β ) log log00 ( β β) log β β + 0log β log 4,4 db 5 b. En ete apartado, e antiene contante la potencia de eiión y e varia la ditancia al coro, y por lo tanto la uperficie. Si e aplica la definición de intenidad cuando el epectador e encuentra a 0 (d ) y a la poición donde la intenidad onora que percibe e de 0 db o enor (d ) y e coparan: P P P S d d d : P P P d d S d Por otro lado la relación entre la intenidade y la intenidade onora e la ia que la obtenida en el apartado anterior: ( β β ) 0 0 Sutituyendo la intenidade por la relación entre la ditancia, e depeja la ditancia a la que e epezaría a no oír al coro. ( β β ) d 0 0 d d d d ( β β 0 ) ( 0 54) d 369,79 Septiebre 03. Pregunta A.- Un altavoz eite onido coo un foco puntual. A una ditancia d, el onido e percibe con un nivel de intenidad onora de 30 db. Deterine: a) El factor en el que debe increentare la ditancia al altavoz para que el onido e perciba con un nivel de intenidad onora de 0 db. b) El factor en el que debe increentare la potencia del altavoz para que a la ditancia d el onido e perciba con un nivel de intenidad onora de 70 db. Dato: Ubral de audición, o 0 W a. La intenidad de un onido, depende de la potencia de la fuente eiora y de la ditancia a ella. 8

9 P 4 r Para una ia fuente a do ditancia diferente: P 4 r : Coparando P 4 r r r La intenidad de un onido, tabién e puede relacionar con el nivel de intenidad onora con que e percibe (β). β 0log β 0 o 0 o Aplicando a do intenidade diferente, producida por la ia fuente: β 0 β 0 β β o 0 0 : Coparando 0 0 β 0 β 0 o 0 0 La relacione obtenida periten obtener otra relación entre la intenidade y el nivel de intenidad onora. r r β β β β r : 0 0 r 0 r 0 0 Sutituyendo por lo dato: β β 0 r 30 0 r 0 d 0 r 0 d b. En ete apartado no piden la potencia de la fuente para que a la ia ditancia, auente el nivel de intenidad onora. rabajando de fora análoga al apartado a): P P 4 d P : : Coparando 4 r P P 4 d eniendo en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior entre la intenidad y el nivel de intenidad onora: P P β β β β P 0 0 P 0 : P 0 β β P P P P P Junio 03. Pregunta A.- Una onda tranveral, que e propaga en el entido poitivo del eje X, tiene una velocidad de propagación de 600 y una frecuencia de 500 Hz. Deterine: a) La ínia eparación entre do punto del eje X que tengan un defae de 60º, en el io intante 9

10 b) El defae entre do elongacione, en la ia coordenada x, eparada por un intervalo de tiepo de do iléia de egundo. Paráetro de la onda: v 600 f 500 Hz ω f 500 rad 000 rad a. El defae entre do punto en un io intante viene dado por: φ ωt kx + φo ωt kx + φo k x x k φ φ k x x 3 0, k 5 3 ( ) ( ) ( ) x k ω v b. El defae entre do elongacione, en la ia coordenada x, eparada por un intervalo de tiepo viene expreado por: ( ωt kx + φ ) ( ωt kx + φ ) ω ( t t ) ω t φ o o 000 rad φ ω t 0 rad Modelo 03. Pregunta B.- La función ateática que repreenta una onda tranveral que avanza por una cuerda e y ( x, t) 0,3 en( 00 t 0,4 x + φ o ), donde toda la agnitude etán expreada en unidade del S. Calcule: a) La eparación entre do punto cuya diferencia de fae, en un deterinado intante, e de /5 radiane. b) La diferencia de fae entre do vibracione de un io punto del epacio eparada por un intervalo de tiepo de 5. a. Para un io intante de tiepo, la diferencia de fae entre do punto e: φ φ 00 t 0,4 x + φ 00 t 0,4 x + φ 0,4 x x 0,4 ( ) ( ) ( ) x φ o o o o φ x 5 0,5 0,4 0,4 b. Para un intervalo de tiepo, la diferencia de fae de un io punto viene dado por: φ φ φ 00 t 0,4 x0 + φo 00 t 0,4 x0 + φo 00 t t 00 φ 00 t rad ( ) ( ) ( ) t Septiebre 0. Pregunta B.- Una onda arónica tranveral de frecuencia angular 4 rad e propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 c, en la dirección poitiva del eje X. En el intante inicial t 0, en el extreo de la cuerda x 0, u elongación e de +,3 c y u velocidad de ocilación e de 7 c. Deterine: a) La expreión ateática que repreenta la onda. b) El prier intante en el que la elongación e áxia en x 0. a. La expreión ateática de una onda tranveral que e propaga en la dirección poitiva del eje X e: y x, t A en ω t k x + ( ) ( ) El núero de onda (k) e obtiene a partir de la velocidad propagación (v 0,4 ) y de la frecuencia angular (ω 4 rad ). ω 4 k 3,4 rad v 0,4 La aplitud y el defae inicial e calculan planteando un itea con la poición y velocidad de ocilación en el intante inicial y en el origen de epacio (y(0,0) 0,03 ; v(0,0) 0,7 ). φ o 0

11 v dy dt y ( 0,0) A en ( ω 0 k 0 + φ ) A enφ 0, 03 o o ( x, t) Aωco( ωt kx + φ ) v( x, t) Aωco( ω 0 k 0 + φ ) Aωcoφ 0, 7 o o o A enφo 0,03 0,03 Aenφ Dividiendo: o Aωcoφo 0,7 0,7 Aωcoφo φ o arctg 0, ,8 A 0,03 enφo ( ) rad 0,03 en 0,8 0,03 tgφo ω Conocido todo lo paráetro de la onda e utituyen en la ecuación. y x, t 0,03en 4 t 3,4 x + 0,8 ( ) ( ) b. Se pide calcular el tiepo que ha de paar para que e cupla y(0, t) A ( 0, t) 0,03en ( 4 t 3, ,8) 0,03en ( 4 t + 0,8) 0, 03 y ( 4 t 0,8) en + 4 t + 0,8 arcen t 0,06 Junio 0. Pregunta A.- En una cuerda e genera una onda arónica tranveral de 0 c de aplitud, velocidad de propagación 5 - y frecuencia 30 Hz. La onda e deplaza en el entido poitivo del eje X, iendo en el intante inicial la elongación nula en la poición x 0 a) Ecriba la expreión ateática que decribe dicha onda i en t 0 y x 0 la velocidad de ocilación e poitiva. b) Calcule la velocidad y aceleración áxia de un punto 'de la cuerda. a. Ecuación de una onda arónica tranveral que e propaga en el entido poitivo del eje X e: y ( x, t) A en ( ω t k x + φ o ) Dato: A 0 c 0, v 5 f 30 Hz La frecuencia perite calcular la velocidad angular ω f rad El núero de onda e puede calcular a partir fe la longitud de onda (), y eta conocida la velocidad y la frecuencia. k f 30 : k v v v v 5 f f Sutituyendo en la ecuación: y ( x, t) 0, en ( 60 t x + φ o ) Para calcular la fae inicial e tiene en cuenta que y(0, 0) 0 y que v(0, 0) 0. φo 0 rad y( 0,0) 0, en ( φo ) enφo 0 : φo rad inicial. Para dicernir cual de la do correponde a lo dato, e tiene en cuenta el valor de la velocidad dy ( ) ( x, t) x, t Aω co( ω t k x φ o ) v ( 0,0) Aω co( ω 0 k + φo ) Aωcoφo v + dt Si φo 0 v( 0,0) Aωco0 Aω Aω > 0 Si φo v 0,0 Aωco Aω Aω < ( ) ( ) 0

12 El defae inicial e nulo y la ecuación de la onda e: y x, t 0, en 60 t x ( ) ( ) b. v( x, t) 0, 60 co( 60 t x) co( 60 t x) v vax co( 60 t x) a ( x, t) v ax La aceleración e obtiene derivando la velocidad repecto al tiepo. ( x, t) dv dt Aω en ( ω t k x) 0, ( 60) en ( 60 t x) 70 en ( 60 t x) ( 60 t x) a aax en a ax 70 Junio 0. Pregunta.B- La potencia onora del ladrido de un perro e aproxiadaente W y dicha potencia e ditribuye uniforeente en toda la direccione. Calcule: a) La intenidad y el nivel dé intenidad onora a una ditancia de 0 del lugar donde e produce el ladrido. b) El nivel de intenidad onora generada por el ladrido de 5 perro a 0 de ditancia de lo io. Suponga que todo lo perro eiten u ladrido en el io punto del epacio.. Dato: ntenidad ubral. o 0 W 3 P P 0 w 7 w a. 7,96 0 S 4r 4 0 Nivel de intenidad onora (β): β 0log 7 7,96 0 0log o 0 59 db b. La potencia de lo cinco ladrido e: 3 3 P P 5 0 w 7 w P 5 0 9,95 0 S 4r ,95 0 β 0log 0log 60 db o 0 Modelo 0. Pregunta B.- Una onda inuoidal con una aplitud de,5 y una frecuencia de 00 Hz viaja a una velocidad de propagación v 00 / en la dirección poitiva del eje X y ocila en la dirección del eje Y. En el intante t 0 la elongación e áxia y poitiva en el punto x +3. a) Calcule la longitud de onda,, y el núero de onda, k, de la onda. b) Deterine la expreión ateática que repreenta la onda. A,5 ; f 00 Hz ; v 00 v 00 a. f 00 k rad b. La expreión ateática de una onda arónica que e deplaza en el entido poitivo de x e: y A en ( ω t k x + φ o ) ω f rad

13 ( 00 t x ) y,5 en + φ o Para calcular la fae inicial e tiene en cuenta que para t 0; y A,5 en x 3.,5,5 en ( φ o ) ; en ( φo 3) ; φ o 3 7 φ o + 3 La expreión ateática de una onda arónica queda: 7 y,5 en 00 t x + Septiebre 0. Problea A.- Una onda arónica que e propaga en el entido poitivo del eje X tiene una aplitud de c, una longitud de onda de 4 c y una frecuencia de 8 Hz. Deterine: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La fae inicial abiendo que para x 0 y t 0 la elongación e y + c y la velocidad poitiva. c) La expreión ateática de la onda, coo una función de x y t. d) La ditancia ínia de eparación entre do punto que tienen un defae de / 3 radiane. a. v f 0,04 8 0,3 b. y ( x, t) A en ( ωt kx + φ o ) ; y( 0,0) A en ( ω 0 k 0 + φo ) A enφo dy v + dt ( x, t) Aω co( ωt kx φ o ); v( 0,0) Aω co( ω 0 k 0 + φo ) Aω coφo Aplicando lo dato del enunciado: y ( 0,0) 0.0 0,0 enφo : φo arcen φo rad : 6 5 φo rad 6 Para dicernir cual de lo do defae e el que correponde a la onda propueta, e tiene en cuenta que la velocidad inicial e poitiva. Para φ o rad ; v ( 0,0) Aω co > Para φ o rad ; v ( 0,0) Aω co < eniendo en cuenta que la velocidad inicial e poitiva, el defae inicial e: φ o rad 6 c. y ( x, t) A en ( ωt kx + ) φ o ω f rad 8 6 rad ; k y ( x, t) 0,0 en 6t 50x + 6 0,04 50 φ 6 6 φ 3 3 x 6, d. φ φ 6t 50x + 6t 50x + 50( x x ) 50 x 3

14 Junio 0. Cuetión A.- Una onda tranveral de aplitud A 5 c que e propaga por un edio aterial tarda en recorrer una ditancia de 50 c, y u punto á próxio de igual fae ditan entre i 5 c. Deterine: a) la expreión ateática de la función de onda i en el intante t 0, la elongación e el origen, x 0, e nula. b) La aceleración de un punto de la onda ituado en x 5 c, en el intante t. a. oando coo poitivo el entido de deplazaiento de la onda: y f ( x, t) A en ( ω t k x + φ o ) Aplitud: A 5 0 ϕ o (defae inicial): Para t 0, x 0 y 0 y f ( 0,0) A en ( ω 0 k 0 + φo ) 0 ; φo 0 rad en φo 0 : φo rad Núero de onda (k): núero de longitude de onda que hay en una ditancia. Entre do punto en igual fae, e decir, con igual elongación, velocidad y aceleración, la ditancia ínia entre ello e la longitud de onda (). k 8 rad 5 0 Velocidad angular (ω): e puede obtener de u relación con el nuero de onda. k ω : k ω k : k : ω v k v v v v ω 50 0 rad ω 8 rad Sutituyendo lo dato en la expreión, e obtiene la ecuación de la onda. y f ( x, t) 5 0 en ( t 8 x) o y f ( x, t) 5 0 en ( t 8 x + ) b. Por definición, la aceleración e la derivada egunda de la poición repecto al tiepo. y ( x, t) A en ( ω t k x + φ o ) y ( x, t) Aω co ( ω t k x + φ o ) y ( x, t) Aω en ( ω t k x + φo ) ω A en ( ω t k x + φo ) ω y y a(, 0'5 ) y (, 0'5) ω y(, 0'5) ( 0'5) 5 0 en ( 8 0'5) 5 0 en 0 0 y, (, 0'5 ) ω y(, 0'5) ω 0 0 a Utilizando la otra expreión e obtiene idéntico reultado. Junio 0. Cuetión B.- Un altavoz eite con una potencia de 80 W. Suponiendo que el altavoz e una fuente puntual y abiendo que la onda onora on eférica, deterine: a) La intenidad de una onda onora a 0 del altavoz. b) A qué ditancia de la fuente el nivel de intenidad onora e de 60 db? Dato: ntenidad ubral o 0 W. a. La intenidad de una onda onora viene deterinada por la potencia y la poición. P P 80 W 0,064 S 4R 4 0 4

15 b. El nivel de intenidad onora e: 6 W β 0 log ; 60 0 log ; 0 - o 0 Conocida la intenidad y la potencia e calcula la poición (R). P P P 80 ; R 53 S 4R Modelo 0. Problea B. Un punto aterial ocila en torno al origen de coordenada en la dirección del eje Y egún la expreión: y 5 en t + (y en c, t en ). 3 4 originando una onda arónica tranveral que e propaga en el entido poitivo del eje X. Sabiendo que do punto ateriale de dicho eje que ocilan con un defae de radiane etán eparado una ditancia ínia de 30 c, deterine: a) La aplitud y la frecuencia de la onda arónica. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expreión ateática de la onda reultante. d) La expreión de la velocidad de ocilación en función del tiepo para el punto aterial del eje X de coordenada x 90 c, y el valor de dicha velocidad en el intante t 0. a. La aplitud y frecuencia de la onda coincide con la aplitud y frecuencia del oviiento ocilatorio. A 5 0 ω rad f 3 f 6 b. El increento de fae en un intante dado e: φ φ φ ωt kx + φo ωt kx + φo k x x k eniendo en cuenta ( ) ( ) ( ) x k φ x ; x 0,3 0,6 φ Conocida la longitud de onda, e calcula la velocidad de propagación. v f 0,6 0, 6 c. y ( x, t) A en ( ωt kx + ) El núero de onda (k) e calcula con la longitud de onda 0 k 0,6 3 φ o El defae inicial coincide con el defae inicial del oviiento ondulatorio y ( 0) 5 en en ; φ o rad y Sutituyendo lo dato e obtiene la ecuación de la onda 0 0,05 en t x ( x, t) 5

16 0 y 0'9, t 0,05 en t 0'9 + 0,05 en t dy v 0 9, t 0,05 co t co t dt d. ( ) ( ) Para t 0 47 v ( 0 9,0 ) co 0 co 0,05 Septiebre 00 F.M. Cuetión B.- Una onda arónica tranveral de longitud de onda e deplaza en el entido poitivo del eje X. En la gráfica e uetra la elongación (y) del punto de coordenada x 0 en función del tiepo. Deterine: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La expreión ateática que decribe eta onda. a. De la gráfica anexa e pueden obtener el periodo y la aplitud. El periodo e el tiepo que tarda en copletar un ciclo (línea roja). La aplitud e la áxia elongación, o áxia eparación del origen A 0,8 ; 3 La velocidad de propagación de una onda e: v t 3 b. La ecuación de una onda arónica tranveral que e deplaza en el entido poitivo de X e: y x, t A en ω t k x + ϕ ( ) ( ) rad ω ω ; 3 k o tabién k 3 v 3 El defae inicial (ϕ) e calcula abiendo que para x 0 y t 0, y 0. y ( 0,0) 0 0,8 en ϕ en ϕ 0 : ϕ 0 3 Sutituyendo lo dato en la expreión e obtiene la ecuación de la onda. y ( x, t) 0 0,8 en t x 3 Junio 00 F.M. Problea A.- Una onda arónica tranveral, de periodo, e propaga con una velocidad de 60 c/ en una cuerda tena orientada egún el eje X, y en entido poitivo. Sabiendo que el punto de la cuerda de abcia x 30 c ocila en la dirección del eje Y, de fora que en el intante t la elongación e nula y la velocidad con la que ocila poitiva y en el intante t,5 u elongación e 5 c y u velocidad de ocilación nula, deterine: a) La frecuencia y la longitud de onda. b) La fae inicial y la aplitud de la onda arónica. c) La expreión ateática de la onda arónica. d) La diferencia de fae de ocilación de do punto de la cuerda eparado un cuarto de longitud de onda. a. La frecuencia (ν) e invera al periodo y a la velocidad de la onda. ν 0,5Hz 6

17 b. La ecuación de una onda tranveral e: y x, t A en v 60 0 v ν ;, ν 0,5 ( ) ( ω t k x + ϕ ) ω rad 5 k, 3 5 y ( x, t) A en t x + ϕo 3 y 0 5 x 0,3 ; t : : 0 A en 0,3 + ϕo ; A en + ϕo 0 ; A en + ϕo 0 v > ϕ ϕ o 0: o en + ϕ o 0 + ϕo : ϕo y ( x, t) A en t x ó y ( x, t) A en t x Para diferenciar entre lo defae e tiene en cuenta el dato de que la velocidad e poitiva. dy ( ) ( x, t) 5 v x, t A ωco t x ± dt 3 v ( 0'3,) Aω co 0,3 ± Aω co ± 5 3 o Si el defae e poitivo: v ( 0'3,) Aω co + Aω co < 0 Si el defae e negativo: v ( 0'3,) Aω co Aω co 0 > 0 Concluión el defae e ϕ o rad Para calcular la aplitud e tiene en cuenta el egundo dato, que uponeo relativo al punto que ocupa la poición 0,3 ( y( 0'3,'5 ) 0,05 ), que no infora que edio egundo depué, (/4), el punto e encuentra con velocidad nula y por tanto con elongación áxia negativa, lo cuál preenta una inconitencia con el prier dato que no inforaba que para t, el punto etaba en la poición de equilibrio y con velocidad poitiva, por lo que un cuarto de periodo depué, debería etar con velocidad nula y elongación áxia poitiva. Coniderando el dato coo ( 0'3,'5 ) 0,05 y, la aplitud e A 0,05 c. La ecuación de una onda tranveral e: y( x, t) A en ( ω t k x + ϕo ) Según lo dato obtenido en lo apartado anteriore la ecuación de la onda e: 5 y ( x, t) 0,05 en t x 3 d. La diferencia de fae entre do punto ( y ) de la cuerda: ϕ ϕ ϕ ω t k x + ϕo ω t k x + ϕo k x x k ( ) ( ) x 7

18 , x 0,3 4 4 ϕ 5 k x 0,3 rad 3 Junio 00 F.G. Cuetión A.- a) Ecriba la expreión ateática de una onda arónica tranveral unidienional, y y (x, t), que e propaga en el entido poitivo del eje X. b) Defina lo concepto de la iguiente agnitude: aplitud, periodo, longitud de onda y fae inicial. y x, t A en ω t k x + ϕ a. ( ) ( ) b. Aplitud (A): E la áxia elongación con que vibran la partícula del edio. abién e puede definir coo la ditancia áxia que hay entre un punto de la onda y u poición de equilibrio. En el itea internacional e exprea en etro. Periodo (): E el tiepo que tarda el oviiento en repetire. abién puede definire coo el tiepo trancurrido entre do punto equivalente de la ocilación o ciclo. En el S.. e exprea en egundo. Longitud de onda (): La longitud de una onda e la ditancia que recorre la onda en el intervalo de tiepo trancurrido entre do áxio conecutivo. En el S.. Se exprea en etro. Fae inicial (ϕ): ndica el etado de vibración (ó fae) en el intante t 0 de la partícula que ocila. En el S.. e exprea en radiane. Junio 00 F.G. Cuetión B.- El onido producido por la irena de un barco alcanza un nivel de intenidad onora de 80 db a 0 de ditancia. Coniderando la irena coo un foco onoro puntual deterine: a) La intenidad de la onda onora a ea ditancia y la potencia de la irena. b) El nivel de intenidad onora a 500 de ditancia. Dato: ntenidad ubral de audición o 0 W β Nivel de intenidad onora. a. La intenidad,, de la onda y el nivel de intenidad onora, nivel acútico,β, etán relacionado por la expreión: β 0 log o Aplicando lo dato del enunciado e puede calcular la intenidad de la onda onora a ea ditancia. 4 W 80 0 log : 8 log + : log 4 : 0 0 M La intenidad de una onda en un punto e la cantidad de energía por unidad de tiepo que atraviea la unidad de uperficie colocada en ee punto. E : E P P P( Potencia) : 4 t S t S : : P 4 r ,6 W 4 r b. eniendo en cuenta que la potencia de la fuente e contante, e calcula la intenidad a 500, conocida la intenidad, e calcula el nivel de intenidad onora. P P 0,6 8 W 4 0 S 4 r β 0 log 0 log 46 db o 0 8

19 Modelo 00. Problea B.- Un punto aterial ocila en torno al origen de coordenada en la dirección del eje Y, egún la expreión: y en t + (y en c; t en ), 4 originando una onda arónica tranveral que e propaga en el entido poitivo del eje X. Sabiendo que do punto ateriale de dicho eje que ocilan con un defae de radiane etán eparado una ditancia ínia de 0 c., deterine: a) La aplitud y la frecuencia de la onda arónica. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expreión ateática que repreenta la onda arónica. d) La expreión de la velocidad de ocilación en función del tiepo para el punto aterial del eje X de coordenada x 80 c., y el valor de dicha velocidad en el intante t 0. Solución a. Para hallar la aplitud de la onda no fijao ipleente en la ecuación dada, de donde A c Para hallar la frecuencia de la onda volveo a fijarno en la ecuación dada ω - ω f f 4 0,5 4 8 b. Para hallar la longitud de onda bata dare cuenta de que al decirno que do punto que ocilan con un defae de radiane etán eparado una ditancia ínia de 0 c e coo decir 0 c 40 c Conocida la longitud de onda y la frecuencia, la velocidad e: v f 40 c 0,5 5 c c. La expreión ateática que repreenta la onda e y ( x, t) A en ( ω t k x + ) núero de onda k la ecuación inicial, onda: 40 c 0 φ o, donde k e el, y ϕ o e el defae inicial, fijando otra vez la atención obre φ o, utituyendo lo valore conocido e obtiene la expreión ateática de la y 4 0 ( x, t) en t x + d. La expreión para la velocidad e obtiene derivando la expreión de y(x, t) repecto del tiepo. d y( x, t) d v y en t x + co t x + co t x + dt dt Para x 80 c 7 v y ( x 80, t) co t 80 + co t Para t v y ( x 80, t 0) co 0 co Septiebre 009. Problea A.- Una onda arónica tranveral de aplitud 8 c y longitud de onda 40 c e propaga en una cuerda tena, orientada en el entido poitivo del eje X, con una velocidad de 70 c/. El punto de la cuerda de coordenada x 0 (origen de la perturbación) ocila en la dirección del eje Y y tiene en el intante t 0 una elongación de 4 c y una velocidad de ocilación poitiva. Deterine: a) Lo valore de la frecuencia angular y del núero de onda. b) La expreión ateática de la onda. 9

20 c) La expreión ateática del oviiento del punto de la cuerda ituado a 70 c del origen. d) La diferencia de fae de ocilación, en un io intante, entre do punto de la cuerda que ditan entre í 35 c. La ecuación de una onda arónica tranveral viene dada por la expreión: y A en ( ω t ± k x + φ o ) donde A e la aplitud, ω e la velocidad angular, k e el núero de onda y ϕ o e el defae inicial a. A 0,08 ;,4. El núero de onda e puede calcular por la expreión: 0 k rad,4 7 conocido el núero de onda e calcula la velocidad angular. ω 0 rad v : k v k 0,7 k 7 rad b. Para exprear la ecuación de la onda e neceita conocer el defae inicial el cuál e puede calcular con lo dato del enunciado (Para t 0; x 0; y 4 c 4 0 ) aplicado a la ecuación general (el igno de la fae e ecoge negativo debido a que la onda e propaga en el entido poitivo del eje OX en φo : enφo φo rad 7 6 Conocido el defae la ecuación de la onda queda: 0 y 8 0 en t x c. Para x 70 c : y 8 0 en t y 8 0 en t 6 d φ to x + to x + x x φ x 0,35 rad 7 7 ( x x ) Junio 009. Cuetión.- Una fuente puntual eite un onido que e percibe con nivel de intenidad onora de 50 db a una ditancia de 0. a) Deterine la potencia onora de la fuente. b) A qué ditancia dejaría de er audible el onido? Dato: ntenidad ubral de audición 0 0 W - a. Mediante la definición de nivel onoro, e puede calcular la intenidad del onido. 50 β 0 log : 50 0 log : W o 0 eniendo en cuenta que la potencia P del foco e reparte en efera concéntrica y que el edio e iótropo: Po 7 4 : P o 4r 4 0 0,6 0 W 4r b. El onido dejara de oíre a una ditancia tal que la intenidad en ee punto ea enor o igual a la intenidad ubral P 6 o P,6 0 o : r o 36,7 4r 4 o 4 0 0

21 Modelo 009. Cuetión.- La potencia de la bocina de un autoóvil, que e upone foco eior puntual, e de 0, W.. a) Deterine la intenidad de la onda onora y el nivel de intenidad onora a una ditancia de 8 del autoóvil. b) A qué ditancia dede el autoóvil el nivel de intenidad onora e enor de 60 db? Dato: ntenidad ubral de audición W - a. Suponeo un edio iótropo con onda eférica. En cualquier punto ituado a una ditancia r del foco que eior, la intenidad valdrá: P Po 0,W 4,4 0 w S 4r 4 8 La intenidad onora e. db 0 log o 4,4 0 0 log 0 8db b. Se calcula la ditancia en la cual la intenidad de la onda onora e 60 db. eniendo en cuenta que la intenidad e inveraente proporcional a la ditancia, en cualquier punto á alejado, la intenidad erá enor. 60db 0 log o : 6 log 6 :0 o 0 : w Po 4r : r Po , r > 89, Septiebre 008. Problea B.- Una onda arónica tranveral e propaga en una cuerda tena de gran longitud y etá repreentada por la iguiente expreión: y 0,5 en ( t x + ) (x e y en etro y t en egundo) Deterine: a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. b) La diferencia de fae en un io intante entre la vibracione de do punto eparado entre í x. c) La diferencia de fae de ocilación para do poicione de un io punto de la cuerda cuando el intervalo de tiepo trancurrido e de. d) La velocidad áxia de vibración de cualquier punto de la cuerda. a. La longitud de onda e obtiene a partir del núero de onda, y ete por coparación de la ecuación general (y A en (ω t k x + ϕ o )) con la ecuación de la onda. : ω rad y Aen ( ω t k x + ϕo ) : k y 0,5 en ( t x + ) ϕ rad o El núero de onda (k) e define coo el núero de longitude de onda que hay en una ditancia k : k La velocidad de propagación de la onda e: v El periodo e calcula a partir de la velocidad angular:

22 ω : ω v b. Para un punto cualquiera u fae e: ϕ ( x, t) t x +, para otro punto ituado a del anterior u fae e: ϕ( x +, t) t ( x + ) +. La diferencia de fae entre ello erá: ϕ ϕ( x +, t) ϕ( x, t) t ( x + ) + ( t x + ) rad c. Para un punto cualquiera u fae e: ϕ ( x, t) t x +, para ee io punto, en el intante t + u fae e: ϕ ( x, t + ) ( t + ) x +. La diferencia de fae entre ello erá: ϕ ϕ( x, t + ) ϕ( x, t) ( t + ) x + ( t x + ) 4 rad d. La velocidad de vibración de in punto viene dado por la expreión: dy d v 0,5 en ( t x + ) 0,5 co t x + co t x + dt dt ( ) ( ) ( ) La velocidad áxia e alcanza cuando la coponente trigonoétrica valga. v áx Junio 008. Problea A.- Se realizan do edicione del nivel de intenidad onora en la proxiidade de un foco onoro puntual, iendo la priera de 00 db a una ditancia x del foco, y la egunda de 80 db al alejare en la ia dirección 00 á. a) Obtenga la ditancia al foco dede donde e efectúan la edicione. b) Deterine la potencia onora del foco. Dato: ntenidad ubral de audición o 0 W/ a. La intenidad de una onda e inveraente proporcional al cuadrado de la ditancia. r r Para calcular la intenidad e tiene en cuenta la ecala decibélica β β 0 log : 0 0 : 0 o 0 β o 0 Donde β e el nivel de intenidad de onido edido en decibelio, e la intenidad e o e la intenidad ubral. β db w r db β 0 w r x + 00 x Sutituyendo en la relación: ( x 00) x : x + 00 x : 0 x x : x, b. P Aplicando a la ª experiencia: P 4 r 0 4, 5,5 W 4r Modelo 008. Cuetión.- La expreión ateática que repreenta una onda arónica en unidade S e:

23 y 4 ( x, t) 0'04 en t x Deterine: a) La frecuencia de la onda y u velocidad de propagación. b) La ditancia ínia entre do punto que vibran con una diferencia de fae de 0. a. Coparando la expreión ateática de la onda arónica con la ecuación general, e pueden deducir lo valore de la velocidad angular (ω) y del nuero de onda (k). Conocida la velocidad angular e calcula la frecuencia (ν) y conocida la velocidad angular y el núero de onda e calcula la velocidad de propagación de la onda (v). y y( x, t) A en ( ω t k x) ( x, t) 0'04 en t ω rad : x k rad 4 4 Frecuencia: ω ω ν ν Hz( ) Velocidad de propagación: ω ω k v 8 v k 4 b. Se denoina fae (ϕ) al paréntei (ωt kx). Su valor deterina el etado de vibración o fae del oviiento. Para un intante t o la diferencia de fae entre do punto viene dada por: ϕ ϕ ϕ ( ω t o k x ) ( ω t o k x ) k ( x x ) ϕ 0º rad ϕ rad : x 3 3 ϕ k x k rad '67 Septiebre 007. Cuetión.- Una onda inuoidal tranveral en una cuerda tiene un período de 0, y e propaga en el entido negativo del eje X a una velocidad de 30 /. En el intante t 0, la partícula de la cuerda en x 0 tiene un deplazaiento poitivo de 0,0 y una velocidad de ocilación negativa de /. a) Cuál e la aplitud de la onda? b) Cuál e la fae inicial? c) Cuál e la áxia velocidad de ocilación de lo punto de la cuerda? d) Ecriba la función de onda correpondiente. a. La ecuación general de una onda que e deplaza en entido negativo del eje x e: y(x, t) A en (ωt + kx + ϕ o ) Utilizando lo dato conocido para la condicione iniciale (t 0; x 0 y(0, 0) +0 0 ): y(0, 0) 0 0 A en ϕ o Si derivao la ecuación de poición de la onda repecto del tiepo, obteneo la expreión de la velocidad en función de x y t. dy( x, t) v( x, t) A co( ω t + k x + ϕo ) ω Aω co( ω t + k x + ϕo ) dt Utilizando el valor de la velocidad para condicione iniciale (t 0; x 0 v(0, 0) /): v 0, 0 Aω co ϕ ( ) o La velocidad angular (ω) e obtiene ediante u relación con el periodo: ω 0 rad 0' Sutituyendo en la expreión de la velocidad inicial: 3

24 v ( 0, 0) 0A co ϕo Dividiendo la ecuación de la poición entre la de la velocidad, obteneo una expreión que no perite calcular el valor de la fae (ϕ o ). 0'0 A en φ o,84 rad : 0'3 tgφo φo arctg ( 0'3) 0A coφo 5,98 rad Para dicernir cual de lo do defae iniciale correponde a la onda e tiene en cuenta que en condicione iniciale, la poición e poitiva y la velocidad negativa. φo,84 rad y A en,84 > 0 v Aωco,84 < 0 φo 5,98 rad y A en 5,98 < 0 v Aωco5,98 > 0 eniendo en cuenta lo igno de la poición y velocidad inicial, el defae inicial e: φ o,84 rad Conocido el defae, la expreión de la poición perite calcular la aplitud. 0'0 0 0 A en ϕ o A 0'067 en,84 b. ϕ o,84 rad c. El valor áxio de la velocidad ( v( x, t) Aω co( ω t + k x + ϕ )) vale, y por tanto queda: v áx e alcanza cuando el coeno Aω 0'067 0 rad ' d. Función de onda: y(x, t) A en (ωt + kx + ϕ o ) ω 0 Donde: ω 0 rad/; k ; φ o,84 rad v 30 3 y x, t 0'067 en 0 t + x +,84 3 ( ) Junio 007. Problea A.- Un punto aterial ocila en torno al origen de coordenada en la dirección del eje Y, egún la expreión: y en t + ( y en c; t en ), 4 originando una onda arónica tranveral que e propaga en el entido poitivo del eje X. Sabiendo que do punto ateriale de dicho eje que ocilan con un defae de radiane etán eparado una ditancia ínia de 0 c, deterine: a) La aplitud y la frecuencia de la onda arónica.. b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda. c) La expreión ateática que repreenta la onda arónica. d) La expreión de la velocidad de ocilación en función del tiepo para el punto aterial del eje X de coordenada x 80 c, y el valor de dicha velocidad en el intante t 0. Solución a. La aplitud y la frecuencia de la onda coinciden con la aplitud y frecuencia del oviiento ocilatorio. A 0,0 La frecuencia de la onda e calcula a partir de la velocidad angular. ω f f 0,5 Hz 4 8 b. Para hallar la longitud de onda bata dare cuenta de que al decirno que do punto que ocilan con un defae de radiane etán eparado una ditancia ínia de 0 c e coo decir o 4

25 0 c 40 c 0,4 Otra fora eria teniendo en cuenta que el increento de fae en un intante dado e: φ φ φ ( ωt kx + φo ) ( ωt kx + φo ) k( x x ) k x eniendo en cuenta k φ x ; x 0, 0,4 φ Conocida la longitud de onda y la frecuencia e calcula la velocidad de propagación de la onda. v f 0,4 0,5 0,05 c. El núero de onda e: k 5 0,4 La expreión ateática que repreenta la onda e: y ( x, t) 0,0en t 5 x + 4 d. La expreión para la velocidad e obtiene coo la derivada de la función y repecto del tiepo. dy v( x, t) 0,0 co t 5 x + co t 5 x + dt Para x 0,8 v ( 0 8, t) co t 5 0,8 + co t Para x 0,8 y t 0 v ( 0 8, 0) 0co 0 co 0 0 Modelo 007. Cuetión.- Una fuente onora puntual eite con una potencia de 80 W. Calcule: a) La intenidad onora en lo punto ditante 0 de la fuente. b) A qué ditancia de la fuente el nivel de intenidad onora e de 30 db? Dato: ntenidad ubral de audición 0 0 W a) La intenidad de un onido puede edire ediante la energía que tranporta por unidad de uperficie, e exprea en W/. P P 80 6'4 0 W S 4R 4 0 ( ) b) El voluen acútico ß de un onido de intenidad expreado en Bel e define coo: β log (Bel) o Coo la unidad reultaba deaiado grande, e utiliza el decibelio (décia parte del Bel) deignado db que ha quedado coo unidad para la edida del voluen acútico. Aí pue, el voluen acútico ß de un onido de intenidad expreado en decible e define coo: β 0 log (db) o Siendo o la intenidad ubral de audición para el oído huano. Aplicando a lo dato propueto e depeja la intenidad: 5

26 30 0 log : 0 d 3 log : 0 0 P P P S 4R 4 d P W 0'8 4 0W : 0 W. Modelo 007. Problea A.- La expreión ateática que repreenta una onda arónica que e propaga a lo largo de una cuerda tena e: y(x, t) 0,0en 0 t + x +, ( ) donde x e y etán dado en etro y t en egundo. Deterine: a) El entido y la velocidad de propagación de la onda. b) La frecuencia y la longitud de onda. c) La diferencia de tae de ocilación entre do punto de la cuerda eparado 0 c. d) La velocidad y la aceleración de ocilación áxia de un punto de la cuerda. a) La ecuación general de una onda arónica e; y(x, t) A en(ωt kx + ϕ o ), donde A e la aplitud, ω la velocidad angular, k el núero de onda y ϕ o el defae inicial. Coparando la expreión general con la expreión propueta: A 0 0 ; ω 0 rad/; k rad/; ϕ o rad. Sentido. El valor de k negativo indica que el entido e de propagación e el negativo en la r i. dirección x ( ) Velocidad de propagación. Por definición: rad 0 k ω v p 5 k rad ω El igno negativo e debido al entido de deplazaiento b) La frecuencia e obtiene a partir de la velocidad angular, y la longitud de onda del núero de onda. rad ω 0 ω ν ν 5 Hz( ) rad rad k rad En el calculo de la longitud de onda, no tiene entido incluir el igno del núero de onda pueto que e trata de una longitud c) La diferencia de fae de ocilación en un intante dado (io tiepo) entre do punto viene dado por la diferencia entre u fae. El ángulo de fae de una onda e ( ω t k x + ϕo ), por lo tanto la diferencia de fae e: ϕ ϕ ϕ ( ω t k x + ϕo ) ( ω t k x + ϕo ) k( x x ) k x Sutituyendo por lo valore nuérico: ϕ k x { x 0 c 0' } rad 0' 0'4 rad ( x, t) d y d d) Por definición: v ( x, t) dt dt o + φ o La velocidad erá áxia cuando co(ωt kx + ϕ o ). v( x, t) A 0'0 0 rad 0' ax ω rad d v ( ) ( x, t) d a x, t ( A ω co ( ω t k x + ϕo )) A ω en( ω t k x + ϕo ) dt dt ( A en ( ω t k x + φ )) A ω co( ω t k x ) 6

27 La aceleración erá áxia cuando en(ωt kx + ϕ o ). a x, t ax A ω 0'0 0 ( ) ( ) Septiebre 006. Problea B.- Una onda arónica tranveral e deplaza en la dirección del eje X en entido poitivo y tiene una aplitud de c, una longitud de onda de 4 c y una frecuencia de 8 Hz. Deterine: a) La velocidad de propagación de la onda. b) La fae inicial, abiendo que para x 0 y t 0 la elongación e y c. a. c) La expreión ateática que repreenta la onda. d) La ditancia ínia de eparación entre do partícula del eje X que ocilan defaada 3 rad. v 0,5 f 8 b. y ( x, t) A en ( ωt kx + ) 0 04 v v 0 3 0'5 φ o Aplicando la condicione iniciale: y 0,0 A en ω 0 k 0 + φo A en φ c. y ( x, t) A en ( ωt kx + ) ( ) ( ) o y ( 0,0) A en φo 0,0 0,0 en φ o en φo φ o ω f 8 6 rad y k ( x, t) 0,0 en 6 t 50 x + d. La ecuacione del oviiento de do partícula del eje on: y ( ) ( 3 x, t A en ωt kx + ) y x, t A en ωt kx 3 + La diferencia de u fae e: eniendo en cuenta que ( ) ( ) 3 φ o 3 0,04 50 ( ωt kx + 3 ) ( ωt kx + 3 ) k( x x ) k x φ ϕ 3 3 rad 0,04 3 x x 6, Junio 006. Cuetión.- Una onda onora que e propaga en el aire tiene una frecuencia de 60 Hz. a) Decriba la naturaleza de la onda onora e indique cuál e la dirección en la que tiene lugar la perturbación, repecto a la dirección de propagación. b) Calcule el periodo de eta onda y u longitud de onda. Dato: velocidad del onido en el aire v Una onda onora en una onda de preión, e decir e una perturbación periódica de la preión o la denidad del edio por el que e propaga. Adeá la dirección en que e produzca la perturbación coincide con la dirección de propagación c) Calcule el periodo de eta onda y u longitud de onda. El periodo e la invera de la frecuencia, por tanto 7

28 ν 60 Hz 3'85 0 La longitud de onda () la calculao a partir de la velocidad de propagación. v v 3'85 0 '3 Modelo 006. Cuetión.- Razone i on verdadera o fala la afiracione iguiente: a) La intenidad de la onda onora eitida por una fuente puntual e directaente proporcional a la ditancia a la fuente. b) Un increento de 30 decibelio correponde a un auento de la intenidad del onido en un factor 000. a. Falo: Si eo fuera aí a ayor ditancia el onido e oiría con ayor intenidad, y abeo que no e aí. De hecho, la intenidad de una onda onora eitida por una fuente puntual e inveraente proporcional a la ditancia a la fuente puntual elevada al cuadrado, pue una cantidad contante de energía e tiene que repartir en la uperficie de una efera de radio igual a la ditancia a la fuente y eta uperficie e proporcional al radio al cuadrado. P 4R b. Verdadero: La forula que relaciona la intenidad en decibelio con la intenidad en unidade S e: ( db) 0 log ( S.. ) o Donde o e la intenidad ubral del oído huano en unidade S. Si ( db) ( db) 30dB (diferencia de 30dB) ( S) ( S) ( S) ( S) 30 db 0 log 0 log 0 log log 0 o o A Por la propiedade de lo logarito teneo que log A log B log B ( S) / o ( S) ( S) log log 3 0 ( S) / o ( S) ( S) 3 o 000 Septiebre 005. Problea B. Dada la expreión ateática de una onda arónica tranveral que e propaga en una cuerda tena de gran longitud: y 0,03en (t x), donde x e y etán expreado en etro y t en egundo. a) Cuál e la velocidad de propagación de la onda? b) Cuál e la expreión de la velocidad de ocilación de la partícula de la cuerda? cuál e la velocidad áxia de ocilación? c) Para t 0, cuál e el valor del deplazaiento de lo punto de la cuerda cuando x 0,5 y x? d) Para x l, cuál e el deplazaiento cuando t 0,5? a. La expreión general de la onda arónica tranveral e y A en ωt kx ( ) dentificando con la ecuación propueta y 0,03en (t x) ω k Por definición 8

29 k iendo la longitud de onda, el periodo y ω. La onda avanza con velocidad contante recorriendo la ditancia en el tiepo. k ω v k ω Sutituyendo lo dato del enunciado ω v k b. La velocidad de ocilación de la partícula e la derivada de u poición repecto del tiepo. dy d ( A en( ωt kx) ) Aω co( ωt kx) 0,06 co( t x) dt dt La áxia velocidad e cuando el coeno vale. dy 0'06 dt c. Para t 0 el deplazaiento del punto en la poición x 0,5 e: y x 0'5, t 0 0'03 en 0 0'5 0'03 en 0'03 Máx ( ) ( ) Para t 0 y x, el deplazaiento e: ( x, t 0 ) 0'03 en( 0 ) 0'03 en( ) 0 y d. Para x y t 0 5, el deplazaiento e: ( x, t 0'5 ) 0'03 en( 0'5 ) 0'03 en 0 0 y Junio 005. Cuetión.- El nivel de intenidad onora de la irena de un barco e de 60 db a 0 de ditancia. Suponiendo que la irena e un foco eior puntual, calcule: Dato: ntenidad ubral de audición l o 0 W. a) El nivel de intenidad onora a K de ditancia. b) La ditancia a la que la irena deja de er audible. a. Lo priero e paar el nivel de intenidad al itea internacional. dβ donde o 0 W 0 log o e depeja toando exponenciale dβ o 0 dβ 0 6 W o Una vez conocida la intenidad en el itea internacional de unidade, e calcula la potencia de 9

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