REPASO CONCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓN NORMAL.

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1 REPASO COCEPTOS BÁSICOS DE ESTADÍSTICA. DISTRIBUCIÓ ORMAL. Éste es un breve repaso de conceptos básicos de estadística que se han visto en cursos anteriores y que son imprescindibles antes de acometer la Inferencia Estadística. Simbología: x i Variable estadística (Valor que puede tomar un dato, altura, peso, etc. ) f i Frecuencia absoluta (úmero de veces que se repite un dato ) úmero total de datos. f Media x xi f i i Distribución de los Datos. Los datos de una variable estadística se distribuyen alrededor de la media de forma que en una distribución normal encontraremos aproximadamente el mismo número de datos más grandes que la media que los que son más pequeños, con mayor cantidad de datos cerca de la media. En una gráfica con la variable x i en el eje OX y la f i en el eje OY se obtendría algo parecido a esto. Varianza (v ó también σ ). Sirve para medir lo agrupados o dispersos que se encuentran los datos respecto a la media. Se utiliza poco aunque os la podéis encontrar en el enunciado de algún problema y conviene por tanto saber lo que es. Se calcula mediante las fórmulas: fi xi x xi fi v o mejor aún, porque es más sencilla v x Desviación típica ó estándar (σ) Sirve también para medir la dispersión de los datos y es la que más se utiliza; no es mas que la raíz cuadrada de la varianza. ormalmente este dato os lo darán, pero se calcula obviamente con las fórmulas: f x x x i i i fi ó también y de forma más habitual x Cuanto más pequeña es la desviación típica σ más agrupados estarán los datos alrededor de la media. En cualquier caso en una distribución ormal aproximadamente tendríamos: En el intervalo x, x 68,3% de datos En el intervalo x, x 95,5% de datos En el intervalo x 3, x 3 99,7% de datos Coeficiente de Variación de Pearson. Para poder comparar la dispersión de dos Distribuciones Estadísticas diferentes no basta con conocer la desviación típica de cada una sino que depende también de la media de cada distribución. Se define entonces el coeficiente de variación de Pearson de la siguiente forma: C v x

2 Tablas estadísticas. Aunque vosotros no lo tendréis que hacer porque os lo darán, para calcular todos los parámetros anteriores se suelen utilizar unas tablas parecidas a la que sigue: Datos relativos al dinero que llevan en el bolsillo alumnos de un curso de bachillerato. x i f i x i f i x i f i 6 x (4.133) SUMAS C v Si la distribución es ormal, aproximadamente un 68.3% de los alumnos llevan entre.14 y Tipificación de la variable. Supongamos que un alumno ha sacado un 6 en Matemáticas y un 7 en Historia. En cuál de las dos materias tiene mejor nota en comparación con el resto de compañeros de su grupo?. La respuesta depende de la media del grupo en cada una de las materias y de la desviación típica que tenga cada una. Para tener una medida objetiva que podamos comparar se utiliza la variable tipificada o normalizada de cada una de ellas con la fórmula: x x z obteniendo el valor en cada caso sabremos en cuál tiene mejor puntuación comparativamente (obsérvese que si el valor x está por encima de la media "x" la variable tipificada z sale positivo y si está por debajo negativo) DISTRIBUCIÓ ORMAL. Una distribución de media x y desviación típica σ diremos que es ormal y se representará x, si es simétrica respecto a la media x y cumple los parámetros anteriormente descritos (cuando el número de datos es lo suficientemente elevado, la mayoría de las distribuciones se parecen mucho a la normal). La gráfica de una distribución de este tipo tiene una forma muy característica y se llama Curva ormal o Campana de Gauss.. DISTRIBUCIÓ ORMAL TIPIFICADA. Si tipificamos la variable x, y utilizamos la nueva variable z la distribución también es ormal de media 0 y desviación típica σ=1, es decir será una distribución (0,1) cuya gráfica tiene la misma forma y es simétrica respecto al Eje OY Esta gráfica está tabulada y el área que hay bajo la curva para distintos intervalos de la variable z viene dada por una tabla que se os dará y que deberéis utilizar para resolver los ejercicios y, por supuesto, también en los exámenes.

3 USO DE LA TABLA ORMAL. Para utilizar la tabla ormal hay que tener en cuenta: a) En la fila y columna correspondiente se obtiene el valor de la probabilidad de que z sea menor o igual que un cierto valor k ( desde hasta k ) que es el número que debemos buscar en la tabla z k). En la tabla este número k sólo se puede buscar si es positivo. Por ejemplo: P ( z 1,35) 0,91 P ( z,9) 0, 9981 Esa probabilidad es igual al área comprendida bajo la curva en el intervalo deseado b) Si la z recorre todo el eje real desde hasta se obtiene toda el área bajo la curva y ese área debe ser 1 ya que en ese caso la probabilidad de que z esté entre y es el suceso seguro P ( z ) 1 c) La gráfica es simétrica respecto a OY, luego a izquierda y derecha del eje OY hay la misma área por tanto: P ( z 0) 0, 5 y P ( z 0) 0, 5 d) Hay que tener en cuenta que la tabla siempre nos da la probabilidad de que z k pero basta observar la gráfica para comprender que: z k) 1 z k) Por ejemplo: P ( z 0,63) 1 z 0,63) 10,7357 0, 643 e) Si el número -k es negativo, por simetría podremos calcular el área de una zona equivalente con k positivo. z k) z k) Por ejemplo: P ( z 1,4) z 1,4) 1 z 1,4) 1 0,895 0, 1075 f) Si queremos calcular la probabilidad de que z esté comprendida entre dos valores a z b), debemos calcular el área entre a y b. Esto es una simple resta del área hasta b menos el área hasta a. a z b) z b) z a) Por ejemplo: P ( 0,75 z 1,5) z 1,5) z 0,75) 0,933 0,7734 0, 98 Otro ejemplo: P ( 1,5 z,3) z,3) z 1,5) z,3) z 1,5) P ( z,3) 1 z 1,5) 0, ,894 0, 883

4 EJERCICIOS CO UA DISTRIBUCIÓ ORMAL 1.- Pedro mide 175 cm. y reside en una ciudad donde la estatura media es de 160 cm. con una desviación típica de 0 cm. Arturo mide 180 cm. y vive en una ciudad donde la estatura es de 170 cm. y la desviación típica es de cm. Cuál de las dos personas es más alta respecto a sus conciudadanos? z PEDRO 0, 75 z 0, 67 Pedro es más alto. ARTURO 0.- Un alumno ha sacado un 6 en Matemáticas y un 7 en Lengua. En cuál de las dos asignaturas ha sacado mejor nota respecto a sus compañeros de curso si en Mates la media ha sido de un 6,5 con una varianza de 4 y en Lengua la media ha sido de 7,5 con una desviación típica de,1? Sol: Un poquito mejor en Lengua, aunque por debajo de la media 3.- Las precipitaciones anuales en una región son, en media, de 000 l/m con una desviación típica de 300 l/m. Calcular, suponiendo una distribución normal, la probabilidad de que este año la lluvia no supere los 800 l/m P ( x 800) P z z, 0,996 99,6% El número de hijos por mujer en España sigue una distribución normal con una media de 1,3 y desviación típica de 0,8 hijos. Qué porcentaje de mujeres españolas tiene como máximo dos hijos? Sol: El 80,9% tiene dos hijos o menos 5.- Una empresa instala 0000 bombillas. La duración de una bombilla sigue una distribución normal con media de 305 días y desviación típica de 40 días. a) cuál es la probabilidad de que una bombilla determinada dure menos de 365 días? P ( x 365) z, ) 0, , 3% b) Cuántas bombillas se espera que se fundan antes de un año? º bombillas fundidas 93, 3% de , La duración media de un lavavajillas es de años y su desviación típica es de años. Sabiendo que la vida útil de un lavavajillas se distribuye normalmente. a) Hallar la probabilidad de que al adquirir un lavavajillas dure más de años. P ( x ) P z z 0) 0,5 b) Hallar la probabilidad de que dure más de 19 años. 19 P ( x 19) P z z ) 1 z ) 1 0,977 0, En una muestra de 1000 personas de una determinada población, resultó que la talla media era de 170 cm. con una desviación típica de 10 cm. Sabiendo que la talla se distribuye normalmente, calcula el número de personas que miden: a) Menos de 180 cm. P ( x 180) z 1) 0, , 13% º personas 84, 13% de , b) Más de m. P ( x 00) z 3) 1 z 3) 1 0, , , 135% º personas 0,

5 8.- En un examen de Filosofía realizado por 65 alumnos de º de bachillerato se han obtenido unos resultados que siguen una distribución ormal (6,). Cuántos alumnos han aprobado el examen? Sol: Aprobaron 45 alumnos 9.- Los resultados de una prueba de selección a 00 personas indicaron que la distribución de puntuación era normal, con media de 80 puntos y desviación típica de 6 puntos. a) Cuántos examinados han obtenido una nota entre 70 y 90 puntos. P ( 70 x 90) 1, 67 z 1, z 1, z 1, z 1, 1 z 1, = 0,955 - [1-0,955] = 0,905 º personas 0, b) Si se eligen al azar dos personas, calcular la probabilidad de que ambas tengan mas de 86 puntos. Para una sola persona: P ( x 86) z 1) 1 z 1) 1 0,8413 0, 87 Para dos personas: P P 86 P 86) 0,87 0,87 0, 05 ( Una fábrica debe producir recipientes de 10 l. de capacidad. En la cadena de producción se observa que los recipientes no salen todos iguales pero tienen una capacidad media de 10 l. con una desviación típica de 0,1 l. Un recipiente será defectuoso y será rechazado si su capacidad no está comprendida entre 9,90 l. y 10,17 l. Qué probabilidad tiene un recipiente extraído al azar de ser defectuoso? Calculamos primero la probabilidad de que el recipiente sea correcto: Correcto ) 9,90 x 10,17) 1 z 1,7) z 1,7) z 1) z 1,7) 1 z 1) = 0,9554 [1-0,8413 ] = 0,7967 Luego la probabilidad de que sea defectuoso será : Def)= 1-0,7967 = 0, Cuando el servicio militar era obligatorio se tallaba (medían la talla) a todos los mozos, obteniéndose en un determinado año una distribución ormal de media 168 cm. y una desviación típica de 10 cm. a) Calcular la probabilidad de que un mozo al azar midiera entre 1,68 m y 1,90 m. Sol: 0,4861 b) Se libraban de ir a la mili por cortos de talla todos aquellos cuya altura fuera inferior a metro y medio. Si en el llamamiento había mozos. Cuántos se libraron por esa causa? Sol: Se libraron mozos 1.- La distribución de puntos obtenidos por los participantes en unas oposiciones es una normal de media 110 puntos y desviación típica puntos. a) Cuál es la probabilidad de que un opositor obtenga de puntos en adelante? P ( x ) z 1) 1 z 1) 1 0,8413 0,87 b) Para obtener plaza en la oposición hay que conseguir 100 o más puntos. qué porcentaje de opositores aprueba? P ( x 100) z 0, z 0, 0, ,86% c) Si suponemos que sólo hay plazas para el 5% que ha obtenido mejor puntuación. Cuántos puntos como mínimo habrá sacado un opositor que haya conseguido plaza? Debemos calcular la z c que deja al 75% por debajo y al 5% por encima. Es decir, debe darse que: P ( z z c ) 0, 75 Si buscamos en la tabla, la probabilidad más próxima a 0,75 es 0,7486, que corresponde a una z c =0,67. Con este valor de z calculamos el valor de x que le corresponde. x x x 110 z 0,67 x 10,05 10 Habrá sacado de 10 puntos en adelante

6 13.- La renta anual de las familias españolas sique una curva normal es media de con una desviación típica de a) Qué probabilidad tenemos de que escogida una familia al azar resulte tener una renta superior a ? Sol: 0,1056 b) Qué porcentaje de familias viven con menos de anuales? Sol: 9,51% c) Si en España se estima que viven unos 16 millones de familias, Cuántas pasan el año con menos de anuales? Sol: familias d) Cuántas familias ganan entre y al año? Sol: familias e) Cuánto dinero debes ganar al año si pretendes estar entre el 1% más rico del país? Sol: Una determinada facultad oferta 40 plazas para acceso de nuevos alumnos en 1º. Si sabemos que se han presentado 00 solicitudes con unas notas de Selectividad que siguen una distribución ormal de media 8 y desviación típica 1,3, conseguirá plaza un alumno cuya nota de selectividad ha sido un 9? Sol: o, pero se quedará cerquita. Igual se queda en lista de espera.- En una distribución (0,5) encontrar un intervalo simétrico respecto a la media (con la media en el centro) de forma que la probabilidad de que un determinado valor de la variable x se encuentre dentro de dicho intervalo sea del 88% Si nos fijamos en la simetría de la función, estamos buscando un intervalo en la curva ormal Tipificada (0,1) de la forma (-z c, +z c ) en el que se encuentre el 88% de los datos. Debemos calcular, por tanto, la z c que deja al 94% (88%+6%) por debajo. Es decir, debe darse que: P ( z z c ) 0, 94 Si buscamos en la tabla, la probabilidad más próxima a 0,94 es: 0,9394 ó 0,9406, que corresponde a una z c =1,555 (hemos hecho la media entre 1,55 y 1,56) El intervalo tipificado que buscamos es (-z c, +z c ), es decir z 1,555, 1,555 Con estos valores de z calculamos el valor de x que le corresponde a cada uno. x x z x 0 1,555 1,5 5 x 0 1,555 7,775 5 x 1,5, 7, Se sabe que el gasto semanal de los jóvenes de 18 años sique una curva normal de media 45 y una desviación típica de. a) Calcular el porcentaje de jóvenes que se gasta entre 40 y 60 a la semana. Sol: 47,06% b) Encontrar cuánto dinero se gasta a la semana el 0 % que menos consume. x x x 45 z c 0,84 z 0,84 x 3,40 Sol: El 0% que menos consume se gasta menos de 3,40 c) Encontrar un intervalo simétrico respecto a la media (con la media en el centro) en el que se encuentre el consumo del 95% de los jóvenes. Sol: El 95% de los jóvenes gasta entre,60 y 74,40