UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS

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1 UNIDAD 3 : ELEMENTOS GEOMÉTRICOS 3.A.1 Características de un lugar geométrico 3.A ELEMENTOS DE GEOMETRÍA PLANA Se denomina lugar geométrico a todo conjunto de puntos que cumplen una misma propiedad o que se rigen por una misma ley. Esta propiedad o ley se representa con una ecuación. Uno de los problemas fundamentales de la Geometría Analítica es encontrar la ecuación que representa al lugar geométrico que se está estudiando y comprobar que las coordenadas de cualquier punto del mismo satisfacen la ecuación. Para determinar dicha ecuación se tiene en cuenta el punto genérico dotado de cierta ley de movimiento, de modo que se lo considere como generador del lugar geométrico. Mediante una igualdad se expresa la condición que asegura que dicho punto puede generar el lugar geométrico en cuestión. En dicha condición deben aparecer: las constantes, llamadas parámetros, cuyos valores numéricos determinan la posición de un punto en el lugar geométrico. las variables, coordenadas del punto genérico. Una vez determinada la ecuación se realizan las transformaciones necesarias para poder trabajar de acuerdo a los datos suministrados. 3.A.2 Relaciones entre puntos del Es necesario establecer un sistema de referencia, en este caso cartesiano, con el objeto de ubicar sin ambigüedad cualquier punto del. Cada punto así referenciado está asociado a un vector con origen en el origen de coordenadas y extremo en el punto mencionado. a) Distancia entre dos puntos : Sean dos puntos y, para determinar la distancia que existe entre ellos se establecen los vectores asociados y y se calcula la resta entre ellos el módulo de ese vector diferencia es la distancia entre los puntos A y B. Prof. Liliana Collado Página 1

2 Ejemplo: en la gráfica los vectores y son los asociados a los puntos A y B respectivamente, el vector diferencia es, que es equipolente al ubicado con origen en el origen de coordenadas. b)punto medio entre dos puntos dados: La distancia entre los puntos A y B es. A M B Sean y dos puntos del. El punto M es punto medio entre ellos si se cumple que la distancia de A a es la mitad de la distancia entre A y B. Por propiedades del módulo o norma de un vector: Y como tienen la misma dirección, se puede asegurar que uno es la combinación lineal del otro (son linealmente dependientes). Entonces Ubicados en un sistema cartesiano, los puntos A,B,M, están asociados a vectores con origen en el A origen de coordenadas, por lo que se puede establecer: M B O Y es el vector asociado a M, por lo que las coordenadas de M son Ejemplo: el punto medio entre los puntos y es Prof. Liliana Collado Página 2

3 3.A.3 La recta como lugar geométrico en Se puede determinar una recta en el : a) con dos puntos distintos. Sean y dos puntos distintos del cartesiano. El vector representa la dirección de la recta L que contiene a los puntos dados, por lo tanto cualquier punto de dicha recta,cuyo vector asociado es verifica: En dicha ecuación (x,y) es el vector asociado al punto genérico y se escribe como combinación lineal de los otros dos vectores: el asociado a uno de los puntos dados, A, y t el parámetro que indica cuántas veces debe aumentar/disminuir el módulo del vector dirección, así como en qué sentido de la recta respecto del punto A se ubica el punto genérico. b) Con un punto y la dirección de la recta Punto Sean y el punto y el vector director respectivamente. Sea otro punto cualquiera de la recta L, entonces el vector es combinación lineal del vector y se puede expresar como Si la recta contiene a P y a X, la ley del movimiento para pasar de P a X viene dada por: Que es la ecuación vectorial de la recta L. Existen otras formas de expresar la misma recta: La ecuación paramétrica: Sustituyendo los vectores de la ecuación vectorial por sus componentes queda: Operando de acuerdo a lo expresado: Prof. Liliana Collado Página 3

4 Estas dos ecuaciones están en función del parámetro t, que es el que da la ubicación de la coordenada. Por lo tanto se denomina ecuación paramétrica Si de cada una de las ecuaciones paramétricas despejamos el parámetro, todas las expresiones serán equivalentes, por lo que se tendrá: Llamada ecuación continua de la recta. Operando en la ecuación continua: E igualando a cero: Queda un término en x, un término en y, dos términos independientes, si se agrupan y ordenan: Se puede comparar con la siguiente expresión : general de la recta. llamada ecuación Se tiene: Sabemos también que el vector director de la recta indica la pendiente de la misma, que es la inclinación de la recta respecto del eje x positivo. En la gráfica se observa que el vector director de la recta r es y que forma el mismo ángulo que la recta r. Si se traza el triángulo rectángulo cuyas medidas de los catetos corresponden a las componentes del vector, se puede calcular la tangente del ángulo, que es equivalente a la pendiente m de la recta r respecto del eje x positivo. Prof. Liliana Collado Página 4

5 La pendiente de la recta es un parámetro ya que es un valor constante que indica la ubicación de cualquier punto (x,y)perteneciente a la recta, entonces: Operando y ordenando queda: Los términos, son constantes, porque están establecidos por el punto dado y la inclinación de la recta, se pueden agrupar y la ecuación queda: El nuevo término indica la ordenada al origen,, corte de la recta con el eje y del sistema cartesiano de referencia: A esta ecuación se la denomina ecuación explícita de la recta Ejemplo: expresar las distintas ecuaciones de la recta que contiene al punto P(1,4) y tiene vector director (2,-3) Ec. Vectorial Ec. Paramétricas Ec. continuas Ec general Ec explícita Ejemplo: dada la recta, hallar un vector normal a la misma Para hallar un vector normal a la recta debemos expresar el vector director de la misma y un vector perpendicular a éste, es normal a la recta. Prof. Liliana Collado Página 5

6 La ecuación dada es general entonces y las componentes del vector director entonces son Un vector perpendicular a éste debe verificar que el producto escalar entre ellos sea cero.. Sustituyendo por las componentes del vector director y resolviendo el producto escalar: pendiente de la recta perpendicular a L, luego, el vector director de la recta L perpendicular a L es normal a la recta L. 3.A.4 Posiciones relativas entre rectas en Dos rectas en el pueden ser: a) secantes o b) paralelas. a) rectas perpendiculares Dos rectas en son perpendiculares si sus vectores directores verifican que el producto escalar es cero. Sean y dos rectas cuyos respectivos vectores directores son. y son perpendiculares si Si están dadas por ecuaciones generales:, su vector director es, su vector direcor es Ejemplo: Comprobar que las rectas y son perpendiculares. Veremos si verifican, son perpendiculares. Si están dadas por ecuaciones explícitas:, su pendiente es, su pendiente es Prof. Liliana Collado Página 6

7 Para ser perpendiculares deberán verificar que Si están dadas por ecuaciones vectoriales: Para asegurar que son perpendiculares se debe verificar: b) rectas paralelas Dos rectas en el son paralelas si sus vectores directores son combinaciones lineales entre sí. Si están dadas por ecuaciones generales: Si son paralelas: y y su vector director es y su vector director es Despejando t en ambas ecuaciones, si las rectas son paralelas: Si están dadas por ecuaciones explícitas:, su pendiente es, su pendiente es Las pendientes son iguales, si las rectas son paralelas Si están dadas por ecuaciones vectoriales: En el,, todas las rectas perpendiculares a una dada, son paralelas entre sí. Prof. Liliana Collado Página 7

8 Ejemplo: hallar una recta paralela a que pase por el punto El vector dirección es Así que la recta paralela que pasa por P se puede expresar vectorialmente: Si son ecuaciones explícitas: La recta q para leal que pasa por P es y, lo que se expresa Como ecuación general será 3. A. 5 Algunas posiciones especiales Puntos simétricos respecto de una recta dada Dado un punto, es el punto simétrico de P respecto de una recta L si ambos pertenecen a una recta perpendicular a L, denominada N, de modo que el punto de intersección entre L y M sea el punto medio entre P y P. Ejemplo: hallar el punto simétrico de respecto de la recta L: Expresamos en forma explícita: Primero buscamos la expresión de la recta perpendicular, cuya pendiente es entonces Como P pertenece a esta recta,, entonces la recta Ahora halaremos el punto de intersección de L y M, igualando sus ecuaciones ya que el punto verifica ambas. El punto es Q Como última acción se expresa Q como punto medio entre P y P Prof. Liliana Collado Página 8

9 Despejando: Ángulos de dos rectas El ángulo determinado por dos rectas L y M es el ángulo que determinan sus vectores directores, y respectivamente. Para ello recordamos el producto escalar entre dos vectores y despejando el coseno del ángulo dado. Distancia de un punto a una recta Dada la recta, la distancia de P a L es y el punto Ejemplo: hallar la distancia del punto a la recta L de ecuación Mediatriz de un segmento: Dados los puntos y, se define mediatriz M del segmento como la recta perpendicular a la recta que contiene a y a y también al punto medio del segmento. Prof. Liliana Collado Página 9

10 3.B ELEMENTOS DE GEOMETRÍA DEL ESPACIO TRIDIMENSIONAL 3.B.1 La recta en el espacio Sea y un vector director En el gráfico el vector PQ tiene el módulo, el sentido y la dirección de v. Cualquier punto de la recta L, genérico, se puede expresar vectorialmente: A partir de ello se expresa paramétricamente: Despejando t, se expresa la ecuación cartesiana de la recta: Y la ecuación general: Números directores de la recta El vector director de la recta es, entonces las componentes del vector son los números directores de la recta. Prof. Liliana Collado Página 10

11 Donde es el ángulo que forma la recta con el x-y, es el ángulo que forma la recta con el y-z y es el ángulo que forma la recta con el x-z. Los números directores son proporcionales a los cosenos directores. Ángulo entre rectas El ángulo entre dos rectas en el espacio tridimensional es el ángulo que forman sus vectores directores Sean las rectas S con vector director y R con vector director, a partir del producto escalar entre ellos: Posiciones relativas entre rectas en el espacio Las rectas se pueden intersectar, pueden ser paralelas o pueden ser alabeadas. Dadas dos rectas: y Se forma la matriz y se forma la matriz ampliada Calculando los rangos y comparándolos: A puede tener rango 1 o 2 (no puede tener rango 0 porque no existiría la recta) A puede tener rango 1,2, o 3. Observaremos todos los posibles casos: Si Prof. Liliana Collado Página 11

12 Si Las rectas son alabeadas Las rectas son paralelas Las rectas se intersectan Las rectas coinciden Ejemplo: Dadas las rectas a)estudiar la posición relativa de las mismas Expresando L vectorialmente: Planteamos las matrices Calculamos los rangos, escalonando llegamos no son paralelas, son alabeadas. no se intersectan y b)hallar la ecuación de una recta que sea perpendicular a ambas Calculo el vector perpendicular a ambos vectores directores Este será el vector director de la recta perpendicular a ambas. Prof. Liliana Collado Página 12

13 La ecuación de esta recta N que pase por el punto se expresa: 3.B.2 Ecuación del en Existen varias formas de determinar un en el espacio tridimensional. Comenzaremos por representarlo dado un punto y dos direcciones del : Sea A un punto del y y dos vectores que indican dos direcciones distintas del mismo. Ecuación vectorial Un punto X pertenecerá al si y solo si existen si el vector de y de. es combinación lineal siendo y números reales cualesquiera. Referidos sa un sistema cartesiano siendo O el origen del sistema, por lo tanto + llamada ecuación vectorial del. También se puede expresar Ecuaciones paramétricas Igualando las componentes Ecuación cartesiana o general del Un punto (x,y,z) pertenecerá al si existen escalares y que satisfagan las ecuaciones paramétricas, y como el rango de la matriz queda: es 2, su determinante es nulo, desarrollando el determinante Prof. Liliana Collado Página 13

14 Dada la ecuación general El representado por esta ecuación estará definido por : un punto y dos vectores directores de la forma y Ejemplo: escribir las ecuaciones del que contiene al punto directores son y y cuyos vectores Ecuación vectorial Ecuaciones paramétricas Ecuación general esto significa Plano definido por tres puntos Sean A, B, C los tres puntos no alineados del Entonces es posible expresar: Y la ecuación general se podrá obtener: 3.B.2 Posiciones relativas de dos s Sean los s: Formando la matriz y la ampliada Se podrán observar los siguientes casos: Prof. Liliana Collado Página 14

15 el sistema es incompatible, lo que significa que no tienen puntos en común, son dos s paralelos. el sistema es compatible indeterminado, los s se intersectan en una recta. el sistema también es compatible indeterminado, pero ahora los s son coincidentes. Vector normal a un El vector normal a un lo define, por ello cualquier dirección del será perpendicular a dicho vector. escalar de cómo resultado cero. Sea y un punto del, por lo tanto todo vector normal al será perpendicular al vector asociado al punto P que indique la dirección del, de modo tal que el producto Comparando con la ecuación general se tiene que. Y porque representan la suma de términos independientes. Entonces el vector normal del dado por la ecuación general tiene como componentes los coeficientes de los términos lineales. Refiriéndonos a la expresión del punto y las direcciones dadas por la ecuación general se comprueba que si multiplicamos escalarmente por una dirección del, como por ejemplo el producto escalar deberá ser cero. Veamos: Prof. Liliana Collado Página 15

16 Posiciones de dos s en relación con sus vectores normales. Dos s son perpendiculares si sus vectores normales también lo son. Dos s son paralelos si sus vectores normales son paralelos. Ecuación de una recta como intersección de dos s Sean dos s y cuya intersección es la recta L. Todo punto de la recta verifica ambas ecuaciones. Sea un punto de la recta intersección un punto del que no pertenezca a la recta. Conociendo su vector normal: La ecuación continua de la recta será : Lo mismo se comprueba con el otro Para determinar un punto del se le da un valor arbitrario a una de las variables y las otras deben cumplir con la condición. Haz o familia de s Si queremos establecer la ecuación de un que también contenga a la recta intersección de otros dos s, lo que hay que entender es que su vector normal estará relacionado con los vectores normales de los otros como combinación lineal de ellos. De ese modo: cada que queramos hacer pasar por la recta mencionada deberá cumplir la siguiente condición: Considerando el primer parámetro como 1. Cada vez que varíe el valor de encontarrá la ecuación de un que contenga a la recta intersección. se Prof. Liliana Collado Página 16

17 3.B.3 Posiciones relativas de una recta y un Sea una recta L dada por la intersección de dos s Y un Formamos la matriz y la matriz ampliada Calculamos sus rangos y establecemos las comparaciones pertinentes Si y el sistema es incompatible, no tienen puntos en común, la recta es paralela al. Si y el sistema es compatible determinado, tiene solución única, lo que significa que la recta intersecta al en un punto. Si y el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones, esto es que la recta está contenida en el. Ejemplo : establecer la posición de la recta y el Habrá que encontrar un punto que satisfaga la ecuación del, para ello reemplazamos en dicha ecuación Prof. Liliana Collado Página 17

18 por sus equivalentes paramétricos y hallamos el valor del parámetro Para existe un punto común a la recta y al, lo que significa que se intersectan. El punto es y la respuesta a lo pedido es Ángulo entre recta y Sea L la recta que forma cierto ángulo con el π. Sabemos que el vector normal al,, identifica a dicho, por lo tanto el vector director de la recta,, y determinan un ángulo que es el complementario del que forman la recta y el.por lo tanto, hallando el ángulo a través del producto escalar: Se obtiene, siendo el ángulo buscado. Ángulo entre dos s Los vectores normales a dichos s forman el mismo ángulo que el que forman los s, entonces volvemos sobre el concepto de producto escalar y resolvemos. Prof. Liliana Collado Página 18

19 Distancia de un punto a un Sea P el punto exterior al, la distancia al es la medida del segmento de perpendicular que existe entre el punto P y el pie de la perpendicular, A. La recta perpendicular tiene la misma dirección del vector normal del, n, por lo que, sabiendo que P pertenece a dicha recta ya podemos expresar su ecuación. Posteriormente se halla el punto A, intersección entre la recta y el y se calcula la distancia entre dos puntos, todos temas ya desarrollados. Distancia entre dos rectas Dadas las ecuaciones de las rectas L y S, determinamos la ecuación de una recta que sea perpendicular a ambas y que contenga a un punto P ya determinado por la ecuación, al ser perteneciente a una de ellas. Hallamos la intersección de la recta perpendicular con la otra recta y así obtenemos el otro punto Q. Posteriormente calculamos la distancia entre dichos puntos. Todo lo que se necesita ya ha sido desarrollado anteriormente. Prof. Liliana Collado Página 19

20 TRABAJO PRÁCTICO N 3.A : ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Parte A: desarrollo en clase Teórica 1- Hallar el ángulo que forman las rectas y 2- Hallar los ángulos interiores del triángulo cuyos vértices son: 3- Hallar la posición relativa de las rectas y el 4- Hallar las trazas: a) De la recta b) Del x+y+z=0 Prof. Liliana Collado Página 20

21 TRABAJO PRÁCTICO N 3.A : ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Parte B: desarrollo en clase Práctica 1- Dados los s de ecuaciones a) Determinar los valores de a para que los tres s pasen por una recta. b) Determinar dos puntos de dicha recta 2- Hallar la distancia del punto al 3- Calcular el ángulo que forma la recta y el 4- Hallar la ecuación del que pasa por el punto A(2,0,1) y contiene a la recta 5- Obtener las coordenadas del punto simétrico de A(1,-3,7) respecto de la recta 6- Los s y son paralelos? En cualquiera de los casos, desarrollar la argumentación. En caso de que sean paralelos hallar la ecuación de la recta paralela a ellos y que pasa por el punto (2,0,0) Prof. Liliana Collado Página 21

22 TRABAJO PRÁCTICO N 3.A : ELEMENTOS DE GEOMETRÍA Parte C: desarrollo en la carpeta individual de Trabajos Prácticos 1- Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (1,2,3) y es perpendicular al de ecuación 2x-y+3z+5=0 2- Hallar la ecuación de la recta que pasa por (1,1,1), es paralela al x-2y-z=0 Y está en el mismo que la recta 3- Dados el punto A(1,0,-1) y el 2x y + 3z=4 : a) Hallar la ecuación de la recta que pasa por A y es perpendicular al b) El punto simétrico de A respecto del c) La ecuación de la familia de s que pasa por A, son perpendiculares al y contienen al punto B(2,1,2) d) La ecuación del que pasa por A y es paralelo al 4- Decir si es verdadera o falsa la siguiente proposición, justificando con el desarrollo completo del ejercicio: Las rectas y forman un ángulo de 45º 5- Justificar quelos puntos A(1,1,1) ; B(2,0,-1) ; C(5,2,1) ; D(4,3,3) son los vértices consecutivos de un paralelogramos y obtener la ecuación del que los contiene. 6- Hallar el punto del 2x-3y+z-7=0 cuya distancia al (3,-4,3) es mínima Prof. Liliana Collado Página 22