Estudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y

Transcripción

1 CINEMÁTICA

2 CINEMÁTICA (MRU)

3 CONCEPTO DE CINEMÁTICA Estudia las propiedades geométricas de las trayectorias que describen los cuerpos en movimiento mecánico, independientemente de la masa del cuerpo y de las fuerzas aplicadas.

4 CONCEPTO DE CINEMÁTICA 1. SISTEMA DE REFERENCIA Para describir y analizar el movimiento mecánico, es necesario asociar al observador un sistema de coordenadas cartesianas y un reloj (tiempo). A este conjunto se le denomina sistema de referencia.

5 CONCEPTO DE CINEMÁTICA 2. MOVIMIENTO MECÁNICO Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo respecto de un sistema de referencia en el tiempo. Es decir, el movimiento mecánico es relativo.

6 CONCEPTO DE CINEMÁTICA 3. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO a) Móvil Es el cuerpo que cambia de posición respecto de un sistema de referencia. Si el cuerpo no cambia de posición, se dice que está en reposo relativo. b) Trayectoria Es aquella línea continua que describe un móvil respecto de un sistema de referencia. Es decir la trayectoria es relativa. Si la trayectoria es una línea curva, el movimiento se llama curvilíneo y si es una recta, rectilíneo.

7 CONCEPTO DE CINEMÁTICA c) Recorrido (e) Es la longitud de la trayectoria entre dos puntos (A y B). d) Desplazamiento ( r) Es aquella magnitud vectorial que se define como el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Se consigue uniendo la posición inicial con la posición final. Es independiente de la trayectoria que sigue el móvil. e) Distancia (d) Es aquella magnitud escalar que se define como el módulo del vector desplazamiento. Se cumple que:

8 CONCEPTO DE CINEMÁTICA 4. MEDIDA DEL MOVIMIENTO a) Velocidad media (Vm) Es aquella magnitud física vectorial, que mide la rapidez del cambio de posición que experimenta el móvil respecto de un sistema de referencia. Se define como la relación entre el vector desplazamiento y el intervalo de tiempo correspondiente.

9 CONCEPTO DE CINEMÁTICA

10 EJEMPLO Una mosca se traslada de la posición A (2;2) a la posición B(5; 6) en 0,02 segundo, siguiendo la trayectoria mostrada. Determinar la velocidad media entre A y B.

11 CONCEPTO DE CINEMÁTICA b) Rapidez Lineal (RL) (v) Es aquella magnitud física escalar que mide la rapidez del cambio de posición en función del recorrido. Se define como la relación entre el recorrido (e) y el intervalo de tiempo correspondiente.

12 CONCEPTO DE CINEMÁTICA

13 CONCEPTO DE CINEMÁTICA

14 MOVIMIENTO RECTILÍNEO El móvil describe una trayectoria rectilínea respecto de un sistema de referencia. En esta forma de movimiento, la distancia y el recorrido tienen el mismo módulo, en consecuencia el módulo de la velocidad media y la rapidez lineal tienen el mismo valor.

15 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME Es aquel tipo de movimiento que tiene como trayectoria una línea recta, sobre el cual el móvil recorre distancias iguales en tiempos iguales. Se caracteriza por mantener su velocidad media constante en módulo, dirección y sentido, durante su movimiento.

16 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME a) Velocidad (V) Es aquella magnitud física vectorial que mide la rapidez del cambio de posición respecto de un sistema de referencia. En consecuencia la velocidad tiene tres elementos: módulo, dirección y sentido. Al módulo de la velocidad también se le llama RAPIDEZ.

17 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME b) Desplazamiento ( r) El desplazamiento que experimenta el móvil es directamente proporcional al tiempo transcurrido.

18 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME c) Tiempo de encuentro (Te) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en sentidos opuestos, el tiempo de encuentro es:

19 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME d) Tiempo de alcance (Ta) Si dos móviles inician su movimiento simultáneamente en el mismo sentido, el tiempo de alcance es:

20 CINEMÁTICA (MRUV)

21 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Es un movimiento mecánico que experimenta un móvil donde la trayectoria es rectilínea y la aceleración es constante. QUÉ ES LA ACELERACIÓN? Es una magnitud vectorial que nos permite determinar la rapidez con la que un móvil cambia de velocidad.

22 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO EJEMPLO: Un móvil comienza a moverse sobre una trayectoria horizontal variando el módulo de su velocidad a razón de 4 m/s en cada 2 segundos. Hallar la aceleración.

23 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO POSICIÓN DE UNA PARTÍCULA PARA EL M.R.U.V. La posición de una partícula, que se mueve en el eje x en el instante t es.

24 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO ECUACIONES DEL M.R.U.V.

25 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO I. ACELERADO El signo (+) es para un movimiento acelerado (aumento de velocidad). II. DESACELERADO EL signo ( ) es para un movimiento desacelerado (disminución de velocidad).

26 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO OBSERVACIÓN: Números de Galileo EJEMPLO: Un móvil que parte del reposo con MRUV recorre en el primer segundo una distancia de 5m. Qué distancia recorre en el cuarto segundo?

27 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO CAÍDA LIBRE Si permitimos que un cuerpo caiga en vacío, de modo que la resistencia del aire no afecte su movimiento, encontraremos un hecho notable: todos los cuerpos independientemente de su tamaño, forma o composición, caen con la misma aceleración en la misma región vecina a la superficie de la Tierra. Esta aceleración, denotada por el símbolo g, se llama aceleración en caída libre

28 CAÍDA LIBRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Si bien hablamos de cuerpos en caída, los cuerpos con movimiento hacia arriba experimentan la misma aceleración en magnitud y dirección. El valor exacto de la aceleración en caída libre varía con la latitud y con la altitud. Hay también variaciones significativas causadas por diferencias en la densidad local de la corteza terrestre, pero este no es el caso que vamos a estudiar en esta sección. Las ecuaciones vistas en la sección anterior para un movimiento rectilíneo con aceleración constante pueden ser aplicadas a la caída libre, con las siguientes variaciones:

29 CAÍDA LIBRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Establecemos la dirección de la caída libre como el eje Y y tomamos como positiva la dirección hacia arriba.+ Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g, puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa. Reemplazamos en las ecuaciones de un movimiento uniformemente acelerado a la aceleración por -g, puesto que nuestra elección de la dirección positiva del eje Y es hacia arriba, significa que la aceleración es negativa.

30 MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO CAÍDA LIBRE En la gráfica podemos observar la dirección de los vectores aceleración y velocidad, de un objeto que ha sido lanzado hacia arriba con una velocidad inicial; en el primer instante (bola a la izquierda) notamos que el vector velocidad apunta hacia arriba, en el sentido positivo del eje Y, mientras el vector aceleración ( g ) tiene una dirección hacia abajo, en el sentido negativo del eje Y. En el segundo instante cuando el objeto cae (bola a la derecha) la dirección de la velocidad es hacia abajo en el mismo sentido del desplazamiento y el vector aceleración ( g ) mantiene su misma dirección, en el sentido negativo del eje Y.

31 CAÍDA LIBRE MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORMEMENTE VARIADO Con estas variaciones las ecuaciones resultan ser: a ( t ) = - g v ( t ) = v0 - gt

32 CINEMÁTICA (MOVIMIENTO PARABÓLICO)

33 MOVIMIENTO PARABÓLICO Llamamos movimiento parabólico a la trayectoria de un objeto que describe un vuelo en el aire después de haber sido lanzado desde un punto cualquiera en el espacio. Si el objeto tiene una densidad de masa suficientemente grande, los experimentos muestran que, a menudo, podemos despreciar la resistencia del aire y suponer que la aceleración del objeto es debida sólo a la gravedad. Como de costumbre, vamos a definir el eje x como horizontal y el +y en la dirección vertical hacia arriba. En este caso la aceleración es a = -g. j, entonces:

34 MOVIMIENTO PARABÓLICO Supongamos que un proyectil se lanza de forma que su velocidad inicial v0 forme un ángulo q con el eje de las x, como se muestra en la figura: Descomponiendo la velocidad inicial, obtenemos las componentes iniciales de la velocidad:

35 MOVIMIENTO PARABÓLICO Para deducir las ecuaciones del movimiento parabólico, debemos partir del hecho de que el proyectil experimenta un movimiento rectilíneo uniforme a lo largo del eje x, y uniformemente acelerado a lo largo del eje y. De esta forma tenemos que:

36 MOVIMIENTO PARABÓLICO Si derivamos estas ecuaciones obtenemos la aceleración y si integramos obtenemos el desplazamiento: Eliminamos el tiempo de las ecuaciones del desplazamiento x e y, obtenemos la ecuación de la trayectoria : y = ax^2 + bx +c

37 MOVIMIENTO PARABÓLICO ALCANCE MÁXIMO

38 MOVIMIENTO PARABÓLICO ALTURA MÁXIMA

39 MOVIMIENTO PARABÓLICO TIEMPO DE VUELO

40 MOVIMIENTO PARABÓLICO

41 CINEMÁTICA (MOVIMIENTO CIRCULAR)

42 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Examinaremos ahora el caso especial en que una partícula se mueve a velocidad constante en una trayectoria circular. Como veremos, tanto la velocidad como la aceleración son de magnitud constante, pero ambas cambian de dirección continuamente. Esta situación es la que se define como movimiento circular uniforme. Para el movimiento en círculo, la coordenada radial es fija ( r ) y el movimiento queda descrito por una sola variable, el ángulo, que puede ser dependiente del tiempo (t). Supongamos que durante un intervalo de tiempo dt, el cambio de ángulo es d.

43 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME La longitud de arco recorrida durante ese intervalo está dada por ds = r d. Al dividir entre el intervalo de tiempo dt, obtenemos una ecuación para la rapidez del movimiento: De donde d /dt es la rapidez de cambio del ángulo y se define como la velocidad angular, se denota por y sus dimensiones se expresan en radianes por segundo (rad/s) en el SI. En términos de w, tenemos que: v = r w

44 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Una cantidad importante que caracteriza el movimiento circular uniforme es el período y se define como el tiempo en que tarda el cuerpo en dar una revolución completa, como la distancia recorrida en una revolución es 2 r, el período T es: 2 r = v T

45 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME La frecuencia es el número de revoluciones que efectúa la partícula por unidad de tiempo, por lo general es 1 segundo. La unidad en el SI es el Hertz (Hz), que se define como un ciclo por segundo. La frecuencia es el inverso del período, esto es:

46 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME ACELERACIÓN CENTRÍPETA Aunque la rapidez es constante en el caso del movimiento circular uniforme, la dirección de la velocidad cambia, por lo tanto, la aceleración no es cero.

47 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Sea P1 la posición de la partícula en el tiempo t1 y P2 su posición en el tiempo t2. La velocidad en P1 es V1, un vector tangente a la curva en P1. La velocidad en P2 es V2, un vector tangente a la curva en P2. Los vectores V1 y V2 tienen la misma magnitud V, ya que la velocidad es constante, pero sus direcciones diferentes. La longitud de la trayectoria descrita durante t es la longitud del arco del punto P1 a P2, que es igual a r. ( donde q esta medida en radianes ), la velocidad es la derivada del desplazamiento con respecto al tiempo, de esta forma: r. = V. t

48 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Podemos ahora trazar los vectores V1 y V2 de tal forma que se originen en un punto en común: Esta figura nos permite ver claramente el cambio en la velocidad al moverse la partícula desde P1 hasta P2. Este cambio es: V1 - V2 = V Ya que la dirección de la aceleración promedio es la misma que la de V, la dirección de a está siempre dirigida hacia el centro del círculo o del arco circular en el que se mueve la partícula. Para un movimiento circular uniforme, la aceleración centrípeta es:

49 CINEMÁTICA (MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE VARIADO)

50 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Cuando el movimiento es uniformemente acelerado, existe una aceleración angular, y se define como la razón instantánea de cambio de la velocidad angular:

51 MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORMEMENTE ACELERADO Las unidades de la aceleración angular son radianes por segundo al cuadrado. Si la aceleración angular es constante, entonces la velocidad angular cambia linealmente con el tiempo; es decir, = 0 + a t donde w0 es la velocidad angular en t = 0. Entonces, el ángulo está expresado por (t) = t + ½ a t ²

52 EJERCICIOS DE REFUERZO

53 EJERCICIOS 1. (15) Dos coches partieron al mismo tiempo uno de A con dirección a B y el otro de B con dirección a A, cuando se encontraron había recorrido el primer coche 36 km más que el segundo. A partir del momento en que se encontraron. El primero tardó 1 hora en llegar a B y el segundo 4 horas en llegar a A. Hallar la distancia entre A y B. Durante Final A B 1 2 e e 2 X + 36 x 2 1 etotal = 2x + 36 (I) e 2 = V 2 x T 2 = X e 1 = V 1 x T 1 = X + 36 (II) e2 = V 1 x T 2 = (V 1 ) (1h) e1 = V 2 x T 1 = (V 2 ) (4h)

54 De la ecuación I e 2 = X = V 2 T e 1 = X + 36 = V 1 T Cuando se encuentran T 2 = T 1 = T V 2 = X T V 1 = X + 36 T Reemplazando en las ecuaciones II e 2 = X = (V 1 ) (1h) = (X + 36) (1) X + 36 = X T T= X + 36 e 1 = X + 36 = (V 2 ) (4h) = X (4) Reemplazo III T T X + 36 = ( X 2 ) (4) 4 X 2 = (X + 36) 2 (raíz) X = 36 X + 36 etotal = 2 x + 36 = 2(36) + 36 = 108 m X

55 V 0 2. (17) Un Un móvil parte del reposo con una aceleración constante de 10/ms 2, luego de transcurrir cierto tiempo, el móvil empieza a desacelerar en forma constante con a = 5 m/s 2 hasta detenerse, si el tiempo total empleado es de 30 segundos. Cuál es el espacio recorrido?. T 1 T 2 e 1 e 2 X V f Ttotal = 30 Seg T 1 + T 2 = 30 Seg X = e1 + e2 Para el primer Para el segundo Como T 1 + T 2 = 30.. (a) tramo tramo V f1 = V 0 ± a T 1 V f1 = 0 + (10) T 1 V f1 = 10 T 1 (I) e 1 = (V 0 ) (T 1 ) + 1 (10) (T 1 ) 2 2 V f = V i ± at V f = V f1 ± at 0 = 10 T 1 (5) (T 2 ). Reemplazo (I) T 2 = 2T 1 (II) T 1 + (2T 1 ) = 30 reemplazo II en a 3T 1 = 30 T1=10 T 2 = 20 Se cumple: e 2 = (V f1 ) (T 2 ) 1 (5) (T 2 ) 2 2 e 1 = 1 (10) (T 1 ) 2 2 e 2 = (10 T 1 ) (T 2 ) 1 (5) (T 2 ) 2 2 reemplazo (I)

56 Sumando e 2 y e 2 e 1 + e 2 = 10 T 1 T 2 ( 1 ) (5) T T X = 10 (10) (20) ( 1 ) (5) (20) 2 + (5) (10) 2 2 X = 1500 m

57 3. Una piedra lanzada en un planeta hacia arriba alcanza 100 m de altura, mientras que lanzada en la Tierra con la misma velocidad alcanza 20 m. Qué distancia recorrerá en dicho planeta una piedra soltada de 400 m de altura en el último segundo de su caída? Planeta X V f = 0 h hmax = 100 m Gravedad + - V f = 0 h Planeta Tierra Hmax = 20 m V V 1 V 1 Para la tierra: V f2 = V 02 ± 2ge 0 2 = (V 1 ) 2-2(g) (100) -- raiz V 1 = 20 m/s (I) V f = V 1 gt ---- V i = V 1 0 = T T = 2 Seg

58 Para el planeta X: V f2 = V 02 ± 2 ge 0 2 = (V 1 ) 2-2 (g) (100) 20 2 = 2(g) (100) g = 2m/s 2 1er Tramo e = V 0 t + 1 gt X = 0 +1 (2) (T-1) X = (T-1) (I) V f = V 0 + gt V 1 = 0+(2) (T-1) V 1 = 2 (T-1) V 1 = 2 (20 1) = 38 m/s Tomando el movimiento total: e = V1 T ± 1 gt2 400= 400=1 (2) (t)2 T = V 0= x <-- 1er tramo X V 1 T=1 Seg 2do Tramo 2do Tramo e = V 0 T ± 1 g t 2 2 e = V 1 (1) + 1 (2) (1) 2 (II) 2 e = V e=38+1= 39 m Reemplazo V1 en h

59 4. (19) Un móvil recorre la trayectoria mostrada en la figura con una rapidez constante en el tramo AB y una aceleración de 6m/s 2. Con otra rapidez constante en el tramo BC y aceleración de 5 m/s 2. Hallar el tiempo que demora en el recorrido total ABC. Para AB V = Cte a = 6m/s 2 r = 6 m Para BC V = Cte a= 5m/s 2 Sabemos: a r = v2, donde V = velocidad lineal r

60 Para AB: V 2 = a r * r VAB 2 = (6) (6) VAB = 6 m/s Para BC: V 2 = 2 = ar * r VBC 2 = 5 * 5 VBC = 5 m/s Sabemos que S =.r Para AB: 1) SAB = ( ) ( 6 ) = 6 2) SAB = e = vt 6 = VT 1 6 =( =(6)T 1 T 1 = Seg Para BC: 1) SBC = ( )) (5) = 5 2) egvt 5 = 5 1 T 1 T 2 = Seg Ttotal = T 1 + T 2 = 2 Seg

61 5. (16) Hallar las velocidades V 1, y V 2. Si lanzadas las partículas simultáneamente chocan como muestra la figura. Para 1 M. Horizontal e = V T 10 = V1 T (I) Para 2 M. Horizontal e = V T 30 = V 2 T (II)

62 En y: V x H = V 1 T + 1 (10) T 2 2 V Y = 0 V y V x Vx 180 = 1 (10) T 2 V y 2 T = 6 (III) V y III en I y II V 1 = 10 = 5 m/s 6 3 V 2 = 30 = 5 m/s 6

63 MUCHAS GRACIAS Luis David Narváez