ESTADÍSTICA I Tema 2: Algunas ideas básicas sobre inferencia estadística. Muestreo aleatorio

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1 ESTADÍSTICA I Tema 2: Algunas ideas básicas sobre inferencia estadística. Muestreo aleatorio Muestra aleatoria Conceptos probabiĺısticos básicos El problema de inferencia Estadísticos. Media y varianza muestrales. Estadísticos de orden Ley de los grandes números Función de distribución empírica. Teorema de Glivenko-Cantelli Histogramas y estimadores kernel. Moda muestral Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 1

2 El concepto de muestra aleatoria Se supone que los datos x 1,..., x n se obtienen mediante observaciones reiteradas e independientes de una cierta v.a. X. Se dice entonces que los datos constituyen una muestra aleatoria de X, o simplemente una muestra. Cuando se quiere enfatizar la naturaleza aleatoria de los datos, se representan con mayúsculas: X 1,..., X n. Desde el punto de vista probabiĺıstico, la muestra está constituida por n variables aleatorias X 1,..., X n independientes e idénticamente distribuidas (i.i.d.). Se dice a veces, en terminología estadística informal (pero muy habitual) que la muestra se extrae de una población, descrita por la v.a. X, y se llaman poblacionales a las características de interés de X (por ejemplo, los momentos de X ). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 2

3 Algunos conceptos probabiĺısticos básicos Variable aleatoria: X : (Ω, A, P) (R, B) medible Espacio muestral: El conjunto de posibles valores de X. Distribución de probabilidad de una v.a.: P X (B) = P{X B} = P({ω : X (ω) B)}), para todo B B. Función de distribución de una v.a.: F (t) = P{X t}, t R. Se dice que la distribución de X es absolutamente continua cuando existe una función f, llamada función de densidad tal que P{X B} = f (t)dt, B B, o, de manera equivalente, F (x) = x B f (t)dt, x R. Entonces, F (t) = f (t) c.t.p. respecto a la medida de Lebesgue µ L. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 3

4 X es discreta cuando existe un conjunto finito o numerable {a i } tal que P{X = a i } = (F (a i ) F (a i )) = 1. i i Media o esperanza de X : Se define por E(X ) = XdP = x dp X (x) = Ω R R x df (x), supuesto que esta integral es finita. Teorema de cambio de espacio de integración: Si g es una función real medible tal que E(g(X )) es finita, entonces E(g(X )) = g(x) dp X (x). En particular, µ := E(X ) = R R xdf (x) σ 2 := V(X ) = (x µ) 2 df (x). R Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 4

5 Momentos: De orden k respecto al origen α k = E(X k ), respecto a la media µ k = E ( (X µ) k). Principales distribuciones discretas y continuas: Algunas-distribuciones-notables.pdf Convergencias estocásticas: Convergencia débil (o en distribución), conv. en probabilidad, conv. casi segura,... ConvergenciasEstocasticas.pdf Desigualdades básicas: Desigualdad de Markov: Sea X v.a. no negativa. Entonces, para todo ɛ > 0, P{X > ɛ} E(X ). ɛ Desigualdad de Chebichev: P{ X EX > ɛ} V(X ) ɛ 2. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 5

6 Planteamiento general del problema de inferencia Las características de la v.a. X que genera los datos (por ejemplo, los momentos, los cuantiles, la distribución, etc.) se denominan momentos, cuantiles, etc. poblacionales. En general, uno de los objetivos principales de la inferencia estadística es estimar o aproximar las características poblacionales a partir de la información proporcionada por la muestra. Otras técnicas estadísticas no van orientadas directamente a aproximar el valor de una característica de interés (como por ejemplo la media), sino más bien a decidir entre dos posibles opciones acerca de ella (por ejemplo, si es mayor o menor que 1). La correspondiente metodología se denomina contraste de hipótesis. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 6

7 Interpretación estadística de la ley de los grandes números (LGN) Teorema.- Sea {X k } una sucesión de v.a.i.i.d. con media finita µ. Se verifica entonces X := n i=1 X i n c.s. µ, cuando n. (1) Este teorema se denomina a veces ley fuerte de Kolmogorov. Es uno de los resultados más importantes de la teoría clásica de la probabilidad. Utilizando la desigualdad de Chebichev se puede demostrar una versión más débil de (1) (con convergencia en probabilidad, en lugar de convergencia casi segura e imponiendo V(X i ) = σ 2 < ), llamada ley débil de los grandes números. En términos estadísticos, la ley de los grandes números establece que la media muestral es un estimador consistente de la media poblacional. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 7

8 La función de distribución empírica La función de distribución empírica asociada a la muestra X 1,..., X n se define mediante F n (t) = 1 n n 1 (,t] (X i ) i=1 Ésta es la función de distribución que corresponde a una medida de probabilidad discreta que asigna masa 1/n a cada uno de los valores X 1,..., X n. Obsérvese que, para valores prefijados de la muestra, F n es una función de distribución discreta y que para cada t fijo F n (t) es una v.a. (porque depende de los valores muestrales X 1,..., X n ). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 8

9 # Extraccion de una muestra (n=10) de una N(3,1) x = rnorm(10,mean=3,sd=2) # Representacion de la distribucion empirica: plot(ecdf(x),main="n=10",do.points=f) o también plot.ecdf(x,main="n=10",do.points=f) En el gráfico se muestran dos funciones de distribución empírica obtenidas de este modo, para n = 10 y n = 100: n=10 n=100 Fn(x) Fn(x) Estadística I (Mat/DG). Profesora: x Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio x 9

10 El teorema de Glivenko-Cantelli El estadístico de Kolmogorov-Smirnov F n F := sup F n (t) F (t) t es una manera de medir la distancia entre la función de distribución empírica F n y la función de distribución real F. Teorema.- Sean X 1,, X 2,..., X n,... v.a.i.i.d con función de distribución F. Se verifica que, cuando n, sup F n (t) F (t) 0 c.s. t La demostración de este resultado se hará en clase. Se puede demostrar además que, cuando la muestra X 1,..., X n procede de una función de distribución F continua, entonces la distribución de F n F es conocida y no depende de F. Esto se utiliza para comprobar si es plausible que un cierto modelo paramétrico F haya generado la muestra observada X 1,..., X n (test de bondad de ajuste). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 10

11 Comprobación empírica del teorema de Glivenko-Cantelli: plot(ecdf(rnorm(100)),do.points=f, main="comparacion entre Fn y F") x = seq(-3.2,3.2,0.01) lines(x,pnorm(x),col="red") Comparación entre F_n y F Fn(x) x Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 11

12 Estadísticos Cuando extraemos una muestra X 1,..., X n de X se suelen calcular algunas medidas resumen. Cualquiera de ellas se puede expresar matemáticamente como una función T = T (x 1,..., x n ) de la muestra X 1,..., X n. Sea T (x 1,..., x n ) una función cuyo dominio incluye el espacio muestral del vector aleatorio (X 1,..., X n ). Entonces la v.a. T = T (X 1,..., X n ) se denomina estadístico. La definición de estadístico es muy amplia. La única restricción es que un estadístico no puede ser función de un parámetro. Como la distribución de T se calcula a partir de la distribución de las variables X i que constituyen la muestra, la denominaremos distribución de T en el muestreo (sampling distribution). Obviamente la distribución de T (X 1,..., X n ) depende de la distribución de X y de la expresión matemática de la función T = T (x 1,..., x n ). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 12

13 El error estándar o error típico de un estadístico T es la desviación típica de su distribución en el muestreo: V(T (X1,..., X n )). (2) Como a menudo (2) depende de alguna cantidad desconocida, también se denomina error típico a una estimación de (2). Ejemplo: Si X 1..., X n es una muestra de X N(µ, σ), entonces ( ) σ X N µ, Error típico de X = n A veces sucede que T error típico (estimado) de T t de Student y conocer T y su error típico para unos datos nos permite construir intervalos de confianza para parámetros desconocidos. Por eso algunos programas de ordenador lo proporcionan como output. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 13

14 La media muestral y la media poblacional Observemos que la media muestral puede expresarse en la forma X = X = n i=1 X i n R x df n (x). Esto pone de relieve la analogía entre la media muestral y la media poblacional µ = x df (x) R Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 14

15 Otras relaciones, muy importantes, entre X y µ son 1. X es estimador insesgado o centrado de µ: 2. E( X ) = µ. V( X ) = σ2 n. La cantidad σ/ n se denomina error típico de la media muestral. 3. Ley fuerte de los grandes números: lim X = µ c.s. n Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 15

16 4. Teorema Central del Límite: n( X µ) d N(0, σ), donde el símbolo d denota convergencia en distribución (o débil) cuando n Es decir, lim n P{ n( X µ) σt} = Φ(t), donde Φ denota la función de distribución de la N(0, 1). Por tanto, para n grande se tiene P{ n( X µ) x} Φ ( x σ ), aunque las X i no tengan distribución normal. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 16

17 La varianza muestral y la varianza poblacional Una importante medida de dispersión de la v.a. X es la varianza V(X ) := σ 2 = (x µ) 2 df (x). El análogo muestral de σ 2 es la varianza muestral ˆσ n 2 = R(x X ) 2 df n (x) = 1 n (X i n X ) 2. R i=1 Puede comprobarse (ver Relación 2 de problemas) que E(ˆσ n) 2 = n 1 n σ2 y ˆσ n 2 c.s. σ 2. Frecuentemente, en lugar de ˆσ 2 n se utiliza la cuasivarianza muestral S 2 = n n 1 ˆσ2 n. Se tiene que E(S 2 ) = σ 2 y Ŝ 2 c.s. n σ2. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 17

18 Distribución empírica y estimadores kernel Obsérvese que ˆf n (t) = 1 n ( ) t Xi K = 1 nh h n i=1 = K h (t x)df n (x), R n K h (t X i ) i=1 es decir, que el estimador kernel ˆf n (t) puede considerarse como la convolución del núcleo re-escalado K h (z) = 1 h K ( z h) con la medida de probabilidad empírica F n. Intuitivamente esto significa que la distribución correspondiente a la función de densidad ˆf n puede considerarse como una versión suavizada de la distribución empírica. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 18

19 Teorema.- Sean X 1, X 2,..., v.a.i.i.d. con distribución común absolutamente continua de densidad f. Supongamos que (a) el núcleo K es una función de densidad acotada; (b) h = h n 0 y que nh n ; (c) la densidad f es acotada y continua en un punto t. Entonces ˆf n (t) La demostración se hará en clase. P f (t). Este resultado indica que los estimadores kernel pueden utilizarse para estimar la función de densidad de las v.a. X i. Hay versiones mucho más generales de este resultado. Aquí se ha elegido ésta por la sencillez de su demostración. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 19

20 Aplicación de los estimadores kernel para definir la moda muestral Sea X una v.a. con densidad f. Supongamos que f es continua y que tiene un único máximo. Se define entonces la moda de f como el valor θ que verifica f (θ) = max f (x). x Sea ˆf n una sucesión de estimadores kernel basados en una función núcleo K que es una densidad tal que lim z ± K(z) = 0. Se define una moda muestral como un valor θ n que verifica ˆf (θ n ) = max x ˆf n (x). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 20

21 Teorema(Consistencia de la moda muestral).- Supongamos que (a) la densidad f es uniformemente continua en R y alcanza un único máximo (moda) en θ. (b) ˆf n una sucesión de estimadores kernel cuya función núcleo K es una densidad tal que lim z ± K(z) = 0. (c) sup t ˆf n (t) f (t) c.s. 0, cuando n. Entonces θ n c.s. θ, (3) siendo {θ n } cualquier sucesión de modas muestrales. Si en la hipótesis (c) se reemplaza la convergencia c.s. por convergencia en probabilidad, la consistencia (3) se obtiene también en probabilidad. Puede probarse que h 0 y nh/ log n son condiciones suficientes para que (c) se cumpla (bajo ciertas condiciones sobre K que se verifican para el núcleo gaussiano y otros núcleos usuales). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 21

22 Estadísticos de orden Dada una muestra X 1,..., X n se denotan por X (1)... X (n) las observaciones de la muestra ordenadas de menor a mayor, es decir, X (1) es la observación más pequeña, X (2) la siguiente más pequeña y X (n) la mayor. Cuando la función de distribución de las v.a. X i es continua, la probabilidad de coincidencias en los valores de la muestra es 0 y se tiene que, con probabilidad 1, X (1) <... < X (n) Los estadísticos de orden X (k) pueden utilizarse para definir la mediana o los cuartiles. Sin embargo, la función cuantílica proporciona una manera más directa de definir estos conceptos. Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 22

23 La función cuantílica Sea F la función de distribución de una medida de probabilidad en R. Se define la función cuantílica correspondiente a F, como la función F 1, definida en el intervalo (0, 1) mediante F 1 (p) = inf{x : F (x) p}. Se llama cuantil poblacional de orden p al valor F 1 (p) de la función cuantílica en p. El estimador natural del cuantil poblacional de orden p es el análogo cuantil muestral de orden p definido a partir de la distribución empírica, es decir, F 1 n (p) Bajo condiciones muy generales (ver Relación 2 de problemas) se verifica que F 1 n (p) c.s. F 1 (p). Estadística I (Mat/DG). Profesora: Amparo Baíllo Tema 2: Muestreo aleatorio 23

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