Gerardo Pastrana León

Transcripción

1 CONSTRUCCIÓN D FRONTRAS FICINTS D INVRSIÓN Gerardo Pastraa Leó (ste esayo se elaboró utlzado coo bblografía prcpal el lbro Seleccó de Iversoes, de Dogo Jorge Messut, Vctor Adrá Alvarez y Hugo Roao Graff, dcoes Macch, 994, Bueos Ares) Toda clase de versoes que se realza co actvos cuyos redetos se preseta de aera aleatora, es decr, se trata de actvos de resgo, plca deterar las proporcoes a vertr e cada uo de esos actvos el presete trabao, se ostrará ua técca que perte deterar las proporcoes que debe vertrse e cada actvo a f de que dchos portafolos obtedos edate ella sea portafolos que se ecuetre detro de la frotera efcete, es decr, que dado el redeto esperado esta cartera es la de ío resgo, o be de todas las carteras que tee el so vel de resgo es la de ayor redeto posble La epresó ateátca del eucado ateror es: Mzar p > (Resgo) Sueto a: y, (Rp) (R) (Redeto esperado prefado) (Restrccó presupuestara) dode p es la varaza del portafolo p, es decr el vel de resgo es la proporcó a vertr e el actvo es la varaza del actvo es la covaraza etre el actvo y el actvo (R p ) es el redeto esperado del portafolo (R ) es el redeto esperado del actvo, obtedo coo el proedo de los redetos del actvo e u perodo de tepo

2 l problea es de íos codcoados que puede resolverse por edo de los ultplcadores de Lagrage La solucó a dcho problea se splfca utlzado téccas de cálculo atrcal para la solucó de ssteas leales La fucó de Lagrage es: > λ λ p ) ( ) ( F La codcó ecesara para la esteca de u etreo local o relatvo es que se aule todas las dervadas parcales, ) ( F λ λ ) ( F λ λ ) ( F ; λ λ F p λ F λ Dvdedo ebro a ebro por dos todas las ecuacoes ecepto las dos últas y ordeado sus téros resulta u sstea de ecuacoes co cógtas, el cual escrto e fora atrcal queda de la sguete aera

3 K L K K K λ λ p y aú ás breveete CX B dode s el deterate de la atrz del sstea leal es dstto de cero (deterate de C ), etoces este sstea tee ua solucó úca que puede calcularse despeado la atrz de proporcoes X de la fórula ateror, es decr X C - B l vector solucó X os da las proporcoes que debe vertrse e cada uo de los actvos para coforar ua cartera cuyo redeto esperado prefado es p y cuyo resgo es ío La solucó etoces, se calcula realzado el producto de la versa de la atrz de los coefcetes (atrz de varazas y covarazas) por el vector colua de los téros depedetes Para eeplfcar lo ateror toareos u grupo de cuatro accoes que cotza e la Bolsa Mecaa de Valores cuyas prcpales característcas se preseta e el sguete cuadro: Accó Redetos esperados oales Redetos esperados reales* Varaza Desvacó stádar Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L *Austados co el INPC Los redetos esperados oales so el proedo de las varacoes e los precos de las accoes para el perodo de febrero de 993 hasta febrero del, a los 3

4 redetos esperados oales se les hzo u auste por flacó co el INPC edate la ecuacó de Fsher para obteer los redetos esperados reales La atrz de varazas y covarazas del grupo de accoes es la sguete, e dode los úeros de la dagoal e egrtas so las varazas de cada actvo Matrz de varazas y covarazas Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L Ahora debe platearse el sstea a resolver que perta deterar las proporcoes a vertr e cada uo de los actvos, este e su fora atrcal es el sguete λ/ p λ/ C X B La solucó etoces estará deterada por X C - B l vector solucó de este sstea es p p p p-5837 λ/ p368 λ/ 368p-3 dode los preros cuatro valores so las proporcoes a vertr e cada uo de los actvos de acuerdo al redeto esperado prefado La correspodeca de proporcoes es la sguete: Alfa, Cfra, 3Tele L, 4Posadas L Las fórulas que pertrá deterar la proporcó a vertr e cada actvo de acuerdo al vel de redeto esperado prefado será: La ecuacó de Fsher es r ( - π)/(π), dode r es la tasa real, es la tasa oal y π es la flacó para el perodo 4

5 43743p p p p 5837 Ya que teeos las fórulas aterores, el sguete paso es deterar cual será el portafolo de ío resgo, perteecete a la frotera efcete, para uestro grupo de cuatro actvos toces el problea adcoal es: calcular las proporcoes que hace p ío, depedeteete de (Rp) La solucó plca zar el resgo ates descrto co sus respectvas restrccoes, para lo cual se tee la sguete fucó de Lagrage: F λ( ) > La codcó ecesara de etreos es la aulacó de todas las dervadas parcales F ( ) λ F F ( ( ) λ ; ) λ F λ Dvdedo ebro a ebro por todas las ecuacoes ecepto la últa, y ordeádolas coveeteete queda: 5

6 λ λ λ la represetacó atrcal de este sstea de ecuacoes co cógtas es: K K K λ K que puede epresarse stétcaete C*X* B* s el deterate de C* es dferete de cero, etoces, el sstea ateror tee ua solucó úca que puede calcularse e fucó de la versa de la atrz C* y del vector colua de los téros depedetes B*, segú la sguete fórula: X* C* - B* Para uestro eercco el sstea atrcal es λ/ 6

7 Hacedo el calculo de la versa para la atrz C* teeos λ/ que os da el sguete vector solucó: λ/ -96 al gual que e el caso ateror, las cuatro preras copoetes de este vector so las proporcoes que perte costrur el portafolo de ío resgo l redeto esperado y la varaza de este portafolo se calcula co las fórulas para redeto esperado y para resgo presetadas al prcpo de este trabao, por lo tato: p* (996)43 (476)5 (333)73 (6) p 96 p 98 Se tee etoces que el puto (66, 98) perteece a la frotera efcete y represeta el portafolo de ío resgo, para calcular otras carteras perteecetes a la frotera efcete debe deterarse para dsttos valores de redeto superores a 66 real esual co las fórulas para las proporcoes que se obtuvero co aterordad Para facltar su utlzacó se presetara uevaete: Para el cálculo de la atrz versa se puede utlzar algú paquete coputacoal coo el cel, e el caso de este el calculo de la atrz versa se hace de la sguete aera: ) Se seleccoa la atrz de la cual se quere obteer la versa, ) Se seleccoa u rago de celdas vacías co las sas desoes que la atrz de la cual se quere obteer la versa, 3) se teclea la sguete dcacó MINVRSA(rago dode se ecuetra la atrz) s por eeplo la atrz de la cual se quere obteer la versa esta detro del rago A a F8 se debe escrbr (A3:F8) o be seleccoar el rago arrastrado el ouse 4) Por ulto se teclea las sguetes teclas sultáeaete CotrolShftter 7

8 43743p p p p 5837 Co el cálculo de las fórulas aterores y dado a p valores superores a el redeto de ío resgo obteeos otros putos perteecetes a la frotera efcete Proporcoes, redetos esperados y resgo de portafolos perteecetes a la frotera efcete Portafolo o p Proporcoes Sua Varaza Desv st las proporcoes a vertr e cada uo de los actvos, os ecotraos, co eleetos de sgo egatvo, estas tee su terpretacó epírca racoal basada e el cocepto de veta corta Otra observacó de el cuadro ateror perte advertr que las proporcoes a vertr e cada uo de los actvos, que tegra los portafolos efcetes, varía e fora oótoa, es decr, crece o decrece costateete a edda que se creeta el redeto esperado de esas carteras el caso de o poderse llevar a cabo vetas descubertas es posble retrar del portafolo aquellos actvos que preseta proporcoes egatvas, co esto se reducría e u eleeto la atrz C La gráfca correspodete a los portafolos del cuadro ateror es la sguete: 8

9 Porcó de la frotera efcete para el grupo de cuatro actvos p Resgo De esta aera se ha ecotrado las proporcoes a vertr e cada uo de los actvos a f de que al teer u deterado vel de resgo sea las de ayor redeto, o be, a u deterado vel de redeto prefado perta zar el resgo el caso de este eeplo se ha toado ua base de datos etesa que os ha pertdo obteer de aera drecta los datos ecesaros para el cálculo de la frotera efcete, s ebargo, o sepre es ta secllo crear ua buea base de datos co los datos hstórcos para cada actvo Por esta razó, se ostrará a cotuacó u étodo por edo del cual podeos costrur froteras efcetes co u úero ucho eor de datos, adeás de que los datos que utlzareos para este étodo so proporcoados por la Bolsa Mecaa de Valores de aera regular 9

10 UN MODLO QU SIMPLIFICA LA CONSTRUCCIÓN D CARTRAS FICINTS l odelo del ídce úco (MIU) la costruccó de carteras efcetes presetada aterorete, los datos ecesaros para lograr la costruccó es cada vez ayor etras aueta el úero de actvos que se utlzará e dcha costruccó l MIU se susteta e la dea básca que el preco de los títulos que cotza e u ercado, e proedo, crece o decrece uto co algú dcador ecoóco La ecuacó fudaetal del odelo es: R α β R e dode: R: es la varable aleatora que represeta la tasa de redeto del actvo R: es la varable aleatora que represeta la tasa de redeto de u ídce represetatvo del ercado α; β: so los paráetros del odelo correspodete al actvo e: es el desvío aleatoro etre el redeto real del actvo y su valor teórco (varable aleatora) l valor del paráetro α es la copoete del redeto del actvo que es depedete del redeto del ídce del ercado l valor de β es ua edda de la sesbldad de respuesta del redeto del actvo ate las varacoes e el redeto del ídce toado coo represetatvo del ercado Los supuestos e que esta basado el MIU so los sguetes: ) l proceso geerador de los redetos R de cada actvo esta deterado por la ecuacó R α βr e ) La varable aleatora e tee esperaza ateátca gual a cero: (e ) 3) Las varables aleatoras R y e está correlacoadas: COV(e ;R ) 4) Los errores aleatoros correspodetes a actvos dsttos está correlacoados etre sí: COV(e ;e ) Las fórulas que perte el cálculo de todos los paráetros ecesaros para la costruccó de portafolos efcetes so las sguetes:

11 a) Los redetos esperados será ( α β R e ) (R ) utlzado las propedades de la esperaza ateátca teeos α β b) Las varazas estará dadas por ( α β R e ) var( R ) var Aplcado las propedades de la varaza y teedo e cueta que α y β so costates se puede deducr que β var( R ) var(e ) S se defe: var( R ) y var(e ) Q puede escrbrse β Q c) cuato a las covarazas se tee lo sguete cov( R ;R ) [( R )( R )] Reeplazado los valores de las varables ates ecotradas teeos {[ α βr e ( α β )][ α βr e ( α β )]} {[ β (R ) e ][ β (R ) e ]} fectuado el producto etre llaves [ β β (R ) β (R )e β (R )e e e ] Aplcado las propedades de la esperaza ateátca:

12 ββ [( ) ] β[ ( R ) e ] β R ( R ) e [ ] ( e e ) el prer suado [ ( ) ] R es, el segudo y tercer suados se aula e vrtud del supuesto 3) del MIU; etras que el últo suado tabé se aula e razó del supuesto 4), por lo que solo os queda que la covaraza estará dada por: β β De todo lo ateror teeos etoces que este étodo puede ser utlzado s se dspoe de estacoes para cada uo de los actvos de resgo e cosderacó, del redeto esperado, la desvacó estádar y el coefcete β, así coo de los paráetros del dcador del ercado y l redeto esperado del portafolo se puede calcular drectaete co el proedo poderado de los redetos esperados dvduales tato que para calcular la varaza de los desvíos de cada ttulo Q, puede despearse su valor de la fórula descrta ates co lo que quedaría Q β La ayor dfcultad al realzar las froteras efcetes de versó es la de obteer las varazas y covarazas etre los actvos co los que se va a trabaar, este trabao dsuye cosderableete s utlzaos el MIU A cotuacó se ostrará los resultados obtedos de correr las regresoes R α βr e para cada uo de los cuatro actvos, la varable que heos toado coo ídce represetatvo del ercado es el Idce de Precos y Cotzacoes de la Bolsa Mecaa de Valores Las regresoes se ha corrdo para los cabos esuales e los precos de las accoes y del ídce, el perodo fue de febrero de 993 a febrero del Resultados de las regresoes ALFA *IPYC CIFRAC *IPYC TLMX *IPYC POSADAS *IPYC el sguete cuadro se uestra los datos ecesaros para el cálculo de las varazas y las covarazas que se ecesta para el cálculo de la frotera efcete

13 Actvo Alfa Beta Varaza del actvo Q Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L Varaza del pyc 86 Redeto esperado del pyc* 83 * valor real La colua Q se costruyó edate la fórula Q β La costruccó de la frotera efcete requere e prer lugar de la atrz de varazas y covarazas, para lo cual se utlzará las sguetes fórulas: β Q β β Matrz de Varazas y Covarazas Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L Alfa A CIFRA C TLMX L POSADAS L De tal aera que el uero ubcado e la prera fla y la prera colua represeta la varaza de los redetos del actvo uo (Alfa A) y fue calculado edate la fórula de la varaza l eleeto stuado e la prera fla seguda colua represeta la covaraza etre los redetos de las accoes de Alfa y Cfra C y sé calculo co la forula de la covaraza Ya co la atrz de varazas y covarazas obteda se procede al cálculo de la frotera efcete tal y coo se ostró aterorete 3

14 Portafolo de ío resgo Para el cálculo de este se resuelve el sguete sstea atrcal: λ/ Cuyo vector solucó es: λ/ -7 Que os da las proporcoes a vertr para obteer el portafolo de ío resgo perteecete a la frotera efcete Y cuyos valores de resgo y de redeto esperado so los sguetes: p 64 p 836 Se puede coprobar estos resultados edate la utlzacó de las fórulas presetadas aterorete A f de obteer otros portafolos se resuelve el sguete sstea atrcal: λ/ p λ/ Cuyo vector solucó es el sguete: p p p p-659 λ/ -6779p447 λ/ 447p-39 4

15 Co la ayuda de este uevo vector solucó calculaos las proporcoes a vertr e otros portafolos de ayor resgo al de ío resgo Los resultados de esta ueva frotera efcete se uestra a cotuacó: Proporcoes, redetos esperados y resgo de portafolos perteecetes a la frotera efcete co la atrz de varazas y covarazas obteda edate el MIU Portafolo o p Proporcoes Sua Varaza Desv st La coparacó etre los resultados obtedos a partr de los datos hstórcos y los resultados obtedos co la ayuda del MIU se puede observar e la sguete gráfca: Frotera fcete obteda a partr de datos hstórcos y co la ayuda del MIU 3 Resgo 9 MIU Hstorco p La dversfcacó de los portafolos de versó es u eleeto uy portate para lograr reducr e gra edda los resgos heretes a toda clase de versoes, s ebargo, la sola dversfcacó de las carteras o garatza que se este logrado u vel ópto e los redetos y u vel ío de resgo Por esta razó la utlzacó de ua técca para lograr hacer que los portafolos por ella costrudos de coo resultado el ayor vel de efceca posble se vuelve fudaetal Los étodos presetados e el presete trabao perte costrur portafolos perteecetes a la frotera efcete de acuerdo a las preferecas partculares de cada 5

16 versosta, es decr, de acuerdo al vel de resgo que se este dspuesto a asur y del vel de redeto que a cada uo le parece ás coveete Se tee adeás la posbldad de, a f de reducr au ás los veles de resgo, cobar portafolos efcetes co actvos lbres de resgo coo puede ser, e el caso de Méco, los Certfcados de Tesorería (CTS) o algú otro ttulo de deuda guberaetal que se cosdera actvos s resgo 3 La utlzacó de estos actvos, por lo geeral, reduce e algua edda el vel de redeto esperado, pero este es copesado co la reduccó tabé e el resgo el caso de los datos ecesaros para costrur la frotera efcete co el MIU, este ua publcacó esual llaada Idcadores Bursátles de la Bolsa Mecaa de Valores e la que e sus dsttas seccoes se ecuetra las estadístcas ecesaras, coo por eeplo los coefcetes Alfa y Beta que se ecuetra e las stadístcas de Sesbldad del Mercado, la varabldad de cada accó se puede ecotrar e la seccó Volatldad de las Prcpales soras e Ídces Los dvdedos pagados por cada accó es otro eleeto uy portate que o se ha toado e cueta e este trabao, e el que se ha epleado solaete cabos e los precos, s ebargo, la cosderacó de este eleeto adcoal tee u efecto postvo ya que creeta el vel de redeto de los portafolos de versó que heos calculado toado solo e cueta las varacoes e los precos, es decr, adeás de los redetos de los cabos e los precos de las accoes se tedrá redetos tabé por los dvdedos pagados por cada accó 3 Auque se cosdera actvos lbres de resgo, e realdad o este gua clase de actvos que o tega algú vel de resgo el caso de los CTS, estos se vede co descueto, por lo que u elevado vel de flacó e el perodo puede dar coo resultado ua tasa uy baa de terés e cluso, egatva 6