Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.2. Límites. Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.2. Límites

Transcripción

1 Tema X: LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES X.2. Límites

2 1. Definición de límite DEF. Sea f : A R R y a A Se dice que l R es el límite de f cuando x tiende a a, si para todo entorno de l, existe un entorno de a de modo que todos los puntos de este entorno tienen su imagen en el primero. lim f(x) = l : ε > 0, δ > 0/ Si x (a δ, a+δ) f(x) (l ε, l+ε)

3 2. Límites laterales DEF. Sea f : A R R y a A Se llama límite por la izquierda de f en a, al límite en a (si existe) de la restricción de f al conjunto {x A : x < a} lim f(x) Se llama límite por la derecha de f en a, al límite en a (si existe) de la restricción de f al conjunto {x A : x > a} lim f(x) + f tiene límite en a si y sólo si existen los dos límites laterales y coinciden: lim f(x) = lim f(x) = lim f(x) +

4 3. Límites infinitos y límites en el infinito Límites infinitos (asíntotas verticales) DEF. Sea f : A R R y a A Se dice que f tiene límite + en a cuando las imágenes por f de los x cercanos a a superan cualquier valor prefijado si se toma el entorno suficientemente pequeño lim f(x) = + : K R, δ > 0/ Si x (a δ, a + δ) f(x) > K Se dice que lim f(x) = cuando lim ( f(x)) = + f(x) = : lim K R, δ > 0/ Si x (a δ, a + δ) f(x) < K

5 3. Límites infinitos y límites en el infinito (II) Límites en el infinito (asíntotas horizontales) DEF. Sea f : A R R con A no acotado superiormente. Se dice que lim x f(x) = l cuando ε > 0, M R/ Si x A, x > M f(x) (l ε, l + ε) DEF. Sea f : A R R con A no acotado inferiormente. Se dice que f(x) = l cuando lim x ε > 0, M R/ Si x A, x < M f(x) (l ε, l + ε) lim f(x) = l lim f( x) = l x x

6 3. Límites infinitos y límites en el infinito (III) lim f(x) = : x K > 0, M R/ Si x A, x > M f(x) > K

7 4. Propiedades de los límites La expresión entorno de a" puede considerarse equivalente a intervalo cerrado (o abierto) centrado en a" Si a R, (a r, a + r) o [a r, a + r] Si a = +, (m, + ) o [m, + ) Si a =, (, m) o (, m] a es un punto de acumulación del dominio A" en caso de que a / R se entiende: Si a = +, A no está acotada superiormente" Si a =, A no está acotado inferiormente"

8 4. Propiedades de los límites (I) 1 Unicidad del límite: Si el límite existe, es único. 2 Acotación en un entorno: Si una función tiene límite finito en un punto a de acumulación del dominio (que puede ser ± ), entonces está acotada en un entorno de ese punto.

9 4. Propiedades de los límites (II) 3 Límite de la función suma: Sean f, g : A R R, a A. Si lim f(x) = l, lim g(x) = m con l, m R entonces lim (f(x) + g(x)) = l + m Si lim f(x) = + y g está acotada inferiormente en un entorno de a, entonces lim (f(x) + g(x)) = +. ( lim g(x) = m R o lim g(x) = + ) Si lim g(x) = tenemos una indeterminación ". Si lim f(x) = y g está acotada superiormente en un entorno de a, entonces lim (f(x) + g(x)) =.

10 4. Propiedades de los límites (III) 4 Límite de la función producto: Sean f, g : A R R, a A. Si lim f(x) = l, lim g(x) = m con l, m R entonces lim (f(x)g(x)) = lm Si lim f(x) = ±, g tiene signo constante y g(x) > ε > 0 en un entorno de a, entonces lim (f(x)g(x)) = ± (con el signo correspondiente al producto). ( lim g(x) 0 ) Si lim g(x) = 0 tenemos una indeterminación 0 ".

11 4. Propiedades de los límites (IV) 5 Límites potenciales-exponenciales: Sean f, g : A R R, a A. Supongamos que f(x) > 0 x A, de forma que la función f(x) g(x) está definida en todo A. lim f(x)g(x) m = < m < 0 m = 0 0 < m < m = l = 0? < l < 1 l m 1 l m 0 l = 1? 1 1 1? 1 < l < 0 l m 1 l m l = 0 0? lim f(x) = l, lim g(x) = m

12 4. Propiedades de los límites (V) Sea f : A R R, a A y lim f(x) = l 6 Conservación del signo en un entorno: Si l 0, entonces la función f tiene el mismo signo que l en un entorno de a 7 Límite de la función 1/f : Si l 0, entonces f no se anula en un entorno de a y por lo tanto está definida la función 1/f en ese entorno. 1 Si l R, lim f(x) = 1 l 1 Si l = ±, lim f(x) = 0 Si l = 0: Si cerca de a la función f tiene signo constante y no se 1 anula, entonces lim = ± (signo correspondiente). f(x) En otro caso, 1 no tiene límite en a. f

13 4. Propiedades de los límites (VI) 8 Existencia del límite por monotonía y acotación: Sea f : A R R y a A Si f es monótona creciente y está acotada superiormente en {x A : x < a}, entonces existe lim f(x) = l R. Si f es monótona decreciente y está acotada inferiormente en {x A : x < a}, entonces existe lim f(x) = l R. Si f es monótona creciente y está acotada inferiormente en {x A : x > a}, entonces lim + f(x) = l R. Si f es monótona decreciente y está acotada superiormente en {x A : x > a}, entonces lim f(x) = l R. +

14 4. Propiedades de los límites (VII) 9 Conservación de la desigualdad por paso al límite Sean f, g : A R R, a A y en un entorno de a se cumple que f(x) g(x). Si lim f(x) = l, lim g(x) = m con l, m R entonces l m Si lim f(x) = + entonces lim g(x) = + Si lim g(x) = entonces l lim f(x) = 10 Propiedad del sandwich Sean f, g, h : A R R, a A, tales que f(x) g(x) h(x) en un entorno de a. Si lim f(x) = lim h(x) = l, entonces lim f(x) = l.

15 4. Propiedades de los límites (VIII) 11 Límites notables de algunas funciones elementales: Funciones polinómicas no constantes: lim p(x) = ± x ± (según el coeficiente principal, con el signo correspondiente a la x y al grado del polinomio.) lim x ex =, lim x ex = 0. En general: si lim f(x) =, entonces lim e f(x) = ; si lim g(x) =, entonces lim e g(x) = 0. lim ln x =, lim ln x =. x 0 + x x se puede sustituir por una expresión funcional que tienda a 0 con valores positivos, o a, respectivamente. Las funciones sen x y cos x no tienen límite cuando x ±. lim tan x = +, x π/2 lim tan x =. x π/2 + (Lo mismo pasa en π/2 + kπ, k Z.)

16 5. Indeterminaciones Se conocen como indeterminaciones las situaciones en que en un límite de la forma f(x) + g(x), f(x)g(x) o f(x) g(x) conocemos los límites de f y de g pero las reglas que acabamos de ver no nos dan de forma inmediata el valor del límite de la expresión. Los casos de indeterminación suelen representarse por alguno de los siguiente símbolos: 0, 0, 0,, 1, 0 0, 0 Estas expresiones deben entenderse de forma simbólica y no como operaciones legítimas entre números reales.