Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z

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1 Unidad 4 Ba s e, d i M e n s i ó n y Mat r i z de transición Objetivos: Al inalizar la unidad, el alumno: Conocerá la deinición de base de un espacio vectorial Identiicará bases canónicas para algunos espacios vectoriales Encontrará las coordenadas de un vector relativas a una base especíica Comprenderá el concepto de dimensión de un espacio vectorial Aplicará la matriz de transición para cambiar de base un espacio vectorial

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3 Álgebralineal Introducción En la unidad anterior vimos cuando un conjunto de vectores linealmente independientes generaba todo el espacio vectorial Vimos también que tener ese conjunto era muy cómodo, pues cualquier vector podía escribirse como combinación lineal de los vectores de ese conjunto En esta unidad definiremos formalmente el concepto de base de un espacio vectorial y conoceremos sus características Veremos también que un espacio vectorial puede tener varias bases, se mostrará cómo alguna de éstas son más cómodas que otras y el modo de cambiar de una a otra 4 Definición de base de un espacio vectorial Un espacio vectorial siempre tiene al menos un conjunto de vectores que lo generan lo que nos lleva a la siguiente definición Definición 4 Sea V un espacio vectorial y {v, v,,v n } un conjunto finito de vectores de V Entonces {v, v,, v n } se llama base de V si satisface las siguientes condiciones: i) {v, v,, v n } es linealmente independiente ii) {v, v,, v n } genera V Esta definición nos proporciona las características que debemos buscar en un conjunto para que sea una base Ejemplo a) Recordemos que en la unidad pasada vimos que en R los vectores i = (, ) y j = (, ) eran linealmente independientes y que generaban a R, por lo tanto podemos decir que el conjunto {i, j} es una base para R b) También recordemos que el teorema 39 nos indica que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes de R n genera a R n, por lo tanto, podemos afirmar el siguiente resultado: 35

4 Unidad 4 Todo conjunto de n vectores linealmente independiente en R n es una base de R n Ahora veremos en el siguiente apartado ejemplos de bases para espacios vectoriales distintos de R n 4 Bases en varios tipos de espacios vectoriales En este apartado consideraremos ejemplos de espacios vectoriales distintos a R n Para manejar más fácilmente al espacio vectorial en su conjunto, encontraremos también algunas de las llamadas bases canónicas Consideremos el espacio vectorial formado por H = {(x, y, z) en R 3 tales que x y + 3z = } Vamos a encontrar una base para H Tomemos un vector (x, y, z) en H, entonces satisface el hecho de que x y + 3z = ; podemos reescribir esta condición como y = x + 3z, de donde tenemos que los vectores de H los podemos escribir de la siguiente manera: x x x+ 3z x 3z x z 3 z = + z = + de donde podemos decir que los vectores y 3 generan H Vamos ahora a probar que y 3 son linealmente independientes Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero: 36

5 Álgebralineal a + b 3 =, entonces tenemos que a = ; a + 3b = y b =, por lo tanto y 3 son linealmente independientes Podemos concluir que, como son linealmente independientes y generan H, entonces y 3 son una base para H Consideremos el espacio vectorial formado por todas las matrices de de la forma a D = a b / y R' b Vamos a encontrar una base para este espacio vectorial Tomemos una matriz de este espacio a b, entonces podemos a reescribirla como b = a b + de donde podemos afirmar que y generan todo el espacio vectorial Claramente observamos que también son linealmente independientes, por lo que podemos afirmar que son base del espacio D 3 Consideremos el sistema homogéneo de ecuaciones lineales x+ y z = x y+ 3z = Vamos a encontrar el conjunto solución S del sistema Para encontrar el conjunto solución consideremos la matriz aumentada asociada al sistema y llevémosla a la forma escalonada reducida por renglones 37

6 Unidad De aquí obtenemos el siguiente sistema x+ z = y z = de donde x=z y = z de manera que todas las soluciones del sistema son de la forma x z y z z z = z =, por lo que es una base para S Probaremos que S es un subespacio vectorial: Sean a y b en S, entonces existen a y b números tales que a = a(,,) = ( a, a, a) y b = b (,,) = ( b, b, b) i) a + b = ( a, a, a) + ( b, b, b) = ( a b, a+b, a+b) = ( (a+b), a+b, a+b) está en S ii) αa = α( a, a, a) = (α(a), αa, αa) = ( αa, αa, αa) está en S Entonces, por el teorema 3, S es un subespacio vectorial de R 3 4 Consideremos el espacio vectorial P (los polinomios de grado menor o igual a ) Vamos a encontrar una base para P Sea p un polinomio de P, entonces p = ax +bx+c de donde podemos observar que el conjunto formado por { x, x, } genera a P Probemos ahora que { x, x, } es un conjunto linealmente independiente Tomemos una combinación lineal igual a cero, entonces ax + bx +c = de donde obtenemos que existe la solución trivial para a = b = c = por lo que el conjunto es linealmente independiente Podemos entonces concluir que { x, x, } es una base para P 5 Sea P 3 un espacio vectorial, detemina si el conjunto B = {, +x, +x, +x 3 }es una base para P 3, 38

7 Álgebralineal Sea p un polinomio de P 3, entonces p = a x 3 + a x + a 3 x + a 4 Si B es una base, entonces genera a P 3 y, por lo tanto, p es una combinación lineal de B Sea la combinación lineal p = b + b (+x) + b 3 (+x ) + b 4 ( + x 3 ), entonces p = b + b + b x + b 3 + b 3 x + b 4 + b 4 x 3 = (b + b + b 3 + b 4 ) + b x + b 3 x + b 4 x 3 de donde igualando ambas expresiones tenemos que: a = b 4 ; a = b 3 ; a 3 = b ; a 4 = b + b + b 3 + b 4 = b + a 3 + a + a por lo tanto B sí genera a P 3 Veamos ahora si B es linealmente independiente Consideremos una combinación lineal igual a cero, b + b (+x) + b 3 (+x ) + b 4 ( + x 3 ) = entonces b + b + b x + b 3 + b 3 x + b 4 + b 4 x 3 = (b + b + b 3 + b 4 ) + b x + b 3 x + b 4 x 3 = de tal manera, b + b + b 3 + b 4 = ; b = ; b 3 = ; b 4 = de donde b = Por lo tanto, B es linealmente independiente y B es base de P 3 6 Vamos a probar que {(, ), (, )} es base para R Sea (x, y) en R, entonces (x, y) = x (, ) + y (, ) por lo tanto genera a R Si a(, ) + b(, ) = (, ) entonces a = y b =, y es linealmente independiente, por tanto {(, ), (, )} es una base para R y recibe el nombre de base canónica 7 De igual manera se puede probar que {(,, ), (,, ), (,, )} es la base canónica para R 3 8 Sea p en P 3 donde p = a + a x + a 3 x + a 4 x 3, entonces {, x, x, x 3 } generan a P 3 39

8 Unidad 4 Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces a + a x + a 3 x + a 4 x 3 =, esto implica que a = a = a 3 = a 4 = por lo cual también son linealmente independientes Esto nos lleva a asegurar que {, x, x, x 3 } es una base para P 3, llamada base canónica de P 3 Ejercicio Detemina si el conjunto de vectores dado es base para el espacio vectorial referido: a) En P, {x, x, x 3} b) En M,,, 6 7 Encuentra una base para cada uno de los espacios vectoriales: a) {(x, y, z) en R 3 tales que x y z = } b) {(x, y) en R tales que x + y = } 3 Encuentra una base para el espacio solución del sistema homogéneo dado: a) x y = 3x+ y = b) x 3y+ z = x+ y 3z = 4x 8y+ 5z = 4 Encuentra una base canónica para el espacio vectorial M 5 Encuentra una base canónica para el espacio vectorial R Coordenadas de un vector, relativas a alguna base Como vimos anteriormente, si un espacio vectorial V tiene al menos una base que genera a todo el espacio vectorial, entonces cualquier vector se puede escribir como combinación lineal de los vectores de la base; sin embargo, surge

9 Álgebralineal la pregunta: esta combinación lineal es única o hay varias? Consideremos el siguiente resultado Teorema 4 Si {v, v,, v n } es una base para el espacio vectorial V y si v está en V, entonces existe un conjunto único de escalares c, c,, c n tales que v = c v + c v + + c n v n Este teorema nos indica que la expresión de un vector como combinación lineal de los vectores de una base es única A continuación veremos algunos ejemplos de ello Ejemplo a) En R {(, ), (, )} forman la base canónica, por lo tanto (x, y) = x (, ) + y (, ) Supongamos que hay otra combinación lineal de estos vectores que nos dan el vector (x, y) (x, y) = a (, ) + b(, ), como ambas combinaciones dan el mismo vector tenemos que x (, ) + y (, ) = a (, ) + b(, ) de donde tenemos que (x, y) = (a, b) por lo tanto x = a, y = b y la combinación lineal es única b) Veamos ahora cómo podemos encontrar las coordenadas de un vector con respecto a una base dada Consideremos el conjunto {(, 3), (, )}, veremos que es base de R Para ello lo único que tenemos que hacer es mostrar que es linealmente independiente, ya que el teorema 39 nos indicaría que generan R Sea a (, 3) + b(, ) = una combinación lineal, entonces a b=, 3a + b = de donde obtenemos que a = b = ; por lo que es linealmente independiente y por tanto base de R Tomemos ahora un vector cualquiera de R (x, y), por el teorema 4 existen escalares c y c únicos de manera que (x, y) = c (, 3) + c (, ) Entonces tenemos que 4

10 Unidad 4 x= c c, y = 3c + c ; al resolver el sistema para c y c obtenemos que x+ y 3x y c =, c = + que son las coordenadas de (x, y) con respecto a la 5 5 base {(, 3), (, )} c) Usando el ejemplo anterior vamos a encontrar las coordenadas del vector (, ) con respecto a la base {(, 3), (, )} () + Sean c y c las coordenadas, entonces c = = 3 5 c = () + =, de tal manera que, para (x, y) = (, ) obtenemos 5 5 (, ) = 4/5 (, 3) /5 (, ) 4 5 y Ejercicio Encuentra las coordenadas de los vectores dados relativas a la base indicada: a) x = (3, ); {(, 3), (, )} b) x = (, 4); {(,5), (, 3)} c) x = (3, 5, ); {(,, 3), (,, ), (,, )} 44 Dimensión de un espacio vectorial Si hablamos de que un espacio vectorial puede tener muchas bases surge la pregunta: contienen todas las bases el mismo número de vectores? La respuesta para R n es sí, ya que el teorema 39 nos indica que cualquier conjunto de n vectores linealmente independientes en R n lo generan, y el corolario 3 nos dice que un conjunto linealmente independiente contiene a lo más n vectores Al unir ambos resultados obtenemos que todas las bases de R n contienen n vectores El siguiente teorema nos da la respuesta para todos los espacios vectoriales Teorema 4 Si {u, u,, u m } y {v, v,, v n } son bases de un espacio vectorial V, entonces m = n; es decir, cualesquiera dos bases en un espacio vectorial V tienen el mismo número de vectores 4

11 Álgebralineal Y debido a él podemos definir el siguiente concepto que es uno de los más importantes del álgebra lineal Definición 4 Si el espacio vectorial V tiene una base finita, entonces la dimensión de V es el número de vectores de todas sus bases y se dice que V es un espacio vectorial de dimensión finita A la dimensión de V se le denota por dim V En los siguientes ejemplos encontraremos la dimensión de varios espacios vectoriales Ejemplo 3 a) Si V = {} entonces se dice que V tiene dimensión cero y dim V = Éste es el único espacio con esta dimensión b) Consideremos el espacio vectorial de todos los polinomios de grado menor o igual a 3, P 3 Probaremos que el conjunto {, x, x, x 3 } es una base para P 3 Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero, entonces a() + b(x) + c(x ) + d(x 3 ) =, entonces a = b = c = d =, por lo tanto es linealmente independiente Es obvio que el conjunto genera P 3 ; por lo tanto podemos afirmar que {, x, x, x 3 } es una base para P 3 y por lo tanto dim P 3 = 4 c) Como las bases de R n contienen n vectores podemos afirmar que dim R n = n d) Consideremos el espacio vectorial de las matrices de orden 3, (M 3 ) y el conjunto formado por las matrices,,,,,, comprobaremos que son una base para M 3 Tomemos una combinación lineal igual a cero 43

12 Unidad 4 a c e b d a b c f = d + e + f lo que indica que generan a M 3 a b c d e + a b = c d = e f f esto implica claramente que a = b = c = d = e = f = y que el conjunto es linealmente independiente Por lo anterior podemos afirmar que forma una base para M 3 y que dim M 3 = 6 Consideremos en R 3 el subespacio vectorial H = {(x, y, z) tales que x y +3z = En el ejemplo de la sección 4 se demostró que y 3 son una base para H; podemos concluir que dim H = y sabemos que dim R 3 = 3; sucederá esto con todos los subespacios vectoriales? El siguiente resultado nos da la respuesta Teorema 43 Sea H un subespacio de un espacio vectorial V de dimensión finita Entonces H es de dimensión finita y dim H dim V Usaremos el teorema anterior para encontrar todos los subespacios de R 3 Ejemplo 4 Como dim R 3 = 3, entonces los subespacios de R 3 tendrán dimensiones,, y 3 El único subespacio de dimensión es {} 44

13 Álgebralineal Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión Sea H un subespacio de R 3 de dimensión, por lo tanto tiene una base formada por un solo vector v = (a, b, c) Sea x = (x, y, z) en H, entonces existe t escalar tal que x = t (a, b, c), por lo tanto (x, y, z) = t (a, b, c) = (ta, tb, tc) de donde x = ta, y = tb, z = tc Pero esta es la ecuación de una recta en R 3 que pasa por el origen Vamos a encontrar todos los subespacios de dimensión Sea H un subespacio de R 3 de dimensión, por lo tanto tiene una base formada por dos vectores v = (a, b, c ) y v = (a, b, c ) Sea x = (x, y, z) en H, entonces existen escalares s y t tales que x = s (a, b, c ) + t (a, b, c ), por lo tanto (x, y, z) = s (a, b, c ) + t (a, b, c ) de donde x =sa + ta, y = sb + tb, z = sc + tc Esta es la ecuación de un plano en R 3 que pasa por el origen Por lo tanto los únicos subespacios de R 3 son los vectores que están en una recta o en un plano que pasa por el origen Será necesario probar que un conjunto de vectores linealmente independientes genera a un espacio vectorial para asegurar que es una base? El siguiente teorema nos da una condición para asegurarnos que tenemos una base Teorema 44 Cualesquiera n vectores linealmente independientes en un espacio vectorial V de dimensión n forman una base para V Veamos algunos ejemplos donde usaremos este resultado para encontrar bases de espacios vectoriales Ejemplo 5 Consideremos a R 3, el conjunto {(, 3, 5), (,,), (,, )} es una base de R 3? Por el teorema anterior basta probar que es linealmente independiente ya que dim R 3 = 3 45

14 Unidad 4 Tomemos una combinación lineal igual a cero, a(, 3, 5) + b(,, ) + c(,, ) = (,, ) entonces a + b + c =, 3a c =, 5a = ; de donde a = b = c = ; el conjunto es linealmente independiente y por tanto una base para R 3 Ejercicio 3 Di si son falsas o verdaderas las siguientes afirmaciones: a) Cualesquiera tres vectores en R 3 forman una base para R 3 b) Cualesquiera tres vectores linealmente independientes en R 3 forman una base para R 3 c) Una base para un espacio vectorial es única d) Un espacio vectorial de dimensión 4 puede tener una base con 3 vectores e) Si H es un subespacio de V, entonces dim H > dim V Encuentra la dimensión de los siguientes espacios vectoriales: a) H = {(x, y, z) en R 3 tales que 3x y +6z = } b) El espacio solución del sistema homogéneo x 3y+ z = x+ y 3z = 4x 8y+ 5z = 45 Rango, nulidad, espacio de renglones y columnas de una matriz En la sección anterior vimos que es un poco difícil y tedioso encontrar una base para cualquier espacio vectorial; ahora veremos cómo se puede obtener una base para el espacio generado por un conjunto de vectores mediante la reducción por renglones de una matriz Recordemos que para que un conjunto genere un espacio no es necesario que sea una base También estudiaremos algunos conceptos muy importantes que se refieren a las matrices y por consiguiente a los sistemas de ecuaciones Definición 43 Sea A una matriz de m n, consideremos el conjunto N A = {x en R n tales que Ax = } 46

15 Álgebralineal entonces N A es un subespacio vectorial que se llama espacio nulo o kernel de A y su dimensión ν(a) = dim N A se llama nulidad de A En los siguientes ejemplos encontraremos el kernel y la nulidad de varias matrices usando esta definición Ejemplo 6 a) Sea A = de A 3 vamos a encontrar el espacio nulo y la nulidad Lo que queremos encontrar es el conjunto de vectores x = (x, y, z) de R 3 que satisfacen Ax =, esto significa tener el siguiente sistema de ecuaciones: x +y z= y x y + 3z = lo que se busca es encontrar una base para el espacio solución de este sistema homogéneo Como se vio en el ejemplo 3 de la sección 4, este sistema tiene como base al vector (,, ) y por lo tanto, N A = gen {(,, )} y ν(a) = b) Encontrar el espacio nulo y la nulidad de la matriz A = Para esto se diagonalizará la matriz aumentada: / 3/ / 3/ Entonces los vectores del kernel satisfacen que x /y + 3/z = de donde y = x + 3z y se pueden reescribir como x x x y x z x z x z = + 3 z = + 3 z = + z 3 Esto nos asegura que los vectores, 3 forman una base para el 47

16 Unidad 4 espacio nulo (kernel) Y por lo tanto: ν(a) =, es decir, la nulidad de A es El siguiente resultado une los conceptos de matriz invertible con el kernel y nulidad Teorema 45 Sea A una matriz de n n, entonces A es invertible, si y sólo si, ν(a) = Recordemos que si A es invertible, el sistema Ax = b tiene sólo una solución única x = A b, esto nos lleva a que el sistema homogéneo Ax = sólo tiene la solución trivial x =, de donde el kernel de A, N A = {x en R n tales que Ax = }= {} y por tanto ν(a) = Definiremos otros conceptos que nos son necesarios para encontrar una base en el espacio generado por un conjunto de vectores Definición 44 Sea A una matriz de m n Entonces la imagen de A es el conjunto imagen A = {y en R m tales que Ax = y para alguna x en R n } Encontraremos la imagen de una matriz Ejemplo 7 Sea A = vamos a encontrar su imagen Por la definición anterior tenemos que: Imagen A = {y en R tales que Ax = y para alguna x en R }, estamos buscando entonces todos los productos de la forma Ax = y Sea x = (x, y) en R, entonces Ax = x = ( x+ y, y), de donde y tenemos que los vectores de la imagen de A tienen la forma (x + y, y), es decir, imagen A = {(x+y, y)} El siguiente resultado nos dice que la imagen de una matriz es también un espacio vectorial y esto nos va a simplificar el método para encontrar una base para un espacio generado por un grupo de vectores 48

17 Álgebralineal Teorema 46 Sea A una matriz de m n, entonces la imagen de A es un subespacio de R m Usaremos el ejemplo anterior para checar que la imagen es en verdad un subespacio vectorial Ejemplo 8 Dada la imagen A = {(x+y, y)} mostrar que es un subespacio vectorial de R Tomemos dos elementos de la imagen A: u = (u +u, u ) v = (v +v, v ), entonces u + v = (u +u, u ) + (v +v, v ) = (u +u + v +v, u + v ) = (u + v + u +v, u + v ) = (u + v + (u +v ), u + v ) está en imagen A αu = α(u +u, u ) = (α(u +u ), αu ) = (αu +αu, αu ) está en la imagen de A, por lo anterior podemos decir que imagen A es un subespacio vectorial de R Como vimos, la imagen de A es un subespacio de R m, y como dim R m = m, entonces la imagen de A tiene dimensión finita La siguiente definición nos dirá cuál es esa dimensión y cómo se llama Definición 45 Sea A una matriz de m n Entonces el rango de A, denotado por ρ(a), está dado por ρ(a) = dim imagen A Vamos a encontrar la dimensión de la imagen A del ejemplo anterior Ejemplo 9 Imagen A = {(x+y, y)}, entonces los vectores de la imagen se x+ y x y pueden reescribir como x y y = + y = + de donde, generan la imagen A y como son linealmente independientes, podemos asegurar que son una base para imagen A, por lo tanto el rango de la matriz A ρ(a) = 49

18 Unidad 4 Las siguientes definiciones y teoremas nos facilitarán el cálculo del rango de una matriz Definición 46 Sea A una matriz de m n, sean {r, r,, r m } los renglones de A y {c, c,, c n } las columnas de A Entonces definimos R A = espacio de renglones de A = gen {r, r,, r m } C A = espacio de columnas de A = gen {c, c,, c n } Tomando de nuevo el ejemplo 7 tenemos A = entonces R A = gen {(, ), (, )} y C A = gen {(, ), (, )} = imagen A (ejemplo 9) El siguiente teorema nos demuestra que el espacio de las columnas de una matriz es igual a su imagen para cualquier matriz Teorema 47 Para cualquier matriz A, la imagen de A es igual al espacio de sus columnas C A = imagen de A En el siguiente ejemplo vamos a calcular el kernel, la imagen, el rango y la nulidad de una matriz A 5 Ejemplo a) Consideremos A = 3 i) Cálculo del kernel (espacio nulo) de A Para esto vamos a llevar a la matriz aumentada a su forma escalonada reducida por renglones x+ z = de donde obtenemos que y z = de tal manera que x=z y = z y

19 Álgebralineal x z y = z = z de esto se obtiene que z z kernel, es decir N A = gen {(,, )} es una base para el ii) Cálculo de la nulidad de A La nulidad de A = ν(a) = dim N A = iii) Imagen de A La imagen de A = C A = gen, = R ya que son vectores linealmente independientes iv) Rango de A ρ(a) = dim imagen A = dim C A = v) Espacio de renglones R A R A = gen {(,, ), (,, 3)} Consideremos una combinación lineal de ellos igual a cero a(,, ) + b(,, 3) =, entonces a + b =, a b =, a + 3b = de donde obtenemos que a = b =, y por lo tanto dim R A = Observemos que dim R A = dim C A = Será sólo una coincidencia? El siguiente resultado nos muestra que no Teorema 48 Si A es una matriz de m n, entonces: dim R A = dim C A = dim imagen A = ρ(a) Este teorema nos indica que los espacios vectoriales formados por las columnas y por los renglones de una matriz tienen la misma dimensión, y que podemos usar cualquiera de ellos para encontrar el rango de una matriz El siguiente ejemplo nos muestra un método usando los renglones de la matriz 5

20 Unidad 4 Ejemplo Calcula la imagen y el rango de la matriz A = Observemos que los renglones y 3 se obtienen de multiplicar el primer renglón por y 3, respectivamente, por lo que podemos asegurar que dim R A = y por el teorema anterior afirmar que cualquier columna de A es base para la imagen de A y el rango de A es ρ(a) = El siguiente teorema nos simplifica el cálculo de la imagen, el rango y la nulidad Teorema 49 Si la matriz A es equivalente por renglones a la matriz B, entonces R A = R B ; ρ(a) = ρ(b); ν(a) = ν(b) Este teorema es muy importante pues nos dice que para encontrar el rango y la imagen de una matriz basta llevarla a la forma escalonada por renglones para obtener el rango y la imagen También nos brinda un método para encontrar una base para el espacio generado por un conjunto de vectores 5 Ejemplo 3 a) Calcular el rango y la imagen de la matriz A = 4 3 Vamos a reducirla por renglones De aquí podemos observar que dim R A = = ρ(a) y por tanto Imagen de A = gen{(,, ), (,, )} b) Encontrar una base para el espacio generado por el conjunto de vectores de R 3

21 Álgebralineal 53 G = 3 4 4,,, 4 6 Se forma la matriz cuyos renglones son los vectores dados Vamos a llevarla a la forma escalonada por renglones / Entonces una base para gen G es 3, / Un último teorema nos garantiza las dimensiones del rango y la nulidad Teorema 4 Sea A una matriz de m n, entonces ρ(a) + ν(a) = n Es decir, el rango más la nulidad es igual al número de columnas de A Con el ejemplo siguiente comprobaremos el teorema anterior Ejemplo 3 Considera la matriz A = 3, vamos a llevar la matriz aumentada a su forma escalonada reducida por renglones:

22 Unidad entonces dim R A = 3 = ρ(a) Vamos a encontrar la nulidad de A El kernel de A es x = y = z =, por tanto ν(a) = y entonces ρ(a) + ν(a) = 3 + = 3 Ejercicio 4 Encuentra el rango y la nulidad de las siguientes matrices: a) b) Encuentra una base para la imagen y el espacio nulo de las matrices anteriores Matriz de transición Cambio de bases En la sección anterior se manejó que un espacio vectorial podía tener muchas bases, y que por lo tanto cualquier vector del espacio vectorial podía tener coordenadas en cada una de ellas Sin embargo, surge la pregunta: se podrá cambiar de base fácilmente? En la presente sección se dará respuesta a esta pregunta a través de una matriz especial Consideremos un ejemplo en R Sean i = (, ) y j = (, ) la base canónica (B ) para R ; y sean v = (, 3) y v = (, ) vectores de R Consideremos una combinación lineal de v y v igual a cero a(, 3) + b(, ) = entonces a b =, 3a + b = de donde a = b = y por tanto son linealmente independientes y forman otra base B = {v, v } para R

23 Álgebralineal x Sea x = (x, x ) en R, por lo tanto x = x x x = + = x i + x j en términos de la base canónica (B ) y para hacer hincapié en este hecho se x escribe (x) B = x Como B es otra base de R, existen escalares c y c tales que c x = c v + c v y por lo tanto se escribe (x) B = c Para encontrar los escalares c y c vamos a proceder de la siguiente manera: Se escriben los elementos de la base B en términos de la base B = 3 + = 3 + a b y a b entonces, a b = a b = y de estos obtenemos: 3a + b = 3a + b = a = /5; b = 3/5; a = /5; b = /5 por lo tanto: i = (/5)v (3/5)v j = (/5)v + (/5)v Después se escribe el vector sustituyendo las nuevas coordenadas: x x = x = x i + x j = x[ ( / 5) v ( 35 / ) v] + x[ (/ 5) v + ( 5 / ) v] = [( / 5) x + ( 5 / ) x ] v + [ ( 35 / ) x + ( 5 / ) x )] v de donde c = [( / 5) x+ ( 5 / ) x] y c = [ ( 35 / ) x+ ( 5 / ) x] Por último formamos una matriz cuyas columnas sean las coordenadas de los vectores de la primera base en términos de la segunda Por tanto tenemos que c x = c ( / 5) x + ( 5 / ) x = ( 35 / ) x + ( 5 / ) x / 5 /5 = 35 5 x / / x A continuación daremos la definición para esta matriz 55

24 Unidad 4 Definición 47 A la matriz cuyas columnas son las coordenadas de los vectores de la base B en términos de la base B se llama matriz de transición de la base B a la base B Para obtener las coordenadas de cualquier vector en esta nueva base B, basta multiplicar la matriz de transición por las coordenadas del vector en la base B Ejemplo 4 a) Consideremos el vector x = (3, 4), entonces las coordenadas en la base B del ejemplo anterior serán: / 5 5 / 3 / 5 (x) B = 35 / 5 / 4 = para verificarlo tenemos que 3/ 5 (/5)v (3/5)v = /5(, 3) 3/5(, ) = (3, 4) Los siguientes teoremas nos indican formalmente el procedimiento realizado anteriormente que nos permitirá cambiar de una base a otra Teorema 4 Sean B y B bases de un espacio vectorial V Sea A la matriz de transición de B a B Entonces para todo x en V tenemos: (x) B = A(x) B Teorema 4 Si A es la matriz de transición de B a B, entonces A es la matriz de transición de B a B Este teorema hace que sea sencillo encontrar la matriz de transición a partir de una base canónica en R n a cualquier otra base de R n 56

25 Álgebralineal 57 Ejemplo 5 Encontrar la matriz de transición de la base canónica de R 3 a la base B = 3,, Para ello escribiremos la matriz C cuyas columnas son los vectores de B C = 3 esta matriz es la de transición de la base B a la base canónica, ya que los vectores de la base B se encuentran expresados en términos de la base canónica Entonces, por el teorema anterior, la matriz C será la matriz que estamos buscando Es fácil verificar C = / / / / / / / / / Si (x) B = (,, 4), entonces (x) B = / / / / / / / / / = / / / de donde / / / + = 4 Ejercicio 5 Encuentra la matriz de transición de la base B a la base B : B =, B = 3 3 4, Escribe (x, y, z) de R 3 en términos de la base ,,

26 Unidad 4 3 Si en R (x) B = (4, ) donde B = 3 de la base B =, 7 5 3, Escribe x en términos Ejercicios resueltos Encuentra una base para H = {(x, y, z) de R 3 tales que 3x + 6z y = } Sea (x, y, z) en H, entonces 3x + 6z y =, lo reescribimos como y = (3/)x + 3z, entonces todos los elementos de H pueden escribirse de la siguiente manera x x x y = ( 3/ ) x+ 3z = ( 3/ ) x + 3z = x 3/ + z 3 z z z de donde 3/ 3 Probaremos ahora que son linealmente independientes; tomemos una combinación lineal igual a cero: a 3/ + b 3 =, entonces a=, (3/) a+ 3b=, b= de donde a = b = y son linealmente independientes, por lo tanto son una base para H Encuentra las coordenadas del vector (,, 3) relativas a la base B={(,, 3), (,, ), (,, )} Como B es base, existen a, b, c tales que (,, 3) = a(,, 3) + b(,, ) + c(,, ) a+ c= de donde obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones b c= al 3a+ b= 3 a = 6/ 5 resolverlo tenemos que b =35 / por lo tanto (,, 3) = 6/5 (,, 3) c = 4/ 5 3/5 (,, ) + 4/5 (,, ) 58

27 Álgebralineal 59 3 Encuentra el rango, nulidad, y una base para la imagen y el kernel (espacio nulo) de la matriz A = Vamos a llevar la matriz A a la forma escalonada reducida por renglones Por lo tanto ρ(a) = 3 y ν(a) = además,, forman una base para la imagen de A Vamos a obtener una base para el kernel, sabemos que de la última matriz obtenemos el sistema de ecuaciones x w y w z w + = = + = de donde x w y w z w = = =, por lo tanto los elementos del kernel de A podemos escribirlos de la siguiente manera: x y z w w w w w w = = por lo tanto es una base para el kernel de A 4 Encuentra la matriz de transición de la base B = {(, ),(, 3)} a la base B ={(, 3),(5, )} Primero vamos a escribir los elementos de la base B en términos de la base B (, ) = a (, 3) + b(5, ) 5b = y 3a b = de donde b = /5 y a = /5 (, 3) = c (, 3) + d(5, ) 5d = y 3c d = 3 de donde d = /5 y c = 7/5

28 Unidad 4 Ahora vamos a formar la matriz de transición poniendo en sus columnas las coordenadas de los vectores de la base B en términos de la base B : / 5 7 / 5 5 / / 5 5 Usando la matriz de transición del ejercicio anterior escribe las coordenadas del vector (x) B = (, ) en términos de la base B : (x) B = / 5 7 / 5 4/ 5 5 / / 5 = / 5 Ejercicios propuestos Di si el vector B = { 3x, +x, x 5} es base en P Encuentra una base para x y z = x y+ z = 3 Encuentra las coordenadas de los vectores dados en la base indicada: a) (, ) en {(, 3),(, )} b) (,, ) en {(,, 3),(,, ),(,, )} 4 Encuentra una base para 3x y + z = y di cuál es su dimensión 5 Si dim P = 3, {x, 3x, x 5} es base de P? 6 Encuentra una base para la imagen y el espacio nulo (kernel), además del 3 rango y la nulidad de Encuentra la matriz de transición de la base canónica de R, a la base 6

29 Álgebralineal Autoevaluación Es una base para R 3 a) {(,, ), (,, ), (4,, ), (,, )} b) {(, ),(, ),(, )} c) {(,, 3),(,, 3),(, 4, )} d) {(,, ), (3,, ), (,, )} Si {(,, ),(,, )}forman una base para el espacio vectorial G, entonces: a) dim G = b) dim G = c) dim G = 3 d) dim G = H: 3 Si H es un subespacio vectorial de R 3, entonces puede ser una base para a) {(3,, )} b) {(, ),(, )} c) {(,, ), (,, ),(,, )} d) {(,, ),(,, ),(,, ),(,, )} 4 El rango de la matriz a) b) c) 3 d) es: 5 Si una matriz de orden 5 7 tiene nulidad, entonces su rango es: a) 5 b) 3 c) d) 7 6

30 Unidad 4 6 La nulidad de la matriz a) b) c) d) es: es: 7 La matriz de transición en R de la base 3 3, 4 a la base, 3 a) b) 3 4 c) d) 3 6

31 Álgebralineal 63 Respuestas a los ejercicios Ejercicio a) No es base; el polinomio x no puede escribirse como combinación lineal de ellos b) No es base a), b) 3 a) b) / / 4,,, 5,,,

32 Unidad 4 Ejercicio a) (3, ) = (8/5, 7/5) b) (, 4) = (, 3) a) (3, 5/, ) Ejercicio 3 a) F b) V c) F d) F e) F a) dim H = b) dim = Ejercicio 4 a) rango = ; nulidad = b) rango = ; nulidad = a) Imagen A = gen {(, )}; kernel A = gen {(3,, ), (,, )} b) Imagen A = gen {(,, ), (, 4, 4)}; kernel A = gen {( 3,, )} 64 Ejercicio (/ 3) 6x y+ z x+ 7y7z 7x+ 3y9z 3 (x) B = (67, 45)

33 Álgebralineal Respuestas a los ejercicios propuestos Sí es Una base es 3 3 a) (, ) = /5(, 3) 3/5(, ) b) (,, ) = (,, 3) + (,, ) + (,, ) 4 3, dim = 5 Sí es 6 Imagen A = gen {(,, ), (,, )} kernel A = gen {( 6, 4,, ),( 6, 3,, )} rango A = nulidad A = 7 / / / / Respuestas a la autoevaluación c) d) 3 a) 4 c) 5 a) 6 b) 7 a) 65

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