Principios de Mecánica

Transcripción

1 Principios de Mecánica Salamanca,

2 Índice 1. Unidades y dimensiones 1 1. Unidades Sistema Internacional Ecuación de dimensiones Cálculo dimensional Constantes fundamentales Sistema natural de unidades La carga eléctrica como magnitud derivada Cifras significativas y órdenes de magnitud reglas Problemas Cinemática en una dimensión Distinción entre cinemática y dinámica Concepto de partícula Espacio y tiempo Movimiento Medida Homogeneidad del tiempo Movimiento en una dimensión Posición Velocidad Aceleración Ejemplos Condiciones iniciales Posición inicial Velocidad inicial Movimiento uniformemente acelerado Caída libre Problemas i

3 ii 3. Cinemática en el plano Posición de un punto en el plano Vector posición. Coordenadas cartesianas Velocidad Aceleración Movimiento de proyectiles Movimiento circular Movimiento circular uniforme Problemas Leyes de Newton El espacio y el tiempo en mecánica newtoniana La geometría del espacio es euclidiana La Primera Ley Principio de Relatividad de Galileo Transformaciones de Galileo Conservación de los intervalos espaciales Conservación de los intervalos temporales La Segunda Ley Principio de equivalencia Principio de determinación La Tercera Ley Sistemas de referencia no inerciales Problemas Dinámica en una dimensión I Fuerzas de rozamiento Rozamiento estático Rozamiento cinético Fuerzas dependientes del tiempo Fuerzas dependientes de la velocidad Problemas Dinámica en una dimensión II Energía cinética Fuerzas dependientes de la posición Energía Potencial Conservación de la energía Movimiento de una partícula en un potencial Estudio cualitativo del potencial Puntos de retroceso Puntos de equilibrio

4 4. Oscilador armónico simple Lanzamiento vertical de objetos de gran velocidad Problemas Oscilaciones Oscilaciones alrededor de un punto de equilibrio Oscilador armónico Ecuación del movimiento Oscilador armónico amortiguado ejemplos frecuencias características Oscilador infraamortiguado ω 0 > γ Oscilador sobreamortiguado ω 0 < γ Oscilaciones forzadas Fuerza externa periódica Resonancia Problemas iii

5 Capítulo 1. Unidades y dimensiones 1. Unidades La medida de toda magnitud física exige compararla con cierto valor unitario de la misma. Toda magnitud física debe expresarse por un número y una unidad. Todas las magnitudes físicas peden expresarse en función de un pequeño número de unidades fundamentales. La selección de las unidades patrón para estas magnitudes determina un sistema de unidades Sistema Internacional El sistema utilizado universalmente por la comunidad científica es el distema internacional (SI). En el SI la unidad patrón de longitud es el metro, el tiempo patrón es el segundo y la masa patrón es el kilogramo. Existen otros sistemas como el cgs (centimetro, gramo y segundo) o el imperial (pie, libra y segundo) asi como el sistema de unidades naturales que veremos más adelante. 2. Ecuación de dimensiones Si tomamos como magnitudes fundamentales masa, longitud y tiempo, las dimensiones de otras magnitudes se escriben en función de las magnitudes fundamentales Cálculo dimensional La notación es: [] = L a M b T c A veces pueden detectarse errores de cálculo comprobando las dimensiones de las magnitudes que intervienen en él 1

6 2 Capítulo 1 3. Constantes fundamentales Las interacciones físicas determinan contantes tales como: La velocidad de la luz c = 2, (m).(sg) 1 (electromagnetismo) La constante de Planck = 1, kgr.(m) 2.(sg) 1 (mecánica cuántica) La constante de interacción gravitatoria G = 6, (m) 3.(kgr) 1.(sg) 2 (gravitación) 3..1 Sistema natural de unidades Longitud igualando exponentes L = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d 1 = a + 3b + 2d, 0 = a 2b d, 0 = b + d la solución es y por tanto masa a = 3/2, b = d = 1/2 ( ) 1/2 G l 0 = = 1, m c 3 M = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d la solución es y por tanto Tiempo 0 = a + 3b + 2d, 0 = a 2b d, 1 = b + d a = d = 1/2, b = 1/2 m 0 = ( ) 1/2 c = 2, kgr G T = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d 0 = a + 3b + 2d, 1 = a 2b d, 0 = b + d

7 Unidades y dimensiones 3 la solución es y por tanto a = 5/2, b = d = 1/2 ( ) 1/2 G t 0 = = 5, sg c 5 4. La carga eléctrica como magnitud derivada La forma convencional de expresar la fuerza electrostática es: pero en unidades naturales luego La constante de estructura fina es: de forma que Por otro lado luego ê 2 = c 137 F = 1 4πɛ 0 e 2 r 2 F = ê2 r 2 ê 2 = e2 4πɛ = ê2 c = 2, kgr.m3 sg 2 e = 1, cul. 1 = ê2 kgr.m3 = 8, πɛ 0 e2 sg 2.cul 2 5. Cifras significativas y órdenes de magnitud Muchos de los números que se manejan son el resultado de una medida y por tanto sólo se conocen con cierta incertidumbre experimental. La magnitud de este error depende de la habilidad del experimentador y del aparato utilizado y frecuentemente solo se puede estimar. Se suele dar una indicación aproximadade la incertidumbre de una medida mediante el número de dígitos que se utilice. Por ejemplo si decimos que la longitud de una mesa es 2,50 m, queremos decir que probablemente su longitud se encuetra entre 2,495 y 2,505; es decir conocemos su longitud con un error de ±0, 005m = ±0, 5cm.

8 4 Capítulo reglas El número de cifras significativas del resultado de una suma multiplicación o división no debe ser mayor que el menor número de cifras significativas en cualesquiera de los factores. El resultado de la suma o resta de dos números carece de cifras significativas más allá de la última cifra decimal en que ambos números originales tienen cifras significativas. Este tema se tratar con mucho detalle en la asignatura de Técnicas experimentales por lo que no abundaremos más en él por el momento

9 Unidades y dimensiones 5 Problemas del Tema I ( ) 1) Utilizar análisis dimensional para determinar cual de las siguientes ecuaciones está equivocada λ = vt F = m a F = mv t h = v2 2g v = (2gh) 1 2 λ y h son espacio, v es velocidad, t es tiempo, m masa, F fuerza, a y g aceleración 2 ) Si s es distancia y t es tiempo, Cuales deben ser las dimensiones de C 1, C 2, C 3 y C 4 en cada una de las siguientes ecuaciones? s = C 1 t s = 1 2 C 2t 2 s = C 3 sin C 4 t 3 ) Las constantes fundamentales de la naturaleza son la constante G de la gravitación universal, la velocidad c de la luz y la constante de Planck. Construir con estas constantes patrones fundamentales de masa, longitud y tiempo 10 cm c = 3.10 sg, G = 6, cm gr.sg 2 27 gr.cm2 = 1, sg Conparar estos patrones con la masa del protón 1, gr, el radio del sol 6, Km y el año sideral 3, sg 4 ) Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un círculo. La fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, su velocidad y el radio del círculo. Hacer una estimación de esta dependencia 5 ) Una pelota se lanza verticalmente con velocidad v. Utilizar análisis dimensional para determinar (salvo factores numéricos) la altura que alcanza y el tiempo que tarda en caer. Observar que el resultado no depende de la masa (Principio de equivalencia: Todos los cuerpos se mueven igual en el campo gravitatorio con independencia de su masa) 6 ) En el problema anterior introducimos una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad b. Demostrar que para construir longitudes en las que aparezca b es necesario introducir tambien la masa. (En presencia de rozamiento, cuerpos de distinta masa se mueven de distinta forma) 7 ) Expresar la carga del electrón en unidades naturales utilizando la constante de estructura fina. Calcular la permitividad del vacío

10 6 Capítulo 1 8 ) Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de rozamiento que depende del producto de su area superficial y el cuadrado de su velocidad, es decir, F = CAv 2. Determinar las unidades de C 9 ) La tercera ley de Kepler relaciona el perído de un planeta con su radio, la constante de la gravitación y la masa del sol. Qué combinación de estos factores dá las dimensiones correctas: 10 ) Determinar el orden de magnitud de la velocidad de escape en la tierra y en el sol. Hacer lo mismo para la aceleración de la gravedad en la superficie

11 Unidades y dimensiones 7 6. Problemas 1) Utilizar análisis dimensional para determinar cual de las siguientes ecuaciones está equivocada λ = vt F = m a F = mv t h = v2 2g v = (2gh) 1 2 λ y h son espacio, v es velocidad, t es tiempo, m masa, F fuerza, a y g aceleración Solución Está mal la segunda porque m a no tiene dimensiones de fuerza. 2 ) Si s es distancia y t es tiempo, Cuales deben ser las dimensiones de C 1, C 2, C 3, C 4, C 5 y C 6 en cada una de las siguientes ecuaciones? s = C 1 t s = 1 2 C 2t 2 s = C 3 sin C 4 t s = C 5 e C 6t Solución [ s ] [C 1 ] = = LT 1 t [ s ] [C 2 ] = = LT 2 t 2 [C 3 ] = [s] = L [ ] 1 [C 4 ] = = T 1 t [ ] 1 [C 5 ] = = L 1 s [ ] 1 [C 6 ] = = T 1 t

12 8 Capítulo 1 3 ) Las constantes fundamentales de la naturaleza son la constante G de la gravitación universal, la velocidad c de la luz y la constante de Planck. Construir con estas constantes patrones fundamentales de masa, longitud y tiempo c = (cm).(sg) 1 G = 6, (cm) 3.(gr) 1.(sg) 2 = 1, gr.(cm) 2.(sg) 1 Conparar estos patrones con la masa del protón 1, gr, el radio del sol 6, Km y el año sideral 3, sg Solución Longitud igualando exponentes L = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d 1 = a + 3b + 2d, 0 = a 2b d, 0 = b + d la solución es y por tanto En consecuencia masa a = 3/2, b = d = 1/2 ( ) 1/2 G l 0 = = 1, cm c 3 R s = 6, , l 0 R s = 4, l 0 M = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d la solución es y por tanto 0 = a + 3b + 2d, 0 = a 2b d, 1 = b + d a = d = 1/2, b = 1/2 m 0 = ( ) 1/2 c = 2, gr G

13 Unidades y dimensiones 9 En consecuencia m p = 1, , m 0 Tiempo m p = 7, m 0 T = [c] a [G] b [ ] d = (LT 1 ) a (L 3 T 2 M 1 ) b (ML 2 T 1 ) d la solución es y por tanto En consecuencia 0 = a + 3b + 2d, 1 = a 2b d, 0 = b + d a = 5/2, b = d = 1/2 ( ) 1/2 G t 0 = = 5, sg c 5 1sy = 3, , t 0 1sy = t 0

14 10 Capítulo 1 4 ) Un objeto situado en el extremo de una cuerda se mueve según un círculo. La fuerza ejercida por la cuerda depende de la masa del objeto, su velocidad y el radio del círculo. Hacer una estimación de esta dependencia Solución Si ponemos la ecuación dimensional es: F = m a v b R c y por tanto de forma que: y, salvo factores numéricos. MLT 2 = M a (L/T ) b L c 1 = a 1 = b + c 2 = b a = 1, b = 2, c = 1 F = mv2 R

15 Unidades y dimensiones 11 5 ) Una pelota se lanza verticalmente con velocidad v. Utilizar análisis dimensional para determinar (salvo factores numéricos) la altura que alcanza y el tiempo que tarda en caer. Observar que el resultado no depende de la masa (Principio de equivalencia: Todos los cuerpos se mueven igual en el campo gravitatorio con independencia de su masa) Solución Los parámetros del problema son m, v y g. Si queremos construir una longitud L = M a (LT 1 ) b (LT 2 ) c 1 = b + c, 0 = a, 0 = b 2c a = 0, b = 2, c = 1 En cuanto al tiempo l = v2 g t = l/v = v g

16 12 Capítulo 1 6 ) En el problema anterior introducimos una fuerza de rozamiento proporcional a la velocidad con constante de proporcionalidad b. Demostrar que para construir longitudes en las que aparezca b es necesario introducir tambien la masa. (En presencia de rozamiento, cuerpos de distinta masa se mueven de distinta forma) Solución La constante b tendrá dimensiones de fuerza dividido por velocidad. Por tanto [b] = MT 1 Podemos pues construir t = m b

17 Unidades y dimensiones 13 7 ) Expresar la carga del electrón en unidades naturales utilizando la constante de estructura fina. Calcular la permitividad del vacío Solución La forma convencional de expresar la fuerza electrostática es: F = 1 4πɛ 0 e 2 r 2 pero en unidades naturales luego La constante de estructura fina es: F = ê2 r 2 ê 2 = e2 4πɛ = ê2 c de forma que Por otro lado luego ê 2 = c 137 = 2, gr.cm3 sg 2 e = 1, cul. 1 = ê2 gr.cm3 = πɛ 0 e2 sg 2.cul 2

18 14 Capítulo 1 8 ) Cuando un objeto cae a través del aire, se produce una fuerza de rozamiento que depende del producto de su area superficial y el cuadrado de su velocidad, es decir, F = CAv 2. Determinar las unidades de C Solución de forma que MLT 2 = [C]L 2 L 2 T 2 [C] = ML 3

19 Unidades y dimensiones 15 9 ) La tercera ley de Kepler relaciona el perído de un planeta con su radio, la constante de la gravitación y la masa del sol. Qué combinación de estos factores dá las dimensiones correctas: Solución Las dimensiones de G son [G] = [F ]L 2 /M 2 = M 1 L 3 T 2 de forma que Por tanto de forma que T = M a R b G c T = M a L b M c L 3c T 2c 0 = a c 0 = b + 3c 1 = 2c c = 1 2, a = 1 2, b = 3 2 luego T 2 R3 MG

20 16 Capítulo 1 10 ) Determinar el orden de magnitud de la velocidad de escape en la tierra y en el sol. Hacer lo mismo para la aceleración de la gravedad en la superficie Solución Sea v G a m b R c, g G a m b R c siendo m y R la masa y el radio del sol/tierra Haciendo análisis dimensional LT 1 = (M 1 L 3 T 2 ) a M b L c, LT 2 = (M 1 L 3 T 2 ) a M b L c En consecuencia a = b = c = 1/2, a = b = c/2 = 1 de forma que Para la tierra v = Gm R, g = Gm R 2 y por tanto G = 6.67x10 11 m 3 /Kg/sg 2 m = 5.98X10 24 Kg R = 6.38x10 6 m v 7.90x10 3 m/sg = 2.84x10 4 km/h g 9.79m/sg 2 Para el sol y por tanto G = 6.67x10 11 m 3 /Kg/sg 2 m = 1.99X10 30 Kg R = 6.96x10 8 m v 4.37x10 5 m/sg = 1.57x10 6 km/h g 2.74x10 2 m/sg 2