Capítulo 1: Tensiones

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1 Esabldad -a Capíulo Capíulo : Tesoes Tesoes - : NTRODUCCÓN E el curso desarrollaremos la Teoría de la Elascdad, y para ello ada mejor que ecuadrarla e el campo de la Físca Mecáca a la cual pereece: Mecáca - Mecáca de los puos maerales - Mecáca de los Cuerpos Rígdos - Resseca de Maerales (comporameo bajo hpóess smplfcavas - Teoría de la Elascdad (Comporameo elásco - Mecáca del couo - Mecáca del sóldo - Teoría de la plascdad - Teoría de la vsco-elascdad y vscoplascdad - Mecáca de los fludos De algua maera e geería, e sus dsas especaldades y asgauras, se recorre odo el campo de la Mecáca, ya sea e forma eórca como prácca. Respeco a la Mecáca del Sóldo es ecesaro referros a los emas de Resseca de Maerales, ya raados e los cursos de Esabldad y. La Geoeca y Mecáca de Suelos ecesa coocmeos de Elascdad, Plascdad y scosdad e sóldos, así como ambé el esudo de cosruccoes o elemeos dode ervega acero, hormgó, maerales pláscos, asfalos, ec. E el curso os referremos a la elascdad leal y cosderaremos al sóldo como u Medo Couo, auque e realdad sabemos que esá formado por moléculas, co espacos ere ellas, s lo cosderamos desde el puo de vsa mcroscópco. E la geería Cvl y desde ua perspecva macroscópca, podemos cosderar que el Maeral o Sóldo cumple co las sguees Hpóess smplfcavas, que puede ser, de acuerdo a la epereca, asumdas como propedades del sóldo e el raameo de dferees problemas: a HOMOGENEDAD: Eso mplca que el maeral que cosuye el cuerpo ee las msmas caraceríscas físcas y mecácas e cualquer puo del medo. S be eso o es eacamee cero, s cosderamos la esrucura molecular, es acepable cosderar que macroscópcamee los maerales se compora como homogéeos. Aú el hormgó smple puede ser cosderado así, auque es evdee que o ee las msmas propedades e u puo cocdee co el agregado grueso que e oro que esé sobre el morero aglomerae. b SOTROPA: Esa propedad cosdera gualdad de caraceríscas eláscas cualquera sea la dreccó esudada. U ejemplo clásco de fala de soropía (asoropía es la madera, e la cual las caraceríscas físco-mecácas depede de la dreccó que se cosdere respeco a las fbras. Ceros procesos, como el lamado de meales, puede producr asoropía. c CONTNUDAD: El sóldo se compora como u couo, auque o lo sea e su esrucura mcroscópca. Esa hpóess os perme plaear ecuacoes de Faculad de geería - U.N.N.E.

2 Esabldad -a Capíulo : Tesoes equlbro y deformacoes, plaeado solucoes de fucoes couas a las cuales es aplcable el cálculo dferecal. d ELASTCDAD: mplca que al aplcar ua carga los cuerpos sufre ua deformacó que desaparece oalmee al rerarse las cargas. Co refereca a la Elascdad Leal, o sea cuado los efecos so lealmee proporcoales a las cargas, será aplcable el Prcpo de superposcó. -. : CONCEPTO DE TENSÓN P P A A o a a dω dω a df a B Al solo efeco de refrescar alguos coocmeos recordemos que eedemos por esó e u medo couo. Para ello supogamos u sóldo como el de la fgura, cargado co fuerzas e equlbro al cual medae ua seccó a-a dvdmos e dos secores A y B. Aslado el secor A, esrá sobre el las fuerzas P eerores y ua dsrbucó coua de cargas sobre la seccó a-a y que e su cojuo debe equlbrar al cuerpo. Esas cargas o fuerzas dsrbudas sobre la seccó a-a o so mas que la accó del secor B sobre el A acuado e la seccó dω ua fuerza df. Defmos como esó e el puo O sobre ua superfce defda por el versor. df lm dω ΔΩ Δf ΔΩ sedo su dmesó Fuerza/logud. Sea el versor ormal a la superfce dω, podemos descompoer el vecor esó e u puo e sus compoees e las dreccoes cocdee y ormal a. Tesó ormal: (paralelo a Tesó agecal (ormal a o dω z df/dω y omeclaura: y z Sus caraceríscas y maejo so coocdas a ravés de problemas de Esabldad y Esabldad, ere oras asgauras de la carrera. Debemos mecoar que las esoes o se compora eacamee como vecores fuerza, auque ee algua de sus caraceríscas, ya que e realdad las esoes ee carácer esoral (de orde y so represeadas por esores. Eplcemos ambé el ssema de ejes coordeados que ulzaremos, que s be supoe u cambo respeco a los ejes, y, z, ee la veaja de permr, para aquellos que así lo desee, la aplcacó de la oacó dcal. Por eso ulzaremos los ejes,,, equvaledo co esa Faculad de geería - U.N.N.E.

3 Esabldad -a - : ECUACONES DE EQULBRO: Capíulo : Tesoes Esudemos el equlbro de u heaedro dferecal eraído de u sóldo e equlbro. d. d. d d. d o. d. d. d. d. d d d para ver como varía las esoes eras. Sobre dcho heaedro acuará las esoes eras j (que luego veremos compoe ua marz T y que esá e la fgura acompañadas de las compoees cremeadas. Además acúa las fuerzas de masa por udad de volume X (X, X, X que se señala e la fgura sguee por X.dv smplcdad, y dode el dferecal de X.dv volume es: X.dv dv d.d.d o eamos ahora de plaear las codcoes de equlbro del elemeo M F -. : RECPROCDAD DE TENSONES TANGENCALES: Coocdo como Teorema de Cauchy, solo deseamos recordar u coocmeo ya adqurdo que se obee plaeado equlbro de momeo respeco a ejes paralelos a los coordeados. Se debe cumplr que: M M M Faculad de geería - U.N.N.E.

4 Esabldad -a Capíulo : Tesoes Plaeemos el equlbro de momeo respeco a u eje paralelo a y dbujemos solo las esoes que produce momeos. ( (.( d. d d. d d.( d. d.( d. d.( d d. d.. d d. o. d d d. d. d. d. d. d. d. d d. d d. d. d. d. d. d Desprecado el y 4 érmo por ser fésmos de orde superor obeemos: Aálogamee podemos epresar: o e forma dcal: j j que es la epresó del Teorema de Cauchy o Ley de recprocdad de la Tesoes Tagecales. Esa ley dca que la marz del Tesor de Tesoes es smérca respeco de su dagoal prcpal. -. : ECUACONES DFERENCALES DEL EQULBRO: S ahora plaeamos el equlbro de fuerzas segú los ejes (osoros lo plaearemos respeco a y e la fgura colocaremos solo las fuerzas que ee esa dreccó, vemos que esas. d compoees o puede ser arbraras, debedo cumplr ceras codcoes, e odos y cada uo de los puos del sóldo couo. d o X. d. d d d Faculad de geería - U.N.N.E. 4

5 Esabldad -a Capíulo : Tesoes ( Del equlbro F d.d.d.d.d (.d.d ( d.d.d.d.d X.d.d.d Sumado y smplfcado érmos obeemos la ra. de las res sguees ecuacoes dferecales, obeédose las oras dos e forma aáloga: X. X. X. d.d.d Que so las Ecuacoes Dferecales de Equlbro que debe ser e geeral egradas o resuelas cumpledo además co las Codcoes de Borde o de Cooro y asocadas a Ecuacoes de Compabldad de Deformacoes. Co oacó dcal las msmas se epresa: j X j o be: j, X j. Podemos además decr que las compoees j del Tesor de Tesoes (smérco debe cumplr las res ecuacoes o codcoes dferecales que so cosecueca de la coudad de las dsas esoes eras a que esá somedo el sóldo, o sea las j so fucoes couas de las coordeadas (,,. - : ESTADO DE TENSONES EN UN PUNTO - MATRZ DE TENSONES Supogamos u sóldo somedo a u ssema de fuerzas e equlbro, el cual produce u esado de esoes eras que esará asocado a la geomería del cuerpo, a las caraceríscas eláscas y al esado de cargas ere oras cosas. P X O O X X Faculad de geería - U.N.N.E. 5

6 Esabldad -a Capíulo : Tesoes E cada puo del cuerpo defdo por sus coordeadas X, X, X edremos u esado de esoes y esudaremos que pasa e u puo geérco O(X, X, X e el cual aplco u ssema local de ejes ( ; ;. Aslo alrededor del puo O ua porcó fesmal de maera formada por u eraedro OABC aplcado sobre cada ua de las caras la esó correspodee a que esá someda: C (sobre plao ormal a (sobre plao ormal a (sobre plao ormal a (sobre plao ABC, ormal al versor El versor ee águlos (α, α, α y coseos O B drecores (,, respeco de los ejes coordeados (,, A cos α (,, co cos α cos α S descompoemos las esoes segú los res ejes coordeados (,, se obedrá el sguee esado de esoes cuya represeacó y sgfcado se dca e las fguras sguees: C C A O B A O B Dode podemos aprecar que la es ua esó ormal equvalee e ora omeclaura a, y las j co j represea esoes agecales. Co las ueve j acuado sobre los plaos coordeados se forma la Marz de Tesoes. T ( j que como hemos vso e -. por ser j j ua marz smérca y por lo ao Deomado co: T T T Faculad de geería - U.N.N.E. 6

7 Esabldad -a dω superfce ABC dω superfce OBC dω.dω dω / dω dω superfce OAC dω.dω dω / dω dω superfce OAB dω.dω dω / dω Capíulo : Tesoes Plaeado equlbro de fuerzas segú los ejes coordeados: F. dω. dω. dω. dω F F. dω. dω. dω. dω. dω. dω De dode reemplazado dω / dω por : e Noacó dcal:.. j j j j e Noacó Marcal: T T. T.... dω. dω També podemos señalar:..cosϕ.se ϕ ϕ Lo cual os dca que dadas las ueve compoees j de la marz T (Tesoes ormales y agecales sobre los plaos coordeados queda perfecamee defdo el vecor esó e u puo para cualquer dreccó geérca del plao dω (que o es mas que la ercera ley de Newo o segudo posulado de Cauchy. La marz T que defe el esado de esoes e el puo esudado, ambé represea al deomado esor de Tesoes ya que sus compoees cumple co las codcoes que defe al esor caresao de do. orde. A modo de ulzar alguas veajas operavas del cálculo marcal y como ejemplo de su aplcacó demosremos que las compoees de T cumple co las codcoes de ser u esor de do orde, por lo cual bajo ua roacó defda por la marz A se deberá cumplr que: T A.T.A T j a h.a jk. hk eamoslo: T. T. A. A T. pues: A T A - A. A.T. A.T.A T. T. T A.T.A T que es lo que debíamos demosrar, co lo cual podemos afrmar que el Esado de Tesoes ee carácer Tesoral (er Faculad de geería - U.N.N.E. 7

8 Esabldad -a -. : CONDCONES DE BORDE EN TENSONES: Capíulo : Tesoes Hemos mecoado que el esado de esoes debe cumplr co las codcoes o Ecuacoes de Equlbro pero que e los bordes debe ambé cumplr co ceras codcoes (uevamee, la ercer ley de Newo, o sea, accó y reaccó. Ua de las cuales es que las parículas de la superfce ambé debe esar e equlbro. Como e la superfce eeror acúa cargas por udad de superfce, acuará X X sobre X la superfce dferecal dω de la fgura, pues pereece a la superfce eeror o borde del cuerpo. P Sobre los plaos coordeados esá acuado las j,.dω compoees del Tesor de Tesoes T. Del equlbro plaeado e forma smlar a (-., dode e lugar de la esó era acúa la carga eera, obeemos: X.dΩ.dΩ X o.dω X.dΩ X X X Esas so las Codcoes de Borde y debe ser cumpldas ecesaramee por las j e los bordes de aquellas solucoes que se obega de las Ecuacoes Dferecales del Equlbro. - 4 : DRECCONES Y TENSONES PRNCPALES: Defremos como Dreccoes Prcpales a las dreccoes ales que la esó cocde co el versor, y por lo ao co la esó ormal, y por lo ao. Es posble demosrar que para las dreccoes O prcpales las esoes ormales pasa por los valores mámos o mímos, deomádose a dchas esoes co el ombre de Tesoes Prcpales. Sea u esado de esoes represeado por T T T Dode eemos ua dreccó prcpal para la cual. Será eoces. escalar Y además T. T T. Faculad de geería - U.N.N.E. 8

9 Esabldad -a De dode T.. Dode recordado la Marz Udad [ δj ] se puede escrbr: (T.. que desarrollada es: (.... (.. ( Capíulo : Tesoes S omamos como cóga la dreccó prcpal, ese es u ssema de ecuacoes homogéeas dode la solucó rval es que es ua solucó eraña ya que por ser coseos drecores ( ( (. Para que esa ora solucó se debe cumplr co la codcó de que el deermae de los coefcees sea ulo (Roche-Frobeus. ( ( ( Faculad de geería - U.N.N.E. 9 Deermae que desarrollado es ua ecuacó de ercer grado e la esó prcpal que se deoma Ecuacó Caracerísca o Secular co las raíces de dcha ecuacó: ( -.(.( Dode al ser cosae el coefcee que mulplca a ( y sedo el valor de las esoes prcpales depedees del ssema de ejes adopados, será ambé cosaes los coefcees,, deomádose varaes. varae leal o de er. Grado....(. jj j. j varae cuadráco de do. grado T de( j varae de er, grado La ecuacó secular ee raíces e geeral (,, que se puede demosrar que so reales y que represea los valores de las esoes prcpales (Tesoes ormales e plaos co esoes agecales ulas....

10 Esabldad -a Capíulo : Tesoes A dchas esoes prcpales las deomaremos co:,,, o (, (, (. Reemplazada e el ssema (T.. al cual s se le adcoa ( ( ( obedremos la dreccó prcpal (,, Lo msmo para >, y para > Es posble demosrar que las res dreccoes so ormales ere sí, y por lo ao se cumplrá: s j j j j... δj s j E geeral, y a f de dar u orde a las esoes prcpales, las msmas se ordeará: cumplédose, salvo casos especales, que: > > - 4. : EL TENSOR DE TENSONES REFERDO A EJES PRNCPALES: Referecemos la Marz de Tesoes respeco de ejes ; ; cocdees co las dreccoes prcpales. Deomaremos ambé a esos ejes co ( ; ( ; ( La marz de Tesoes referda a los ejes prcpales será: ( O ( ( ( ( ( T. T.... ( ( (... ( ( ( y Meras los varaes valdrá: (.. (. (. ( ( ( (. ( ( ( (. ( ( Por úlmo calcularemos el valor de, o (, referdo a ejes prcpales ( ( ( ( ( ( Faculad de geería - U.N.N.E.. ( ( ( (... (.. ( (. (. (. ( (.

11 Esabldad -a Dode: (. ( ( (. ( ( (.. ( ( (... (.. ( ( (.. ( ( (.. (. 4. ( (. ( ( ( (.. (. (.. Como: Será ( ; ( [ ( [.( (.(.. (. (.. (.. ( ].. ]. [ ( ( Capíulo : Tesoes Faculad de geería - U.N.N.E..(. 4 (. (.. 4 (. (.. ( ;. ( (.. (.. (.. ( ( ( ( (.. ( ( (.. ( ( ( ( ( ( (. (.. (. ]. ( que os dá la esó agecal para u plao de dreccó (,, cuado los ejes de refereca so prcpales : TENSONES TANGENCALES MÁXMAS Y MÍNMAS: E las esoes agecales e geeral el sgo o ee u sgfcado físco especal, so que surge de ua covecó, por lo cual os eresará los valores absoluos Mámos y Mímos. Sabedo eoces que será Mámos y/o Mímos los valores absoluos de cuado ambé lo sea (. Esudaremos esa úlma paredo de ( (. (. (. ( (. (. (. dode eedo e cuea que: será: (...( [...( ] ( ( ( (.( ( (.( ( ( ( [( ( (. ( ( (. Dode para que sea Mámo o Mímo ( se debe cumplr: ( ( y asumedo que ( > ( > (, co ( ( y ( (, será: (..( ( (.[( ( (. ( ( (. ( ( ( ]...[( ( (.( ( (..( ( (.. ( ] (a.[( ( (. ( ( (..( ( ( ] ( Aálogamee para : (b.[( ( (. ( ( (..( ( ( ] Par de ecuacoes e y que al adcoarle: (.( ( ( ( ]

12 Esabldad -a Capíulo : Tesoes (c os perme calcular la dreccó del plao (,, sobre el cual acúa los ( Mámos o Mímos e valor absoluo. Aalcemos las dsas solucoes: ra Solucó: ( De (a y (b de (c ± O ( > α 9 α 9 α Dreccó cocdee co el eje ( coordeado (o co - ( y por lo ao e el plao coordeado ( ( prcpal y por lo ao ( (Mímo. Eso puede verfcarse e la epresó: ( ± ( ( (.. ( ( (.. ( ( al reemplazar:,, da Solucó: ( (. E (a α 9. ( ra Solucó: ( ( ( ( E (b ( ( (..( ( ( ± > α ±45 ; α ±5 De (c ± >α ±45 ; α ±5 ( ( ( ( ± (Mámo E (b α 9 E (a ( ( (..( ( ( ± > α ±45 ; α ±5 De (c ± >α ±45 ; α ±5 ( ( ( ( ± (Mámo Faculad de geería - U.N.N.E.

13 Esabldad -a Capíulo : Tesoes arado las solucoes co o se va dado los oros plaos ormales. Co plaeos smlares pero paredo de : o de: obedríamos oras solucoes que se podría aalzar como ejercacó y dode e defva aparecerá: ( Mímo sobre los plaos prcpales, y a 45 de los ejes ( Mámos. ( ( ( ( ± ( ( ( ( ± ( ( ( ( ± - 5 : FORMA BLNEAL DEL TENSOR DE TENSONES Y CUÁDRCA NDCA- TRZ (DE CAUCHY. Co aerordad sobre la superfce dω habíamos hallado T. ϕ Dode será:. cos ϕ O.se ϕ ( ( S rabajamos e forma vecoral:.... que desarrollada os da: epresó deomada forma bleal del Tesor de Tesoes. Es medao que el valor de la esó ormal de esa epresó puede ser epresada marcalmee por: T T T..T..T. Debemos hacer oar que ao, y varía al varar que defe la dreccó del plao dω, pero que ua vez fjada e el espaco la dreccó del plao, los referdos valores o varía al varar los ejes coordeados que se oma como base. olvedo a la epresó: que e oacó dcal se escrbe: j.. j Traaremos de represear de algua maera la varacó del valor de al varar la dreccó del plao. Fjemos los ejes coordeados y defamos sobre la dreccó u puo Q al que se cumpla: T Faculad de geería - U.N.N.E.

14 Esabldad -a Capíulo : Tesoes OQ r k k cosae posva Las coordeadas de Q, eremo de r, será: r. r. r. r Q( r,, r r o ds y como. r ± k r k. r k Reemplazado,, e la forma bleal y smplfcado: ± k Epresó cuadráca, lugar geomérco de los eremos Q(,, que represea ua ( Cuádrca e el espaco referdo a los ejes que o es mas que ua π π superfce de grado, así como e el espaco de dos dmesoes ( o sea e el plao, la epresó cuadráca represea ua cóca. Q S refermos eso a las dreccoes prcpales la ecuacó de la cuádrca o esaría dada por: (... ± r ( ( ( k ( cuádrca dode ( so las esoes prcpales. k Se cumplrá que: OQ r es versamee proporcoal a la raíz cuadrada del valor absoluo de y además como r es ormal al plao dω, la dreccó de cocde co la de r. Es ambé posble demosrar que el cocde co la dreccó que defe al plao agee e Q (plao π y por lo ao será: π Aclaremos que el plao π ( π defe la dreccó cojugada de para la cuádrca caracerísca y que la msma edrá dreccoes prcpales que cocdrá co las dreccoes prcpales de esoes. La bblografía de la especaldad muesra el po de cuádrca que se dá para los dsos casos de esoes, señalado aquí que puede ser elpsodes e hperbolodes de revolucó o o, esferas, ec. Faculad de geería - U.N.N.E. 4

15 Esabldad -a - 6 : ELPSODE DE TENSONES (O DE LAMÉ Capíulo : Tesoes Refermos a ejes ordaros:... T.... y co... Se puede cosrur ua gráfca que, luego de basae álgebra será: A( ( A( ( A( ( A(4 A(5 Será: A(6 A(7 A(8 A(9 A( Que e el espaco de esoes: A( A( A( A(4. A(5 dode, A ( A( (T A A. A. A. A (6 (7 (8 (9 ( X X ( O P X X ( Propedades: OP Los ejes prcpales del elpsode so las dreccoes prcpales. X X ( Referdo a los ejes prcpales: Las cosaes aes vsas se rasforma: Pero, podemos deducr odo de cero: ( ( T. ( O ( ( ( Faculad de geería - U.N.N.E. 5 A ( ( ( ( s ( s 4,..,9...,, s ( y co ( (

16 Esabldad -a Capíulo : Tesoes ( ( ( Será: ( ( ( ( ( ( Que e el espaco de esoes: ( ( ( Represea u Elpsode de Tesoes o de Lame cuyos ejes prcpales so ( ( ( ( P dreccó de Sedo: OP o ( ( ( ( ( El Elpsode de Tesoes os dá el valor absoluo de y su dreccó. - 7 : TENSOR ESFÉRCO Y DESADOR Aalcemos u esado de esoes defdo por: T Y el valor de.(.( ( ( (. Dadas las propedades de los esores y de las marces que los represea, es posble pesar a T como la suma de dos esores que deomaremos: a Tesor esférco o hdrosáco de esoes: T.. δj b Tesor desvador de esoes: S S S ( T d [Sj] [ j δj. ] S S S ( S S S ( Es medao que se cumple: T T T d Faculad de geería - U.N.N.E. 6

17 Esabldad -a Capíulo : Tesoes El esor esférco ee ua esó cosae sobre las dreccoes prcpales y represea a u esado co ua esó ormal uforme e odas sus dreccoes o esedo esoes agecales e gua dreccó. La cuádrca de Cauchy asocada es ua esfera dode cualquer dreccó es prcpal. Sus varaes so:.. ( ( 7 El esor desvador [S j ] ee sus dreccoes prcpales cocde co las de T [ j ]. Para las dreccoes prcpales se cumplrá que las esoes prcpales será: S ( ( sedo sus varaes: d ( ( ( ( ( ( ( ( ( quedado defda sus esoes y dreccoes prcpales por:.s S( d ( d ( d S ( [( 9.S.( S.S.( S (.(.S (S.( S ( ( ( ] Faculad de geería - U.N.N.E. 7 S.(.( ( [... ] ( 9 [... ] ( 6 [... ] ( 6 d [( ( ( ] ( 6 (.(.(... d (. (. Referdo a dreccoes prcpales: d d [( 6 ( ( ( ( ( ( d.(.( ( ( ( Respeco de las Cuádrcas de Cauchy que aalzamos referda a los ejes prcpales podemos decr: a Tesor esférco: (. ]

18 Esabldad -a ( ± que represea ua esfera. k Capíulo : Tesoes b Tesor desvador: Sedo d ( ( ( ( ( ( S ( S ( S ( Los S ( o so del msmo sgo pues su suma es gual a cero, lo cual os dca ua cuádrca S (. S(. S(. ± k e la cual se cumple que al o ser los res S ( del msmo sgo represea u hperbolode cuyos ejes prcpales cocde co los del esor orgal T. - 8 : TENSOR OCTAÉDRCO: Aalcemos u plao referdo a sus ejes prcpales co: ( o ( ( ( ± ± ( (. (. (. ( ( ( ( ( ( ( ( ( (.. (.. ( ( ( Las ocho caras del ocaedro ee guales valores absoluos de las esoes ocaédrcas. ± ( ( ( ( ( ( ( ( (.. Faculad de geería - U.N.N.E. 8

19 Esabldad -a Capíulo : Tesoes Prácco TENSONES: Problemas resuelos Problema : z Dado el esor de esoes e el puo P T Calcular la eso sobre el plao de la fgura: 4 6? y Resolucó: La ecuacó del plao es C C C, usado los puos por los que pasa el plao sale que para el plao de la fgura: 6 Para el cálculo de r, usado vecores cualesquera del plao ecor EB u e 6e ecor GB v e e 4e 4e Aplcado produco vecoral, obedremos u vecor ormal al plao formado por ambos vecores pereecees al plao e esudo. e e e r r u v ' ' e 8e e ' 8 4 ' 6 Hacédolo versor: e e e ' Obeedo de esa maera el versor que represea al plao EGB, pudedo ahora obeer el vecor esó acuae sobre dcho plao: T e e 9e Problema : Deermar las compoees de la esó agecal sobre el plao del ejercco aeror. r r 7 a Tesó ormal T *T * 7 Faculad de geería - U.N.N.E. 9

20 Esabldad -a Problema : b ( 8. 6 Dado el esor de esoes: T 7 Capíulo : Tesoes Calcular: a Tesor esférco y desvador. b Tesoes prcpales del esor desvador. c Dreccoes prcpales del esor desvador, sabedo que para ese ssema de ecuacoes o leales, las cógas, y se obee: A B C ± ; ± ; ±, co D D D A B C ( ( * ( * ( ( ( * D A B C Tesó prcpal : Resolucó de a: T kk 7 j o δ j Sj Resolucó de b: aplcamos ssemas de Laplace: d ; d -7; d -967 Ra: S ; S 8 ; S -9 Resolucó de c:,788 ;,74 ;,55,94,9,,47,4,87 Problema 4: E u medo de couo, el campo de esoes esá dado por el esor: T ( ( ( / Deermar: a La dsrbucó de fuerzas máscas s a ravés de odo el campo se sasface las ecuacoes de equlbro. b Las esoes prcpales e el puo P ( a,, a c El core mámo e P. d Las esoes desvadoras prcpales e P. Faculad de geería - U.N.N.E.

21 Esabldad -a a Las ecuacoes del equlbro: j ρ.b sedo: ρ : desdad b : fuerza por udad de masa (. j ρ b ρ b Capíulo : Tesoes b T a a 8a ( ( a a 8a 4 ρ b ρ b ρ b ρ b 4 ρ 8a ( a c Core mámo: ma 4,5a 8 d A parr de las esoes ya obedas: o a S S S a 8 a 8 8a 8 a a a 5 a a 6 a Problema 5: Dada la cuádrca e ejes prcpales (de raccó a, z b 4,.5 c 5, a c b S,5 ; calcular y ;( plao defdo por r. b y, co r E u puo P cualquera, 5, r 4, a Deermar el esor de esoes del puo e el que esá defdo la cuádrca., compoees del vecor esó oal sobre el Resolucó puo a como r k y coocedo los valores de y r para el puo P, obeemos Faculad de geería - U.N.N.E.

22 Esabldad -a. r k > k La ecuacó de la cuádrca será, por esar e ejes prcpales:... ± k... ± 4 Capíulo : Tesoes para obeer los valores de las compoees del esor de esoes, esudamos los valores de la cuádrca sobre los ejes coordeados. sobre el eje 4 4.a ± 4 > a 9 sobre el eje 4 4.b ± 4 >. 85 b.5 sobre el eje 4 4. c ± 4 > 9. 6 c 5 quedado por lo ao el esor de esoes: T Resolucó puo b Para coocer los valores de los coseos drecores falaes (eedo e cuea que coocemos uo de ellos, los valores de la marz de esoes y el valor de la esó ormal e la dreccó esudada podemos aplcar el sguee ssema de ecuacoes *.5.85 * * Resolvedo ese ssema de dos ecuacoes co dos cógas obeemos:.497 ;. 79 Problema 6: Usado la ecuacó de balace, deducr la ecuacó dferecal del equlbro. Faculad de geería - U.N.N.E.

23 Esabldad -a Capíulo : Tesoes Resolucó La ecuacó geeral de balace e su forma egral, esablece que para ua propedad ϕ cualquera por udad de masa: ρ d ρk Ad ρ v.dω j.dω 44 ϕ ϕ 4 44 A Cadad de la propedadϕ e u volume de corol Geeracó de esa propedad e. Flujo covecvo salee ( de la propedad a raves de la superfce que rodea. Flujo o covecvo salee ( de la propedad a raves de la superfce que rodea. Dode el flujo covecvo volucra a la velocdad v (hay raspore de masa y el o covecvo o la volucra. es ormal a la superfce cuyo sedo posvo ( es haca fuera. Para deducr lo que buscamos recordemos que la masa se mueve co velocdad v, que el flujo o covecvo es cosudo por las esoes (por accó y reaccó, (debemos omar: ϕ v (velocdad k J A A b (cargas por udad de masa - T (Tesor de esoes ρvd ρbd Aplcado el eorema de Gauss; v dω ρv{ v.dω Tesor!!!! vd, queda: Faculad de geería - U.N.N.E. ( T.dΩ ρv d ρbd dv ( ρv v d dv(t d Además dv ( ρ v v v (v grad( ρ ρ dv(v ρ v grad(v v dv( ρv ρ v grad(v y sumado a la ecuacó de coservacó de masa (ecuacó 4 de Balloffe, M., G. ρ dv ( ρv, aplcado eso a la ecuacó de arrba: v ρ ρ d v( ( dv ( ρvd ρ v grad(v d ρ b d dv (T d v ρ ( b d ρ v grad(v d dv (T d (Ecuacó 57 de B., M., G. que es la coservacó de momeo, Momeum o Momea, que e defva ecerra el cocepo de que la cadad de movmeo es gual al mpulso o, de ora forma, la dervada co relacó al empo de la cadad de movmeo es gual a la suma de fuerzas del ssema (seguda ley de Newo. d C.M..dm ρ.d ; ρ.d F ρ b d T. dω d Como la ecuacó obeda ee e odos sus érmos egrales e relacó al volume, se dv v puede elmar la egral (localzar y queda, eedo e cuea que v.grad(v d (ecuacó de la dervada maeral, hdráulca se ee: dv dv (T ρb ρ ρa s a (cuasesáco y ρ b X, queda la ecuacó de equlbro d deducda e el curso: j dv (T ρb X Xj

24 Esabldad -a Problemas propuesos: Capíulo : Tesoes Problema : Dado el esor de esoes e el puo P T Calcular la eso sobre el plao de la fgura? 4 z 6 y Problema : S los plaos coordeados usados para el sguee esor de esoes so además prcpales, la marz adopa la forma: T a Deerme la compoee ormal y la agecal del vecor esó oal ρ sobre u plao defdo por el vecor ormal :.e.e. e b Deerme las compoees del vecor uaro pereecee a la esó agecal del plao aalzado, e, al que: ρ ˆ. e. Problema : Muesre que la compoee agecal del vecor esó sobre el plao ocaédrco es gual a dode d [.( d ] segudo varae del esor desvador. Problema 4: S dos raíces de la ecuacó cúbca de Laplace so guales, por ejemplo, ( λ ( λ ( ( co y so las correspodees dreccoes prcpales para las que λ y λ Calcular: ( ( a Muesre que es ua dreccó prcpal co esó prcpal gual a ( b Muesre, basado e (a, que cualquer dreccó perpedcular a es ua dreccó prcpal co esó prcpal gual a Problema 5: Muesre que : d S j j dode d segudo varae del esor desvador, S j esor desvador y j esor de esoes. Faculad de geería - U.N.N.E. 4