Teorema del Seno. Teorema del Coseno
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- Jesús del Río Duarte
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1 Para ver una explicación de cada Teorema y algunos ejemplos de solución de triángulos y problemas de aplicación, haga Click sobre el nombre: Teorema del Seno Teorema del Coseno
2 Teorema del Seno Para aclarar el teorema del seno, veamos la siguiente gráfica. C b a A c B El triángulo ABC tiene los lados a, b, c y los ángulos A, B y C El teorema del seno dice que: También se puede escribir de la siguiente forma: El teorema del Seno se usa para solucionar triángulos de los cuales se conocen al menos tres elementos. NO SE PUEDE UTILIZAR cuando se conocen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o cuando se conocen los tres lados. Por ejemplo: los lados a, c tienen el ángulo B comprendido entre ellos. Si conozco solamente esos tres datos, no podré utilizar el teorema del Seno. Veamos un ejemplo de aplicación del teorema del Seno: Solucionar el siguiente triángulo: C 3535 b 8 A 12 B
3 Debemos encontrar los ángulos A y B y el lado b Conocemos: los lados a, c y el ángulo C Debemos utilizar la siguiente relación y reemplazar los valores: Debemos despejar el ángulo A Como ya conocemos dos ángulos, el tercero es más sencillo: Ahora sólo nos falta hallar el lado b, para lo cual utilizaremos la siguiente relación: Despejemos b:
4 Ahora, resolvamos un problema para aplicar el teorema del seno. Desde dos radares en la tierra se observa un avión con ángulos de elevación de 53º y 30º respectivamente. Si la distancia horizontal entre los dos radares es de 120 Km. Cuál es la altura de vuelo del avión en ese momento? Vamos a dibujar la situación: avión B a h=? c radar 53º 30º C D 120 Km A radar Fíjense que h forma un triángulo rectángulo, h es el cateto opuesto del triángulo que forma. Los triángulos rectos que forma h son BCD y ABD. Pero, para poder hallar h debemos hallar uno de los lados del triángulo rectángulo que forma. Puede ser el lado a o el lado c Vamos a resolverlo con el lado a pero igual funciona con el lado c (inténtelo) Primero, debemos encontrar el valor del ángulo B Ahora, podemos aplicar el teorema del Seno: Despejamos a: Ahora que ya conocemos a podemos hallar h, ya que a es la hipotenusa del triángulo y h es el cateto opuesto del triángulo rectángulo BCD.
5 Debemos buscar una función trigonométrica que nos relaciones Cateto Opuesto con Hipotenusa: Ahora simplemente despejamos h y listo: Y listo. Volver al inicio
6 Teorema del Coseno Este teorema es de gran ayuda cuando se requiere solucionar un triángulo del cual se conocen: Dos lados y el ángulo comprendido entre ellos, o Los tres lados Para las demás situaciones se debe utilizar el Teorema del Seno. Vamos a dibujar el triángulo: C b a A c B El siguiente es el teorema del coseno: Vamos a realizar un ejemplo para ver cómo se emplea la fórmula: En un triángulo se conocen los lados: b= 10 c= 15 y el ángulo A= 60º Encontrar el valor del lado a? Recurrimos a la fórmula y reemplazamos los valores:
7 Para despejar debemos quitar el cuadrado. Entonces, sacamos raíz cuadrada al otro lado: Ahora, veamos un ejemplo donde se conocen solamente los tres lados y nos piden encontrar el valor de los tres ángulos: a= 12 b=15 c= 10 Hallar el valor de los 3 ángulos? Recurrimos a la fórmula y reemplazamos los valores: Para despejar el ángulo A debemos sacar el Arccos o Ya conociendo el ángulo A, podemos ahora aplicar el teorema del Seno para hallar el segundo ángulo:
8 Vamos a coger dos y reemplazamos los valores conocidos: Despejamos Ahora debemos despejar el ángulo B, para lo cual sacamos el Arccos Ahora, finalmente, para encontrar el valor del tercer ángulo C, aplicamos la fórmula de que los tres ángulos deben sumar 180º. Y listo. Resuelto el triángulo. A continuación veremos un ejemplo donde se debe aplicar el teorema del Coseno: Desde una Torre, un hombre mide electrónicamente la distancia a dos automóviles ubicados a cada lado de él. También mide el ángulo que forman las líneas imaginarias desde su posición hasta cada auto. Si las medidas fueron: 80 m y 35 m y el ángulo fue de 60º, cuál es la distancia que hay entre los dos automóviles? Para resolver este tipo de problemas, siempre se debe hacer la gráfica para poder entenderlo:
9 A Hombre en la torre c=35m 60º b=80m Auto 1 Auto 2 B a=? C Como pueden ver, nos están preguntando el valor de a y los datos conocidos son los otros dos lados y el ángulo comprendido entre ellos. En esta situación, debemos aplicar el teorema del Coseno y reemplazar los valores conocidos: Para despejar debemos quitar el cuadrado. Entonces, sacamos raíz cuadrada al otro lado: Respuesta: Los automóviles está a una distancia de 69,5 m. Volver al inicio
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