Tema 4: Escuela Politécnica Superior Ingeniería Informática Universidad Autónoma de Madrid

Transcripción

1 Tema 4: Detección n y Corrección n de Errores Ingeniería Informática Universidad Autónoma de Madrid 1

2 Detección n y Corrección n de Errores O B J E T I V O S Conocer cómo pueden detectarse y prevenirse errores que puedan aparecer en los distintos intercambios de información que realiza el ordenador. Aplicar distintos métodos de detección y corrección de errores. TEMA 4: DETECCIÓN Y CORRECCIÓN DE ERRORES 4.1 Control de errores usando paridad 4.2 Códigos de autochequeo y autocorrectores Bibliografía Tema 4: - Introduction to Computer Hardware and Data Communications. P.-A. GOUPILLE. (Prentice Hall, 1993). Cap. 5. 2

3 Conceptos previos Concepto de Código: - De un conjunto de palabras (por ejemplo: Posibles palabras binarias de una longitud determinada), código es un subconjunto - Ejemplo: Código: Palabras de tres bits con sólo un dígito a 1 En las palabras binarias de longitud 3: {000, 001, 010, 011, 100, 101, 110, 111} 3

4 Necesidad del tratamiento de errores Posibilidad de errores - En informática (entre varios ordenadores o en el interior de ellos) la información circula entre diferentes dispositivos y reposa en ciertos dispositivos - Posibles errores: Ruidos en las comunicaciones Defectos en las superficies de los discos, etc. - Los errores consisten en la modificación de la información desde que se emite (o almacena) hasta que se recibe (o se recupera) Cambio de valor de algunos bits (0 1) 4

5 Necesidad del tratamiento de errores Tipos de errores - Aislados: Bit afectado rodeado de bits correctos Simples: 1 bit afectado Múltiples: Más de 1 bit afectado - Ráfagas de errores: Secuencia de bits contiguos con errores Información de partida: Error aislado simple: Errores aislados triples: Ráfaga de error:

6 Tipos de códigosc de tratamientos de errores En lugar de manipular la información, se definen códigos en los que se incluye la información que permite detectar y/o corregir errores Códigos correctores de errores -Uso: Se recibe la información, si se detecta el error se corrige - Situaciones: Cuando no es conveniente retransmitir la información 6

7 Tipos de códigosc de tratamientos de errores Códigos detectores de errores -Uso: Se recibe la información, si se detecta el error se solicita la retransmisión -Situaciones: Suele ser más costoso corregir que detectar Cuando es posible la retransmisión, se solicita 7

8 Conceptos asociados a errores Distancia de Hamming entre dos palabras - Nº de bits que difieren dos palabras -Ejemplo: Distancia Hamming = 4 Se necesitan 4 errores para transformar una palabra en la otra 8

9 Conceptos asociados a errores Distancia de Hamming de un código - Distancia mínima entre las palabras que componen el código - Ejemplo: {100, 111, 011} mín{d(100, 111), d(100, 011), d(111, 011)} = mín{2, 3, 1} = 1 9

10 Conceptos asociados a errores Propiedades para la detección de errores - Para detectar d errores de un bit entre dos palabras, es necesario un código con una distancia de Hamming de al menos d+1 - De otra forma: Con una distancia de Hamming de d se pueden detectar d-1 errores - Ejemplo: C = {001, 010, 100}, d. Hamming = 2 Un error aislado siempre se detecta - Un error en , 011, 000, C Dos errores aislados no se detectan - Dos errores en , 010, 100. Dos pertenecen a C 10

11 Conceptos asociados a errores Propiedades para la corrección de errores - Para corregir d errores de un bit entre dos palabras es necesario un código con una distancia de Hamming de al menos 2d+1 - De otra forma: Con una distancia de Hamming de d se pueden corregir (d-1)/2 errores -Ejemplo:C = { , , , }, d. Hamming = 5 Se pueden detectar d-1 = 5-1 = 4 errores Se pueden corregir (d-1)/2 = 4/2 = 2 errores 11

12 Comprobación de paridad Paridad vertical, longitudinal y cruzada Código i en n Códigos de redundancia cíclica (CRC) (Cyclic Redundancy Codes) 12

13 Comprobación de paridad - VRC (Vertical Redundancy Checking) - La información se coloca en bloques de longitud fija - A los bloques se les añade un bit llamado de paridad y que, normalmente, precede a la información - Criterios para la paridad Bit de paridad par: - Nº total de 1 par: Bit de paridad = 0 - Nº total de 1 impar: Bit de paridad = 1 Bit de paridad impar: - Nº total de 1 par: Bit de paridad = 1 - Nº total de 1 impar: Bit de paridad = 0 13

14 Comprobación de paridad -Ejemplo: Información Criterio Código Paridad par Paridad impar

15 Comprobación de paridad -Ejercicio:Completar el bit de paridad con criterio impar (1) y par (2) 1 2 Información

16 Paridad vertical, longitudinal y cruzada - La información se coloca en grupos de (m) bloques de longitud fija (k) como matriz kxm o mxk 1 2 k 1 2 m 16

17 Paridad vertical, longitudinal y cruzada - Cada bloque: 1 bit para VRC 1 bit para la paridad perpendicular o LRC (Longitudinal Redundancy Checking) 1 bit de paridad cruzada que comprueba paridades 1 2 m 1 2 k Bits de VRC Bits de LRC Bit de paridad cruzada 17

18 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo:Se quiere enviar la información PAG en ASCII (7 bits): ( ) (k = 7, m = 3, matriz 7x3) Se añade: - Bit para VRC criterio par (verde, primera fila) - Bit para LRC criterio par (azul, última columna) - Bit de paridad cruzada criterio par (rosa) 18

19 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 1: VRC En hexadecimal se envía (columnas): LRC Paridad cruzada 19

20 Paridad vertical, longitudinal y cruzada - Evaluación del código Distancia Hamming del código: 4 - Las dos palabras del código más cercanas difieren en un bit de datos - Un cambio en un bit de datos implica (para que la palabra sea correcta):» Cambio en un bit de VRC» Cambio en un bit de LRC» Cambio en el bit de paridad cruzada - Un cambio mínimo implica 4 bits Capacidad de detección y corrección: - Detecta todos los errores simples, dobles y triples - Corrige todos los errores simples 20

21 Paridad vertical, longitudinal y cruzada - Evaluación del código Uso: - Emisión: -Recepción:» Disposición de datos como matrices» Se añaden las paridades VRC, LRC y cruzada» Comprobación de paridad cruzada (requisito)» Comprobación de VRC y LRC: Las posiciones de error en VRC y LRC marcan filas y columnas en cuyas intersecciones puede haber error. Dependiendo del tipo de errores se pueden o no detectar y corregir. 21

22 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 2:Detección y no corrección de errores triples Error triple en el caso anterior (rojo) (se supone que no afecta a las paridades) Errores

23 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 2:Detección y no corrección de errores triples Detección mediante errores en bits de paridad VRC errónea Cruzada correcta LRC errónea 23

24 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 2:Detección y no corrección de errores triples Imposibilidad de corrección: Error en las posiciones sospechosas Bits sospechosos

25 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 3:Detección y no corrección de errores dobles Error doble en el caso anterior (rojo) (se supone que no afecta a las paridades) Errores

26 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 3:Detección y no corrección de errores dobles Detección mediante errores en bits de paridad VRC errónea Cruzada correcta LRC errónea 26

27 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 3:Detección y no corrección de errores dobles Imposibilidad de corrección: No todas las posiciones sospechosas son erróneas Bits sospechosos

28 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 4:Detección y corrección de error simple Error simple en el caso anterior (rojo) (se supone que no afecta a las paridades) Error

29 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 4:Detección y corrección de error simple Detección mediante errores en bits de paridad VRC errónea Cruzada correcta LRC errónea 29

30 Paridad vertical, longitudinal y cruzada -Ejemplo 4:Detección y corrección de error simple La identificación inequívoca del bit erróneo permite su corrección Bit sospechoso y erróneo

31 Códigos i en n - O códigos de verificación de cuenta fija - El código i en n está formado por las palabras binarias de n bits que tienen i bits igual a 1 - Observaciones: Número de palabras posibles de n bits: Variaciones con repetición de 2 elementos tomados de n en n: 2 n Número de palabras del código: Permutaciones de n elementos. 1 se repite i veces y 0 n-i veces n! i! (n - i)! 31

32 Códigos i en n -Ejemplo:Código 4 en 8 4 en 8 está formado por palabras binarias de 8 bits con 4 bits igual a

33 Códigos i en n -Ejemplo:Código 4 en 8 Sobre un total de 2 8 = 256, sólo permite 70: 8! = 70 - Evaluación del código 4! 4! Su distancia de Hamming es 2: Un cambio mínimo de 1 bit (0 1) obliga a cambiar otro para ajustar el número de bits igual a 1 Sólo detecta errores simples que no es capaz de corregir 33

34 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos Es natural contar de forma cíclica - LOS GRADOS: Supongamos que contamos un número de grados entero. El orden es: 0, 1, 2,..., 45,..., 180,..., 357, 358, 359, 360=0, 1, etc. 90º 180º 0º=360º 270º 34

35 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos -LOS GRADOS: Es fácil operar» El siguiente a 359 es 0» El anterior a 0 es 359» Tres más que 358 es 1» Cinco menos que 2 es

36 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos - LAS HORAS DEL DÍA El orden es 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 0, 1,... 6h 12h 0h=24h Y operar es como antes 18h 36

37 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos El conjunto de los enteros módulo 2 -{0, 1} - Su orden cíclico Las operaciones pueden representarse con tablas 1+1=0 0-1= *

38 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos Observaciones sobre los polinomios Q[x] - División de polinomios con coeficientes racionales (Q) Ejemplo: D = 6x 4 + 9x 3 + 5x + 2 y d = 2x 2-1 6x 4 +9x 3 +0x 2 +5x +2 2x 2 +0x -1 6x 4 +0x 3-3x 2 0x 4 +9x 3 +3x 2 +5x +9x 3 +0x 2 -(9/2)x 0x 3 +3x 2 +(19/2)x +2 +3x 2 +0x -(3/2) 0x 2 +(19/2)x +(7/2) 3x 2 +(9/2)x +(3/2) Se obtiene: q = 3x 2 + (9/2)x + (3/2) y r = (19/2)x + (7/2) 38

39 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos Observaciones sobre los polinomios Q[x] Ejemplo: Se puede representar abreviadamente: /2 3/ (9/2) 0 3 +(19/2) (3/2) 0 (19/2) +(7/2) 39

40 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Conceptos previos Polinomios con coeficientes enteros módulo 2 - Se puede demostrar (no objeto de este curso) que esta división también es posible cuando los coeficientes son enteros módulo 2 siempre que las operaciones (resta, productos, etc.) sean definidas en ese conjunto -Ejemplo: D = x 13 + x 12 + x 10 + x 8 + x 7 + x 5 + x 4 y d = x 4 + x Resultado: q = x 9 + x 8 + x 3 + x y r = x 3 + x 2 + x 40

41 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Presentación de la técnica Se interpretan las cadenas de 1 s y 0 s como coeficientes enteros módulo 2 de polinomios Los k bits de cada mensaje se tratan como si fueran los coeficientes de un polinomio M(x), de orden k-1, en el que las operaciones se hacen en módulo 2 Si el mensaje fuese: el polinomio considerado sería: M(x) = 1 x x x x x x x x 0 = = x 7 + x 4 + x 2 + x Se utiliza un polinomio generador G(x) de grado r. Este polinomio está predeterminado, y es el mismo en el emisor y el receptor 41

42 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Presentación de la técnica Operaciones en módulo 2: 0+ 0= =1 1+0=1 1+1=0(sin acarreo) 0 0=0 0 1=1(sin acarreo) 1 0=1 1 1=0 42

43 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - Presentación de la técnica Objetivo del procedimiento: Añadir r bits al mensaje de k bits, de forma tal que el polinomio resultante, T(x), correspondiente a los k+r bits, sea divisible por G(x) El receptor verifica si T(x) es divisible por G(x), y si no lo es hay un error en la transmisión 43

44 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica -Uso de la técnica Emisor (algoritmo a seguir): - Añadir r bits 0 al extremo de menor orden del mensaje. El polinomio correspondiente será x r M(x) - Dividir (módulo 2) x r M(x) entre G(x): x r M(x) = C(x) + R(x) G(x) G(x) C(x) es el cociente y R(x) el resto - Restar a x r M(x) el valor del resto R(x) (esto es equivalente a añadir al mensaje original M(x) el resto R(x)) T(x) = x r M(x) - R(x) - Se obtiene así T(x), cuyos coeficientes (unos o ceros) sustituyen el mensaje a transmitir. T(x) es siempre divisible por G(x) 44

45 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica -Uso de la técnica Receptor: - Recibe el mensaje T (x) del emisor - Divide T (x) entre G(x) - Si el resto es cero, el mensaje ha llegado correctamente (T (x) = T(x)) - Si el resto no es cero, el mensaje ha llegado con error y hay que pedir una retransmisión (T (x) T(x)) 45

46 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica -Ejemplo:Se requiere transmitir Polinomio generador G(x) = x Mensaje: Polinomio generador: 1001 (r=3) Se añaden 3 bits 0 al final del mensaje: Se divide x 3 M(x) entre G(x): Se transmite (4DA 16 ) 46

47 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica - El polinomio generador La selección del polinomio generador es esencial si queremos detectar la mayoría de los errores que ocurran Se puede demostrar (no objeto de este curso) que los polinomios generadores son más potentes con el primer y último bits a 1 Ejemplos de polinomios generadores (estándares internacionales): -CRC-12: x 12 + x 11 + x 3 + x 2 + x + 1 -CRC-16: x 16 + x 15 + x CRC-CCITT: x 16 + x 12 + x 5 + 1» 100% errores simples» 100% errores dobles» 100% errores en un número impar de bits» 100% errores en ráfagas de igual a o menos de 16 bits» % errores de ráfagas de 17 bits» % de errores en ráfagas de 18 o más bits 47

48 Códigos polinómicos o de redundancia cíclica -Ejercicio:Utilizando el polinomio generador G = x 3 + 1, determinar los valores hexadecimales que se transmitirán para mandar el mensaje binario (Solución: 5B2 16 ) 48