MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO

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1 MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO I.E.S La Magdalena. Avilé. Aturia Vao a coniderar ahora oviiento en lo que u velocidad varíe. Lo priero que neceitao conocer e cóo varía la velocidad con el tiepo. De todo lo oviiento variado hay uno, ingularente iportante, en el que la velocidad varía de fora unifore con el tiepo. Eto e, la velocidad varía (auentando o diinuyendo) iepre lo io en un egundo. Ete tipo de oviiento e denoina oviiento uniforeente acelerado. Fíjate en la tabla de la derecha, en ella e puede obervar que la velocidad varía de anera unifore: auenta diez unidade cada egundo. La aceleración ide, preciaente, la taa de variación de la velocidad, o lo que e lo io, la rapidez con que varía la velocidad. En el ejeplo propueto la velocidad auenta 10 / cada egundo. El valor de la aceleración para ete cao erá de 10 / Podeo calcular la aceleración de la fora iguiente: Tiepo () Velocidad (/) 0,00 0,00 1,00 10,00,00 0,00 3,00 30,00 4,00 40,00 a v v1 v t t t 1 Increento de v Increento de t 5,00 50,00 6,00 60,00 7,00 70,00 8,00 80,00 El nuerador de la expreión anterior calcula lo que varía la velocidad (e le llaa "increento" de v). El denoinador calcula el tiepo trancurrido (e le denoina "increento" de t). 9,00 90,00 10,00 100,00 Para el ejeplo anterior e puede calcular la aceleración de la iguiente anera: Para t = 0,00 (oento en el que e epieza a contar el tiepo) la velocidad e nula, y en el intante t = 1,00 la velocidad vale 10,00 /, luego: 10 0 v v1 a 10 t t Podeo hacer el cálculo entre lo intante t =,00 y t = 8,00. En ete cao: v v a 10 t t 8 1 Si repetio el cálculo para do intante cualequiera no aldría lo io. La aceleración e contante y vale 10 /, lo que ignifica que la velocidad auenta diez unidade (10 /) cada egundo. La aceleración e un vector, que puede apuntar en la ia dirección que la velocidad, o en entido contrario. Cuando ueo ecuacione indicareo el entido del vector ediante el igno + ó - (ver ejeplo en la página iguiente) 1

2 4º ESO. IES La Magdalena. Avilé. Aturia Moviiento rectilíneo y uniforeente acelerado MOVIMIENTO RECTILÍNEO Y UNIFORMEMENTE ACELERADO (MRUA) > La trayectoria e una recta > La aceleración e contante La aceleración ide la rapidez con la que varía la velocidad. Se ide en /. Aí una aceleración de 5 / indica que la velocidad auenta a razón de 5 / cada egundo. Ecuacione: v = v 0 + a t = 0 + v 0 t + ½ a t Donde: v 0 = velocidad cuando t =0 0 = ditancia al origen cuando t =0 = ditancia al origen (puede que no coincida con el epacio recorrido) t = 0, ignifica cuando epieza a contare el tiepo o cuando e aprieta el cronóetro Oberva que en el io intervalo de tiepo (1 ) cada vez recorre á epacio, ya que la velocidad va auentando / 4 / 6 / 8 / 10 / 1 / La velocidad auenta iepre lo io en 1. La aceleración e contante. La velocidad auenta linealente con el tiepo. v v La gráfica v - t e una recta. La inclinación de la recta depende de la aceleración. Para calcular v 0 deterinar el punto de corte de la recta con el eje v v 1 t= t t 1 v= v v 1 a v t Para calcular la aceleración del oviiento, calcular la pendiente de la recta a a 1 t 1 t t a > a 1 La gráfica /t e una parábola. La aceleración e poitiva i la parábola e abre hacia arriba y negativa i lo hace hacia abajo. Cuanto á cerrada ea la parábola, ayor aceleración El deplazaiento inicial 0 e deterina viendo el punto de corte con el eje 0 = 0 t

3 4º ESO. IES La Magdalena. Avilé. Aturia Moviiento rectilíneo y uniforeente acelerado Para ecribir la ecuacione de un oviiento rectilíneo y uniforeente acelerado: Fija el origen a partir del cual e va a edir la ditancia. Fija el entido al que e le aigna igno poitivo Deterina el valor de la contante del oviiento: a, 0, v 0 Adapta la ecuacione generale al cao particular utituyendo lo valore de a, 0, v 0 para el cao coniderado. Ten en cuenta que aunque no ueo lo eleento ateático la agnitude que etá uando: ditancia al origen, velocidad, aceleración, on lo que e llaan vectore (uy a enudo lo vectore e repreentan por flecha). Lo vectore adeá de un valor (el núero) tienen una dirección y un entido. Pue bien, el igno no indica el entido del vector (hacia adonde apunta la flecha) Ejeplo 1. Ecribe la ecuacione que decriben el oviiento del punto de la figura v= 0 / t = a = 5 / Solución: Ecuacione generale para el oviiento: v = v 0 + a t = 0 + v 0 t + ½ a t Se toa coo origen de ditancia la línea vertical. Sentido poitivo hacia la derecha. Deterinación de 0: A qué ditancia del origen etá el punto cuando t =0? 0 = 100 Deterinación de v 0 : Cuál e la velocidad del punto cuando t =0? v 0 = 0 / Deterinación de la aceleración: a = - 5 / (igno eno, ya que apunta hacia la izquierda). Ecuacione particulare para ete oviiento: v = 0-5 t = t -,5 t Una vez ecrita la ecuacione e pueden reolver prácticaente toda la cuetione que e quieran plantear. Solaente hay que traducir de nuetro lenguaje al lenguaje de la ecuación que olaente abe de valore de, v ó t. Ejeplo: Cuánto tarda en frenar el punto del ejeplo anterior?. Traducción al lenguaje ecuación: Qué valor toa t cuando v =0? Si v = 0 ; 0 = 0 5 t ; 0 t 4 5 Cuál e u velocidad al cabo de 5,3? Traducción al lenguaje ecuación: Qué valor toa v cuando t = 5,3? Si t = 5,3 ; v = ,3 = - 6,5 / (el igno eno indica que e deplaza hacia la izquierda. Depué de frenar ha dado la vuelta) 3

4 4º ESO. IES La Magdalena. Avilé. Aturia Moviiento rectilíneo y uniforeente acelerado Ejeplo Un cuerpo parte del repoo y coienza a overe. Lo dato toado e recogen en la tabla adjunta. Indicar qué tipo de oviiento tiene y deterinar la ecuacione para el io. Solución: Coo e oberva en la tabla adjunta el epacio recorrido no varía linealente con el tiepo. Eto e: en el intervalo de un egundo recorre cada vez á epacio. Eto indica que u velocidad va auentando. Si e trata de un oviiento uniforeente acelerado el auento de velocidad, o lo que e lo io, u aceleración, erá contante. t( ) ( ) Si el oviiento e uniforeente acelerado deberá cuplir la ecuación: = 0 + v 0 t + ½ a t. Coo en ete cao v 0 = 0, la ecuación quedará: = 0 + ½ a t. Depejando a : 1 a t 0 ; a t 0 Uando la ecuación anterior vao probando con dato correpondiente de t y coprobao i el valor de a e contante: a 6 a 6 a Por tanto etao ante un oviiento uniforeente acelerado con a 6 Para obtener la ecuacione deterinao el valor de v 0 y 0 : v 0 = 0, ya que no lo dicen en el enunciado 0 = 10, ya que e el valor de cuando t = 0 (ver tabla). Ecuacione: v = 6 t = t Lo cuerpo cuando on lanzado al aire o caen libreente, etán oetido a una aceleración contante de 9,8 / (que por iplicidad aproxiareo a 10,0 / ), y que apunta hacia abajo (aceleración de la gravedad), y llevan un oviiento uniforeente acelerado. Ejeplo 3 Una piedra e lanzada verticalente y hacia arriba con una velocidad de 15 /. Deterinar: a) Ecuacione del oviiento. b) Altura áxia alcanzada. c) Valor de la velocidad cuando t = 0,8 y t =,3. Coentar Solución: Equea: g 10 v 15 Origen : el uelo (punto de lanzaiento) Sentido poitivo : hacia arriba Deterinación de v 0 : Cuál e la velocidad cuando t = 0? El tiepo epieza a contar cuando la piedra ale de la ano. Luego v 0 = 15 / Deterinación de 0 : A qué ditancia del origen etá la piedra cuando t =0? Cuando e lanza la piedra etá en el punto de lanzaiento (origen). Luego 0 = 0 Deterinación del valor de a : a = g = - 10 /.. El igno eno e debe a que la aceleración apunta hacia abajo y heo coniderado entido poitivo hacia arriba. a ) Ecuacione: v = t = 15 t 5 t 4

5 4º ESO. IES La Magdalena. Avilé. Aturia Moviiento rectilíneo y uniforeente acelerado b) Cuál e la altura áxia alcanzada? Traducción al lenguaje ecuación: Para qué valor de t, v = 0? (ya que en el punto de altura áxia la piedra e detiene durante un intante) Si v = 0 ; 0 = t ; 15 t 1,5. Tiepo que tarda en alcanzar la altura áxia 10 Ejeplo 4. Para calcular la altura áxia alcanzada calculao la ditancia a la que e encuentra del origen cuando t = 1,5 : = h ax = 15. 1,5 5. 1,5 = 11,5. c) Valore de la velocidad: v (t = 0,8) = ,8 = 7 / v (t =,3) = ,3 = - 8 / Coo e puede obervar al cabo de 0,8 del lanzaiento la piedra aún etá en la fae acendente, ya que el igno de la velocidad e poitivo (entido poitivo: hacia arriba). Coo e ve u velocidad va diinuyendo, debido a que durante el trao de aceno la aceleración lleva entido contrario a la velocidad (oviiento decelerado) Al cabo de,3 la piedra e ueve hacia abajo. El igno e negativo: entido hacia abajo. Efectivaente, a lo 1,5 alcanza la altura áxia y coo la aceleración continúa actuando, coienza u carrera de deceno, pero eta vez al tener el io entido aceleración y velocidad, éta auenta. La gráfica de la izquierda e ha obtenido tra etudiar el oviiento de un cuerpo. a) Qué tipo de oviiento tiene? b) Cuále on u ecuacione? c) Qué ucede para t = 5? v (/) 40 5 t () a) La gráfica v t e una recta con pendiente negativa. Eto no indica que la velocidad diinuye con el tiepo pero de fora lineal (la ia cantidad en 1 ). Luego el oviiento e uniforeente acelerado (con aceleración negativa. Tabién e llaa decelerado). Para calcular la aceleración (deceleración) calculao la pendiente de la recta v t: v v1 Pendiente a 8 t t1 5 0 Oberva lo valore toado: t 1 = 0 v 1 = 40 ; t = 5 v = 0 b) Coo no no dan dato, podeo toar para 0 cualquier valor. Toareo 0 = 0 v 0 = 40 / (leído en la gráfica) a = - 8 / (calculado) Ecuacione: v = 40 8 t ; = 40 t 4 t c) En la gráfica e puede leer que cuando t = 5, v = 0. Luego al cabo de 5 e detiene (e un oviiento decelerado). Si t e ayor de 5, oberva que la línea en la gráfica v t rebaa el eje horizontal epezando la velocidad (valore del eje Y) a toar valore negativo cóo interpreta eto? 5

6 4º ESO. IES La Magdalena. Avilé. Aturia Moviiento rectilíneo y uniforeente acelerado CONCEPTO DE VELOCIDAD INSTANTÁNEA Si coniderao un cuerpo que e ueve con velocidad variable Cóo podeo calcular el valor de la velocidad en un intante deterinado (por ejeplo para t =5 )? La pregunta no e fácil de contetar i penao cóo calculao la velocidad (en realidad u ódulo): Obervao el óvil durante cierto tiepo y dividio el epacio recorrido entre el tiepo que ha tardado en recorrerlo. Eto iplica que heo de toar un intervalo de tiepo (por ejeplo: 1 ), pero coo u velocidad varía, lo que realente etao calculando erá la velocidad edia entre el intante t = 5,0 y t = 6,0. Eto e, la velocidad contante a la que debe overe el óvil para recorrer el epacio coniderado en el io tiepo ,0 5, ,00 30, v 11 1 Qué ocurrirá i haceo á pequeño el intervalo de tiepo? Seguireo calculando una velocidad edia, pero el reultado e aproxiará á al valor bucado. 30,5 5,00 v 10,50 0,50 5,00 5, 01 5,000 5, 001 5,00 5,10 5,00 5, 01 5,10 5,00 v 10,01 0,01 5,01 5,00 v 10,001 0,001 Podeo reiterar el procediiento e ir etrechando cada vez á el intervalo de tiepo. De eta anera vao obteniendo el valor de la velocidad edia entre do punto que etán cada vez á próxio y, en conecuencia, el valor obtenido e irá aproxiando á y á al que la velocidad tendría en el intante t = 5. Qué ocurriría i lográeo calcular eta velocidad edia entre do punto infinitaente próxio? Entonce obtendríao la velocidad en el intante t = 5, con un error infinitaente pequeño (infiniteial). Eto e puede lograr ediante un procediiento ateático denoinado pao al líite, que fora parte del llaado cálculo infiniteial. Velocidad intantánea (ódulo): v li t0 d t dt Se lee: líite de increento de, dividido por increento de t, cuando increento de t tiende a cero o (egunda igualdad) derivada de repecto de t. 6