Movimiento circular y otras aplicaciones de las leyes de Newton

Transcripción

1 Los pasajeos en una montaña usa sepenteante expeimentan una fueza adial hacia el cento de la pista cicula y una fueza hacia abajo debida a la gavedad. (Robin Smith/Getty Images) 6.1 Segunda ley de Newton paa una patícula en movimiento cicula unifome 6.2 Movimiento cicula no unifome 6.3 Movimiento en macos aceleados 6.4 Movimiento en pesencia de fuezas esistivas 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton En el capítulo anteio se pesentaon y se aplicaon las leyes de movimiento de Newton a situaciones que suponen movimiento lineal. Ahoa se analiza un movimiento que es un poco más complejo. Se aplicaán las leyes de Newton a objetos que viajan en tayectoias ciculaes. También se discutiá el movimiento que se obseva desde un maco de efeencia aceleado y el movimiento de un objeto a tavés de un medio viscoso. En mayo medida, este capítulo consiste en una seie de ejemplos seleccionados paa ilusta la aplicación de las leyes de Newton a vaias cicunstancias. 6.1 Segunda ley de Newton paa una patícula en movimiento cicula unifome En la sección 4.4 se discutió el modelo de una patícula en movimiento cicula unifome, en el que una patícula se taslada con una apidez constante v en una tayectoia cicula de adio. La patícula expeimenta una aceleación que tiene una magnitud v 2 a c La aceleación se llama aceleación centípeta poque a S c se diige hacia el cento del cículo. Además, a S c siempe es pependicula a v S. (Si hubiea un componente de aceleación paalelo a v S, la apidez de la patícula cambiaía.) 137

2 138 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton F m F v Figua 6.1 Vista supeio de una bola móvil en una tayectoia cicula en un plano hoizontal. Una fueza F S diigida hacia el cento del cículo mantiene a la bola móvil en su tayectoia cicula. Figua 6.2 Vista supeio de una bola móvil en una tayectoia cicula en un plano hoizontal. Cuando la cueda se ompe, la bola se taslada en diección tangente al cículo. Ahoa se incopoa el concepto de fueza en la patícula en el modelo de movimiento cicula unifome. Examine una bola de masa m que se amaa a una cueda de longitud paa hacela gia con apidez constante en una tayectoia cicula hoizontal, como se ilusta en la figua 6.1. Su peso se sostiene mediante una mesa sin ficción. Po qué la bola se taslada en un cículo? De acuedo con la pimea ley de Newton, la bola se moveía en una línea ecta si no hubiese fueza en ella; sin embago, la cueda evita el movimiento a lo lago de una línea ecta al ejece en la bola una fueza adial F S que la hace segui la tayectoia cicula. Esta fueza se diige a lo lago de la cueda hacia el cento del cículo, como se muesta en la figua 6.1. Si se aplica la segunda ley de Newton a lo lago de la diección adial, la fueza neta que causa la aceleación centípeta se elaciona con la aceleación del modo siguiente: Fueza que causa aceleación centípeta PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 6.1 Diección de viaje cuando la cueda se cota Estudie la figua 6.2 con atención. Muchos estudiantes (de manea eónea) piensan que la bola se moveá adialmente, alejándose del cento del cículo cuando la cueda se cote. La velocidad de la bola es tangente al cículo. Po la pimea ley de Newton, la bola continúa móvil en la misma diección en la que se movía justo cuando desapaece la fueza de la cueda. F ma c m v 2 (6.1) Una fueza que causa una aceleación centípeta actúa hacia el cento de la tayectoia cicula y genea un cambio en la diección del vecto velocidad. Si dicha fueza desapaeciea, el objeto ya no se moveía en su tayectoia cicula; en vez de ello, se moveía a lo lago de una tayectoia en línea ecta tangente al cículo. Esta idea se ilusta en la figua 6.2 paa la bola que gia al final de una cueda en un plano hoizontal. Si la cueda se ompe en algún instante, la bola se mueve a lo lago de la tayectoia en línea ecta que es tangente al cículo en la posición de la bola en ese instante. Pegunta ápida 6.1 Usted viaja en una ueda de la fotuna que gia con apidez constante. La cabina en la que viaja siempe mantiene su oientación coecta hacia aiba; no se inviete. i) Cuál es la diección de la fueza nomal sobe usted desde el asiento cuando está en lo alto de la ueda? a) hacia aiba, b) hacia abajo, c) imposible de detemina. ii) De las mismas opciones, cuál es la diección de la fueza neta sobe usted cuando está en lo alto de la ueda? EJEMPLO 6.1 El péndulo cónico Una pequeña bola de masa m se suspende de una cueda de longitud L. La bola da vueltas con apidez constante v en un cículo hoizontal de adio, como se muesta en la figua 6.3. (Puesto que la cueda hace un ecoido de la supeficie en foma de cono, el sistema se conoce como péndulo cónico.) Encuente una expesión paa v.

3 Sección 6.1 Segunda ley de Newton paa una patícula en movimiento cicula unifome 139 SOLUCIÓN Conceptualiza Examine el movimiento de la bola en la figua 6.3a y obseve que la cueda hace un ecoido en cono y que la bola se mueve en cículo. T L T cos Categoiza La bola en la figua 6.3 no tiene aceleación vetical. Debido a eso, se le modela como una patícula en equilibio especto de la diección vetical. Expeimenta una aceleación centípeta en la diección hoizontal, de modo que se le modela como una patícula en movimiento cicula unifome en esta diección. T sen Analiza Sea la epesentación del ángulo ente la cueda y la vetical. En el diagama de cuepo libe que se muesta en la figua 6.3b, la fueza T S que ejece la cueda se esuelve en una componente vetical T cos y una componente hoizontal T sen que actúa hacia el cento de la tayectoia cicula. Aplique el modelo de patícula en equilibio en la diección vetical: Figua 6.3 (Ejemplo 6.1) a) Péndulo cónico. La tayectoia del objeto es un cículo hoizontal. b) Diagama de cuepo libe paa el objeto. F y T cos u 0 a) b) Use la ecuación 6.1 paa expesa la fueza que popociona la aceleación centípeta en la diección hoizontal: Divida la ecuación 2) ente la ecuación 1) y use sen /cos = tan : Resuelva paa v: Incopoe = L sen a pati de la geometía a la figua 6.3a: 1) T cos u 2) F x T sen u ma c mv 2 v tan u v 2 g g tan u v Lg sen u tan u Finaliza Note que la apidez es independiente de la masa de la bola. Considee lo que ocue cuando va a 90 de modo que la cueda es hoizontal. Puesto que la tangente de 90 es infinita, la apidez v es infinita, lo que dice que la cueda posiblemente no es hoizontal. Si lo fuese, no había componente vetical de la fueza T S paa equiliba la fueza gavitacional en la bola. Po esta azón se mencionó en la figua 6.1 que el peso de la bola se sostiene mediante una mesa sin ficción. EJEMPLO 6.2 Qué tan ápido puede gia? Una bola de kg de masa se une al extemo de una cueda de 1.50 m de lago. La bola da vueltas en un cículo hoizontal como se muesta en la figua 6.1. Si la cueda esiste una tensión máxima de 50.0 N, cuál es la máxima apidez a la que gia la bola antes de que se ompa la cueda? Suponga que la cueda pemanece hoizontal duante el movimiento. SOLUCIÓN Conceptualiza Tiene sentido que, mientas más fuete sea la cueda, más ápido gia la bola antes de que la cueda se ompa. Además, se espea que una bola con mayo masa ompa la cueda a una apidez más baja. ( Imagine gia una bola de boliche en la cueda!) Categoiza Puesto que la bola se mueve en una tayectoia cicula, se le modela como una patícula en movimiento cicula unifome. Analiza Incopoe la tensión y la aceleación centípeta en la segunda ley de Newton: Resuelva paa v: T m v 2 1) v T m

4 140 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton Encuente la apidez máxima que puede tene la bola, que coesponde a la tensión máxima que la cueda esiste: v máx T máx m N m kg 12.2 m>s Finaliza La ecuación 1) muesta que v aumenta con T y disminuye con m más gande, como se espea de la conceptualización del poblema. Qué pasaía si? Suponga que la bola gia en un cículo de mayo adio a la misma apidez v. Es más o menos pobable que la cueda se ompa? Respuesta El adio más gande significa que el cambio en la diección del vecto velocidad seá más pequeño en un intevalo de tiempo dado. Po ende, la aceleación es más pequeña y la tensión equeida en la cueda es más pequeña. Como esultado, es menos pobable que la cueda se ompa cuando la bola viaja en un cículo de adio más gande. EJEMPLO 6.3 Cuál es la máxima apidez del automóvil? Un automóvil de kg, se taslada sobe una cuva, plana hoizontal como se muesta en la figua 6.4a. Si el adio de la cuva es 35.0 m y el coeficiente de ficción estática ente las llantas y el pavimento seco es 0.523, encuente la apidez máxima que alcanza el automóvil y aún así da la vuelta exitosamente. f s SOLUCIÓN Conceptualiza Considee que la autopista cuva es pate de un gan cículo, de modo que el automóvil se taslada en una tayectoia cicula. Categoiza Respecto a la etapa conceptualiza del poblema, el automóvil se modela como una patícula en movimiento cicula unifome en la diección hoizontal. El automóvil no acelea veticalmente, de modo que se modela como una patícula en equilibio en la diección vetical. Analiza La fueza que le pemite al automóvil pemanece en su tayectoia cicula es la fueza de ficción estática. (Es estática poque no ocue deslizamiento en el punto de contacto ente camino y llantas. Si esta fueza de ficción estática fuese ceo po ejemplo, si el automóvil estuviese sobe un camino congelado el automóvil continuaía en una línea ecta y se deslizaía hasta sali del camino.) La apidez máxima v máx que puede tene el automóvil alededo de la cuva es la apidez a la que está a punto de deapa hacia afuea. En este punto, la fueza de ficción tiene su valo máximo f s, máx s n. f s a) Figua 6.4 (Ejemplo 6.3) a) La fueza de ficción estática diigida hacia el cento de la cuva mantiene al automóvil en movimiento en una tayectoia cicula. b) Diagama de cuepo libe paa el automóvil. n b) Aplique la ecuación 6.1 en la diección adial paa la condición de apidez máxima: 1) f s,máx m s n m v 2 máx Aplique el modelo de patícula en equilibio al automóvil en la diección vetical: Resuelva la ecuación 1) paa la apidez máxima y sustituya paa n: 2) v máx F y 0 S n 0 S n m s n m m s m m s g m>s m m>s Finaliza Esta apidez es equivalente a 30.0 mi/h. Po lo tanto, este camino podía beneficiase enomemente de cieto pealte, como en el ejemplo siguiente! Advieta que la apidez máxima no depende de la masa del automóvil, azón po la cual las autopistas cuvas no equieen múltiples límites de apidez paa cubi las vaias masas de los vehículos que usan el camino. Qué pasaía si? Suponga que un automóvil viaja po esta cuva en un día húmedo y comienza a deapa en la cuva cuando su apidez llega sólo a 8.00 m/s. Qué se puede deci aceca del coeficiente de ficción estática en este caso?

5 Sección 6.1 Segunda ley de Newton paa una patícula en movimiento cicula unifome 141 Respuesta El coeficiente de ficción estática ente las llantas y el camino húmedo debe se meno que el existente ente las llantas y un camino seco. Esta expectativa concueda con la expeiencia de conduci, poque un deape es más pobable en un camino húmedo que en un camino seco. Paa compoba la sospecha, se puede esolve la ecuación (2) paa el coeficiente de ficción estática: m s v 2 máx g Al sustitui los valoes numéicos se obtiene m s v 2 máx g m>s m>s m que de hecho es más pequeño que el coeficiente de paa el camino seco. EJEMPLO 6.4 La autopista pealtada Un ingenieo civil quiee ediseña la cuva de la autopista del ejemplo 6.3 en tal foma que un automóvil no tenga que depende de la ficción paa cicula la cuva sin deapa. En otas palabas, un automóvil que se taslada a la apidez diseñada puede supea la cuva incluso cuando el camino esté cubieto con hielo. Dicha ampa seá pealtada, lo que significa que la caetea está inclinada hacia el inteio de la cuva. Suponga que la apidez diseñada paa la ampa es 13.4 m/s (30.0 mi/h) y el adio de la cuva es 35.0 m. Cuál es el ángulo de pealte? n n x n y SOLUCIÓN Conceptualiza La difeencia ente este ejemplo y el ejemplo 6.3 es que el automóvil ya no se mueve en una caetea plana. La figua 6.5 muesta la caetea pealtada, con el cento de la tayectoia cicula del automóvil lejos hacia la izquieda de la figua. Obseve que el componente hoizontal de la fueza nomal paticipa en la geneación de la aceleación centípeta del automóvil. F g Categoiza Como en el ejemplo 6.3, el automóvil se modela como una patícula en equilibio en la diección vetical y una patícula en movimiento cicula unifome en la diección hoizontal. Analiza En un camino a nivel (sin pealte), la fueza que causa la aceleación centípeta es la fueza de ficción estática ente el automóvil y el camino, como se vio en el ejemplo pecedente. Sin embago, si el camino está pealtado en un ángulo, como en la figua 6.5, la fueza nomal n S tiene una componente hoizontal hacia el cento de la cuva. Puesto que la ampa se diseña de modo que la fueza de ficción estática sea ceo, sólo la componente n x = n sen causa la aceleación centípeta. Esciba la segunda ley de Newton paa el automóvil en la diección adial, que es la diección x: 1) F n sen u Figua 6.5 (Ejemplo 6.4) Un automóvil que ecoe una cuva sobe un camino pealtado a un ángulo con la hoizontal. Cuando la ficción es despeciable, la fueza que causa la aceleación centípeta y mantiene al automóvil en movimiento en su tayectoia cicula es la componente hoizontal de la fueza nomal. mv 2 Aplique el modelo de patícula en equilibio al automóvil en la diección vetical: F y n cos u 0 2) n cos u Divida la ecuación 1) ente la ecuación 2): 3) tan u v 2 g Resuelva paa el ángulo : u tan 1 a m>s m m>s 2 2 b 27.6 Finaliza La ecuación 3) muesta que el ángulo de pealte es independiente de la masa del vehículo que enta a la cuva. Si un automóvil ecoe la cuva con una apidez meno que 13.4 m/s, se necesita ficción paa evita que se deslice po el pealte (hacia la izquieda en la figua 6.5). Un conducto que intente supea la cuva a una apidez mayo que 13.4 m/s tiene que depende de la ficción paa evita que deape afuea del pealte (hacia la deecha en la figua 6.5).

6 142 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton Qué pasaía si? Imagine que en el futuo esta misma caetea se constuye en Mate paa conecta difeentes centos coloniales. Es posible ecoela con la misma apidez? Respuesta La educida fueza gavitacional de Mate significaía que el automóvil no pesiona tan fuetemente con la caetea. La educida fueza nomal da como esultado una componente más pequeña de la fueza nomal hacia el cento del cículo. Esta componente más pequeña no seía suficiente paa popociona la aceleación centípeta asociada con la apidez oiginal. La aceleación centípeta se debe educi, lo que se loga al educi la apidez v. En téminos matemáticos, advieta que la ecuación (3) muesta que la apidez v es popocional a la aíz cuadada de g paa una caetea de adio fijo pealtada en un ángulo fijo. Po lo tanto, si g es más pequeña, como lo es en Mate, la apidez v con que la autopista se puede ecoe con seguidad también es más pequeña. EJEMPLO 6.5 A hace el izo! Un piloto de masa m en un avión jet ejecuta un izo, como se muesta en la figua 6.6a. En esta manioba, el avión se mueve en un cículo vetical de 2.70 km de adio con una apidez constante de 225 m/s. supeio v n inf A) Detemine la fueza que ejece el asiento sobe el piloto en la pate infeio del izo. Expese su espuesta en téminos del peso del piloto. R SOLUCIÓN Conceptualiza Obseve con atención la figua 6.6a. En función con la expeiencia al conduci sobe pequeñas colinas en el camino o al viaja en lo alto de una ueda de la fotuna, usted espeaía sentise más ligeo en lo alto de la tayectoia. De igual modo, espeaía sentise más pesado en la pate infeio de la tayectoia. En la pate infeio del izo, las fuezas nomal y gavitacional sobe el piloto actúan en diecciones opuestas, mientas que en la pate supeio del izo estas dos fuezas actúan en la misma diección. La suma vectoial de estas dos fuezas popociona una fueza de magnitud constante que mantiene al piloto móvil en una tayectoia cicula con una apidez constante. Paa poduci vectoes de fueza neta con la misma magnitud, la fueza nomal en la pate infeio debe se mayo que en la pate supeio. Categoiza Ya que la apidez del avión es constante ( cuán pobable es esto?), se puede clasifica este poblema como una patícula (el piloto) en movimiento cicula unifome, complicado po la fueza gavitacional que actúa en todo momento sobe el avión. Analiza Dibuje un diagama de cuepo libe paa el piloto en la pate infeio del izo, como se muesta en la figua 6.6b. Las únicas fuezas que actúan sobe él son la fueza gavitacional hacia abajo F S g S y la fueza hacia aiba n S inf que ejece el asiento. La fueza neta hacia aiba sobe el piloto, que popociona su aceleación centípeta, tiene una magnitud n inf. Aplique la segunda ley de Newton al piloto en la diección adial: v infeio a) b) c) Figua 6.6 (Ejemplo 6.5) a) Un avión ejecuta un izo mientas se mueve en un cículo vetical con apidez constante. b) Diagama de cuepo libe del piloto en la pate infeio del izo. En esta posición, el piloto expeimenta un peso apaente mayo que su peso vedadeo. c) Diagama de cuepo libe paa el piloto en la pate supeio del izo. F n inf m v 2 n sup Resuelva paa la fueza que ejece el asiento sobe el piloto: n inf m v 2 a 1 v 2 g b Sustituya los valoes dados paa la apidez y el adio: n inf a m>s m m>s 2 2 b Po tanto, la magnitud de la fueza n S inf que ejece el asiento sobe el piloto es mayo que el peso del piloto po un facto de De este modo, el piloto expeimenta un peso apaente que es mayo que su peso vedadeo en un facto de 2.91.

7 B) Resolve paa la fueza que ejece el asiento sobe el piloto en la pate supeio del izo. SOLUCIÓN Sección 6.2 Movimiento cicula no unifome 143 Analiza En la figua 6.6c se muesta el diagama de cuepo libe paa el piloto en la pate supeio del izo. Como ya se notó, tanto la fueza gavitacional que ejece la Tiea como la fueza n S sup que ejece el asiento sobe el piloto actúan hacia abajo, de modo que la fueza neta hacia abajo que popociona la aceleación centípeta tiene una magnitud n sup +. Aplique la segunda ley de Newton al piloto en esta posición: F n sup m v 2 n sup m v 2 a v 2 g 1b n sup 1225 m>s2 2 a m m>s b En este caso, la magnitud de la fueza que ejece el asiento sobe el piloto es meno que su peso vedadeo en un facto de 0.913, y el piloto se siente más ligeo. Finaliza Las vaiaciones en la fueza nomal son coheentes con la pedicción en la etapa conceptualiza del poblema. 6.2 Movimiento cicula no unifome En el capítulo 4 se encontó que, si una patícula se mueve con apidez vaiable en una tayectoia cicula, existe, además de la componente adial de aceleación, una componente tangencial que tiene magnitud dv/dt. En consecuencia, la fueza que actúa sobe la patícula también debe tene una componente tangencial y adial. Ya que la aceleación total es a S a S a S t, la fueza total que se ejece sobe la patícula es F S F S F S t, como se muesta en la figua 6.7. (Las fuezas adial y tangencial se expesan como fuezas netas con la notación suma poque cada fueza podía consisti en múltiples fuezas que se combinan.) El vecto F S se diige hacia el cento del cículo y es esponsable de la aceleación centípeta. El vecto F S t tangente al cículo es esponsable de la aceleación tangencial, que epesenta un cambio en la apidez de la patícula con el tiempo. Pegunta ápida 6.2 Una cuenta se desliza libemente, con apidez constante, a lo lago de un alambe cuvo que se encuenta sobe una supeficie hoizontal, como se muesta en la figua 6.8. a) Dibuje los vectoes que epesentan la fueza que ejece el alambe sobe la cuenta en los puntos, y. b) Suponga que la cuenta de la figua 6.8 aumenta de velocidad con aceleación tangencial constante mientas se mueve hacia la deecha. Dibuje los vectoes que epesentan la fueza sobe la cuenta en los puntos, y. F F t F Figua 6.7 Cuando la fueza neta que actúa sobe una patícula móvil en una tayectoia cicula tiene una componente tangencial F t, la apidez de la patícula cambia. La fueza neta que se ejece sobe la patícula en este caso es la suma vectoial de la fueza adial y la fueza tangencial. Esto es, F S F S F S t. Figua 6.8 (Pegunta ápida 6.2) Una cuenta se desliza a lo lago de un alambe cuvo.

8 144 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton EJEMPLO 6.6 Mantenga los ojos en la bola Una pequeña esfea de masa m se une al extemo de una cueda de longitud R y se pone en movimiento en un cículo vetical en tono a un punto fijo O, como se ilusta en la figua 6.9. Detemine la tensión en la cueda en cualquie instante cuando la apidez de la esfea sea v y la cueda fome un ángulo con la vetical. SOLUCIÓN Conceptualiza Compae el movimiento de la esfea en la figua 6.9 con la del avión en la figua 6.6a asociada con el ejemplo 6.5. Ambos objetos viajan en una tayectoia cicula. Sin embago, a difeencia del avión en el ejemplo 6.5, la apidez de la esfea no es unifome en este ejemplo poque, en la mayoía de los puntos a lo lago de la tayectoia, la fueza gavitacional que se ejece sobe la esfea suge una componente tangencial de aceleación. v sup R T O T sup T inf Categoiza La esfea se modela como una patícula bajo una fueza neta y móvil en una tayectoia cicula, peo no es una patícula en movimiento cicula unifome. Es necesaio usa las técnicas contenidas en esta sección aceca del movimiento cicula no unifome. Analiza A pati del diagama de cuepo libe en la figua 6.9, se ve que las únicas fuezas que actúan sobe la esfea son la fueza gavitacional F S g S que ejece la Tiea y la fueza T S que ejece la cueda. Se descompone F S g en una componente tangencial sen y ota componente adial cos. Aplique la segunda ley de Newton a la esfea en la diección tangencial: Aplique la segunda ley de Newton a las fuezas que actúan sobe la esfea en la diección adial y note que tanto T S como a S se diigen hacia O : cos sen v inf Figua 6.9 (Ejemplo 6.6) Fuezas que actúan sobe una esfea de masa m conectada a una cueda de longitud R y que gia en un cículo vetical con cento en O. Las fuezas que actúan sobe la esfea se muestan cuando la esfea está en la pate supeio e infeio del cículo y en una posición abitaia. F t sen u ma t a t g sen u F T cos u T a v 2 Rg mv 2 R cos ub Finaliza Evalúe este esultado en las pates supeio e infeio de la tayectoia cicula (figua 6.9): T sup a v 2 sup Rg 1b T inf a v 2 inf Rg Estos esultados tienen la misma foma matemática que las fuezas nomales n sup y n inf sobe el piloto en el ejemplo 6.5, que es consistente con la fueza nomal sobe el piloto, que juega el mismo papel físico en el ejemplo 6.5 que la tensión en la cueda juega en este ejemplo. No obstante, tenga en mente que v en las expesiones anteioes vaía paa difeentes posiciones de la esfea, como se indica mediante los subíndices, mientas v en el ejemplo 6.5 es constante. Qué pasaía si? Y si la bola se pone en movimiento con una apidez meno? a) Qué apidez tendía la bola mientas pasa sobe la pate supeio del cículo si la tensión en la cueda tiende a ceo instantáneamente en este punto? Respuesta Sea la tensión igual a ceo en la expesión paa T sup : 0 a v 2 sup Rg 1b S v sup Qué sucedeía si la bola se pone en movimiento de tal modo que la apidez en la pate supeio sea meno que este valo? Qué ocue? Respuesta En este caso, la bola nunca llega a la pate supeio del cículo. En algún punto en el camino hacia aiba, la tensión en la cueda va a ceo y la bola se conviete en un poyectil. Sigue un segmento de una tayectoia paabólica sobe la pate supeio de su movimiento, y se vuelve a incopoa a la tayectoia cicula en el oto lado cuando la tensión se vuelve distinta de ceo nuevamente. gr 1b

9 Sección 6.3 Movimiento en macos aceleados Movimiento en macos aceleados Las leyes de movimiento de Newton, que se pesentaon en el capítulo 5, desciben obsevaciones que se ealizan en un maco de efeencia inecial. En esta sección se analiza cómo son aplicadas las leyes de Newton po un obsevado en un maco de efeencia inecial, es deci, en uno que acelea. Po ejemplo, ecuede la discusión de la mesa de hockey de aie en un ten en la sección 5.2. El ten móvil con velocidad constante epesenta un maco inecial. Un obsevado en el ten ve que el disco en eposo pemanece en eposo, y paece obedece la pimea ley de Newton. El ten que acelea no es un maco inecial. De acuedo con usted, como el obsevado en este ten, paece no habe fueza sobe el disco, y sin embago acelea desde el eposo hacia la pate tasea del ten, lo que paece viola la pimea ley de Newton. Esta es una popiedad geneal de las obsevaciones ealizadas en macos no ineciales: paece habe aceleaciones no explicadas de los objetos que no están amaados al maco. Desde luego, la pimea ley de Newton no se viola. Sólo paece violase debido a las obsevaciones hechas en un maco no inecial. En geneal, la diección de la aceleación inexplicable es opuesta a la diección de la aceleación del maco no inecial. En el ten que acelea, mientas obseva al disco acelea hacia la pate tasea del ten, puede conclui, especto a su ceencia en la segunda ley de Newton, que una fueza actuó sobe el disco paa hacelo acelea. A una fueza apaente como ésta se le llama fueza ficticia poque se debe a un maco de efeencia aceleado. Una fueza ficticia paece actua sobe un objeto de la misma manea que una fueza eal. Sin embago, las fuezas eales siempe inteactúan ente dos objetos, y usted no puede identifica un segundo objeto paa una fueza ficticia. ( Cuál segundo objeto inteactúa con el disco paa hacelo acelea?) El ejemplo del ten descibe una fueza ficticia debido a un cambio en la apidez del ten. Ota fueza ficticia se debe al cambio en la diección del vecto velocidad. Paa compende el movimiento de un sistema que no es inecial debido a un cambio en diección, examine un automóvil que viaja a lo lago de una autopista con gan apidez y se apoxima a una ampa de salida cuva, como se muesta en la figua 6.10a. A medida que el automóvil toma la ceada cuva izquieda en la ampa, una pesona que se sienta en el lado del copiloto se desliza hacia la deecha y golpea la pueta. En dicho punto la fueza que ejece la pueta sobe la copiloto evita que salga expulsada del automóvil. Qué la impulsa hacia la pueta? Una explicación popula, peo incoecta, es que una fueza que actúa hacia la deecha en la figua 6.10b la empuja hacia afuea desde el cento de la tayectoia cicula. Aunque con fecuencia se le llama fueza centífuga, es una fueza ficticia debida a la aceleación centípeta asociada con la diección cambiante del vecto velocidad del automóvil. (El conducto también expeimenta este efecto peo sabiamente se sostiene del volante paa evita deslizase hacia la deecha.) La explicación coecta del fenómeno es la siguiente: antes de que el automóvil ente a la ampa, la copiloto es móvil en una tayectoia en línea ecta. A medida que el automóvil enta a la ampa y ecoe una tayectoia cuva, la copiloto tiende a movese a lo lago de la tayectoia ecta oiginal, lo que está en concodancia con la pimea ley de Newton: la tendencia natual de un objeto es continua móvil en una línea ecta. No obstante, si una fueza suficientemente gande (hacia el cento de cuvatua) actúa sobe ella, como en la figua 6.10c, ella se mueve en una tayectoia cuva junto con el automóvil. Esta es la fueza de ficción ente ella y el asiento del automóvil. Si esta fueza de ficción no es suficientemente gande, el asiento sigue una tayectoia cuva mientas la pasajea continúa en la tayectoia en línea ecta del automóvil antes de que el automóvil comience a gia. Po lo tanto, desde el punto de vista de un obsevado en el automóvil, la pasajea se desliza hacia la deecha en elación con el asiento. Al final, ella encuenta la pueta, que popociona una fueza suficientemente gande paa pemitile segui la misma tayectoia cuva que el automóvil. Ella se desliza hacia la pueta no a causa de una fueza exteio sino poque la fueza de ficción no es suficientemente gande paa pemitile viaja a lo lago de la tayectoia cicula seguida po el automóvil. Ota inteesante fueza ficticia es la fueza de Coiolis. Es una fueza apaente causada al cambia la posición adial de un objeto en un sistema coodenado en otación. Fueza eal a) b) c) Fueza ficticia Figua 6.10 a) Un automóvil se apoxima a una ampa de salida cuva. Qué hace que una pasajea en el asiento de adelante se mueva hacia la pueta deecha? b) Desde el maco de efeencia de la pasajea, una fueza paece empujala hacia la pueta deecha, peo es una fueza ficticia. c) En elación con el maco de efeencia de la Tiea, el asiento aplica una fueza eal hacia la izquieda sobe la pasajea, lo que hace que ella cambie de diección junto con el esto del automóvil.

10 146 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton Vista de acuedo con un obsevado fijo especto de la Tiea Vista de acuedo con un obsevado fijo especto de la platafoma giatoia Amigo en t 0 Amigo en t t f Bola en t t f Usted en t t f Usted en t 0 a) b) Bola en t 0 Figua 6.11 a) Usted y su amigo se sientan en el bode de una platafoma giatoia. En esta vista supeio que obseva alguien en un maco de efeencia inecial unido a la Tiea, usted lanza la bola en t 0 en la diección de su amigo. En el tiempo t f, cuando la bola llega al oto lado de la platafoma giatoia, su amigo ya no está ahí paa atapala. De acuedo con este obsevado, la bola sigue una tayectoia en línea ecta, consistente con las leyes de Newton. b) Desde el punto de vista de su amigo, la bola via a un lado duante su vuelo. Su amigo intoduce una fueza ficticia que causa esta desviación de la tayectoia espeada. Esta fueza ficticia se llama fueza de Coiolis. PREVENCIÓN DE RIESGOS OCULTOS 6.2 Fueza centífuga Fueza centífuga es un concepto comúnmente escuchado, que se descibe como una fueza que jala hacia afuea sobe un objeto móvil en una tayectoia cicula. Si usted siente una fueza centífuga cuando está en un causel, cuál es el oto objeto con el que inteactúa? No es capaz de identifica oto objeto poque es una fueza ficticia que ocue debido a que usted está en un maco de efeencia no inecial. Po ejemplo, suponga que usted y un amigo están en lados opuestos de una platafoma cicula giatoia y decide lanza una bola de beisbol a su amigo. La figua 6.11a epesenta lo que un obsevado veía si contempla la bola mientas flota en el aie en eposo sobe la platafoma giatoia. De acuedo con este obsevado, quien está en un maco inecial, la bola sigue una línea ecta de acuedo con la pimea ley de Newton. En t = 0 usted lanza la bola hacia su amigo, peo en el tiempo t f cuando la bola cuza la platafoma, su amigo se movió a una posición nueva. Sin embago, ahoa considee la situación desde el punto de vista de su amigo. Su amigo está en un maco de efeencia no inecial poque expeimenta una aceleación centípeta en elación con el maco inecial de la supeficie de la Tiea. Comienza a ve la bola que se apoxima hacia él peo, confome cuza la platafoma, via a un lado como se muesta en la figua 6.11b. Po lo tanto, su amigo en la platafoma giatoia afima que la bola no obedece la pimea ley de Newton y dice que una fueza es la causante de que la bola siga una tayectoia cuva. Esta fueza ficticia se llama fueza de Coiolis. Las fuezas ficticias pueden no se fuezas eales, peo tienen efectos eales. Un objeto en el tableo de su automóvil ealmente se desliza si usted pisa el aceleado de su vehículo. Mientas viaja en un causel, siente que lo empujan hacia afuea como si se debiese a la ficticia fueza centífuga. Es pobable que usted caiga y se lesione debido a la fueza de Coiolis si camina a lo lago de una línea adial mientas un causel gia. (Uno de los autoes lo hizo y sufió sepaación de ligamentos en las costillas cuando cayó.) La fueza de Coiolis debida a la otación de la Tiea es esponsable de los gios de los huacanes y de las coientes oceánicas a gan escala. Pegunta ápida 6.3 Considee a la pasajea en el automóvil que da vuelta a la izquieda en la figua Cuál de las siguientes opciones es coecta en elación con las fuezas en la diección hoizontal si ella hace contacto con la pueta deecha? a) La pasajea está en equilibio ente fuezas eales que actúan hacia la deecha y fuezas eales que

11 actúan hacia la izquieda. b) La pasajea está expuesta sólo a fuezas eales que actúan hacia la deecha. c) La pasajea está dependiente sólo a fuezas eales que actúan hacia la izquieda. d) Ninguno de estos enunciados es vedadeo. Sección 6.3 Movimiento en macos aceleados 147 EJEMPLO 6.7 Fuezas ficticias en movimiento lineal Una pequeña esfea de masa m cuelga mediante una cueda del techo de un vagón que acelea hacia la deecha, como se muesta en la figua El obsevado no inecial en la figua 6.12b afima que una fueza, que se sabe es ficticia, povoca la desviación de la cueda de la vetical que obseva. Cómo se elaciona la magnitud de esta fueza con la aceleación del vagón medida po la obsevadoa inecial en la figua 6.12a? T a Obsevadoa inecial SOLUCIÓN Conceptualiza Identifíquese en el luga de cada uno de los dos obsevadoes de la figua Como obsevado inecial en el suelo, usted ve que el vagón acelea y sabe que la desviación de la cueda se debe a esta aceleación. Como obsevado no inecial en el vagón, imagine que ignoa cualquie efecto del movimiento del cao de modo que no está al tanto de su aceleación. Puesto que no está al tanto de esta aceleación, usted afima que una fueza empuja hacia los lados la esfea paa causa la desviación de la cueda de la vetical. Paa tene ideas más eales, intente coe desde el eposo mientas sostiene un objeto que cuelga de una cueda y pecibe que la cueda está en un ángulo con la vetical mientas usted acelea, como si una fueza empujaa el objeto hacia atás. Categoiza Paa la obsevadoa inecial, la esfea se modela como una patícula bajo una fueza neta en la diección hoizontal y una patícula en equilibio en la diección vetical. Paa el obsevado no inecial, la esfea se modela como una patícula en equilibio paa la cual una de las fuezas es ficticia. F ficticia T a) b) Obsevado no inecial Figua 6.12 (Ejemplo 6.7) Una pequeña esfea suspendida del techo de un vagón que acelea hacia la deecha se desvía como se muesta. a) Una obsevadoa inecial en eposo afuea del vagón afima que la aceleación de la esfea es poducto de la componente hoizontal de T S. b) Un obsevado no inecial que viaja en el vagón dice que la fueza neta sobe la esfea es ceo y que la desviación de la cueda de la vetical se debe a una fueza ficticia F S ficticia que equiliba la componente hoizontal de T S. Analiza De acuedo con la obsevadoa inecial en eposo (figua 6.12a), las fuezas sobe la esfea son la fueza T S que ejece la cueda y la fueza gavitacional. La obsevadoa inecial concluye que la aceleación de la esfea es la misma que la del vagón y que dicha aceleación la poduce la componente hoizontal de T S. Aplique la segunda ley de Newton en foma de componentes a la esfea, de acuedo con la obsevadoa inecial: Obsevadoa inecial e 12 F x T sen u ma 22 F y T cos u 0 De acuedo con el obsevado no inecial que viaja en el vagón (figua 6.12b), la cueda también foma un ángulo con la vetical; sin embago, paa dicho obsevado, la esfea está en eposo y de este modo su aceleación es ceo. Po lo tanto, el obsevado no inecial intoduce una fueza ficticia en la diección hoizontal paa equiliba la componente hoizontal de T S y afima que la fueza neta sobe la esfea es ceo. Aplique la segunda ley de Newton en foma de componentes a la esfea, de acuedo con el obsevado no inecial: Obsevado no inecial F x T sen u F ficticia 0 F y T cos u 0 Estas expesiones son equivalentes a las ecuaciones 1) y 2) si F ficticia ma, donde a es la aceleación de acuedo con el obsevado inecial.

12 148 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton Finaliza Si se tuviese que hace esta sustitución en la ecuación paa F x anteio, el obsevado no inecial obtiene los mismos esultados matemáticos que la obsevadoa inecial. No obstante, la intepetación física de la desviación de la cueda difiee en los dos macos de efeencia. Qué pasaía si? Suponga que la obsevadoa inecial quiee medi la aceleación del ten mediante el péndulo (la esfea que cuelga de la cueda). Cómo podía hacelo? Respuesta La intuición dice que el ángulo que la cueda foma con la vetical debe aumenta confome aumenta la aceleación. Al esolve las ecuaciones 1) y 2) simultáneamente paa a, la obsevadoa inecial puede detemina la magnitud de la aceleación del vagón al medi el ángulo y usa la elación a g tan. Puesto que la desviación de la cueda de la vetical sive como una medida de aceleación, se puede usa un péndulo simple como aceleómeto. 6.4 Movimiento en pesencia de fuezas esistivas En el capítulo 5 se descibió la fueza de ficción cinética que se ejece sobe un objeto que se mueve sobe alguna supeficie. Se ignoó po completo cualquie inteacción ente el objeto y el medio a tavés del que se mueve. Ahoa considee el efecto de dicho medio, que puede se o un líquido o un gas. El medio ejece una fueza esistiva R S sobe el objeto móvil a tavés de él. Algunos ejemplos son la esistencia del aie asociada con los vehículos móviles (a veces llamado aaste de aie) y las fuezas viscosas que actúan sobe los objetos móviles a tavés de un líquido. La magnitud de R S depende de factoes tales como la apidez del objeto, y la diección de R S siempe es opuesta a la diección de movimiento del objeto en elación con el medio. La magnitud de la fueza esistiva depende de la apidez en una foma compleja y aquí sólo se considean dos modelos simplificados. En el pime modelo se supone que la fueza esistiva es popocional a la apidez del objeto móvil; este modelo es válido paa objetos que caen lentamente a tavés de un líquido y paa objetos muy pequeños, como las patículas de polvo, que se mueven a tavés del aie. En el segundo modelo, se supone una fueza esistiva que es popocional al cuadado de la apidez del objeto móvil; los objetos gandes, como un paacaidista móvil en caída libe a tavés del aie, expeimenta tal fueza. Modelo 1: Fueza esistiva popocional a la velocidad del objeto Si la fueza esistiva que actúa sobe un objeto móvil a tavés de un líquido o gas se modela como popocional a la velocidad del objeto, la fueza esistiva se puede expesa como R S bv S (6.2) donde b es una constante cuyo valo depende de las popiedades del medio y de la foma y dimensiones del objeto y v S es la velocidad del objeto en elación con el medio. El signo negativo indica que R S está en la diección opuesta a v S. Considee una pequeña esfea de masa m que se libea desde el eposo en un líquido, como en la figua 6.13a. Si supone que las únicas fuezas que actúan sobe la esfea son la fueza esistiva R S b v S y la fueza gavitacional F S g, desciba su movimiento. 1 Al aplica la segunda ley de Newton al movimiento vetical, elegi la diección hacia abajo como positiva y nota que F y bv, se obtiene bv ma m dv dt (6.3) donde la aceleación de la esfea es hacia abajo. Al esolve esta expesión paa la aceleación dv/dt se obtiene 1 Sobe un objeto sumegido también actúa una fueza de flotación. Esta fueza es constante y su magnitud es igual al peso del líquido desplazado. Esta fueza cambia el peso apaente de la esfea en un facto constante, de modo que aquí se ignoaá dicha fueza. Las fuezas de flotación se discuten en el capítulo 14.

13 Sección 6.4 Movimiento en pesencia de fuezas esistivas 149 v 0 a g v v T v R v v T a v T a) b) c) t Figua 6.13 a) Una pequeña esfea que cae a tavés de un líquido. b) Diagama de movimiento de la esfea mientas cae. Se muestan los vectoes velocidad (ojo) y aceleación (violeta) paa cada imagen después de la pimea. c) Gáfica apidez-tiempo paa la esfea. La esfea se apoxima a una apidez máxima (o teminal) v T y la constante de tiempo es el tiempo en el que llega a una apidez de 0.632v T. dv dt g b m v (6.4) Esta ecuación se llama ecuación difeencial y los métodos paa esolvela pueden no sele familiaes todavía. No obstante, note que, inicialmente, cuando v 0, la magnitud de la fueza esistiva también es ceo y la aceleación de la esfea es simplemente g. Confome t aumenta, la magnitud de la fueza esistiva aumenta y la aceleación disminuye. La aceleación tiende a ceo cuando la magnitud de la fueza esistiva se apoxima al peso de la esfea. En esta situación, la apidez de la esfea tiende a su apidez teminal v T. La apidez teminal se obtiene de la ecuación 6.3 al hace a dv/dt 0. Esto poduce bv T 0 o v T La expesión paa v que satisface la ecuación 6.4 con v 0 y t 0 es b Rapidez teminal v b 11 e bt>m 2 v T 11 e t>t 2 (6.5) Esta función se gafica en la figua 6.13c. El símbolo e epesenta la base del logaitmo natual y también se llama númeo de Eule: e La constante de tiempo m/b (leta giega tau) es el tiempo en el que la esfea libeada del eposo en t 0 alcanza 63.2% de su apidez teminal: cuando t, la ecuación 6.5 poduce v 0.632v T. Se puede compoba que la ecuación 6.5 es una solución de la ecuación 6.4 mediante deivación diecta: dv dt d dt c b 11 e bt>m 2d b a 0 b m e bt>m b ge bt>m (Véase la tabla del apéndice B.4 paa la deivada de e elevada a alguna potencia.) Al sustitui en la ecuación 6.4 estas dos expesiones paa dv/dt y la expesión paa v conocida po la ecuación 6.5 se demuesta que la solución satisface la ecuación difeencial.

14 150 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton EJEMPLO 6.8 Esfea que cae en aceite Una pequeña esfea de 2.00 g de masa se libea desde el eposo en un gan contenedo lleno con aceite, donde expeimenta una fueza esistiva popocional a su apidez. La esfea alcanza una apidez teminal de 5.00 cm/s. Examine la constante de tiempo y el tiempo en el que la esfea alcanza 90.0% de su apidez teminal. SOLUCIÓN Conceptualiza Con la ayuda de la figua 6.13, imagine solta la esfea en aceite y obsevala hundise hasta el fondo del contenedo. Si tiene algo de champú denso, suelte una canica en él y obseve el movimiento de la canica. Categoiza La esfea se modela como una patícula bajo una fueza neta, con una de las fuezas como fueza esistiva que depende de la apidez de la esfea. Analiza A pati de v T /b, evalúe el coeficiente b : b g21980 cm>s 2 2 v T 5.00 cm>s 392 g>s Evalúe la constante de tiempo : t m b 2.00 g 392 g>s s Encuente el tiempo en el que la esfea alcanza una apidez de 0.900v T al hace v 0.900v T en la ecuación 6.5 y esuelva paa t : 0.900v T v T 11 e t>t 2 1 e t>t e t>t t t ln t 2.30t s s 11.7 ms Finaliza La esfea alcanza 90.0% de su apidez teminal en un intevalo de tiempo muy beve. Además tiene que ve este compotamiento si ealiza la actividad con la canica y el champú. v R Figua 6.14 Un objeto que cae a tavés del aie expeimenta una fueza esistiva R S y una fueza gavitacional F S g S. El objeto loga la apidez teminal (a la deecha) cuando la fueza neta que actúa sobe él es ceo; esto es: cuando R S F S g o R =. Antes de que se pesente, la aceleación vaía con la apidez de acuedo con la ecuación 6.8. R v T Modelo 2: Fueza esistiva popocional a la apidez al cuadado del objeto Paa objetos móviles con magnitudes de velocidad gandes a tavés del aie, como aviones, paacaidistas, automóviles y pelotas de beisbol, azonablemente la fueza esistiva se epesenta con popiedad como popocional al cuadado de la apidez. En estas situaciones, la magnitud de la fueza esistiva se expesa como R 1 2 DAv 2 (6.6) donde D es una cantidad empíica adimensional llamada coeficiente de aaste, es la densidad del aie y A es el áea de sección tansvesal del objeto móvil obsevado en un plano pependicula a su velocidad. El coeficiente de aaste tiene un valo casi de 0.5 paa objetos esféicos, peo puede tene un valo tan gande como 2 paa objetos con foma iegula. Analice el movimiento de un objeto en caída libe expuesto a una fueza esistiva del 1 aie hacia aiba de magnitud R 2 DAv 2. Suponga que un objeto de masa m se libea desde el eposo. Como muesta la figua 6.14, el objeto expeimenta dos fuezas extenas: 2 la fueza gavitacional hacia abajo F S g S y la fueza esistiva hacia aiba R S. En consecuencia, la magnitud de la fueza neta es F 1 2 DAv 2 (6.7) 2 Como con el modelo 1, también hay una fueza de flotación hacia aiba que se ignoa.

15 Sección 6.4 Movimiento en pesencia de fuezas esistivas 151 TABLA 6.1 Rapidez teminal paa vaios objetos que caen a tavés del aie Masa Áea de sección v T Objeto (kg) tansvesal (m 2 ) (m/s) Paacaidista Pelota de beisbol (3.7 cm de adio) Pelota de golf (2.1 cm de adio) Ganizo (0.50 cm de adio) Gota de lluvia (0.20 cm de adio) donde se toma hacia abajo como la diección vetical positiva. Al usa la fueza en la ecuación 6.7 en la segunda ley de Newton, se encuenta que el objeto tiene una aceleación hacia abajo de magnitud a g a DA 2m b v 2 (6.8) La apidez teminal v T se puede calcula al nota que, cuando la fueza gavitacional se equiliba mediante la fueza esistiva, la fueza neta sobe el objeto es ceo y debido a eso su aceleación es ceo. Al hace a 0 en la ecuación 6.8 se obtiene de modo que g a DA 2m b v T 2 0 v T 2 DA (6.9) La tabla 6.1 menciona las magnitudes de velocidad teminal de difeentes objetos que caen a tavés del aie. Pegunta ápida 6.4 Una pelota de beisbol y una de basquetbol, que tienen la misma masa, se dejan cae a tavés del aie desde el eposo, tal que sus pates infeioes están inicialmente a la misma altua sobe el suelo, en el oden de 1 m o más. Cuál golpea el suelo pimeo? a) La pelota de beisbol golpea el suelo pimeo. b) El balón de basquetbol golpea el suelo pimeo. c) Ambas golpean el suelo al mismo tiempo. EJEMPLO CONCEPTUAL 6.9 La skysufe Considee una skysufe (figua 6.15) que salta desde un avión con los pies fimemente atados a su tabla de suf, hace algunos tucos y luego abe su paacaídas. Desciba las fuezas que actúan sobe ella duante dichas maniobas. SOLUCIÓN Cuando el sufista sale del avión, no tiene velocidad vetical. La fueza gavitacional hacia abajo hace que ella acelee hacia el suelo. A medida que aumenta su apidez hacia abajo, así lo hace la fueza esistiva hacia aiba que ejece el aie sobe su cuepo y la tabla. Esta fueza hacia aiba educe su aceleación y po tanto su apidez aumenta más lentamente. Al final, van tan ápido que la fueza esistiva hacia aiba se iguala con la fueza gavitacional hacia abajo. Ahoa la fueza neta es ceo y ya no acelea, y en vez de ello llega a su apidez teminal. En algún punto después de llega a su apidez teminal, abe su paacaídas, lo que esulta en un dástico aumento en la fueza esistiva hacia aiba. La fueza neta (y po tanto la aceleación) ahoa es hacia aiba, en la diección opuesta a la diección de la velocidad. En consecuencia, la velocidad hacia abajo disminuye ápidamente, y la fueza esistiva sobe el paacaídas también disminuye. Al final, la fueza esistiva hacia Jump Run Poductions/Getty Images Figua 6.15 (Ejemplo conceptual 6.9) Un skysufe.

16 152 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton aiba y la fueza gavitacional hacia abajo se equiliban mutuamente y se alcanza una apidez teminal mucho más pequeña, lo que pemite un ateizaje seguo. (Contaio a la ceencia popula, el vecto velocidad de un paacaidista nunca apunta hacia aiba. Usted debe habe visto una cinta de video en la que un paacaidista paece un cohete hacia aiba una vez que el paacaídas se abe. De hecho, lo que ocue es que el paacaidista fena peo la pesona que sostiene la cámaa continúa cayendo a gan apidez.) EJEMPLO 6.10 Caída de filtos de café La dependencia de la fueza esistiva con el cuadado de la apidez es un modelo. Puebe el modelo paa una situación específica. Imagine un expeimento en el que se deja cae una seie de filtos de café apilados y se mide su apidez teminal. La tabla 6.2 pesenta datos de apidez teminal caacteísticos de un expeimento eal que usa dichos filtos de café confome caen a tavés del aie. La constante de tiempo es pequeña, así que un filto que se deja cae alcanza pontamente la apidez teminal. Cada filto tiene una masa de 1.64 g. Cuando los filtos se apilan juntos el áea de la supeficie que ve al fente no aumenta. Detemine la elación ente la fueza esisti-va que ejece el aie y la apidez de los filtos que caen. SOLUCIÓN Conceptualiza Imagine solta los filtos de café a tavés del aie. (Si tiene algunos filtos de café, intente soltalos.) Debido a la masa elativamente pequeña del filto de café, pobablemente no notaá el intevalo de tiempo duante el que hay una aceleación. Los filtos paeceán cae con velocidad constante de inmediato, al deja su mano. TABLA 6.2 Rapidez teminal y fueza esistiva paa filtos de café apilados Númeo de filtos v T (m/s) a R (N) a Todos los valoes de v T son apoximados. Categoiza Puesto que un filto se mueve a velocidad constante, se le modela como patícula en equilibio. Analiza A apidez teminal, la fueza esistiva hacia aiba sobe el filto equiliba la fueza gavitacional hacia abajo de modo que R. Evalúe la magnitud de la fueza esistiva: R g2a 1 kg g b19.80 m>s N Del mismo modo, dos filtos apilados juntos expeimentan N de fueza esistiva, etcétea. Dichos valoes de fueza esistiva se muestan en la columna de la extema deecha en la tabla 6.2. En la figua 6.16a se muesta una gáfica de la fueza esistiva sobe los filtos como función de la apidez teminal. Una línea ecta no es un buen ajuste, lo que indica que la fueza esistiva no es popocional a la apidez. El compotamiento se ve más claamente en la figua 6.16b, ahí la fueza esistiva se gafica como una función del cuadado de la apidez teminal. Esta gáfica indica que la fueza esistiva es popocional al cuadado de la apidez, como sugiee la ecuación 6.6. Finaliza He aquí una buena opotunidad paa que en casa tome algunos datos eales de filtos de café eales y vea si es capaz de epoduci los esultados que se muestan en la figua Si tiene champú y una canica, como se mencionó en el ejemplo 6.8, también tome datos en dicho sistema y vea si la fueza esistiva se modela adecuadamente como popocional a la apidez.

17 Sección 6..4 Movimiento en pesencia de fuezas esistivas 153 Fueza esistiva (N) Rapidez teminal (m/s) a) 3 4 Fueza esistiva (N) Rapidez teminal al cuadado (m/s) 2 b) Figua 6.16 (Ejemplo 6.10) a) Coespondencia ente la fueza esistiva que actúa sobe filtos de café que caen y su apidez teminal. La línea cuva es una ajuste polinomial de segundo oden. b) Gáfica que elaciona la fueza esistiva con el cuadado de la apidez teminal. El ajuste de la línea ecta a los puntos de infomación indica que la fueza esistiva es popocional al cuadado de la apidez teminal. Puede enconta la constante de popocionalidad? EJEMPLO 6.11 Fueza esistiva ejecida sobe una pelota de beisbol Un lanzado aoja una pelota de beisbol de kg a un lado del bateado a 40.2 m/s (90 mi/h). Encuente la fueza esistiva que actúa sobe la pelota con esta apidez. SOLUCIÓN Conceptualiza Este ejemplo es difeente del anteio en que ahoa el objeto es móvil hoizontalmente a tavés del aie, en luga de movese de manea vetical bajo la influencia de la gavedad y la fueza esistiva. La fueza esistiva hace que la pelota disminuya su velocidad mientas la gavedad hace que su tayectoia se cuve hacia abajo. La situación se simplifica al supone que el vecto velocidad es exactamente hoizontal en el instante en que viaja a 40.2 m/s. Categoiza En geneal, la pelota es una patícula bajo una fueza neta. Sin embago, ya que se considea sólo un instante de tiempo, no hay que peocupase po la aceleación, de modo que el poblema sólo implica enconta el valo de una de las fuezas. Analiza Paa detemina el coeficiente de aaste D, imagine que suelta la pelota y la deja llega a su apidez teminal. Resuelva la ecuación 6.9 paa D y sustituya los valoes apopiados paa m, v T y A de la tabla 6.1, y considee la densidad del aie como 1.20 kg/m 3 : D 2 v T 2 A kg m>s m>s kg>m m 2 2 Use este valo paa D en la ecuación 6.6 paa enconta la magnitud de la fueza esistiva: R 1 2 DAv kg>m m m>s N Finaliza La magnitud de la fueza esistiva es simila en magnitud al peso de la pelota de beisbol, que es casi 1.4 N. Po lo tanto, la esistencia del aie desempeña un papel impotante en el movimiento de la pelota, como se manifiesta po la vaiedad de cuvas, de columpio (hacia abajo), domilona y demás que lanzan los pitches.

18 154 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton Resumen DEFINICIONES Una patícula en movimiento cicula unifome tiene una aceleación centípeta; esta aceleación la popociona una fueza neta que se diija hacia el cento de la tayectoia cicula. Un obsevado en un maco de efeencia no inecial (aceleado) intoduce fuezas ficticias cuando aplica la segunda ley de Newton en dicho maco. Un objeto móvil a tavés de un líquido o gas expeimenta una fueza esistiva dependiente de la apidez. Esta fueza esistiva está en diección opuesta a la velocidad del objeto en elación con el medio y po lo geneal aumenta con la apidez. La magnitud de la fueza esistiva depende del tamaño y foma del objeto y de las popiedades del medio a tavés del que se mueve el objeto. En el caso límite paa un objeto que cae, cuando la magnitud de la fueza esistiva es igual al peso del objeto, éste alcanza su apidez teminal. MODELO DE ANÁLISIS PARA RESOLVER PROBLEMAS Patícula en movimiento cicula unifome Con el nuevo conocimiento de las fuezas, se pueden hace agegados al modelo de una patícula en movimiento cicula unifome, que se intodujo en el capítulo 4. La segunda ley de Newton aplicada a una patícula en movimiento cicula unifome establece que la fueza neta que pemite a la patícula sometese a una aceleación centípeta (ecuación 4.15) se elaciona con la aceleación de acuedo con F ma c m v 2 (6.1) F a c v Peguntas O Indica pegunta complementaia. 1. O Una pueta en un hospital tiene un ciee neumático que empuja la pueta paa cea de tal modo que la peilla se mueve con apidez constante en la mayo pate de su tayectoia. En esta pate de su movimiento, a) la peilla expeimenta una aceleación centípeta?, b) Expeimenta una aceleación tangencial? Apesuada po una emegencia, una enfemea popociona un empujón epentino a la pueta ceada. La pueta se abe conta el dispositivo neumático, fena y luego inviete su movimiento. En el momento en que la pueta está más abieta, c) la peilla tiene una aceleación centípeta?, d) Tiene una aceleación tangencial? 2. Desciba la tayectoia de un cuepo móvil en el evento en que su aceleación sea constante en magnitud en todo momento y a) pependicula a la velocidad; b) paalela a la velocidad. 3. Un objeto ejecuta movimiento cicula con apidez constante siempe que una fueza neta de magnitud constante actúe pependicula a la velocidad. Qué le ocue a la apidez si la fueza no es pependicula a la velocidad? 4. O Un niño pactica paa una caea de bicicletas a campo taviesa. Su apidez pemanece constante confome avanza alededo de una pista a nivel conta las manecillas del eloj, con dos secciones ectas y dos secciones casi semiciculaes, como se muesta en la vista de helicópteo en la figua P6.4. a) Clasifique las magnitudes de su aceleación en los puntos A, B, C, D y E, de mayo a meno. Si su aceleación es del mismo tamaño en dos puntos, mueste tal hecho en su clasificación. Si su aceleación es ceo, esalte este hecho. b) Cuáles son las diecciones de su velocidad en los puntos A, B y C? Paa cada punto elija uno: note, su, este, oeste o no existe? c) Cuáles son las diecciones de su aceleación en los puntos A, B y C? C D B O E N S Figua P O Un péndulo consiste de un objeto pequeño llamado plomada que cuelga de una cueda ligea de longitud fija, con el extemo supeio de la cueda fijo, como se epesenta en la figua P6.5. La plomada se mueve sin ficción, y se balancea con altuas iguales en ambos lados. Se mueve desde su punto de etono A a tavés del punto B y llega a su apidez máxima en el punto C. a) De estos puntos, existe uno donde la plomada tenga aceleación adial distinta de ceo y aceleación tangencial ceo? Si es así, cuál punto? Cuál es la diección de su aceleación total E A

19 Poblemas 155 en este punto? b) De estos puntos, existe un punto donde la plomada tenga aceleación tangencial distinta de ceo y aceleación adial ceo? Si es así, cuál punto? Cuál es la diección de su aceleación total en este punto? c) Existe un punto donde la plomada no tenga aceleación? Si es así, cuál punto? d) Existe un punto donde la plomada tenga aceleaciones tangencial y adial distintas de ceo? Si es así, cuál punto? Cuál es la diección de su aceleación total en este punto? está en eposo en espea del despegue. Luego el avión gana apidez mientas se mueve po la pista. a) En elación con la mano del estudiante, las llaves coen hacia el fente del avión, continúan colgando ecto hacia abajo o se coen hacia la pate tasea del avión? b) La apidez del avión aumenta en una popoción constante duante un intevalo de tiempo de vaios segundos. Duante este intevalo, el ángulo que el codón foma con la vetical aumenta, pemanece constante o disminuye? 11. El obsevado dento del elevado en aceleación del ejemplo 5.8 diía que el peso del pescado es T, la lectua de la balanza. Es obvio que la espuesta es equivocada. Po qué esta obsevación difiee de la de una pesona fuea del elevado, en eposo especto de la Tiea? A B C Figua P Si alguien le dijea que los astonautas no tienen peso en óbita poque están más allá de la atacción de la gavedad, aceptaía la afimación? Explique. 7. Se ha sugeido que cilindos giatoios de casi 20 km de lago y 8 km de diámeto se coloquen en el espacio y se usen como colonias. El popósito de la otación es simula gavedad paa los habitantes. Explique este concepto paa poduci una imitación efectiva de la gavedad. 8. Una cubeta de agua se puede gia en una tayectoia vetical tal que no se deame agua. Po qué el agua pemanece en la cubeta, aun cuando la cubeta esté sobe su cabeza? 9. Po qué un piloto tiende a desmayase cuando sale de una ponunciada caída en picada? 10. O Antes de despega en un avión, un inquisitivo estudiante en el avión toma un puñado de llaves y lo deja colga de un codón. Las llaves cuelgan justo hacia abajo mientas el avión 12. Un paacaidista que cae llega a apidez teminal con su paacaídas ceado. Después de que el paacaídas se abe, qué paámetos cambian paa disminui su apidez teminal? 13. Qué fuezas hacen que se mueva a) un automóvil, b) un avión impulsado po hélice y c) un bote de emos? 14. Considee que una pequeña gota de lluvia y una gan gota de lluvia caen a tavés de la atmósfea. Compae sus magnitudes de velocidad teminales. Cuáles son sus aceleaciones cuando llegan a su apidez teminal? 15. O Examine un paacaidista que salta de un helicópteo y cae a tavés del aie, antes de alcanza su apidez teminal y mucho antes de abi su paacaídas. a) Su apidez aumenta, disminuye o pemanece constante? b) La magnitud de su aceleación aumenta, disminuye, pemanece constante en ceo, pemanece constante a 9.80 m/s 2 o pemanece constante a algún oto valo? 16. Si la posición y velocidad actuales de toda patícula en el Univeso fuesen conocidas, junto con las leyes que desciben las fuezas que las patículas ejecen unas sobe otas, en tal caso se podía calcula todo el futuo del Univeso. El futuo es definido y pedeteminado. El libe albedío es una ilusión. Está de acuedo con esta tesis? Agumente a favo o en conta. Poblemas 1. Una cueda ligea sostiene una caga fija colgante de 25.0 kg antes de ompese. Un objeto de 3.00 kg unido a la cueda está giando sobe una mesa hoizontal sin ficción en un cículo de m de adio, y el oto extemo de la cueda se mantiene fijo. Qué intevalo de apidez puede tene el objeto antes de que la cueda se ompa? 2. Una cuva en un camino foma pate de un cículo hoizontal. Cuando la apidez de un automóvil que cicula po ella es de 14 m/s constante, la fueza total sobe el conducto tiene 130 N de magnitud. Cuál es la fueza vectoial total sobe el conducto si la apidez es 18.0 m/s? 3. En el modelo de Boh del átomo de hidógeno, la apidez del electón es apoximadamente m/s. Encuente a) la fueza que actúa sobe el electón mientas da vueltas en una óbita cicula de m de adio y b) la aceleación centípeta del electón. 4. Mientas dos astonautas del Apolo estaban en la supeficie de la Luna, un tece astonauta obitaba la Luna. Suponga que la óbita es cicula y 100 km aiba de la supeficie de la Luna, donde la aceleación debida a la gavedad es 1.52 m/s 2. El adio de la Luna es m. Detemine a) la apidez obital del astonauta y b) el peiodo de la óbita. 5. Una moneda colocada a 30.0 cm del cento de una tonamesa hoizontal giatoia se desliza cuando su apidez es 50.0 cm/s. a) Qué fueza causa la aceleación centípeta cuando la moneda está fija en elación con la tonamesa? b) Cuál es el coeficiente de ficción estática ente la moneda y la tonamesa? 2 intemedio; 3 desafiante; azonamiento simbólico; azonamiento cualitativo

20 156 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton 6. En un ciclotón (un aceleado de patículas), un deuteón (de 2.00 u de masa) alcanza una apidez final de 10.0% la apidez de la luz mientas se mueve en una tayectoia cicula de m de adio. El deuteón se mantiene en la tayectoia cicula mediante una fueza magnética. Qué magnitud de fueza se equiee? 7. Una estación espacial, en foma de ueda de 120 m de diámeto, ota paa popociona una gavedad atificial de 3.00 m/s 2 paa las pesonas que caminan alededo de la paed inteio del bode exteno. Encuente la popoción de otación de la ueda (en evoluciones po minuto) que poduciá este efecto. 8. Examine un péndulo cónico (figua 6.3) con una plomada de 80.0 kg en un alambe de 10.0 m que foma un ángulo 5.00 con la vetical. Detemine a) las componentes hoizontal y vetical de la fueza que ejece el alambe en el péndulo y b) la aceleación adial de la plomada. 9. Una caja de huevos se ubica en la mitad de la platafoma de una camioneta pickup mientas la camioneta enta en una cuva sin pealte en el camino. La cuva se puede considea como un aco de cículo de 35.0 m de adio. Si el coeficiente de ficción estática ente la caja y la camioneta es 0.600, qué tan ápido se puede move la camioneta sin que la caja se deslice? 10. Un automóvil viaja inicialmente hacia el este y da vuelta al note al viaja en una tayectoia cicula con apidez unifome, como se muesta en la figua P6.10. La longitud del aco ABC es 235 m y el automóvil completa la vuelta en 36.0 s. a) Cuál es la aceleación cuando el automóvil está en B, ubicado a un ángulo de 35.0? Expese su espuesta en téminos de los vectoes unitaios î y ĵ. Detemine b) la apidez pomedio del automóvil y c) su aceleación pomedio duante el intevalo de 36.0 s. y O A Un objeto de 4.00 kg se une a una baa vetical mediante dos cuedas, como se muesta en la figua P6.11. El objeto gia en un cículo hoizontal con apidez constante de 6.00 m/s. Encuente la tensión en a) la cueda supeio y b) la cueda infeio. B Figua P m Figua P6.11 C 2.00 m 2.00 m x 12. Un halcón vuela en un aco hoizontal de 12.0 m de adio con una apidez constante de 4.00 m/s. a) Encuente su aceleación centípeta. b) El halcón continúa volando a lo lago del mismo aco hoizontal peo aumenta su apidez en una popoción de 1.20 m/s 2. Encuente la aceleación (magnitud y diección) bajo estas condiciones. 13. Un niño de 40.0 kg se mece en un columpio sostenido po dos cadenas, cada una de 3.00 m de lago. La tensión en cada cadena en el punto más bajo es 350 N. Encuente a) la apidez del niño en el punto más bajo y b) la fueza que ejece el asiento sobe el niño en el punto más bajo. (Ignoe la masa del asiento.) 14. Un cao de montaña usa (figua P6.14) tiene una masa de 500 kg cuando está completamente cagado con pasajeos. a) Si el vehículo tiene una apidez de 20.0 m/s en el punto, cuál es la fueza que ejece la pista sobe el cao en este punto? b) Cuál es la apidez máxima que puede tene el vehículo en el punto y todavía pemanece sobe la pista? 10 m Figua P m 15. Tazán (m 85.0 kg) intenta cuza un ío al balancease con una liana. La liana mide 10.0 m de lago y su apidez en la pate baja del balanceo (mientas apenas liba el agua) seá 8.00 m/s. Tazán no sabe que la liana tiene una esistencia a la otua de N. Logaá cuza el ío con seguidad? 16. Un extemo de una cueda está fijo y un objeto pequeño de kg se une al oto extemo, donde se balancea en una sección de un cículo vetical de 2.00 m de adio, como se muesta en la figua 6.9. Cuando 20.0, la apidez del objeto es 8.00 m/s. En este instante, encuente a) la tensión en la cueda, b) las componentes tangencial y adial de la aceleación y c) la aceleación total. d) Su espuesta cambia si el objeto se balancea hacia aiba en luga de hacia abajo? Explique. 17. Una cubeta con agua gia en un cículo vetical de 1.00 m de adio. Cuál es la apidez mínima de la cubeta en lo alto del cículo si no se debe deama agua? 18. Una montaña usa en el paque de divesiones Six Flags Geat Ameica en Gunee, Illinois, incopoa cieta tecnología de diseño ingeniosa y algo de física básica. Cada bucle vetical, en luga de se cicula, tiene foma de lágima (figua P6.18). Los caos viajan en el inteio del bucle en la pate supeio, y las magnitudes de velocidad son lo suficientemente gandes paa asegua que los caos pemanezcan en la pista. El bucle más gande tiene 40.0 m de alto, con una apidez máxima de 31.0 m/s (casi 70 mi/h) en la pate infeio. Suponga que la apidez en la pate supeio es 13.0 m/s y la aceleación centípeta coespondiente es 2g. a) Cuál es el adio del aco de la lágima en la pate supeio? b) Si la masa total de un cao 2 intemedio; 3 desafiante; azonamiento simbólico; azonamiento cualitativo

21 Poblemas 157 más los pasajeos es M, qué fueza ejece el iel sobe el cao en la pate supeio? c) Suponga que la montaña usa tiene un bucle cicula de 20.0 m de adio. Si los caos tienen la misma apidez, 13.0 m/s en la pate supeio, cuál es la aceleación centípeta en la pate supeio? Comente aceca de la fueza nomal en la pate supeio en esta situación. FankCezus/FPG Intenational la aceleación es la misma duante la patida y el fenado. Detemine: a) el peso de la pesona, b) la masa de la pesona y c) la aceleación del elevado. 24. Una niña en vacaciones se despieta. Se encuenta sobe su espalda. La tensión en los músculos en ambos lados de su cuello es 55.0 N mientas eleva su cabeza paa mia po encima de los dedos de sus pies hacia afuea po la ventana del hotel. Finalmente no llueve! Diez minutos después, gita confome baja po un tobogán de agua, los pies pimeo, a una apidez teminal de 5.70 m/s, viajando po lo alto de la paed exteio de una cuva hoizontal de 2.40 m de adio (figua P6.24). Eleva la cabeza paa ve hacia adelante sobe los dedos de sus pies. Encuente la tensión en los músculos en ambos lados de su cuello. Figua P Un objeto de 5.00 kg de masa, unido a una balanza de esote, descansa sobe una supeficie hoizontal sin ficción, como se muesta en la figua P6.19. La balanza de esote, unida al extemo fontal de un vagón, tiene una lectua constante de 18.0 N cuando el cao está en movimiento. a) La lectua en la balanza es de ceo cuando el vagón está en eposo. Detemine la aceleación del vagón. b) Qué lectua constante mostaá la balanza si el vagón se mueve con velocidad constante? c) Desciba las fuezas sobe el objeto como lo obseva alguien en el vagón y alguien en eposo fuea del vagón kg Figua P Un pequeño contenedo de agua se coloca sobe un causel dento de un hono de micoondas en un adio de 12.0 cm desde el cento. La tonamesa gia de manea unifome y da una evolución cada 7.25 s. Qué ángulo foma la supeficie del agua con la hoizontal? 21. Un objeto de kg está suspendido del techo de un vagón que acelea, como se muesta en la figua Tome a 3.00 m/s 2 y encuente a) el ángulo que foma la cueda con la vetical y b) la tensión en la cueda. 22. Un estudiante está de pie en un elevado que acelea continuamente hacia aiba con aceleación a. Su mochila está en el piso junto a la paed. El ancho del elevado es L. El estudiante da a su mochila una patada ápida en t 0 y le impate una apidez v que la hace desliza a tavés del piso del elevado. En el tiempo t, la mochila golpea la paed opuesta. Encuente el coeficiente de ficción cinética k ente la mochila y el piso del elevado. 23. Una pesona está de pie sobe una báscula en un elevado. Mientas el elevado pate, la báscula tiene una lectua constante de 591 N. Más tade, cuando el elevado se detiene, la lectua de la báscula es 391 N. Suponga que la magnitud de Figua P Una plomada no cuelga exactamente a lo lago de una línea que se diige al cento de otación de la Tiea. Cuánto se desvía la plomada de una línea adial a 35.0 latitud note? Suponga que la Tiea es esféica. 26. Un paacaidista de 80.0 kg de masa salta desde un avión de lento movimiento y alcanza una apidez teminal de 50.0 m/s. a) Cuál es la aceleación del paacaidista cuando su apidez es 30.0 m/s? Cuál es la fueza de aaste sobe el paacaidista cuando su apidez es b) 50.0 m/s? c) Cuando es 30.0 m/s? 27. Un pequeño tozo de espuma de estieno, mateial de empaque, se suelta desde una altua de 2.00 m sobe el suelo. Hasta que llega a apidez teminal, la magnitud de su aceleación se conoce mediante a g bv. Después de cae m, la espuma de estieno en efecto alcanza su apidez teminal y después tada 5.00 s más en llega al suelo. a) Cuál es el valo de la constante b? b) Cuál es la aceleación en t 0? c) Cuál es la aceleación cuando la apidez es m/s? 28. a) Estime la apidez teminal de una esfea de madea (densidad g/cm 3 ) que cae a tavés del aie, considee su adio como 8.00 cm y su coeficiente de aaste como b) Desde qué altua un objeto en caída libe alcanzaía esta apidez en ausencia de esistencia del aie? 29. Calcule la fueza que se equiee paa jala una bola de cobe de 2.00 cm de adio hacia aiba a tavés de un fluido con apidez constante de 9.00 cm/s. Considee la fueza de aaste popocional a la apidez, con constante de popocionalidad kg/s. Ignoe la fueza de flotación. 30. La masa de un automóvil depotivo es kg. La foma del cuepo es tal que el coeficiente de aaste aeodinámico es y el áea fontal es 2.20 m 2. Si ignoa todas las otas fuentes de ficción, calcule la aceleación inicial que tiene el automóvil si ha viajado a 100 km/h y ahoa que cambia a neutal y lo deja deslizase. 31. Una esfea pequeña de 3.00 g de masa se libea desde el eposo en t 0 dento de una botella de champú líquido. Se obseva que la apidez teminal es v T 2.00 cm/s. Encuente: a) el 2 intemedio; 3 desafiante; azonamiento simbólico; azonamiento cualitativo

22 158 Capítulo 6 Movimiento cicula y otas aplicaciones de las leyes de Newton valo de la constante b en la ecuación 6.2, b) el tiempo t en el que la esfea alcanza 0.632v T y c) el valo de la fueza esistiva cuando la esfea alcanza su apidez teminal. 32. Poblema de epaso. Una policía encubieta jala un odillo de goma po una ventana vetical muy alta. El odillo tiene 160 g de masa y está montado en el extemo de una baa ligea. El coeficiente de ficción cinética ente el odillo y el vidio seco es La agente lo pesiona conta la ventana con una fueza que tiene una componente hoizontal de 4.00 N. a) Si ella jala el odillo po la ventana a velocidad constante, qué componente de fueza vetical debe ejece? b) La agente aumenta la componente de fueza hacia abajo en 25.0%, peo todas las otas fuezas pemanecen iguales. Encuente la aceleación del odillo en esta situación. c) Luego el odillo se mueve en una poción húmeda de la ventana, donde su movimiento ahoa lo esiste una fueza de aaste de fluido popocional a su velocidad de acuedo con R (20.0 N s/ m)v. Encuente la velocidad teminal a la que se apoxima el odillo, si supone que la agente ejece la misma fueza descita en el inciso b). 33. Un objeto de 9.00 kg que pate del eposo cae a tavés de un medio viscoso y expeimenta una fueza esistiva R S b v S, donde v S es la velocidad del objeto. El objeto alcanza un medio de su apidez teminal en 5.54 s. a) Detemine la apidez teminal. b) En qué tiempo la apidez del objeto es tes cuatos de la apidez teminal? c) Qué distancia ecoió el objeto en los pimeos 5.54 s de movimiento? 34. Considee un objeto sobe el que la fueza neta es una fueza esistiva popocional al cuadado de su apidez. Po ejemplo, suponga que la fueza esistiva que actúa sobe un patinado ápido es f kmv 2, donde k es una constante y m es la masa del patinado. El patinado cuza la línea de meta de una competencia en línea ecta con apidez v 0 y después disminuye su velocidad deslizándose sobe sus patines. Demueste que la apidez del patinado en cualquie tiempo t después de cuza la línea final es v(t) v 0 /(1 ktv 0 ). Este poblema también popociona los antecedentes paa los siguientes dos poblemas. 35. a) Use el esultado del poblema 34 paa enconta la posición x como función del tiempo paa un objeto de masa m ubicado en x 0 y que se mueve con velocidad v 0 î en el tiempo t 0, y a pati de ahí expeimenta una fueza neta kmv 2 î. b) Encuente la velocidad del objeto como función de la posición. 36. En los juegos de beisbol de las gandes ligas es un luga común mosta en una pantalla la apidez de cada lanzamiento. Esta apidez se detemina con una pistola ada diigida po un opeado colocado detás de la almohadilla del bateado. La pistola usa el coimiento Dopple de micoondas eflejadas desde la bola de beisbol, como se estudiaá en el capítulo 39. La pistola detemina la apidez en algún punto paticula sobe la tayectoia de la bola, dependiendo de cuándo el opeado jala el dispaado. Puesto que la bola está sometida a una fueza de aaste debida al aie, fena confome viaja 18.3 m hacia la almohadilla. Use el esultado del poblema 35b) paa enconta cuánto disminuye su apidez. Suponga que la bola deja la mano del lanzado a 90.0 mi/h 40.2 m/s. Ignoe su movimiento vetical. Use los datos aceca de bolas de beisbol del ejemplo 6.11 paa detemina la apidez del lanzamiento cuando cuza la almohadilla. 37. El conducto de un lancha de moto apaga su moto cuando su apidez es 10.0 m/s y se desliza hasta el eposo. La ecuación que descibe el movimiento de la lancha duante este peiodo es v v i e ct, donde v es la apidez en el tiempo t, v i es la apidez inicial y c es una constante. En t 20.0 s, la apidez es 5.00 m/s. a) Encuente la constante c. b) Cuál es la apidez en t 40.0 s? c) deive la expesión paa v(t) y mueste po esto que la aceleación de la lancha es popocional a la apidez en cualquie tiempo. 38. Usted puede senti una fueza de aaste de aie sobe su mano si estia el bazo po afuea de una ventana abieta en un automóvil que se mueve ápidamente. Nota: No se ponga en peligo. Cuál es el oden de magnitud de esta fueza? En su solución, establezca las cantidades que mida o estime y sus valoes. 39. Un objeto de masa m se poyecta hacia adelante a lo lago del eje x con apidez inicial v 0. La única fueza sobe él es una fueza esistiva popocional a su velocidad, dada po R S b v S. De manea conceta, podía visualiza un avión con flotadoes que ateiza sobe un lago. La segunda ley de Newton aplicada al objeto es bv î m(dv/dt) î. A pati del teoema fundamental del cálculo, esta ecuación difeencial implica que la apidez cambia de acuedo con un punto posteio inicio Realice las integaciones paa detemina la apidez del objeto como función del tiempo. Bosqueje una gáfica de la apidez como función del tiempo. El objeto llega a un alto completo después de un intevalo de tiempo finito? El objeto viaja una distancia finita paa detenese? 40. Un objeto de kg se balancea en una tayectoia cicula vetical sobe una cueda de m de lago. Si su apidez es 4.00 m/s en lo alto del cículo, cuál es la tensión en la cueda en ese luga? 41. a) Un causel de equipaje en un aeopueto tiene la foma de una sección de un gan cono, y gia de manea estable en tono a su eje vetical. Su supeficie metálica se inclina hacia abajo y al exteio y foma un ángulo de 20.0 con la hoizontal. Una pieza de equipaje que tiene una masa de 30.0 kg se coloca sobe el causel, a 7.46 m del eje de otación. La maleta viajea gia una vez en 38.0 s. Calcule la fueza de ficción estática que ejece el causel sobe la maleta. b) El moto conducto se cambia paa gia el causel a una mayo elación de otación constante, y la pieza de equipaje salta a ota posición, a 7.94 m del eje de otación. Ahoa, al da una vuelta cada 34.0 s, la maleta está a punto de deslizase. Calcule el coeficiente de ficción estática ente la maleta y el causel. 42. En una secadoa de opa doméstica, una tina cilíndica que contiene opa húmeda gia de manea estable en tono a un eje hoizontal, como se muesta en la figua P6.42. De tal modo 68.0 dv v Figua P6.42 b m 0 t dt 2 intemedio; 3 desafiante; azonamiento simbólico; azonamiento cualitativo