Expresiones Regulares

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1 Conjuntos Regulares y Una forma diferente de expresar un lenguaje Universidad de Cantabria

2 Conjuntos Regulares y Esquema 1 Motivación 2 Conjuntos Regulares y 3 4

3 Conjuntos Regulares y Motivación El problema que se pretende resolver mediante la introducción de las expresiones regulares es el de obtener algún tipo de descriptores para los lenguajes generados por las gramáticas regulares.

4 Conjuntos Regulares y Motivación Cuales son los lenguajes más sencillos? Los conjuntos finitos, La concatenación de palabras de diferentes lenguajes, La repetición de elementos una y otra vez (operación estrella).

5 Conjuntos Regulares y Motivación Cuales son los lenguajes más sencillos? Los conjuntos finitos, La concatenación de palabras de diferentes lenguajes, La repetición de elementos una y otra vez (operación estrella).

6 Conjuntos Regulares y Motivación Cuales son los lenguajes más sencillos? Los conjuntos finitos, La concatenación de palabras de diferentes lenguajes, La repetición de elementos una y otra vez (operación estrella).

7 Conjuntos Regulares y Ejemplo de operaciones Supongamos que el alfabeto sobre el que definimos nuestro lenguaje Σ = {a, b} y tenemos estos lenguajes L 1 := aa, ab, L 2 := ba, bb. Podemos definir estos nuevos lenguajes: L 1 L 2 := {aa, ab, ba, bb}, L 1 L 2 := {aaba, abbb, abba, aabb}, L 1 := {aa, ab, aaaa, aaab, abaa, abab,...}.

8 Conjuntos Regulares y Ejemplo de operaciones Supongamos que el alfabeto sobre el que definimos nuestro lenguaje Σ = {a, b} y tenemos estos lenguajes L 1 := aa, ab, L 2 := ba, bb. Podemos definir estos nuevos lenguajes: L 1 L 2 := {aa, ab, ba, bb}, L 1 L 2 := {aaba, abbb, abba, aabb}, L 1 := {aa, ab, aaaa, aaab, abaa, abab,...}.

9 Conjuntos Regulares y Ejemplo de operaciones Supongamos que el alfabeto sobre el que definimos nuestro lenguaje Σ = {a, b} y tenemos estos lenguajes L 1 := aa, ab, L 2 := ba, bb. Podemos definir estos nuevos lenguajes: L 1 L 2 := {aa, ab, ba, bb}, L 1 L 2 := {aaba, abbb, abba, aabb}, L 1 := {aa, ab, aaaa, aaab, abaa, abab,...}.

10 Conjuntos Regulares y Definición Definición (Conjuntos regulares) Sea Σ un alfabeto finito. Un conjunto regular es cualquier conjunto definido solamente a partir de concatenación, unión y la operación estrella sobre conjuntos regulares.

11 Conjuntos Regulares y Definición Definición () Sea Σ un alfabeto finito. Llamaremos expresión regular sobre el alfabeto Σ a toda palabra sobre el alfabeto Σ 1 definido por la siguiente igualdad: Σ 1 := {, λ, +,, (, ), } Σ, conforme a las reglas siguientes: Son expresiones regulares, λ, a para cualquier símbolo a en el alfabeto Σ. Si α y β son expresiones regulares, también lo son: (α + β) es una expresión regular, (α β) es una expresión regular, (α) es una expresión regular.

12 Conjuntos Regulares y Ejemplo Ejemplo Tomemos el alfabeto Σ := {a, b}. Son expresiones regulares las secuencias de símbolos (palabras) siguientes: a a + b a, ab ba,...

13 Conjuntos Regulares y La Semántica de las Definición Sea Σ un alfabeto finito. A cada expresión regular sobre el alfabeto α le asignaremos un lenguaje formal L(α) Σ conforme a las siguientes reglas: Aplicando las reglas recursivas, si α y β son dos expresiones regulares sobre el alfabeto Σ usaremos las reglas siguientes: L(α + β) = L(α) L(β), L(α β) = L(α) L(β), L(α ) = L(α). También mencionamos que el operador tiene preferencia sobre y éste sobre +.

14 Conjuntos Regulares y Ejemplo Ejemplo Sea α := 0 10 la expresión regular sobre el alfabeto Σ := {0, 1}. Entonces, L(0 10 ) = L(0) L(1) L(0) = {0 m 10 n : n, m N}.

15 Conjuntos Regulares y No Unicidad Un conjunto regular puede estar definido por dos expresiones regulares, como por ejemplo 1 y (1 ).

16 Conjuntos Regulares y Equivalencia Definición Diremos que dos expresiones regulares α y β son tautológicamente equivalentes (o, simplemente, equivalentes) si se verifica: L(α) = L(β). Escribamos α β para indicar equivalencia tautológica.

17 Conjuntos Regulares y Las expresiones regulares tienen varias propiedades que permiten operar y, a veces, reducir expresiones regulares.

18 Conjuntos Regulares y Asociativa: α (β γ) (α β) γ, α + (β + γ) = (α + β) + γ.

19 Conjuntos Regulares y Conmutativa (sólo para +) α + β β + α.

20 Conjuntos Regulares y Elementos Neutros: α + α, α λ α, α.

21 Conjuntos Regulares y Idempotencia: α + α α.

22 Conjuntos Regulares y Distributivas: α (β + γ) α β + α γ. (α + β) γ α γ + β γ.

23 Conjuntos Regulares y Invariantes para : λ λ,, (α ) = α

24 Conjuntos Regulares y La notación α + : α α α α α +. α = λ + α + y la relación de con la suma: (α + β) (α β ).

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