Modelos geométricos de formación de imágenes que varían con el tiempo

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1 Modelos geométricos de formción de imágenes que vrín con el tiempo Rfel Molin Depto Ciencis de l Computción e IA Universidd de Grnd R. Molin Modelos geométricos

2 Contenidos Modelos de movimiento tridimensionl. Movimiento rígido en coordends crtesins Mtriz de rotción Modelizción de l velocidd -D instntáne Movimiento rígido en coordends homogénes rslción Rotción Zoom Movimiento deformble. Formción geométric de l imgen. Proyección por perspectiv Perspectiv débil Bibliogrfí R. Molin Modelos geométricos

3 I. Modelos de movimiento tridimensionl (eklp, Digitl Video Processing, 995) El movimiento -D se puede clsificr en rígido y no rígido. En el movimiento rígido ls distncis reltivs entre el conjunto de puntos -D permnece fij en el tiempo. L form -D del objeto que se mueve se puede modelr medinte superficies no deformbles. En el movimiento no rígido se utiliz un modelo de superficie deformble (tmbién llmdo templte deformble) pr modelr l estructur -D. R. Molin Modelos geométricos

4 I. Movimiento rígido en coordends crtesins Mtriz de rotción El desplzmiento -D de un objeto rígido en coordends crtesins se modeliz medinte R donde R es l mtriz de rotción x, es un vector de trslción x y y son ls coordends en los tiempos t y t con respecto l centro de rotción respectivmente. L mtriz de rotción se puede expresr de vris forms, ver [elkp95], quí sólo discutiremos el modelo de Euler. R. Molin Modelos geométricos 4

5 Angulos de Euler en coordends crtesins R cos sen cos sen R cos sen sen cos (,,) 9 (,,) 9 (,,) 9 R cos sen sen cos R. Molin Modelos geométricos 5

6 R. Molin Modelos geométricos 6 Si l rotción entre imágenes es infinitesiml, es decir,, etc, podemos proximr cos y sen, etc. R R R De donde R R R R El orden de l multiplicción no conmut, en generl. Sin embrgo, bjo rotción infinitesiml y eliminndo los términos cruzdos de orden superior uno, no existe diferenci en el orden de l multiplicción.

7 Es importnte tener clro que nuestro estudio h supuesto l existenci de un únic rotción y trslción sobre todos los puntos. Obvimente diferentes objetos pueden tener diferentes trslciones y rotciones. Es obvio que el movimiento de l cámr tmbién puede modelizrse usndo un rotción y un trslción. Pnning es un rotción lrededor de un eje prlelo l plno de l imgen. Zooming puede incorporrse en nuestro modelo medinte el uso de SR donde S es un mtriz digonl con entrds S, S y S. R. Molin Modelos geométricos 7

8 R. Molin Modelos geométricos 8 Modelizción de l velocidd instntáne -D V V V V ' ' ' ' ' ' tenemos límite y tomndo t por ecución l de ldos mbos dividiendo donde de L velocidd en un punto se descompone en el producto cruzdo de l velocidd ngulr y el punto más l velocidd de trslción

9 R. Molin Modelos geométricos 9 interno) (producto y demás cruzdo) (producto y Recordemos que si ) ( ) (

10 I. Movimiento rígido en coordends homogénes L representción en coordends homogénes de un punto crtesino (,, ) es h k k k k Si considermos l trnsformción fín de zooming SR se escribirá en coordends homogénes R. Molin Modelos geométricos

11 R. Molin Modelos geométricos SR A A A h h ' donde siendo l mtriz A

12 R. Molin Modelos geométricos Pr un trslción tendremos ' h h Pr un zoom Pr un rotción ' S S S S S h h ' r r r r r r r r r R h h

13 I. Movimiento deformble L modelizción de l estructur -d y el movimiento de objetos no rígidos es muy complej. En principio, este movimiento puede modelizrse medinte (DR) donde R es l mtriz de rotción x, es un vector de trslción x, y son ls coordends en los tiempos t y t y D es un mtriz de deformción rbitrri. Pr l modelizción de l mtriz D ver, por ejemplo, A. Pentlnd y B. Horowitz, Recovery of nonrigid motion nd structure, IEEE rns. Ptt. Anl. Mch. Intel., vol., (99). D. erzopoulos, A. Witkin y M. Kss, Constrints on deformble models: recovering -D shpe nd non rigid motion, Art. Intel., vol. 6, 9-, (998). D. erzopoulos y K. Fleischer, Deformble models, Visul Comput., vol. 4, 6-, (998). R. Molin Modelos geométricos

14 II..Formción Geométric de l Imgen II. Proyección por perspectiv El punto P de coordends (,Y,Z) se proyect en P de coordends (x,y,f). Se tiene (ecuciones de l proyección por perspectiv) f x Z, f y Y Z x f Z, y fy Z Observemos que f mide l distnci desde el plno de l imgen l ojo de l guj. Not: normlmente usremos letrs minúsculs pr ls proyecciones y myúsculs pr coordends en el espcio. R. Molin Modelos geométricos 4

15 R. Molin Modelos geométricos 5 Proyección positiv Bjo l proyección por perspectiv ls línes prlels precen converger en un punto en el infinito que llmremos punto de fug. coinciden pr que,, en proyectn se, con ),, ( ),, ( prlels rects Ls R W Y V Y f W Z U f y W Z V Y f W Z U f W Z V Y U y W Z V Y U

16 Vemos un ejercicio de proyección por perspectiv. Consideremos un punto en el espcio de coordends en metros P(5,7,). Se un cámr con distnci focl f5mm. Cuáles serín l coordends de P en el plno de l imgen?. Según hemos visto en ls ecuciones de l proyección tendrímos x-.5/z -.75 y-.5y/z-.45 Pregunts: Qué otros puntos del espcio se proyectn en el mismo punto del plno de l imgen?. Cuál serí l proyección de un cudrdo en el espcio que estuvier, por ejemplo, en el plno Z?. Y si el cudrdo no está contenido en un plno de l form Zcte?. R. Molin Modelos geométricos 6

17 Vemos otr form de resolver el problem. Primero clculmos l ecución de l rect que ps por P y (,,), ést tiene l form 5 (-5), Y7 (-7), Z (-) con R. Su intersección con Z-.5 se obtiene pr -.5 (-) y por tnto.5, de donde x-.75 e y-.45 R. Molin Modelos geométricos 7

18 II. Perspectiv débil (Proyección ortográfic y escldo) Supongmos que l profundidd Z está en un rngo f/z puede proximrse por s f/ Z Z ±Z con Z < < Z y (,Y,Z) se trnsform en (s,sy). L llmd perspectiv débil R. Molin Modelos geométricos 8

19 L perspectiv débil tiene dos prtes: un proyección ortográfic ( veces llmd tmbién prlel) en l que los puntos del mundo se proyectn el línes prlels l eje óptico y un escldo isotrópico. L proyección ortográfic está crcterizd medinte x y x que se escribe mtricilmente x x y se represent x x R. Molin Modelos geométricos 9

20 V Bibliogrfí A. Murt eklp, (995), Digitl Video Processing, Prentice Hll. E. rucco y A. Verri, (998), Introductory echniques for -D Computer Vision, Prentice Hll. R. Molin Modelos geométricos

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