Ma3002. Matemáticas Avanzadas para Ingeniería: Potencias y Raíces de Números Complejos. Departamento de Matemáticas. Introducción.

Transcripción

1 Raíces Raíces Ma3002

2 Raíces Raíces Las potencias y las enteras números complejos son muy fáciles calcular cuando el número complejo está en la forma polar. Primeramente, veremos la forma polar un número complejo y posteriormente veremos la fórmula De Moivre obtener potencias y.

3 Raíces La forma polar un número complejo z = x + y i correspon precisamente a su representación en coornadas polares, don los referentes la ubicación un punto en el plano son: la distancia l punto al origen y el ángulo que forma la parte positiva l eje real con el rayo que va l origen al punto, medido en forma contraria a las manecillas l reloj. y r θ r cos(θ) z = x + y i r sen(θ) x

4 Raíces Si (r, θ) son las coornadas polares l complejo z = x + y i, diremos que θ es el argumento z o que arg(z) = θ: si se exige que π < θ π se dice que θ es el argumento principal z, Arg(z) = θ. Para nosotros, argumento significa argumento principal. z = x + y i = (r cos(θ)) + (r sen(θ)) i = r (cos(θ) + i sen(θ)) = r cis(θ) = r e θ i Notación Euler = r θ Notación Fasor Si usted calcula el argumento principal un complejo usando la tangente inversa ( ) Im (z) θ = tan 1 Re (z) be tener en cuenta que la división pier a quien correspon el signo y por tanto bemos corregir esa pérdida.

5 Raíces Calcule los argumentos principales los complejos: z 1 = i z 2 = i z 3 = 1 1 i z 4 = +1 1 i z 1 = i: 1 er cuadrante, θ = tan 1 (+1/ + 1) = π/4 Si el número complejo está en el primer cuadrante, el argumento principal pue calcularse directamente la fórmula: ( ) Im (z) Arg(z) = θ = tan 1 Re (z) z 1 θ = Arg(z 1 ) Im (z 1 ) Re (z 1 )

6 Raíces z 2 = i: 2 do cuadrante, θ = tan 1 (+1/ 1) = π/4 z 2 Arg(z 2 ) = 3 4 Im (z π 2 ) Re (z 2 ) θ = π/4 Si el número complejo está en el segundo cuadrante, el argumento principal no sale la tangente inversa; hay que corregir sumando π: ( ) Im (z) Arg(z) = π + θ = π + tan 1 Re (z)

7 Raíces z 3 = 1 1 i: 3 er cuadrante θ = tan 1 ( 1/ 1) = +π/4 Re (z 3 ) θ = π/4 Im (z 3 ) z 3 Arg(z 3 ) = 3 4 π Si el número complejo está en el tercer cuadrante, el argumento principal no sale la tangente inversa; hay que corregir restando π: ( ) Im (z) Arg(z) = π + θ = π + tan 1 Re (z)

8 Raíces z 4 = 1 1 i: 4 o cuadrante θ = tan 1 (1/ 1) = π/4 θ = Arg(z 4 ) = 1 4 π Re (z 4 ) Im (z 4 ) z 4 Si el número complejo está en el cuarto cuadrante, el argumento principal sí sale la tangente inversa: ( ) Im (z) Arg(z) = θ = tan 1 Re (z)

9 Raíces Ventaja la forma polar Si se tienen dos complejos en la forma polar: z 1 = r 1 (cos(θ 1 ) + i sen(θ 1 )), z 2 = r 2 (cos(θ 2 ) + i sen(θ 2 )) Por intidas trigonométricas se comprueba: y Así z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 + θ 2 ) + i sen(θ 1 + θ 2 )) 1 z 1 = 1 r 1 (cos( θ 1 ) + i sen( θ 1 )) z 1 z 2 = r 1 r 2 (cos(θ 1 θ 2 ) + i sen(θ 1 θ 2 )) arg (z 1 z 2 ) = arg(z 1 ) + arg(z 2 ) y arg ( z1 z 2 ) = arg(z 1 ) arg(z 2 ) pero estas fórmulas puen ser incorrectas Arg.

10 Raíces Producto números complejos Z 1 Z 2 B Z 2 O Z 1 C 1. Graficar el rayo OZ1 2. Graficar el rayo OZ2 3. Graficar el círculo unitario 4. Localizar la intersección B l círculo unitario con OZ1 5. Trazar una lela a BZ 1 en el punto Z 2 6. Localizar C: la intersección la lela con OZ1 7. La distancia O a C es el módulo Z 1 Z 2 Los módulos se multiplican: z 1 z 2 = z 1 z 2. Arriba viene cómo hacerlo con regla y compás. Los argumentos se suman: se dibuja el argumento z 2 con un transportador se le suma el argumento z 1.

11 Raíces Inverso un Número complejo O A 1/z B 1 z 1. Graficar z 2. Graficar el conjugado z, z 3. Trazar el rayo l origen a z 4. Graficar el círculo unitario 5. Localizar B 6. Localizar A 7. Trazar el segmento z B 8. Trazar por A un segmento lelo a z B 9. Localizar la intersección sobre el rayo 0 a z z Observe cómo se calcula el inverso l módulo z (es cir, el módulo l inverso z): las ĺıneas rosas son lelas y los puntos auxiliares A y B están sobre el círculo unitario.

12 Raíces Raíces Las potencias y las un número complejo son fáciles calcular cuando el complejo está en su notación polar: ( r e θ i) n = r n e n θ i n r e θ i = n r e θ n i

13 Raíces Fórmula Moivre Sea n un número entero no negativo y un número complejo z o escrito convenientemente en la forma polar z o = a cis (α). Supongamos que seamos obtener un complejo z = r cis (θ) tal que z n = z o Es cir, Así z n = r n cis (n θ) = z o = a cis (α) y por lo tanto: r n = a y n θ = α + 2 π k, algún entero k r = n a y θ = α + 2 π k n Si queremos que los resultados no se repitan, escogemos k = 0, 1, 2,..., k 1

14 Raíces Raíces Las potencias y las un número complejo son fáciles calcular cuando el complejo está en su notación polar: ( r e θ i) n = r n e n θ i n r e θ i = n r e θ n i Todas las una número complejo z = r CIS(θ) puen ser calculadas por la fórmula: ( ) z k = n θ + 2 k π r CIS k = 0, 1,..., n 1 n A z k=0 se le llama raíz principal.

15 Raíces Ejemplo Si z = i, calcule z 4 y la raíz principal 5 z. Usamos que el módulo z es r = y que el argumento es θ = tan 1 ( 2 1 ) radianes y aplicamos la fórmula anterior: (1 + 2 i) 4 ( e i) e i 25 e i 25 cos(4.4285) + 25 sen(4.4285) i i i e i e i e i cos( ) sen( ) i i

16 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 2.

17 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 2. Debemos escribir z en su forma polar: como 2 queda sobre la parte positiva l eje real, su argumento principal es cero y su módulo es 2: Si z = 2, entonces Arg(2) = θ = 0, 2 = 2

18 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 2. Debemos escribir z en su forma polar: como 2 queda sobre la parte positiva l eje real, su argumento principal es cero y su módulo es 2: Si z = 2, entonces Arg(2) = θ = 0, 2 = 2 Para k = 0: Raíz cúbica principal z 0 = 3 ( ) 0 2 cis = 3 2 cis (0) = 3 2 3

19 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 2. Debemos escribir z en su forma polar: como 2 queda sobre la parte positiva l eje real, su argumento principal es cero y su módulo es 2: Si z = 2, entonces Arg(2) = θ = 0, 2 = 2 Para k = 0: Raíz cúbica principal z 0 = 3 ( ) 0 2 cis = 3 2 cis (0) = Para k = 1: Segunda raíz cúbica z 1 = 3 ( ) π 2 cis = i 2

20 Raíces Ejercicio Encuentre todas las z 3 = 2. Debemos escribir z en su forma polar: como 2 queda sobre la parte positiva l eje real, su argumento principal es cero y su módulo es 2: Si z = 2, entonces Arg(2) = θ = 0, 2 = 2 Para k = 0: Raíz cúbica principal z 0 = 3 ( ) 0 2 cis = 3 2 cis (0) = Para k = 1: Segunda raíz cúbica z 1 = 3 ( ) π cis = i 2 Para k = 2: Tercera raíz cúbica z 2 = 3 ( ) π 2 cis == i 2

21 Raíces Las tres cúbicas z = 2: r 1 2π π 3 r 0 z = 2 2π 3 r 2

22 Raíces Las cuatro cuartas z = 1 + i = 2 cis(π/4) = 2 π/4 : r 1 z = 1 + i 2 π 4 = π 2 r 2 π = 4 2 r 0 raíz principal z π 16 = π/4 4 π 2 π 2 r 3