CONCEPTOS BÁSICOS SOBRE LA HETEROCEDASTICIDAD EN EL MODELO BÁSICO DE REGRESIÓN LINEAL TRATAMIENTO CON E-VIEWS

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1 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws CONCPTOS BÁSICOS SOBR LA HTROCDASTICIDAD N L MODLO BÁSICO D RGRSIÓN LINAL TRATAMINTO CON -VIWS Rafal d Arc y Ramón Mahía Dpto. d conomía Aplcada Unvrsdad Atónoma d Madrd rafal.darc@am.s ramon.maha@am.s Rvsado marzo8

2 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws ÍNDIC D CONTNIDOS CONCPTOS BÁSICOS SOBR LA HTROCDASTICIDAD N L MODLO BÁSICO D RGRSIÓN LINAL....- Qé s Casas frcnts d htrocdastcdad fctos d la htrocdastcdad sobr l MBRL Cómo s dtcta la prsnca d Htrocdastcdad... 7 A. Contrasts Gráfcos... 7 A. Gráfca dl rror a través d las dstntas obsrvacons dl modlo... 7 A. Gráfca dl valor cadrátco dl rror y los valors d Y y X s... 8 B. Contrasts nmércos... 8 B.. Contrast d Glsjr... 8 B.. Contrast d Brsch-Pagan... 9 B.3. Contrast d Wht prba gnral d htrocdastcdad d Wht... B.4. Contrast a partr dl cofcnt d corrlacón por rangos d Sparman Cómo s corrg... 3 TRATAMINTO D LA HTROCDASTICIDAD N -VIWS... 5 JMPLO PRÁCTICO D ANÁLISIS D HTROCDASTICIDAD...

3 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3.- Qé s l modlo básco d rgrsón lnal xg q la varanza condconal d las prtrbacons alatoras a los valors d los rgrsors X sa constant: / Var X anq gnralmnt la hpótss s formla sn mnconar l caráctr condconal d la varanza, smplmnt como: Var Para comprndr d forma nttva sta rstrccón podmos razonar dl sgnt modo. Igals varanzas d para los dstntos valors d x mplca ncsaramnt gal dsprsón varanzas d y para dstntos valors d x lo q mplca ncsaramnt q la rcta d rgrsón va a rprsntar con gal prcsón la rlacón ntr x y ndpndntmnt d los valors d x. sto s my mportant porq db rcordars q l análss d rgrsón s n análss d rgrsón condconal d y sobr x lo cal mplca, por lógca, q s s dsa obtnr n parámtro d rlacón stabl y útl ntr ambas varabls, los valors mstrals d y dbn mostrars galmnt dsprsos ant varacons d x. Dcho d otro modo, y n térmnos dl rror, anq l rror srá mayor para mayors valors d x no s frza q l rror tnga n tamaño gal para l rcorrdo d x la dsprsón dl rror alrddor d la rcta d rgrsón srá la msma. sto prmt consdrar galmnt váldos todos los datos mstrals d los rgrsors x para dtrmnar la rlacón condconal d y a los valors d x sn tnr q pondrar más o mnos nos valors otros d x n fncón d la mnor o mayor dsprsón d y n los dstntos casos. n n plano pramnt analítco, la matrz d varanzas-covaranzas d las prtrbacons d n modlo htrocdástco s rprsntaría dl sgnt modo:.. UU Σ... I n... n n n n Como ya s vo n l capítlo ntrodctoro sobr l stmador d Atkn, n l caso concrto d la prsnca d na matrz d varanzas-covaranzas no scalar d las prtrbacons alatoras, la stmacón máxmo vrosíml d los parámtros dl modlo rslta ahora: β [ X Σ X ] X Σ Y MCG Un stmador q goza d bnas propdads stadístcas lnal, nssgado, fcnt y consstnt..- Casas frcnts d htrocdastcdad Anq las q s ctan a contnacón no son las úncas posbldads q dan lgar a n modlo htrocdástco, sí son las más frcnts. tmológcamnt, por crto, la palabra drva d htro dstnto y l vrbo grgo skdanm q sgnfca dsprsar o sparcr.

4 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 4 A.- Casas rlaconadas con la slccón d varabls xógnas: A.- Varabls xplcatvas con na dstrbcón asmétrca S na varabl xplcatva prsnta na dstrbcón asmétrca por jmplo la rnta, rsltará nvtabl q, por jmplo para l caso d asmtría a drchas, los valors mayors dl rgrsor stén asocados a na mayor dsprsón n l térmno d rror d la rgrsón. A.- Varabls xplcatvas con amplo rcorrdo Las varabls con amplo rcorrdo favorcn la aparcón d htrocdastcdad n mayor mdda q aqllas otras q prsntan n agrpamnto my claro alrddor dl valor d la mda. sto no s tan vdnt como l fcto d la asmtría pro, n crto modo, y dado q trabajamos con mstras, la slccón d na mstra q favorzca la htrocdastcdad s más probabl n l caso d varabls con amplos rcorrdos q con scasas varanzas. st rsgo s spcalmnt lvado n los modlos d cort transvrsal ya q la slccón d los lmntos mstrals s arbtrara no vn dtrmnada por l paso dl tmpo y, por tanto, pd ncrrr n l rsgo d mzclar mstras provnnts d poblacons dfrnts por lo q la mstra pdn agrpar, casalmnt, grpos d obsrvacons q prsntn valors my dsprsos y poco dsprsos al msmo tmpo. A.3.- Omsón d varabls rlvants n l modlo spcfcado. n st caso no hablamos d las varabls slcconadas, sno, prcsamnt, d las no slcconadas. Cando s ha omtdo na varabl n la spcfcacón, dcha varabl qdará parcalmnt rcogda n l comportamnto d las prtrbacons alatoras, pdndo ntrodcr n éstas s propa varacón, no ncsaramnt fja. Rcérds q la hpótss ncal dl MBRL d homocdastcdad hacía rfrnca a la varanza constant d las prtrbacons alatoras, pro no oblgaba a q las varabls xplcatvas tvran tambén varanza constant, hcho q, admás, sría na rstrccón my poco plasbl. B.- Otras casas B..- Cambo d strctra l hcho d q s prodzca n cambo d strctra dtrmna n mal ajst d los parámtros al conjnto d los datos mstrals. st no tn porq nflr dl msmo modo n todo l rcorrdo d la mstra, pdndo prodcr cantías d dsajst dl modlo dfrnts y, por tanto, varanza no constant por sbpríodos. B.. Forma fnconal ncorrcta La tlzacón d na forma fnconal ncorrcta, por jmplo la tlzacón d na fncón lnal n lgar d na logarítmca potncal, pd provocar q la caldad dl ajst d la rgrsón varí sgún los valors d las xógnas, por jmplo, ajstando bn para los valors pqños y mal para los grands; n s caso, s posbl q n las zonas d por ajst xstan, no sólo rrors mayors, sno tambén rrors más dsprsos. D hcho, los parámtros stmados "rcográn mjor" l comportamnto d la sr n aqlla d las dos strctras dstntas q s prodzca drant mayor númro d obsrvacons, ya q los parámtros stmados n prsnca d n cambo d strctra srán na mda pondrada d los q rsltarían d na stmacón partclar para cada na d las dos sbmstras

5 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 5 B.3.- Modlos d aprndzaj sobr los rrors sta casa, apntada por Gjarat 3, s rfr a la modlzacón d fnómnos q contnn n mcansmo d ato - aprndzaj n fncón d los rrors dsajsts prvos. n st tpo d fnómnos, l paso dl tmpo mplca progrsvamnt, no sólo n mnor tamaño dl rror, sno admás na varanza progrsvamnt nfror. B.4.- Prsnca d pntos atípcos La prsnca d algnos valors atípcos n la mstra d datos mplcará ncsaramnt n dsajst n la varanza d la prtrbacón n crto modo, n pnto atípco pd consdrars n lmnto mstral prtncnt a otra dstrbcón y, por tanto, potncalmnt con varanza dstnta. n todo caso, sa cál sa l orgn dl problma, n mchas ocasons s posbl asocar la varanza no constant d las prtrbacons alatoras a los valors d algna d las varabls ncldas 4 n l modlo. Dcho d otro modo, podría sponrs q la varanza d la prtrbacón s compon d na part constant, homocdástca, y otra q varía sgún los valors d na dtrmnada varabl Z : f Z dond sría la part fja d la varanza, y Z la varabl o nclso la matrz d varabls cyos valors s asocan con los cambos n la varanza d las prtrbacons alatoras. s my probabl q sta asocacón ntr l procso d htrocdastcdad y na dtrmnada varabl o na combnacón d llas sa algo smplsta, probablmnt no sa my ralsta y y qzá no alcanc a sr compltamnt satsfactora para xplcar l patrón d movmnto d la varanza. Sn mbargo, asmr st tpo d conxón ntr varanza d U y na/s varabl/ss stá n la bas d la mayoría d los procdmntos d dtccón d la htrocdastcdad y, dsd lgo, rslta mprscndbl para los mcansmos d solcón d la htrocdastcdad. fctvamnt, st tpo d fncón podría sr mplada prcsamnt como l spsto smplfcador al q antrormnt s hacía rfrnca para posbltar la stmacón mdant MCG sn ncontrarnos con más ncógntas lmntos d la matrz Σ q obsrvacons. 3.- fctos d la htrocdastcdad sobr l MBRL n térmnos gnrals, los fctos d la prsnca d htrocdastcdad sobr l MBRL stmado con Mínmos Cadrados Ordnaros son: - l stmador d Mínmos Cadrados Ordnaros sg sndo lnal, nssgado y consstnt pro dja d sr fcnt varanza mínma. s ntrsant rcordar q la homocdastcdad d la prtrbacón no jga nngún papl rlvant n la nssgadz o la consstnca, propdads my mportants q s s altran, sn mbargo, ant la prsnca d rgrsors stocástcos o, n mchas ocasons, ant la omsón d varabls rlvants. 3 conomtría. D.N Gjarat. d. Mc Graw Hll. 4 n raldad, cab tambén pnsar n la posbldad q l patrón d htrocdastcdad sté rlaconado con los valors d algna varabl no nclda n l modlo na varabl omtda, conscnt o nconscntmnt anq, n gnral, y qzá por n crtro d sncllz opratva, los métodos d corrccón y dtccón s sln concntrar n la lsta d varabls xógnas ncldas n la spcfcacón.

6 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 6 - Las varanzas dl stmador d Mínmos Cadrados Ordnaros, admás d no sr mínmas, no pdn calclars con la xprsón tlzada n prsnca d homocdastcdad V β X X o, dcho d otro modo, sta xprsón s n stmador ssgado d la vrdadra varanza d los parámtros; altrnatvamnt, db tlzars la xprsón [ ] [ cov var ˆ β X X X ΣX X X ] d modo q, s s sg tlzando la xprsón d MCO, s comtrá n rror d cálclo lo q mplca, báscamnt, q nstros cálclos t ya no s dstrbrán como na t, l contrast F ya no s dstrbrá como na F o los contrasts LM ya no sgrán na Ch- Cadrado. Ant stos dos problmas, cabn n raldad dstntos scnaros n fncón d la stratga lgda por l modlzador:.- Utlzar MCO consdrando la prsnca d htrocdastcdad n s caso, aún rsolvndo l problma d cálclo, sgmos nfrntando n problma d fcnca lo cal sgnfca, n todo caso, q los contrasts d sgnfcacón habtals t, F, Ch-Cadrado tndrían a sr más xgnts, a ofrcr rsltados mnos conclynts al tmpo q los ntrvalos d confanza habtalmnt comptados para los parámtros tndrán a sr más amplos..- Utlzar MCO gnorando la htrocdastcdad n st caso, tnmos na varanza q, dado l rror d cálclo s n stmador ssgado dl vrdadro valor d la varanza valor corrctamnt calclado sn q, n gnral, s pda sabr s s cálclo ncorrcto sobrstma o sbstma l vrdadro valor. Así ps, las conclsons drvadas d la tlzacón d los contrats habtals son, sncllamnt, ncorrctas. 5 Convn admás tnr n cnta q l problma dl cálclo ncorrcto drva n raldad d q l stmador nssgado d la varanza d la prtrbacón ya no rslta sr: ~ n k d modo q, admás dl rror d cálclo n la stmacón d la varanza d los parámtros, todos aqllos contrasts o tsts basados n st stmador nssgado srán tambén ncorrctos. n todo caso, n rror frcnt consst n pnsar q calqr cálclo q mplq la tlzacón d los rrors d n modlo htrocdástco srá ncorrcto cando, n raldad, no s así. Un jmplo ntrsant s l cálclo dl cofcnt d dtrmnacón R o s vrsón corrgda q no s v afctado por la xstnca d htrocdastcdad. La razón strba n q l cálclo d la R s ralza a partr dl cálclo d las varanzas poblacons d y d y y y l hcho d q tlcmos concptos poblacons, no mstrals, mplca q 5 Sobr sta rflxón pd sr ntrsant rcordar n par d xprmntos. l prmro, ralzado por Goldfldt y Qandt n 97 Non Lnnar Mthods n conomtrcs. North Holland, pp 8. llgó a dos conclsons: q la pérdda d fcnca d MCO rspcto a MCG pd sr d hasta vcs n l parámtro constant y d 4 vcs n los parámtros q acompañan a varabls xplcatvas y q l cálclo ncorrcto d d la varanza d los stmadors gnorando la htrocdastcdad prodc n gnral n ssgo por nfravaloracón d la ral dl ordn dl dobl. l sgndo, ralzado por Davdson y Macknnon n 993 stmaton and Infrnc n conomtrcs, OUP, Nva Cork, 9993, pp conclyó q l so d MCO con o sn corrccón sobrstma consstntmnt l vrdadro rror stándar d los parámtros obtndo mdant l procdmnto corrcto MCG mntras q la tlzacón d MCO sn corrgr tndn a ofrcr mnors varanzas q las obtndos por MCO corrgdos, para los parámtros d pndnt, y mayors para l térmno ndpndnt.

7 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 7 tlzamos varanzas no condconals a los valors d x d modo q la R poblaconal no s v afctada por la prsnca d htrocdastcdad; d hcho, la xprsón ~ n stma consstntmnt la varanza dl rror poblaconal. 3.- Utlzar MCG s vdnt q sta parc la mjor d las solcons anq tambén db obsrvars q tlzacón d st stmador xgría conocr o stmar d antmano los valors d los lmntos d Σ. stmar las n varanzas dstntas d Σ partndo d n obsrvacons y k varabls xplcatvas s mposbl, d modo q, como s vrá más adlant, la tlzacón d st stmador xgrá asmr algún spsto smplfcador sobr la casa d na vntal htrocdastcdad, n spsto smplfcador q prmta a s vz dtrmnar, d forma tambén smplfcada, la forma d la matrz Σ. vdntmnt, ncontrar na smplfcacón corrcta d Σ dotará d plna tldad fcnca a la stmacón con MCG pro, a sns contraro, n mal dsño d la casa d la htrocdastcdad y s xprsón n Σ no garantzará sa fcnca. 4.- Cómo s dtcta la prsnca d Htrocdastcdad Ants d ntrar a nmrar y rvsar brvmnt los prncpals procdmntos dbn qdar claras dos cstons prlmnars:.- Rsltará mposbl obsrvar drctamnt la prsnca d htrocdastcdad ya q, n la mayoría d los análss conométrcos, sólo dspondrmos d n valor d Y para cada valor d X y por tanto d n únco valor d U por lo q rslta concptalmnt mposbl obsrvar s la varanza d las U para cada valor d X s la msma. Por tanto, la mayor part d los métodos s apoyarán n los rsdos obtndos n n modlo prvo stmado gnralmnt con MCO; stos rsdos, s tlzarán como na mstra válda d las prtrbacons alatoras dsconocdas..- Ants d la aplcacón d métodos técncos más o mnos nformals dbmos prgntarnos por la xstnca d htrocdastcdad dsd n pnto d vsta tórco consdrando la natralza dl problma analzado, las xógnas ncldas y, n dfntva, la propnsón tórca dl modlo haca la htrocdastcdad. A. Contrasts Gráfcos A. Gráfca dl rror a través d las dstntas obsrvacons dl modlo Dado q las srs conómcas prsntan cas smpr na tndnca dfnda postva o ngatva, la smpl gráfca d rror pd srvr para conocr nttvamnt s l mro transcrso dl tmpo da lgar a n ncrmnto/dcrmnto contnado dl rror, lo q sría sgnfcatvo d na rlacón ntr la volcón d las varabls dl modlo y los valors cada vz mayors o cada vz mnors d ést. Gráfcos dl rror sntomátcos d prsnca d htrocdastcdad

8 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws n ambos, la mra volcón dl tmpo stá corrlaconada con valors cada vz mayors zqrda dl rror o cada vz mnors drcha, con lo q l cálclo d la varanza por sbpríodos arrojaría valors sgnfcatvamnt dfrnts; s dcr la sr dl rror sría htrocdástca. vdntmnt, st tpo d gráfcos SÓLO tn sntdo s l modlo s tmporal ya q, n l caso dl modlo transvrsal, la ordnacón d valors dl j X dpndrá dl crtro lgdo para ordnar la mstra, n crtro q pd no concdr con l patrón d crcmnto o dcrcmnto d la varanza. A. Gráfca dl valor cadrátco dl rror y los valors d Y y X s La rprsntacón d los valors dl rror al cadrado 6 y la varabl ndógna o cada na d las varabls xógnas pd rvlar la xstnca d algún patrón sstmátco n la varanza d la prtrbacón s ntnd q l rror al cadrado s asoca con la dsprsón dl rror. st tpo d gráfco, no sólo prmt obtnr na da prlmnar d s xst o no htrocdastcdad sno tambén d la o las varabls q pdran star conctadas con la msma. B. Contrasts nmércos Todos los procdmntos prsntados aqí tratan d cantfcar la prsnca d htrocdastcdad. Algnos d llos, no sólo s lmtan a cantfcarla sno q, admás, prmtn valorar la xstnca d htrocdastcdad n térmnos d probabldad rcrrndo a dstrbcons stadístcas conocdas; st últmo grpo d contrats s dnomnan, por llo, contrasts "paramétrcos". 7 B.. Contrast d Glsjr D forma smlar al caso antror, Glsjr propon dscartar la varacón dl rror n fncón d na varabl z, q ahora pdn star lvadas a na potnca "h" q staría comprndda ntr - y. l modlo q s propon s:. stmar l modlo ncal, sobr l q s prtnd sabr s hay o no htrocdastcdad, mplando MCO y dtrmnando los rrors. 6 vntalmnt podrían tambén ralzars los gráfcos con valors absoltos dl rsdo. 7 n partclar, los contrasts q s prsntan partn d na strctra acord a la dl Mltplcador d Lagrang. D forma my nttva, sn qrr hacr na argmntacón strctamnt académca, drmos q n st tpo d contrasts s propon smpr dos modlos, no ncal y otro n l q s ncorpora algún añaddo n la spcfcacón. A partr d n rato sobr los rrors d cada no d stos modlos o algna transformada d stos, s compara s l modlo más complto aporta sfcnt xplcacón adconal d la ndógna como para compnsar l cost d ncorporar más varabls.

9 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 9 [ ] k k y y Y X X X x x x y ˆ ˆ... β β β β β. stmar catro rgrsons para los valors absoltos dl rror dl modlo antror n fncón d na varabl lvada consctvamnt a "h", q para cada modlo tomaría los valors -, -,5,,5 y. h z ε α α { }.5,.5,, h S scográ la rgrsón d las catro con parámtros sgnfcatvos y con mayor R. 3. S ntnd q, s l valor d sta R s sfcntmnt grand, s stará confrmando q xst htrocdastcdad prodcda por la varabl z, ya q sta s capaz d xplcar la volcón d la volcón dl rror como stmada d la volcón d las prtrbacons alatoras. sta conclsón s spcalmnt válda para mstras grands sgún las propas conclsons ofrcdas por Glsjr por lo q s tlzacón parc spcalmnt adcada n st tpo d condcons mstrals. B.. Contrast d Brsch-Pagan La da dl contrast s comprobar s s pd ncontrar n conjnto d varabls Z q srvan para xplcar la volcón d la varanza d las prtrbacons alatoras, stmada ésta a partr dl cadrado d los rrors dl modlo ncal sobr l q s prtnd comprobar s xst o no htrocdastcdad. l procso a sgr para llvar a cabo st contrast s l sgnt:. stmar l modlo ncal, sobr l q s prtnd sabr s hay o no htrocdastcdad, mplando MCO y dtrmnando los rrors. [ ] k k y y Y X X X x x x y ˆ ˆ... β β β β β. Calclar na sr con los rrors dl modlo antror al cadrado standarzados: n ˆ ˆ ~ 3. stmas na rgrsón dl rror calclado n l paso xplcado por na constant y l conjnto d las varabls Z q s prtnd sabr s prodcn o no htrocdastcdad n l modlo, obtnéndos la R d st modlo y la varanza d la stmada: ~... ~ p p R z z z ε α α α α

10 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 4. n prncpo, dado q l modlo tn térmno constant, s cmpl la rgla gnral d las rgrsons sgún la cal la varanza d la ndógna ral s gal a la sma d la varanza d la ndógna stmada más la varanza dl rror obtndo n l modlo S S S o s qvalnt mltplcando a ambos lados d la galdad por l ~ ˆ~ ε ˆ númro d obsrvacons n, dond n vz d varanzas hablarmos d Smas al cadrado. Por llo, s l modlo s "malo" la varanza d la ndógna stmada srá pqña s lo msmo q dcr q la varanza dl rror stmado s grand o q l "modlo tn mcho rror". n dfntva, y sgndo l ntrés q aqí bscamos, s la varanza d la ndógna stmada n st sgndo modlo s my pqña, starmos afrmando q l podr xplcatvo dl conjnto d varabls Z sobr la rprsntacón d la varanza d las prtrbacons alatoras s scaso. A partr d sta afrmacón, podríamos gnrar n contrast calclado con la sma rsdal, a sabndas d q canto más crca d cro s ncntr, más probabldads d homocdastcdad habrá n l modlo. l contrast propsto s: * S ˆ~ n los ators dmstran q, n l caso d n modlo homocdástco, s dstrby como na χ, con lo q, s l valor dl rato spra al valor d tablas, s rchaza la hpótss p nla homocdastcdad; s dcr, s acpta q l conjnto d varabls Z stá prodcndo htrocdastcdad n l modlo orgnal. l contrast d Brsch Pagan fctvamnt nos srvrá para acptar o dscartar la prsnca d htrocdastcdad dbda a s conjnto d varabls Z ctado, pro s opratvdad s lmtada. S l conjnto d las varabls Z contn varabls no ncldas n l modlo orgnal, parc dfícl no habrlas tndo n cnta ants para ralzar na bna spcfcacón y sí tnrlas n cnta ahora para la contrastacón. Por otro lado, la lsta d varabls Z db sr ncsaramnt pqña para podr ralzars l contrast. B.3. Contrast d Wht prba gnral d htrocdastcdad d Wht Anq n aparnca sta prba s parcda a las mnconadas antrormnt, parc admtdo q algo más robsta al no rqrr spstos prvos como, por jmplo, la normaldad d las prtrbacons. Por otro lado, tal y como s vrá a contnacón, la prba no xgrá dtrmnar a pror las varabls xplcatvas d la htrocdastcdad lo cal no s ncsaramnt na vrtd y s por sta razón por lo q s dnomna prba gnral. n st contrast la da sbyacnt s dtrmnar s las varabls xplcatvas dl modlo, ss cadrados y todos ss crcs posbls no rptdos srvn para dtrmnar la volcón dl rror al cadrado. s dcr; s la volcón d las varabls xplcatvas y d ss varanzas y covaranzas son sgnfcatvas para dtrmnar l valor d la varanza mstral d los rrors, ntndda ésta como na stmacón d las varanzas d las prtrbacons alatoras. l procso a sgr para ralzar st contrast sría l sgnt:. stmar l modlo orgnal por MCO, dtrmnando la sr d los rrors. scrto sto n forma matrcal para n modlo con "n" obsrvacons y "k" varabls xplcatvas:

11 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws Y Xβ U [ X X ] ˆ β Yˆ X ˆ β Y Yˆ X Y. stmar n modlo n l q la ndógna sría los valors al cadrado d los rrors obtndos prvamnt paso con todas las varabls xplcatvas dl modlo ncal, ss cadrados y ss combnacons no rptdas. α α α x k k x x 3... α x... α 3k k x k x α 3 k x... ε... α k k x k α k k x x 3. l valor d la R d st sgndo modlo paso nos drá s las varabls lgdas srvn o no para stmar la volcón varant dl rror al cadrado, rprsntatvo d la varanza stmada d las prtrbacons alatoras. vdntmnt, s la varanza d éstas fra constant homocdastcdad, l caráctr no constant d las varabls xplcatvas mplcadas n l modlo no srvría para xplcar la ndógna, lgo la dbra sr my pqña. n prncpo, la R, como proporcón d la varanza d la ndógna ral 8 q qda xplcada por la stmada, dbra sr my pqña s la capacdad xplcatva d los rgrsors consdrados tambén s my pqña, sndo stos rgrsors, por s constrccón, rprsntatvos d varanzas y covaranzas d todas las xplcatvas dl modlo orgnal. Dcho sto, vdntmnt n valor d la R sfcntmnt pqño srvrá para conclr q no xst htrocdastcdad n l modlo prodcda por los valors d las xplcatvas consdradas n l modlo ncal. Para ncontrar l valor crítco n sa consdracón d sfcntmnt pqño s mpla la xprsón ddcda por Brsch y Pagan como prodcto dl cofcnt R por l númro d datos dl modlo, q s dstrbría dl sgnt modo: R R p n χ n dfntva, s obtnmos n valor dl prodcto χ p R n mayor q l rfljado por las tablas d, afrmarmos q xst htrocdastcdad, y vcvrsa, s st valor s más pqño drmos q s mantn la homocdastcdad lgo la hpótss nla d st contrast s la homocdastcdad. Otro modo d contrastar la xstnca d htrocdastcdad n l modlo a partr d la valdz o no d los parámtros ncldos n la rgrsón propsta por Wht vndría dado por l valor dl contrast d sgnfcacón conjnta F. S dcho contrast afrmara q, n conjnto, las varabls xplctadas tnn capacdad xplcatva sobr la ndógna, staríamos afrmando la prsnca d htrocdastcdad n l modlo. 8 n st caso, la ndógna ral srá l valor dl rror mstral al cadrado d la prmra rgrsón practcada. n l caso d homocdastcdad, st db sr cas constant, por lo q dfíclmnt la volcón d otras varabls podría xplcar n valor fjo. Por llo s nttvo pnsar q canto mayor sa la R d st modlo, más probabl srá la htrocdastcdad.

12 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws B.4. Contrast a partr dl cofcnt d corrlacón por rangos d Sparman La flosofía d st contrast rsd n q la varabl sospchosa d prodcr htrocdastcdad dbría provocar n crcmnto dl rsdo stmado al msmo rtmo q lla va crcndo. Por llo, s ordnáramos d mnor a mayor tanto la varabl sospchosa, por jmplo x j, como l valor absolto dl rsdo,, l cambo d psto n ambas, y para cada na d las obsrvacons, dbra sr dl msmo númro d pstos rspcto al ordn orgnal d las srs. n la mdda n la q st cambo d psto rspcto al orgnal no sa l msmo para las dos na vz ordnadas s podría hablar d movmntos no corrlaconados. Dado q la corrlacón s md ntr no y mnos no, Sparman propon dtrmnar n grado d corrlacón n s cambo d psto rspcto al ncal d cada na d las varabls a partr d la dfrnca ntr l nvo psto y l ncal: 6 d r n n n sta xprsón, na concdnca máxma todas las dstancas son gal a cro, daría lgar a na corrlacón d Sparman gal a no; mntras q na dstanca máxma, provocaría n valor cro d dcho cofcnt d corrlacón 9. n la sgnt tabla s hac n pqño jmplo nmérco d cálclo dl cofcnt d Sparman para clarfcar lo dcho hasta ahora. n Srs orgnals Srs ordnadas Psto x j x j Psto Psto d d orgnal orgnal.838,6 44, ,4 5 3, , 688 5, ,3.838, ,5.33 4, n 6 d 6 * 3 r,8,8 n n 55 n st caso, l grado d corrlacón ngatva d ambas srs sría bastant lvado, dado q los xtrmos d corrlacón srían /-. Para valorar la sgnfcatvdad o no d sta corrlacón, s conoc la fncón d dstrbcón dl sgnt rato bajo la hpótss nla d no sgnfcatvdad, dmostrado por l ator: 9 Ralmnt, l cofcnt d corrlacón por rangos d Sparman s qvalnt a mplar l cofcnt d corrlacón lnal cov x, y r x, y a las varabls d pntacón d ordn d ambas colocadas S x S y sgún la progrsón d na d llas. Para vr l dtall dl dnomnador, s pd acdr a Martín- Gzmán y Martín Plgo 985, págnas 3-34.

13 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3 r s N r S t n Con llo, s l rsltado dl rato s spror al valor d tablas podrmos afrmar q la corrlacón s sgnfcatva o, d cara a nstro ntrés n st caso, q hay ndcos d htrocdastcdad n l modlo provocada por la varabl x j. B.5 Otros contrasts Anq no s comntarán aqí, s s convnnt ctar otros contrasts habtals para la dtrmnacón d la htrocdastcdad, como: - Contrast d Harvy - Contrast tst d Park - Contrast RST d Ramsy - Golfld-Qandt - Contrast d pcos - LM Arch 5.- Cómo s corrg Ants d ntrar n los métodos opratvos q prmtn la stmacón n prsnca d htrocdastcdad, dbn hacrs dos pntalzacons:.- La corrccón q s vrá n st apartado s planta como na stratga adaptatva, d convvnca con la htrocdastcdad pro, n todo caso, db ntndrs q, n algnas ocasons, l problma q gnra n comportamnto htrocdástco d la prtrbacón pd rsolvrs varando la spcfcacón lo q, sn dda algna, sría na vrdadra corrccón dl problma..- La stmacón altrnatva al so d MCO n stacons d htrocdastcdad s la tlzacón d MCG y, por tanto, sta s la únca stratga analítcamnt corrcta para la solcón dl problma. No obstant, y como ya s ha dcho, sto mplcaría conocr l vrdadro valor d la matrz sgma d varanzas y covaranzas, stacón q, n la práctca, no s habtal. Por tanto, los métodos q s prsntan aqí sponn na altrnatva opratva a sta hpotétca stacón dal..- Transformacón d las varabls orgnals Como hmos vndo vndo rptdas vcs a lo largo dl tma, la htrocdastcdad vn prodcda por la dpndnca d la varanza d las prtrbacons alatoras d na o más varabls q, a s vz, pdn star prsnts n l modlo o no. Los dstntos métodos d dtctar st problma srvían para probar la dpndnca d la varanza d la prtrbacón alatora d n conjnto d varabls, a partr d lo q hmos llamado n spsto smplfcador: f Z Por lógca, l modo d sbsanar l problma dtctado srá oprar convnntmnt la varabls dl modlo prcsamnt lmnando la fnt d htrocdastcdad q habrmos poddo dfnr cando dtctamos la msma. Como vrmos a contnacón, s l conjnto total d las varabls dl modlo ndógna nclda s dvddo por la forma stmada d sta fncón d la raíz d la varanza htrocdástca na vz algún método d dtccón nos haya

14 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 4 confrmado q fctvamnt l comportamnto d sta varanza s pd sgr convnntmnt con dcha fncón starmos corrgndo l modlo. Para comprobar sto, podmos volvr a la forma matrcal d varanzas covaranzas no scalar: Σ n n n n n I UU n sta matrz, s dvdmos por Z f, obtndrmos na dagonal prncpal d nos; s dcr, volvríamos al caso d na matrz d varanzas covaranzas scalar tal y como la q s spon n l modlo básco d rgrsón lnal. Formalmnt, para probar sto sgmos los sgnts pasos. Dado q la matrz Σ s na matrz smdfnda postva todos los lmntos d s dagonal prncpal son ncsaramnt postvos, smpr podrmos dscomponrla n dos matrcs d la forma: Σ Σ P P PP Volvndo a la matrz d varanzas covaranzas no scalar y nndo sto a la fncón q hmos comprobado srv para dfnr sta varanza no constant Z f, s fácl llgar a q la dscomposcón Σ Σ P P PP s: PP n n n n Σ S mltplcamos cada varabl dl modlo por sta matrz P, tal y como s ha sgrdo, obtnmos nas nvas varabls dl sgnt tpo: * * * U X Y U P x P Y P β β dond: I n P P UU UU P P P UU P U U * * Σ Σ Σ Σ Por lo q podmos afrmar q l modlo transformado aql por l q s han dvddo todas las varabls por la dsvacón típca stmada d las prtrbacons alatoras soporta na

15 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 5 matrz d varanzas covaranzas d las prtrbacons alatoras scalar, con lo q s pd stmar con toda garantía por MCO. n dfntva, y a modo d brv rcta, los pasos para la corrccón d la htrocdastcdad srían los sgnts: a S stman los parámtros dl modlo por MCO, gnorando por l momnto l problma d la htrocdastcdad d las prtrbacons alatoras b S stablc n spsto acrca d la formacón d y s mplan los rsdos d la rgrsón por MCO para stmar la forma fnconal spsta. c S dvd cada obsrvacón por ˆ sgún l paso antror sgún l valor d sa htrocdastcdad spsta stmada, smpr y cando n contrast nos haya confrmado q l modlo smplfcador s bno. d S stma l modlo orgnal ahora con todas las varabls transformadas sgún l paso c..- stmacón consstnt d Wht l procdmnto propsto por Wht prmt na stmacón q, n térmnos asntótcos, prmt la tlzacón d los procdmntos d nfrnca stadístca clásca. Báscamnt, la da consst n tlzar los rrors cadrátcos d na stmacón prva d MCO como lmntos d la matrz d varanzas d la prtrbacón matrz Σ. Wht dmostró q, sta stratga d pondracón prmt obtnr stmadors consstnts d las varanzas d los parámtros. La mayor part d los paqts nformátcos ncorporan st cálclo d modo q, n gnral, s tlzacón parc rcomndabl, al mnos con fns xploratoros. n todo caso, dbn hacrs dos pntalzacons q qzá rsltn ntrsants al q, por vz prmra, s asom a st procdmnto..- Los parámtros stmados consstntmnt con Wht concdrán con los d la rgrsón orgnal MCO n todo caso, rcrd q l problma d la htrocdastcdad no s n problma d ssgo n nconsstnca..- Nada garantza, a pror, q las varanzas d los parámtros stmados con Wht san mnors q las orgnals, dado q db rcordars q las MCO orgnals mal calcladas prsntaban n ssgo ndtrmnado, pro gnralmnt d nfravaloracón d la varanza ral. TRATAMINTO D LA HTROCDASTICIDAD N -VIWS S propon n modlo para cantfcar las vntas d Brgr Kng VTASBK n na sr d paíss, proponéndos como xplcatvas las sgnts varabls: PRCIOSBK: PRCIOSMAC: RNTAPC: Prcos Hambrgsa Whopr Prcos Hambrgsa Bg Mac Rnta pr capta dl país Ralzada na prmra rgrsón, los rsltados obtndos son los sgnts:

16 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws Rsdal Actal Fttd Matrz d corrlacons d las varabls VTASBK PRCIOSBK PRCIOSMAC RNTAPC VTASBK PRCIOSBK PRCIOSMAC RNTA PC No s da nngna corrlacón ntr varabls xplcatvas spror al R obtndo n l modlo, por lo q no parc habr ndcos d mltcolnaldad. Tan sólo xst na frt corrlacón ntr PRCIOSBK y PRCIOSMAC,743, n calqr caso más pqño q l,99. A la lz dl gráfco d rsdos, podría pnsars q q los cnco prmros paíss prsntarían na varanza mayor q los sgnts, anq, como sl ocrrr con los gráfcos, no s pd aprcar nada claramnt.

17 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 7 l sgnt lmnto a contrastar sría la prsnca d htrocdastcdad n l modlo. l programa -Vws smnstra, con st fn, la posbldad d dtctar la htrocdastcdad, ntr otros, a partr dl Tst d Rsdos d Wht, ofrcndo dos posbldads: - No Cross Trms: Ralzar la rgrsón d los rrors al cadrado d la rgrsón ncal dl modlo scrbndo como xplcatvas todas las xógnas d la ncal y ss valors al cadrado. - Cross Trms: gal q la antror, pro nclyndo admás, como xplctvas dl rror al cadrado, los prodctos no rptdos d todas las varabls xplcatvas dl modlo ncal ntr sí. n prncpo, l contrast xprsado por Wht sría la sgnda opcón, pro, n modlos con scasas obsrvacons, a lo mjor no s posbl ralzar la stmacón con tantos rgrsors y s más rcomndabl la prmra opcón por no lmnar compltamnt los grados d lbrtad. n nstro caso, l númro d obsrvacons s paíss y l númro d xplcatvas trs más la constant, lgo l contrast d Wht con térmnos crzados qvaldría a nclr varabls xplcatvas sobr l cadrado d los rrors d la rgrsón ncal la constant, las trs xplcatvas, ss trs cadrados y los trs crcs posbls no rptdos ntr llas. Para aplcar st contrast n -vws, dsd la msma vntana dond s ha ralzado la rgrsón, s sg l sgnt traycto: Los rsltado d st Tst d rsdos Wht htroskdastcty cross trms son: Wht Htroskdastcty Tst: F-statstc Probablty. Obs*R-sqard Probablty.47

18 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 8 Como rsltado, s nos ofrcn dos formas d contrastar la valdz d las varabls lgdas para xplcar n comportamnto no homogéno dl rror al cadrado stmador d la varanza d la prtrbacón alatora n st caso: - F-stasttc como smpr con k-; n-k grados d lbrtad, nos vndría a dar na mdda d la bondad dl modlo probabldad d htrocdastcdad s s confrma la valdz conjnta d las varabls lgdas para dtrmnar la varacón dl rror al cadrado - la ndógna-. - Obs*R-sqard n R χ p : spsta la hpótss nla d homocdastcdad, l cálclo propsto dbría comportars como na χ p con p- grados d lbrtad. n nstro caso p las xplcatvas d la rgrsón practcada. l valor d tablas d χ, para l 95% d confanza, s 6,9. A la lz d lo dcho, ambos stadístcos propstos afrman, con n 97,9% d probabldads l prmro y con n 96,73% d probabldads l sgndo, la xstnca d htrocdastcdad. La msma salda nos mstra la rgrsón tlzada para ralzar stos cálclos, q sría la sgnt: Tst qaton: Dpndnt Varabl: RSID^ Mthod: Last Sqars Dat: 4/4/ Tm: 8:3 Sampl: Incldd obsrvatons: Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C PRCIOSBK PRCIOSBK^ PRCIOSBK*PRCIOSMAC PRCIOSBK*RNTAPC PRCIOSMAC PRCIOSMAC^ PRCIOSMAC*RNTAPC RNTAPC RNTAPC^ R-sqard Man dpndnt var Adjstd R-sqard S.D. dpndnt var 4.94 S.. of rgrsson Akak nfo crtron.36 Sm sqard rsd Schwarz crtron.5347 Log lklhood -.36 F-statstc Drbn-Watson stat.8789 ProbF-statstc.

19 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 9 A la lz d sta rgrsón, s fácl comprobar la sgnfcatvdad d la varabl rntapc y rntapc^ para xplcar la varanza dl rror. Tambén los s prcosbk^ y prcosbk*rntapc. Para corrgr l problma d la htrocdastcdad, habría q mplar Mínmos Cadrados Gnralzados, o bn transformar todas las varabls dl modlo prdvdndo todas ss obsrvacons por la raíz cadrada dl valor stmado dl rror al cadrado n l modlo q s ha tlzado para contrastar la prsnca d htrocdastcdad y q nos ha nformado sobr la prsnca d la msma y la bna xplcacón dl comportamnto no constant d la varanza. l programa -vws prmt ralzar la stmacón por MCG sando como valor d Σ l obtnbl a partr d la propsta d Wht 98. l stmador consstnt d la matrz d covaranzas para lograr na stmacón corrcta d los parámtros n prsnca d htrocdastcdad s l sgnt: ˆ n Σ t t t X n k n [ X X ] x x [ X ] Para lograr na stmacón mplando sta corrccón n -vws, s ncsaro, na vz s jcta na stmacón lnal normal, plsar l botón d stmat. Aparcrá ntoncs, a la drcha, n botón d opcons q, plsado, prmt sñalar Htroskdastcty: consstnt covaranc Wht.

20 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws stmando sgún sta propsta, ya q hmos confrmado la prsnca d htrocdastcdad, los rsltados srían los sgnts: Dpndnt Varabl: VTASBK Mthod: Last Sqars Dat: 4// Tm: 3:37 Sampl: Incldd obsrvatons: Wht Htroskdastcty-Consstnt Standard rrors & Covaranc Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C PRCIOSBK PRCIOSMAC RNTAPC R-sqard.9994 Man dpndnt var Adjstd R-sqard S.D. dpndnt var S.. of rgrsson Akak nfo crtron Sm sqard rsd 4.63 Schwarz crtron Log lklhood F-statstc Drbn-Watson stat ProbF-statstc. Rfrncas bblográfcas GUJARATI, D. 6: Prncpos d conomtría. Mc Graw Hll, Capítlo 3. pag.385 GOLFDLD,SM Y QUANDT 97: Non Lnnar Mthods n conomtrcs. North Holland, pag. 8. MARTÍN-GUZMÁN Y MARTÍN PLIGO 985: Crso básco d stadístca conómca. dtoral AC NOVALS, A. 993: conomtría. dtoral Mc Graw Hll, sgnda dcón. Madrd. Capítlo 6, págna: 93. OTRO, JM 993: conomtría. Srs tmporals y prdccón. dtoral AC, lbros cntífcos y técncos. Madrd.

21 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws PULIDO, A. y PÉRZ, J. : Modlos conométrcos. dtoral Prámd, SA. Madrd. Capítlo 4, págna: 7.

22 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws jmplo práctco d análss d htrocdastcdad Ramón Mahía Marzo 6 I.- RGRSIÓN INICIAL Los datos para ralzar sta rgrsón s han tomado dl jmplo. dl lbro conomtría d D.N. Gjarat, d. Mc.Graw Hll. Carta dcón. Los datos s rfrn a gastos n ID GID, Vntas y Bnfcos para 8 sctors ndstrals consdrados y fron a s vz xtraídos d Bsnss Wk, Spcal 989 Bons Iss, R&D Scorcard, pp l jmplo tlzado no s corrspond, sn mbargo, con l ralzado por Gjarat n l txto arrba ndcado: la rgrsón q s propon para l análss n st jmplo trata d xplcar los cambos n los gastos n ID n fncón d las vntas y los bnfcos. I.A.- Otpt d la stmacón Dpndnt Varabl: GID Mthod: Last Sqars Dat: 3//6 Tm: :36 Sampl: 8 Incldd obsrvatons: 8 Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C VNTAS BNFICIOS R-sqard Man dpndnt var Adjstd R-sqard.4639 S.D. dpndnt var 376. S.. of rgrsson Akak nfo crtron 3.48 Sm sqard rsd. Schwarz crtron Log lklhood F-statstc Drbn-Watson stat ProbF-statstc apnts my brvs sobr la valoracón global d sgnos y sgnfcacón: - Sgnos corrctos - Varabls no sgnfcatvas n ndvdalmnt n d forma conjnta - R scaso I.B.- Problmas d mltcolnaldad?

23 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3 A la vsta d la frt corrlacón ntr vntas y bnfcos, lo más probabl s q SI. No obstant, vamos a mantnr la rgrsón sn cambos con stas dos xplcatvas con l fn d lstrar los procdmntos d dtccón d htrocdastcdad n st contxto mltvarant. II.- DTCCIÓN D LA HTROCDASTICIDAD II.B.- Aproxmacón Tórca La tlzacón d modlos transvrsals, spcalmnt cando las ndads obsrvadas prsntan, para las varabls d ntrés, dfrnts tamaños, spon n rsgo vdnt d htrocdastcdad. Por otro lado, cab sponr q los gastos n ID san, no sólo más grands canto mayor sa la mprsa mayor sa s volmn d vntas, sno probablmnt tambén más varabls; algo smlar ocrr d hcho con otras varabls mprsarals q prsntan na dstrbcón htrocdástca rspcto al tamaño la dstrbcón d salaros, la prodctvdad, tc.. II.B.- Aproxmacón Gráfca II.B..- Ral, stmada, rror. La mstra aparc ordnada sgún l tamaño vntas d la mprsa. Por llo, y a psar d tratars d n modlo transvrsal, st tpo d gráfco tn sntdo n st jmplo s sponmos q la htrocdastcdad stá rlaconada con l tamaño Rsdal Actal Fttd

24 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 4 l gráfco d los rrors mstra, fctvamnt, q la dsprsón d los msmos alrddor d la mda nla amnta sgún l tamaño d la mprsa tambén lo hac n st caso, nssto, l j horzontal no rprsnta sólo la transcón d nas mprsas a otras sno tambén l ncrmnto d tamaño dado q la mstra aparc ordnada por volmn d vntas. II.B..- Gráfcos X/Y scat ntr rrors y varabls La rprsntacón d los rsdos al cadrado d la rgrsón y la varabl d vntas o bnfcos amabas rprsntan l tamaño, arroja, nvamnt n claro ndco d rlacón ntr ambas. S lstran dos vrsons d los msmos gráfcos, n la prmra vrsón s ha tlzado la mstra complta d rrors, n la sgnda, con l fn d acntar l gráfco, s han lmnado los dos rsdos atípcamnt grands d la sr d rrors cadrátcos obsrvacons 6 y 7. n todos los casos s mstra la lína d rgrsón d la nb d pntos n la q s aprca, claramnt, na pndnt postva. La tlzacón d rsdos n valor absolto n lgar d rsdos cadrátcos no mplca dfrncas sstancals. Gráfcos rrors Cadrátcos / xógnas sn corrccón d atípcos RSID VNTAS

25 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws RSID BNFICIOS Gráfcos rrors Cadrátcos / xógnas corrgdos atípcos obsrvacons 6 y RSID_AT VNTAS

26 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws RSID_AT BNFICIOS II.C.- Métodos nmércos II.C..- Rgrsons nvarants d Glsjr Conform al procdmnto dscrto n los docmntos tórcos, ralzamos la stmacón dl valor absolto dl rsdo n fncón d cada na d las dos xógnas tlzando dstntas paramtrzacons para l modlo dstntos valors d h. β X v β h Para stas rgrsons, obsrvamos l valor dl cofcnt d dtrmnacón R y l pval dl contrast t d Stdnt para l cofcnt β. Bnfcos Vntas R p-val R p-val h, h h h h h A la vsta d los rsltados, s confrma la vdnt rlacón dl rror con las varabls xógnas, spcalmnt con la varabl d bnfcos. La paramtrzacón con mjors

27 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 7 rsltados la q n mayor mdda vdnca la htrocdastcdad spon la rlacón ntr los rrors absoltos y l bnfco al cadrado lo cal pd sr d ntrés a la hora d proponr na transformacón homocdástca para l modlo. II.C..- Contrast d Brsch - Pagan Ralzamos n prmr lgar la transformacón d la sr d rsdos orgnals RGID a la vrsón cadrátca standarzada q s propon n l contrast BP: ~ Para ralzar st cálclo, prmro ncstamos conocr l valor d la varanza rsdal d los rsdos orgnals q rslta sr: n , ,7 8 d modo q tnmos : RGID RGID_ST -48,7,4-4.56,,8-58,86,5-6.86,36,75.8,3,4 -.99,3,7 5.8,89, ,96, ,9,44.96,39, ,3, ,9, ,56, ,8, ,8, ,5 6, ,6 7, ,7,3357 Ralzamos ahora la rgrsón d sta sr d rsdos transformada n fncón d la/las varabls aparntmnt conctadas con la htrocdastcdad. n nstro caso, proponmos tlzar l bnfco y s cadrado como varabls xplcatvas: BNFICIOS BNFICIOS v ~ β β β n -Vws, s nstra varabl orgnal d rsdos s dnomna RGID, la varabl transformada para BP podría gnrars como: rgd_strgd/@varrgd^.5^

28 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 8 Dpndnt Varabl: RGID_ST Mthod: Last Sqars Dat: 3//6 Tm: 3: Sampl: 8 Incldd obsrvatons: 8 Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C BNFICIOS BNFICIOS^ R-sqard Man dpndnt var. Adjstd R-sqard S.D. dpndnt var.447 S.. of rgrsson.3469 Akak nfo crtron Sm sqard rsd Schwarz crtron Log lklhood F-statstc Drbn-Watson stat ProbF-statstc. La sma cadrátca xplcada d sta rgrsón s s dcr: ˆ~ 56.9 ˆ~ Con l fn d contrastar la Hpótss nla d nla d Homocdastcdad, y dado q la rato SC/ s dstrby como na Ch cadrado con p grados d lbrtad númro d parámtros stmados obsrvamos l valor d na Ch cadrado a na sola cola para n nvl d sgnfcacón dl 95% y 3 grados d lbrtad parámtros stmados n la rgrsón: 7.8. l valor mstral calclado, 6.59 s claramnt spror al valor d tablas lgo, al 95% d confanza, rchazamos la hpótss nla d Homocdastcdad. II.C.3.- Contrast d Wht No parcn ncsaros contrasts adconals para asgrar la prsnca d htrocdastcdad lgada a la varabl d bnfcos pro, no obstant, ralzamos la prba d Wht con fns lstratvos. -Vws ralza d forma atomátca st contrast s, na vz ralzada la rgrsón, hacmos clc sobr la opcón Vw- Rsdal Tst Wht Htroskdastcty. La opcón cross trms tlza como xógnas los prodctos crzados d las varabls xógnas mntras q opcón no cross trms sólo mpla las xógnas y ss cadrados.

29 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 9 La rgrsón d Wht, fctada para los rsdos cadrátcos n fncón d las varabls xógnas, ss cadrados y ss prodctos crzados rslta sr: Wht Htroskdastcty Tst: F-statstc Probablty. Obs*R-sqard Probablty.6787 Tst qaton: Dpndnt Varabl: RSID^ Mthod: Last Sqars Dat: 3//6 Tm: 5:9 Sampl: 8 Incldd obsrvatons: 8 Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C VNTAS VNTAS^ VNTAS*BNFICIOS BNFICIOS BNFICIOS^ R-sqard Man dpndnt var 6.78 Adjstd R-sqard.8446 S.D. dpndnt var.39 S.. of rgrsson 5.58 Akak nfo crtron Sm sqard rsd 3.88 Schwarz crtron Log lklhood F-statstc Drbn-Watson stat.735 ProbF-statstc. Una vz más, los ndcos d atocorrlacón son claros. Los rsltados dl tst d Wht mstran, por n lado, l lvado valor d la R n la rgrsón nstrmntal, q spra l valor d na Ch cadrado con p- 6- grados d lbrtad, para n nvl d sgnfcacón dl.67%, s dcr, dl 99,3%. Por otro lado, aparcn cofcnts stadístcamnt sgnfcatvos al 99,5% para la varabl d Bnfcos al cadrado y al 96,8% para l prodcto crzado d los Bnfcos por las Vntas.

30 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3 III.- CORRCCIÓN D LA HTROCDASTICIDAD III.A.- Transformacón d las varabls orgnals Proponmos como solcón al problma la transformacón d los datos orgnals tlzando para la transformacón la varabl d Bnfcos al cadrado, s dcr, aqlla q n mayor mdda s ha mostrado conctada con la htrocdastcdad. n la práctca, so spon dvdr la ndógna y las xógnas ntr la varabl d bnfcos la raíz d los bnfcos al cadrado son los propos bnfcos. Por jmplo, y para l caso d la ndógna, la rgrsón s fctaría ahora tlzando como varabl a xplcar la rato d los Gastos n ID sobr los bnfcos. Pantalla d stmacón: INICIAL Pantalla d stmacón: TRANSFORMADA Pdn obsrvars los sgnts cambos q mrcn atncón:.- Al dvdr todas las varabls ntr la varabl BNFICIOS, dbmos obsrvar q tambén qdará dvdda la propa varabl BNFICIOS, gnrando por tanto na varabl con todos ss valors gals a ; s dcr, gnrando n térmno ndpndnt. Por sa razón no s spcfca n la vrsón corrgda d -Vws la aparcón dl térmno C.

31 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3.- l térmno ndpndnt d la rgrsón orgnal, spcfcado n -Vws orgnalmnt como C, ra n raldad na varabl con todos ss valors gals a. Al dvdr s térmno ndpndnt ntr la varabl BNFICIOS tnmos n raldad na nva varabl /Bnfcos, q s la q aparc n la pantalla d stmacón. sta transformacón pd obsrvars matrcalmnt aqí: Matrz Orgnal X Matrz Transformada X.... Vntas Vntas Vntas Vntas 3 8 Bnf Bnf Bnf Bnf Bnf 3 Bnf3.. Bnf.. 8 Bnf8 Vntas Bnf Vntas Bnf Vntas3 Bnf 3 Vntas Bnf 8 8 Dpndnt Varabl: GID/BNFICIOS Mthod: Last Sqars Dat: 3//6 Tm: 5:58 Sampl: 8 Incldd obsrvatons: 8 Wht Htroskdastcty-Consstnt Standard rrors & Covaranc Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. /BNFICIOS VNTAS/BNFICIOS BNFICIOS/BNFICIOS R-sqard.89 Man dpndnt var Adjstd R-sqard S.D. dpndnt var S.. of rgrsson.539 Akak nfo crtron.848 Sm sqard rsd.7657 Schwarz crtron.5684 Log lklhood.9435 F-statstc Drbn-Watson stat ProbF-statstc.3 S s dsa comparar los cofcnts d sta nva rgrsón con los d la orgnal, podría mltplcars toda la rgrsón por la varabl Bnfcos. Los parámtros d la rgrsón orgnal son ahora lgramnt dstntos a los d la orgnal, ss rrors stándar mcho más rdcdos y l cofcnt d dtrmnacón ha mjorado sstancalmnt:

32 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 3 Rgrsón Incal Rgrsón Corrgda Térmno Indpndnt ,38 Std. rror p-val Vntas Std. rror p-val.496. Bnfcos Std. rror p-val R Por otro lado, la rprsntacón d los rsdos d la rgrsón no mstra, aparntmnt, ndcos d htrocdastcdad: III.B.- stmacón d Wht Rsdal Actal Fttd l propo -Vws ofrc la posbldad d tlzar na stmacón corrgda a partr d na pondracón ralzada con los rsdos obtndos dl contrast d Wht. sta opcón stá dsponbl n la pantalla dl mnú d stmacón d la cacón, dntro d la opcón Optons :

33 Concptos báscos sobr Htrocdastcdad y Tratamnto n -vws 33 Cando s hac sto, s obtn para nstro jmplo la sgnt stmacón: Dpndnt Varabl: GID Mthod: Last Sqars Dat: 3//6 Tm: 6:4 Sampl: 8 Incldd obsrvatons: 8 Wht Htroskdastcty-Consstnt Standard rrors & Covaranc Varabl Coffcnt Std. rror t-statstc Prob. C VNTAS BNFICIOS R-sqard Man dpndnt var Adjstd R-sqard.4639 S.D. dpndnt var 376. S.. of rgrsson Akak nfo crtron 3.48 Sm sqard rsd. Schwarz crtron Log lklhood F-statstc Drbn-Watson stat ProbF-statstc.3788 Pd comprobars q los parámtros obtndos n la rgrsón no dfrn d los ncals pro, sn mbargo, sí lo hac s prcsón s Std. rror y, por tanto, ss stadístcos d sgnfcatvdad ndvdal. n nstro caso, la prcsón dl parámtro rlatvo a las vntas s mnor s s tlza la corrccón d Wht mntras q scd lo contraro para l caso d la varabl bnfcos.