Laboratorio de Física, CC Físicas, UCM Curso 2013/ ONDAS ESTACIONARIA. CUERDA VIBRANTE

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1 Laboratorio de ísica CC ísicas UCM Curso 0/0-6- ONDAS ESTACIONARIA. CUERDA VIBRANTE UNDAMENTO TEÓRICO Ondas Estacionarias: Cuerda ibrante Considérese una cuerda de longitud L que está sujeta por un extremo a la pared y por el otro una fuerza la mantiene tensa. En estas condiciones cualquier elemento de la cuerda que se elija está en equilibrio. La misma tensión (fuerza) = T actúa en ambas direcciones. Sin embargo si empezamos a hacer oscilar el extremo libre de la cuerda en el que está aplicada la fuerza entonces la cuerda se ondea y ahora cada elemento de longitud ya no está en equilibrio como se ilustra en la figura adjunta. Las componentes horizontal y ertical que actúan sobre un elemento de la cuerda son: = cos( α + dα ) cos α x = sen( α + dα) senα y En donde α es el ángulo que a una distancia x de la pared forma la fuerza con el eje X (la horizontal). Eidentemente será tgα =. Como α << en todos los puntos de la cuerda puede aproximarse la tangente ó el seno por el ángulo. Esto es: tgα senα α. (por el mismo argumento cosα 0 y no hay componente neta de la fuerza en la dirección horizontal) La ariación del ángulo α con la distancia x endrá dada por: α y dα = = { α = α T L α +dα Y por tanto la componente ertical de la fuerza es: = sen( α + dα) senα = ( sen( α + dα ) senα ) = dα = y y. 8-

2 Laboratorio de ísica CC ísicas UCM Curso 0/0 Por otra parte la masa dm del elemento ale: dm = ρs siendo ρ la densidad de masa y S la sección transersal de la cuerda. La ecuación de moimiento será: y y = ρs. Obteniéndose finalmente t y y = con = / µ. t / µ y ; y = dm t Siendo µ = α S la densidad de masa por unidad de longitud de la cuerda y la elocidad de propagación de la onda. Esta ecuación aparece usualmente escrita de la forma: y = t y y se conoce como ecuación de ondas. La solución de la ecuación de ondas es siempre de la forma y( x t) = f ( kxm ωt) como puede demostrarse fácilmente. En efecto sea z = kxm ωt tenemos: y f z f = = m ω ; y f z f = m ω = ω t z t z t z t z y f z f k = = z z ; y f z f = k = k z z Sustituyendo las deriadas segundas en la ecuación de onda se concluye que = ω / k y que la función y( x t) = f ( kxm ωt) es siempre solución de la ecuación de ondas. Qué diferencia hay entre las soluciones y( x t) = f ( kxm ωt) con distinto signo? Respondámonos a la siguiente pregunta: Si en un determinado instante de tiempo t o y en una determinada posición x o el alor de la función es yo ( xo to ) = f ( kxo m ωto ) al cabo del interalo de tiempo t cuánto ha de aler x para obtener el mismo alor y o? Esto es: f ( kx m ωt ) = f ( k ( x + x) m ω ( t + t)) o o o o para ello tendrá que cumplirse que k xm ω t = 0 es decir: x = ± ( ω / k) t = ± t. Luego el signo ( ) en la ecuación de partida conduce a x = + t > 0 que indica un desplazamiento positio. Mientras que el signo (+) conduce a x = t < 0 que es un desplazamiento en la dirección negatia del eje X. 8-

3 Laboratorio de ísica CC ísicas UCM Curso 0/0 La solución de la ecuación de ondas bien conocida de todos es: y( x t) = Acos( kxm ωt + ϕ). Una onda estacionaria es el resultado de la superposición de dos moimientos ondulatorios armónicos de igual amplitud y frecuencia que se propagan en sentidos opuestos a traés de un medio. La onda estacionaria NO ES una onda iajera puesto que su ecuación no contiene ningún término de la forma kx ωt. Por sencillez tomaremos como ejemplo para ilustrar la formación de ondas estacionarias el caso de una onda transersal que se propaga en una cuerda sujeta por sus extremos en el sentido de izquierda a derecha ( ); esta onda incide sobre el extremo derecho y se produce una onda reflejada que se propaga en el sentido de derecha a izquierda ( ). La onda reflejada tiene una diferencia de fase de π radianes respecto de la onda incidente. La superposición de las dos ondas incidente y reflejada da lugar en ciertas condiciones a una onda estacionaria. Onda incidente sentido ( ): y = cos( kx ωt) Onda reflejada sentido ( ): y = cos( kx + ωt + π ) En estas ecuaciones k representa el número de ondas k = π / λ y ω es la frecuencia angular ω = π / T siendo λ y T respectiamente la longitud de onda y el periodo. La superposición de ambas ondas incidente y reflejada conduce a: y = y + y = Acos( kx ωt) + Acos( kx + ωt + π ) = = A(cos kx cosωt + sen kx sen ωt) + A(cos kx cos( ωt + π ) sen kx sen( ωt + π )) = = Asen kx sen ωt cosωt senωt El término senωt representa la dependencia temporal mientras que Asenkx es la amplitud la cual obiamente depende de la posición x. Es decir los distintos puntos de la cuerda ibran con la misma frecuencia angular ω pero con diferentes amplitudes que no dependen del tiempo. Significado físico de la superposición expresada por la ecuación: y( x t) = Asen kx senωt. Como los puntos extremos de la cuerda están fijos por hipótesis la ibración en ellos tiene que ser nula; es decir si la cuerda donde se propagan las ondas tiene longitud L en los extremos x = 0 y x = L han de erificarse en cualquier instante las condiciones siguientes: y(0) = Asen k0 senωt = 0 e y( L) = Asen kl senωt = 0 Y como ha de ser cero para cualquier alor de t tendrá que ser: sen kl = 0 kl = nπ n Z (conjunto de los números enteros) por tanto 8-

4 Laboratorio de ísica CC ísicas UCM Curso 0/0 π λ L = nπ ; L = n n Z. λ Es decir solo aparecen ondas estacionarias cuando la longitud de la cuerda sea un múltiplo exacto de la semi-longitud de onda. Como la longitud de onda está relacionada con la frecuencia ν =/T a traés de la expresión = ω / k = ν λ. La expresión anterior se puede también expresar como ν = n. L La siguiente grafica representa distintos modos de oscilación de una cuerda de longitud L. n = 6 n = 5 n = n = n = n = L Experimento Materiales y montaje El montaje de esta experiencia es sencillo requiriendo elementos de fácil adquisición. Para la implementación que se muestra en la fotografía se ha usado el siguiente material:. Un generador de frecuencias Pasco-WA9867 alimentando a un oscilador Pasco-WA Una cuerda elástica.. Dos poleas.. Un soporte para pesas y arias pesas para ajustar la tensión de la cuerda. 5. Un soporte ajustable en altura para el oscilador y la polea. Para montar la experiencia sólo hay que fijar el oscilador a la parte baja del soporte y las poleas a la parte alta. Posteriormente se ata un extremo de la cuerda a la lengüeta del oscilador y el otro extremo tras pasarlo por las poleas se ata al soporte para pesas en el que se pueden colocar pesas de distinta masa. 8-

5 Laboratorio de ísica CC ísicas UCM Curso 0/0 Datos de los elementos utilizados Longitud de la cuerda Masa de la cuerda Densidad de la cuerda Peso del soporte porta pesas Valor medio de cada una de las pesas Extensión de la cuerda por cada pesa añadida Longitud de la cuerda entre el ibrador y la polea L = 8 cm M =.5 g µ =. g/m T soporte = 50g 9.8 m/s = 90 N T pesa = 50g 9.8 m/s = 90 N L = 0.7 cm l = 58 cm Descripción Se situará en el soporte (50 g).- una.- dos o.- tres pesas (50 g) en el soporte. Para cada uno de los tres casos determine: - recuencias ν n n = y para las que respectiamente se producen y nodos en la cuerda. - Velocidades de propagación de la onda en la cuerda para cada una de las frecuencias ν n anteriores. - Tensión de la cuerda en cada caso Rellene la siguiente tabla: Masa (kg) No nodos (n) recuencia ν (Hz) Velocidad (m/s) Tensión T (N) a determinar experimentalmente. utilice la expresión: ν = n L utilice la expresión: T = µ. Interprete los resultados 8-5

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