VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

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1 VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS

2 El zoo binomial: las probabilidades en la distribución binomial. Tutorial 5, sección 2 X = número de éxitos al repetir n veces un experimento con probabilidaf de éxito p Fijado n: Si p es pequeño, son más probables valores pequeños de X. Si p es grande, son más probables valores grandes de X. A finales del siglo XVII, de Moivre se preguntaba por la distribución binomial cuando n grande y 0 << p << 1 Entre otras cosas, observó que para grande: P( X=x) 0 Tiene más sentido la pregunta P(a X b) Además, P(X = x) se aproxima muy bien por donde

3 Paralelamente: Newton trabajaba en el problema de calcular el área que hay bajo la curva que define una función. Pensó que se podía aproximar por rectángulos. Demostró que el posible medir esa superficie si se usan suficientes (infinitos) rectángulos.

4 Conclusiones sobre la distribución binomial X ~ B (n,p), para n grande: Se puede aproximar por una curva continua. P(X=x) ( x np) 2 1 np(1 p) 2 π e np(1 p) Las probabilidades se pueden calcular mediante integrales. Ejemplo: Si X ~ B(1000, 1/3) P(300 X 600) = b P(a X b) ( (x np) 1 2 a np(1 p) 2 π e ) np(1 p) dx =

5 Ejemplos: la curva normal con parámetros mu y sigma Usa el fichero GeoGebra que hay en Moodle

6 Función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria continua. Sección 5.5 del libro

7 Ejemplo: función de densidad de probabilidad de una variable continua. Calcular la probabilidad P(0 X 1) Fichero GeoGebra en Moodle o Tutorial 5, sección 3

8 Ejemplo: (continuación), cálculo de Usando en Teorema fundamental del cálculo integral.

9 Función de soporte compacto en el intervalo [a, b]: es una función que vale 0 fuera de ese intervalo. Ejemplo: Comprobar que es una función de densidad de probabilidad. Calcular P(0 X 1) P(1/2 X 3/2)

10

11 Ejemplo: calcular el valor esperado de la función

12 Ejemplo: calcular la varianza de la función

13 Sección del libro Fichero GeoGebra en Moodle La variable aleatotia uniforme con soporte en el intervalo [a,b], X ~ U [a,b] : Es la variable aleatoria con función de densidad de probabilidad Lo podemos imaginar como la versión continua de una v.a. discreta en la que todos los eventos son equiprobables. Ejercicio: si X ~ U [2,6] calcular P(3 < X < 5) Ejercicio: si X ~ U [a,b] calcular El valor esperado de X La varianza de X

14 La función de distribución de una v.a. continua: Es el equivalente a la función de probabilidad acumulada y, en le caso de una variable aleatoria continua está definida por F (k)=p(x k)= k f ( x)dx Donde f(x) es la función de densidad de X y k es un número cualquiera Ejercicio: si X ~ U [2,6] calcular su función de distribución de probabilidad. Ejercicio: si X tiene por función de densidad de probabilidad calcular su función de distribución de probabilidad. Sección 5.5 del libro

15 Cuantiles de una variable aleatotia continua: Si X es una variable aleatoria continua con función de densidad de probabilidad dada por F(x) entonces, dada una probabilidad cualquiera p 0, el cuantil p 0 de X es el menor valor x* que cumple F(x*) = p 0 Es decir, es el valor x* tal que Ejemplo: si X ~ U [2,6] calcular el cuantil 0.35 Ejercicio: si X ~ N(5; 2), calcular el cualtil 0.95 Sección del libro Fichero GeoGebra en Moodle

16 La variable aleatoria normal: Una v.a. X es normal con media μ y desviación típica σ, se denota por si su función de densidad de probabilidad es f μ,σ (x)= 1 (x μ) 2 σ 2 π e 2 σ X N (μ,σ) Si X N (μ, σ) resulta que su función de densidad no tiene primitiva, por lo que las probabilidades se calculan numéricamente (por ejemplo, aproximando por rectángulos). Eso obliga a hacer una aproximación para cada v.a. normal y cada probabilidad. Si X N (μ,σ), resulta que su función de densidad no tiene primitiva, por lo que las probabilidades se calculan numéricamente (por ejemplo, aproximando por rectángulos). Eso obligaría a hacer una aproximación para cada v.a. normal y cada probabilidad. Sección del libro

17 La variable aleatoria normal: Una variable aleatoria normal estándar Z es una v.a f 0,1 (x)= 1 x 2 2 π e 2 Z N (0,1) Si X N (μ, σ), entonces la v.a. que se obtiene mediante la transformación Z= X μ σ es una normal estándar. La transformación anterior se llama tipificación. Cómo se utiliza? Supongamos que Y = nº de caras al lanzar 1000 veces una moneda Calcular, aproximadamente, P(Y 450) Sección del libro

18 La variable aleatoria normal: Regla para distribuciones normales. Si P(μ σ < X <μ+σ) P(μ 2 σ< X <μ+2 σ) P(μ 3 σ < X <μ+3 σ) X N (μ,σ) entonces Si X 1 N (μ 1,σ 1 ) y X 2 N (μ 2,σ 2 ) entonces X 1 + X 2 N (μ 1 +μ 2, σ 2 1 +σ 2 2 ) Para k v.a. normales X j N (μ j, σ j ) X 1 + X X k N (μ μ k, σ σ k 2 ) Sección del libro

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