El Espacio Afín. I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Departamento de Matemáticas

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1 I. E. S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Matemáticas de º de Bachilleato El Espacio Afín Po Javie Caoquino CaZas Catedático de matemáticas del I.E.S. Siete Colinas Ceuta 005

2 El Espacio Afín Javie Caoquino Cañas

3 Matemáticas de º de bachilleato Ciencias de la Natualeza y la Salud Tecnología El Espacio Afín Po Javie Caoquino Cañas Catedático de matemáticas I.E.S. Siete Colinas (Ceuta) Depatamento de Matemáticas Ceuta 005

4 Javie Caoquino Cañas I.E.S. Siete Colinas (Depatamento de Matemáticas) El Espacio Afín Depósito Legal : CE&49 / 005 ISBN : 84&689&04&7 Númeo de Registo : 05 / Ceuta 005

5 Pólogo El Espacio Afín es el espacio odinaio de la Geometía elemental, esto es, algo análogo al Plano Afín que se debió ve con anteioidad y que identificábamos con la idea de lo que entendemos po el plano intuitivo. En este tema estuctuamos matemáticamente el concepto intuitivo de espacio tidimensional, esto es, el espacio que nos odea, patiendo de un concepto básico, la idea de punto, paa continua con la definición de los conceptos de vecto fijo y vecto libe hasta consegui un estudio y compensión de otos elementos que intuimos en dicho espacio como son la ecta y el plano, o pates de estos, como son los segmentos o tozos de planos que pueden inteveni en la fomación de cuepos geométicos. Un apoyo indispensable paa el estudio del Espacio Afín es el espacio vectoial ú 3 (ú), el cual nos seviá como estuctua opeativa paa maneja y manipula los elementos geométicos del espacio. Valga como aclaación de lo anteio que fue el matemático fancés René Descates ( ) quién identificó un punto cualquiea del espacio con una tena o elemento (a, b, c) del espacio vectoial ú 3 (ú) después de habe fijado unos ejes de efeencia. Con ello se consigue que ú 3 (ú) y el espacio caminen juntos paa la compensión de este.

6 Matemáticas de º de bachilleato I El Espacio Afín Índice Página 1.Intoducción... 1.Vectoes fijos del espacio Módulo diección y sentido de un vecto fijo del espacio. Ejemplo Ejemplo... 4 Ejemplo Equipolencia de vectoes fijos del espacio Popiedades de la equipolencia de vectoes fijos del espacio. 6 6.Relación de equivalencia ente los vectoes fijos del espacio. 8 7.Clase de equivalencia de vectoes fijos del espacio Popiedades de las clases de equivalencia de vectoes fijos Vecto libe del espacio Ejemplo Módulo, diección y sentido de un vecto libe del espacio Suma de vectoes libes del espacio... 1 Ejemplo Ejemplo Popiedades de la suma de vectoes libes del espacio El gupo conmutativo de los vectoes libes del espacio Resta de vectoes libes del espacio Poducto de un númeo eal po un vecto libe del espacio.. 18 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Popiedades del poducto de un númeo eal po un vecto libe.0 Ejemplo Ejemplo Ejemplo El espacio vectoial de los vectoes libes del espacio. 18.Ota popiedades de la opeación extena de V 3 (ú) Combinación lineal de vectoes libes del espacio... 3 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Vectoes libes del espacio linealmente dependientes... 8 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Vectoes libes del espacio linealmente independientes.. 3.Base del espacio vectoial V 3 (ú) Popiedad de las bases del espacio vectoial V 3 (ú) Ejemplo Ejemplo Componentes de un vecto de V 3 (ú)especto de una base.. 39 Ejemplo Ejemplo

7 Matemáticas de º de bachilleato II El Espacio Afín Página 5.Ángulo fomado po dos vectoes libes del espacio Ejemplo Ejemplo Base canónica en el espacio vectoial V 3 (ú)... 4 Ejemplo Isomofismo ente los espacios vectoiales ú 3 (ú)y V 3 (ú). 43 Ejemplo El Espacio Afín Sistema de efeencia en el Espacio Afín Ejemplo Coodenadas de un punto del esp. espec. de un sist. de efe. 51 Ejemplo Sistema de efeencia otogonal del Espacio Afín Ejemplo Sistema de efeencia otonomal del Espacio Afín...54 Ejemplo Vecto definido po dos puntos del espacio Ejemplo Coodenadas del punto medio de un segmento Ejemplo La ecta en el Espacio Afín Ejemplo Ecuación de la ecta en el Espacio Afín Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Ejemplo Recta deteminada po dos puntos Ejemplo El plano en el Espacio Afín. Ecuaciones del plano Ejemplo Ejemplo Ejemplo Plano deteminado po tes puntos Ejemplo Condición paa que cuato puntos sean coplanaios Ejemplo Ejemplo Plano deteminado po una ecta y un punto exteio a ella.. 91 Ejemplo Ejemplo Condición paa que tes puntos del espacio estén alineados.. 95 Ejemplo Ejemplo Ejemplo Recta que pasa po un punto y es paalela a ota ecta.. 96 Ejemplo

8 Matemáticas de º de bachilleato Página 1 El Espacio Afín El Espacio Afín 1.Intoducción.- Antes de comenza el estudio de este tema es conveniente que el alumno tenga los siguientes conocimientos pevios: T El conjunto ú. El espacio vectoial ú (ú). T El conjunto de los vectoes libes del plano V. T Opeaciones en el conjunto V. T El espacio vectoial V (ú). T El Plano Afín. Coespondencia ente puntos del plano y vectoes libes del plano. T Sistema de efeencia en el Plano Afín. T Coespondencia ente los conjuntos siguientes: P 6 Conjunto de los puntos del plano. V 6 Vectoes libes del plano. ú 6 Conjunto de los paes odenados de númeos eales. T Coodenadas de un punto especto a n sistema de efeencia figua 1 T La ecta en el Plano Afín. Ecuaciones de la ecta..vectoes fijos del espacio.- Llamaemos E al espacio, es deci, al conjunto fomado po los infinitos puntos que foman el espacio. A los elementos de E, esto es, a los puntos del espacio los designaemos con letas mayúsculas, es deci A, B, C, D,... Po tanto: P0E ] P es un punto del espacio. Es evidente que el conjunto E tiene infinitos elementos. Consideaemos que dados A,B0E, se veifica que A = B ] A y B son el mismo punto. Vamos a defini un nuevo concepto: Vecto fijo del espacio O Sean A y B dos puntos cualesquiea del espacio, es deci, A,B0E O Se define el segmento de extemos A y B, que expesamos como AB o también BA, al tozo de ecta que une los puntos A y B. Nótese que no hacemos distinción ente los extemos. O Ahoa bien, si consideamos el segmento con una oientación de A a B o de B a A y distinguimos ente AB y BA, tenemos el concepto de vecto fijo del espacio, es deci: AB es el vecto fijo del espacio de extemos A y B BA es el vecto fijo del espacio de extemos B y A Notese que la flecha nos distinguiá ente la idea de segmento y de vecto fijo.

9 Matemáticas de º de bachilleato Página El Espacio Afín Po tanto: Se llama vecto fijo en el espacio E a un segmento de dicho espacio cuyos extemos se dan en un cieto oden. O O Po tanto, un vecto fijo del espacio viene deteminado po dos puntos y una oientación ente ellos. Dichos puntos se denominan oigen y extemo del vecto. Veamos: A: Oigen del vecto AB Vecto fijo, siendo B: Extemo del vecto Quede clao que AB BA Estos vectoes se dice que son opuestos. Gáficamente, un vecto, se expesa del siguiente modo: AB figua En la figua apeciamos la foma de expesa un vecto del espacio (o del plano) de un modo gáfico 3.Módulo diección y sentido de un vecto fijo del espacio.- X Sean A y B dos puntos del espacio, es deci, A,B0E. X Sea AB el vecto fijo de oigen A y extemos B. X Consideemos una unidad de longitud u. X Definimos un nuevo concepto : Se llama módulo del vecto fijo AB a la longitud del segmento AB Lo expesaemos: X Módulo del vecto Gáficamente seá: u AB AB = AB = longitud del segmento AB figua 3 AB El módulo del vecto es la cantidad de unidades u que mide el segmento AB, esto es, la longitud de este. Veamos las popiedades del módulo de un vecto fijo: Î El módulo de un vecto fijo del espacio es un númeo mayo o igual que ceo. Es evidente que el módulo no puede se un númeo negativo ya que lo hemos definido como una distancia. Si consideamos los vectoes cuyo oigen y extemo coinciden, es deci, es el mismo punto, tendemos un segmento de longitud ceo, esto es, un vecto de módulo igual a ceo.

10 Matemáticas de º de bachilleato Página 3 El Espacio Afín Po tanto: AB 0 y AA = 0 Apéciese que el vecto AA coincide gáficamente con el punto A del espacio. Ï Dos vectoes fijos opuestos tienen igual módulo. Es evidente, ya que AB y BA son dos vectoes opuestos y los segmentos AB y BA son el mismo y, po tanto tienen igual longitud. Po tanto: AB = BA Ejemplo 1.- La siguiente figua ilusta las dos popiedades anteioes. B C AB = BA CC = 0 figua 4 Nótese que hemos dibujado los vectoes fijos de oigen A y extemo B y de oigen B y extemo A, lo cual hace que los segmentos que los epesentan sean coincidentes y, po tanto lo sean los módulos. A El vecto CC coincide con el punto C. U Supongamos un vecto fijo AB del espacio. U Dicho vecto, ecodemos que gáficamente es un segmento, está situado en una ecta única, la ecta que pasa po los puntos A y B ( llamemos ecta ) U Definimos un nuevo concepto: U Se llama diección del vecto fijo Gáficamente seá: AB a la ecta que contiene a los puntos A y B. figua 5 Un vecto fijo tiene diección única, la ecta que lo contiene, esto es, la ecta que contiene a su oigen y a su extemo. En la figua, es la diección del vecto AB U Establecemos el citeio de que si dos vectoes están situados en la misma ecta o son paalelos (es deci, las ectas que los contienen lo son), entonces tiene la misma diección. Expesaemos simbólicamente que dos vectoes fijos tiene la misma diección del modo siguiente: AB // CD // s siendo : dieccion & de s : dieccion & de AB CD

11 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El Espacio Afín donde : AB // CD epesenta que los vectoes tiene la misma dieccion & // s epesenta que las ectas y s son paalelas. U U Consideaemos que los vectoes fijo de módulo ceo (aquellos cuyos puntos oigen y extemo coinciden), no tienen diección (su gáfica es un punto y, po tanto, po él pasan infinitas ectas). También podemos considea que todos esos vectoes tienen la misma diección. En definitiva: AA // BB // CC // DD etc. A dos vectoes fijos del espacio les puede ocui que tengan la misma diección (son paalelos o coincidentes) o que tengan diecciones distintas. Es evidente que dos vectoes fijos opuestos tiene la misma diección, es deci: AB // BA Ejemplo.- En la figua 6 apeciamos lo siguiente: AB // CD // EF GG // HH // I I Nótese que las ectas y s son paalelas y, po tanto, epesentan la misma diección. figua 6 Ejemplo 3.- En la figua de la izquieda tenemos dos vectoes fijos cuyas diecciones son distintas. figua 7 En una diección (una ecta y sus paalelas) hay dos sentidos que se dicen contaios. Esto significa que dos vectoes que tengan la misma diección (son paalelos o coincidentes) pueden tene el mismo sentido o sentidos contaios. Po tanto: o bien tienen el mismo sentido AB // CD o bien tienen sentidos contaios

12 Matemáticas de º de bachilleato Página 5 El Espacio Afín Se expesa : AB CD significa que AB y CD tienen el mismo sentido AB CD significa que AB y CD tienen sentidos contaios Po tanto, definimos como sentido de un vecto fijo a uno de los dos sentidos que tiene la ecta en la que se encuenta el vecto. Gáficamente: En la figua de la izquieda tenemos cuato vectoes fijos. Notese que: AB // CD y AB CD AB // EF y AB EF CD // EF y CD EF figua 8 El vecto GH tiene sentido distinto a los demas & Una foma gáfica de ve si dos vectoes fijos paalelos (con la misma diección) tienen el mismo sentido o sentidos contaios consiste en lo siguiente: Dos vectoes del espacio que son paalelos están contenidos en un mismo plano, ya que dos ectas paalelas están en un plano. Consideamos ese plano Π. Tazamos la ecta que pasa po los puntos oígenes de ambos vectoes. Dicha ecta dividiá al plano Π en dos semiplanos. Si los extemos de ambos vectoes quedan en el mismo semiplano, tienen el mismo sentido y si los extemos se encuentan en semiplanos distintos, los sentidos son contaios. Veamos: En la figua 9 apeciamos como la ecta t que une los oígenes de los vectoes (de igual diección) deja a sus extemos en el mismo semiplano, mientas que la ecta m deja a los vectoes de oígenes F y G (que tiene la misma diección) en semiplanos distintos. Deducimos que: AB CD y EF GH 4.Equipolencia de vectoes fijos del espacio.- Dos vectoes fijos del espacio se dice que son equipolentes si tienen el mismo módulo, la misma diección y el mismo sentido. La equipolencia la expesaemos con el símbolo ~ AB~ CD se lee " AB es equipolente a CD" o " AB y CD son equipolentes"

13 Matemáticas de º de bachilleato Página 6 El Espacio Afín Es deci: AB = CD AB ~ CD AB/ / CD AB CD La intepetación gáfica de dos vectoes fijos del espacio AB y CD que son equipolentes, es que al uni sus oígenes (A con C) y sus extemos (B y D), se foma un paalelogamo. Es deci: En la figua 10 se apecia como al uni los oígenes y los extemos de ambos vectoes se foma un paalelogamo de vétices ABDC, lo cual nos da una foma gáfica de apecia si dos vectoes fijos del espacio son equipolentes. Se expesa AB ~ CD A los vectoes fijos de módulo ceo (aquellos cuyos oigen y extemos son el mismo punto) se le llama vectoes fijos nulos. Consideaemos que los vectoes fijos nulos son equipolentes. Es deci: AA ~ BB ~ CC ~ DD ~ KK etc. Es evidente que lo anteio se hace po conveniencia, ya que consideamos que los vectoes nulos (gáficamente son puntos), tienen todos la misma diección (aunque en ealidad no la tienen o tienen infinitas) y tienen el mismo sentido, aunque paa tene este es necesaio que tengan una diección. No obstante, establece este convenio no afecta al desaollo posteio que se hace al tatamiento de los vectoes fijos, al contaio, facilita la estuctua que se definiá más tade y la opeatividad con vectoes. 5.Popiedades de la equipolencia de vectoes fijos del espacio.- T T Consideemos el espacio y el conjunto de todos los vectoes fijos de este. Hemos definido el concepto equipolencia de vectoes fijos. De este modo, dos vectoes fijos pueden se equipolentes o pueden no selo. Los vectoes fijos del espacio tiene las siguientes popiedades: 1.Reflexiva.- Todo vecto fijo es equipolente a sí mismo. Es deci: Si AB es un vecto fijo, se veifica que AB ~ AB

14 Matemáticas de º de bachilleato Página 7 El Espacio Afín En efecto: AB = AB AB // AB AB ~ AB AB AB.Simética.- Si un vecto es equipolente a oto, este es equipolente a aquel. Es deci: Si AB ~ CD entonces CD ~ AB En efecto: AB = CD CD = AB AB ~ CD AB // CD CD // AB CD ~ AB AB CD CD AB 3.Tansitiva.- Si un vecto fijo es equipolente a oto y este lo es a un teceo, el pimeo es equipolente al teceo. Es deci: AB ~ CD AB ~ EF y CD ~ EF En efecto: AB ~ CD AB = CD ; AB// CD ; AB CD CD ~ EF CD = EF ; CD// EF ; CD EF Gáficamente: AB = EF AB// EF AB ~ EF AB EF En la figua 11 se apecia como tomando los vectoes dos a dos, se foman sendos paalelogamos con ellos, esto es, son equipolentes ente sí. Se expesa: AB ~ CD ~ EF Quede clao que ente los vectoes fijos del espacio hemos establecido una elación a la hemos denominado equipolencia y simbolizamos con ~. Esto significa que dados dos vectoes fijos del espacio, puede ocui que estén elacionados (~) o no lo estén ( ). /~

15 Matemáticas de º de bachilleato Página 8 El Espacio Afín 6.Relación de equivalencia ente los vectoes fijos del espacio.- En geneal, si tenemos un conjunto y ente sus elementos establecemos una elación de tal modo que dados dos elementos de ese conjunto, pueda ocui que estén elacionados o no lo estén y, además, esa elación tiene las popiedades eflexiva, simética y tansitiva, se dice que dicha elación es una elación de equivalencia en ese conjunto. En nuesto caso tenemos: T El conjunto de los vectoes fijos del espacio. T La elación equipolencia, de tal modo que doa vectoes fijos puede se equipolentes T o no selo. Hemos visto que la equipolencia de vectoes fijos del espacio es eflexiva, simética y tansitiva. Po tanto: La equipolencia de vectoes fijos del espacio es una elación de equivalencia. 7.Clase de equivalencia de vectoes fijos del espacio.- O O O Supongamos un vecto fijo cualquiea del espacio. Le llamamos AB Es evidente que existen infinitos vectoes fijos del espacio que tienen igual módulo, la misma diección y el mismo sentido que AB. De lo anteio deducimos que existen infinitos vectoes fijos del espacio que son equipolentes a AB. O El conjunto fomado po los infinitos vectoes fijo equipolentes a AB, se dice que es una clase de equivalencia y se denomina clase de equivalencia de los vectoes fijos del espacio equipolentes a AB O El conjunto anteio se expesa de la foma AB. Po tanto: O AB CD CD AB = Conjunto de los vectoes fijos equipolentes a = ~ AB Es evidente que existen infinitas clases de equivalencia en el conjunto de los vectoes libes del espacio, es deci, existen infinitos conjuntos con infinitos vectoes cada uno. Está clao que paa cualquie vecto XY tendemos la clase XY. 8.Popiedades de las clases de equivalencia de vectoes fijos.- Supongamos un vecto fijo del espacio AB y su clase AB. Se veifican las siguientes popiedades: I.- El vecto AB petenece a la clase AB. Es deci, AB AB Evidente, ya que AB ~ AB y el conjunto AB lo foma todos los equipolentes a AB.

16 Matemáticas de º de bachilleato Página 9 El Espacio Afín II.- Si CD AB CD AB = entonces En efecto: CD AB CD ~ AB AB CD Veamos que CD AB y que AB CD XY CD XY ~ CD XY ~ CD ~ AB XY AB CD AB XY AB XY ~ AB XY ~ AB ~ CD XY CD AB CD AB CD... = De y deducimos que c q d III.- Si AB y CD Son dos vectoes fijos del espacio que no son equipolentes, entonces sus clases espectivas no tienen ningún vecto en común, es deci, su intesección es vacía. Matemáticamente: En efecto: AB ~ / CD AB CD = φ Supongamos que AB ~ / CD / / XY AB XY ~ AB ~ CD XY ~ CD XY CD Del punto anteio se deduce que ningun & vecto de AB Es deci, AB CD = φ c. q. d. esta& en CD IV.- Supongamos un punto cualquiea del espacio, es deci, O 0E. Sea AB un vecto fijo cualquiea. Nótese que el oigen es el punto A y el extemo oto punto B. Siempe es posible enconta oto punto P tal que el vecto OP es equipolente a AB. Es deci: O E un punto cualquiea P OP AB y AB vecto fijo cualquiea E ~ Esta popiedad nos pemite que dados dos o más vectoes fijos no equipolentes, siempe podemos enconta otos vectoes espectivamente equipolentes a ellos de tal modo que tengan el mismo oigen O. Es deci:

17 Matemáticas de º de bachilleato Página 10 El Espacio Afín Imaginemos tes vectoes AB, CD, EF que no son equipolentes ente sí. Supongamos un punto O del espacio. Gáficamente: figua 1 Podemos enconta tes vectoes equipolentes a los tes dados, tales que tengan el mismo oigen O, es deci: OP ~ AB OQ ~ CD OR ~ EF Nótese que si AB ~ CD entonces la clase de equivalencia (también llamada de equipolencia) geneada po ambos vectoes es exactamente la misma, es deci, AB CD. Si expesamos AB, el vecto AB es el epesentante de la clase Si expesamos CD, en este caso, es el epesentante de la clase es CD. Po tanto, si tenemos una clase identificada po un epesentante de ella AB, podemos expesala po medio de oto epesentante cuyo oigen sea el punto O. Es deci: OP AB = = 9.Vecto libe del espacio.- Según lo visto anteiomente, los vectoes fijos del espacio se pueden clasifica en clases de equivalencia, de tal modo que un vecto fijo petenece a una de las infinitas clase y sólo a una. Recodemos que los infinitos vectoes de una misma clase son equipolentes ente sí. Definimos un nuevo concepto: Cada una de las clases de equipolencia (o de equivalencia) de vectoes fijos se dice que es un vecto libe del espacio Po tanto, un vecto libe del espacio es un conjunto de infinitos vectoes fijos equipolentes ente sí. Se expesa habitualmente con letas minúsculas, de la foma a. Es deci: a = vecto libe del espacio = = conjunto de infinitos vectoes OA fijos equipolentes ente si.

18 Matemáticas de º de bachilleato Página 11 El Espacio Afín Dado que existen infinitas clases de equipolencia, existen infinitos vectoes libes. Es evidente que si OA ~ BC, entonces a =. = OA BC Gáficamente se intepeta que con dibuja un vecto de la clase, quedan epesentados todos los vectoes fijos de esa clase. También se intepeta como que un vecto libe es un vecto fijo que puede desplazase po el espacio de foma hoizontal y vetical, si ealiza gios y sin modifica su módulo. Veamos: En la figua 13 tenemos un vecto libe a que epesenta a todos los vectoes fijos de la clase AB. En el dibujo hemos epesentado al vecto AB y algunos de sus infinitos equipolentes. El alumno debe entende que dibujando únicamente al vecto a, quedan epesentados todos los de la clase AB. Ejemplo 4.- En este ejemplo hemos epesentado dos vectoes libes ayb. Además, como los vectoes libes tienen movilidad, los hemos llevado a que coincidan en un mismo oigen O. Quede clao que un vecto libe puede esta situado en cualquie punto del espacio. Al conjunto de los vectoes libes del espacio lo epesentaemos de la foma V 3 V 3 = a = vecto fijo del espacio AB AB 10.Módulo, diección y sentido de un vecto libe del espacio.- 3 Sea a = un vecto libe dele espacio, es deci, AB a V 3 3 Todos los vectoes fijos del conjunto AB tiene el mismo módulo, es deci, AB

19 Matemáticas de º de bachilleato Página 1 El Espacio Afín 4 Definimos módulo del vecto libe a como el módulo de cualquiea de los vectoes fijos del conjunto AB. Se expesa a. Po tanto: modulo de a = a = AB 3 Todos los vectoes fijos del conjunto AB tienen la misma diección (son paalelos). Es deci, CD, EF AB, es CD // EF 4 Definimos diección del vecto libe a como la diección de cualquiea de los vectoes fijos del conjunto AB. Po tanto: dieccion & de a = dieccion & de AB 3 Todo los vectoes fijos del conjunto AB tienen el mismo sentido. Definimos Sentido del vecto libe a como el sentido de cualquiea de los vectoes fijos del conjunto AB. Po tanto: sentido de a = sentido de AB 11.Suma de vectoes libes del espacio.- - Sea el conjunto de los vectoes libes del espacio, es deci,. - Sean x = e y dos vectoes libes, es deci, = AB CD Vamos a defini la suma de vectoes libes del espacio de un modo gáfico: figua 15 V 3 x, y V 3 figua 15.a Tenemos dos vectoes libes xey que queemos suma. Elegimos un punto O cualquiea del espacio, donde queamos que apaezca el vecto esultado de la suma. figua 15.b Situamos el vecto libe x haciendo oigen en el punto O. Tendemos así un vecto fijo de la clase que epesenta x. Este vecto tiene un oigen y un extemo A (que no epesentamos). figua 15.c Situamos el vecto libe y haciendo oigen en el extemo de x = OA. Tendemos así un vecto fijo de la clase y cuyo oigen es A y extemos B (puntos que no epesentamos) figua 15.d Constuimos el vecto de oigen O y extemo B (extemo de y ). Este vecto fijo es un epesentante de la clase x + y, es deci, es el vecto libe suma de xey

20 Matemáticas de º de bachilleato Página 13 El Espacio Afín Ahoa vamos a constui el vecto suma x + y po oto pocedimiento. Se denomina método del paalelogamo.nótese que el esultado es el mismo: figua 16 figua 16.a Tenemos dos vectoes libes xey que queemos suma. Elegimos un punto O cualquiea del espacio, donde queamos que apaezca el vecto esultado de la suma. figua 16.b Situamos el vecto libe x haciendo oigen en el punto O. Tendemos así un vecto fijo de la clase que epesenta x. Este vecto tiene un oigen y un extemo A (que no epesentamos). figua 16.c Situamos el vecto libe y haciendo oigen también en O. Tenemos así un vecto fijo de la clase y cuyo oigen es O y extemos C (punto no epesentado).con los vectoes xey hacemos un paalelogamo. figua 16.d Constuimos el vecto de oigen O y extemo el vétice opuesto a O del paalelogamo (diagonal de este). Este vecto fijo es un epesentante de la clase x + y, es deci, es el vecto libe suma de xey Ejemplo 5.- Dado el vecto libe a del espacio, de la figua 17, queemos halla el vecto suma a + a Veamos: a figua 17 a+a a a ² figua 18 Hemos situado el vecto libe a en un punto cualquiea del espacio y a continuación hemos vuelto a pone a. Desde el punto elegido hasta el extemo final es el vecto a + a, el cual hemos desplazado nuevamente paa una mejo visualización. Ejemplo 6.- En este ejemplo vemos como se suman un vecto libe cualquiea a y un vecto libe de módulo ceo, es deci, el vecto libe o = AA

21 Matemáticas de º de bachilleato Página 14 El Espacio Afín 1.Popiedades de la suma de vectoes libes del espacio.- & Hemos definido la suma de vectoes libes del espacio, es deci, la suma en V 3. & Ahoa veemos las popiedades de esta. 1.Ley de composición intena.- La suma de dos vectoes libes del espacio es oto vecto libe del espacio Es deci: 3 x, y V, se veifica que x + y = z 3 V Se dice que la suma en el conjunto V 3 es una opeación intena (o ley de composición intena)..asociativa.- La suma de vectoes libes del espacio es asociativa Es deci: x, y, z V 3, se veifica que x + y + z = x + y + z ( ) ( ) Esta popiedad nos dice que paa suma tes vectoes libes, podemos suma al pimeo de los sumandos el esultados de la suma del segundo y teceo, o bien, suma los dos pimeos y el esultado sumáselo al teceo. Demostación: La siguiente figua demuesta la popiedad asociativa de la suma en V 3. figua 0 figua 0.a Tenemos los tes vectoes libes que queemos suma, x, y, z Hemos elegido un punto cualquiea O donde situaemos el esultado de la suma. El esultado seá: ( x + y) + z = x + ( y + z) figua 0.b Tomado como oigen el punto O xey x + y z x + y + z hemos sumado. Posteiomente al vecto le hemos sumado el vecto obtenido ( ) y figua 0.c En un punto distinto de O hemos y + z obtenido. Posteiomente, tomando oigen en O, al vecto x le hemos y + z x + y + z sumado el vecto. Obtenemos así ( )

22 Matemáticas de º de bachilleato Página 15 El Espacio Afín x + y + z = x + y + z = x + y + z Puede expesase ( ) ( ) 3.Conmutativa.- La suma de vectoes libes del espacio es conmutativa Es deci: x, y V 3 se veifica que x + y = y + x Demostación: La siguiente figua demuesta la popiedad conmutativa de la suma en V 3. figua 1 figua 1.a Tenemos los dos vectoes libes que queemos suma, x, y Hemos elegido un punto cualquiea O donde situaemos el esultado de la suma. El esultado seá: x + y = y + x figua 1.b Tomado como oigen el punto O xey hemos sumado. Obtenemos así el vecto suma x + y figua 1.c En este caso hemos obtenido la y + x suma. Apéciese que se veifica la igualdad x + y = y + x. 4.Existencia de elemento neuto.- Existe un vecto (al que llamaemos vecto nulo o vecto ceo) que es el neuto de la suma en V 3, es deci, cualquie vecto sumado con el vecto nulo es ese vecto. Al vecto nulo (o vecto ceo) lo expesaemos de la foma o Matemáticamente: 3 3 o V x V se veifica que x + o = o + x = x El vecto nulo o es el vecto libe fomado po el conjunto de todos los vectoes fijos nulos, es deci, aquellos cuyo oigen y extemo coinciden. Gáficamente seía un punto o = LL siendo KK puntos del espacio = = AA BB CC =, A, B, C, Es evidente que al suma xyo obtenemos x (ve ejemplo 6).

23 Matemáticas de º de bachilleato Página 16 El Espacio Afín 5.Existencia de elemento opuesto o simético.- Todo vecto libe tiene opuesto especto de la suma, es deci, dado un vecto libe cualquiea, existe oto tal que sumados ambos el esultado es el vecto nulo. Si x es un vecto libe, el opuesto de x lo expesamos de la foma x. Po tanto, opuesto de x = x (también se llama simético de x ) Matemáticamente: 3 3 x V, ( x) V x + ( x ) = o Supongamos un vecto libe x cualquiea. Como es su opuesto? Cómo es x? Veamos: El opuesto de x, es deci, x es un vecto que tiene igual módulo que x, la misma diección y sentido contaio, es deci: x = x x //( x) x ( x) En la figua tenemos epesentados un vecto libe x y su opuesto x. Quede clao que figua x es el opuesto de x y x es el opuesto de x. Ahoa demostaemos gáficamente que la suma de x y x es el vecto ceo o : figua 3 figua 3.a Tenemos dos vectoes x y x opuestos y un punto cualquiea O que seá el oigen de la suma x + ( x) figua 3.b Tasladamos el vecto libe punto O. x al figua 3.c Tasladamos el vecto x haciendo oigen en el extemo de x. Unimos el oigen de x con el extemo de x. Obtenemos o Es evidente que el opuesto del vecto ceo es el popio vecto ceo, es deci: opuesto de o = o = o, ya que o + ( o ) = o

24 Matemáticas de º de bachilleato Página 17 El Espacio Afín 13.El gupo conmutativo de los vectoes libes del espacio.- 4 Hemos definido el conjunto de los vectoes libes del espacio y llamado V 3. 4 Hemos definido la suma de vectoes libes del espacio, es deci, la suma en V 3. La suma es una opeación o ley de composición intena, esto es, si opeamos dos elementos de V 3, el esultado es oto elemento de de V 3. 4 Un conjunto dotado de una ley de composición intena, se dice que es una estuctua. 4 El conjunto de los vectoes libes del espacio, con la opeación suma es una estuctua. Se expesa: ( V 3, + ) estuctua de los vectoes libes del espacio 4 Un conjunto con una opeación que tiene las popiedades: 8 Ley de composición intena. 8 Asociativa. 8 Conmutativa. 8 Existencia de elemento neuto. 8 Existencia de elemento opuesto. se dice que tiene estuctua de gupo conmutativo o gupo abeliano. 4 Po tanto: ( V 3, + ) es un gupo conmutativo o abeliano. 14.Resta de vectoes libes del espacio.-, Sean ayb dos vectoes libes del espacio, es deci, ab, V 3., Vamos a defini la esta de los vectoes ayb : a " menos" b amenosb= a b= a+ ( b) Es deci: Definimos la esta a " menos" b como la suma de a con el opuesto de b, Gáficamente: figua 4 ÿ En la figua de la de la deecha (figua 4) tenemos epesentados los vectoes ayb (cuado supeio). En el cuado cental hemos situado en el extemo de vecto opuesto de b, esto es, b. En el cuado infeio hemos obtenido la suma de los vectoes a y b, es deci: a + b = a b ( ) a el

25 Matemáticas de º de bachilleato Página 18 El Espacio Afín 15.Poducto de un númeo eal po un vecto libe del espacio.- ú Sea α un númeo eal cualquiea, es deci, α 0 ú. ú Sea * α * su valo absoluto. Recodemos que * α * $0. ú Sea x un vecto libe del espacio, es deci, x V 3. Vamos a defini el poducto del númeo eal α po el vecto libe del espacio x Veamos: ü El poducto de α po x es un vecto libe que expesaemos α x o mejo α x ü Las caacteísticas de α x dependeán del signo de α. Veamos: ý Si α>0 entonces : α x = α x Caacteisticas de α x : α x// x α x x Es deci: & Módulo de α x = módulo de ý Si α<0 entonces : & El vecto α x tiene la misma diección que & El vecto α x tiene el mismo sentido que x Caacteisticas de x α x = α α x : α x// x α x x Es deci: & Módulo de α x = módulo de & El vecto α x tiene la misma diección que & El vecto α x tiene el sentido contaio a x ý Si α=0 entonces α x = 0 x = o ya que 0x = 0 x = 0 x = 0 Es deci: & Módulo de 0 x es ceo. & El vecto ceo no tiene diección. & El vecto ceo no tiene sentido. x x x x Ejemplo 7.- En la figua 5 tenemos epesentada una unidad de longitud u y un vecto libe x cuyo módulo es 3, es deci, su longitud es de 3 unidades, es deci: x = 3

26 Matemáticas de º de bachilleato Página 19 El Espacio Afín Apéciese que figua 5 x + x = x x + x + 05 x = 5 x En la figua de la izquieda apeciamos lo siguiente: Vecto a = x a = x = x = 3 = 6 a // x y a x Vecto b = 5 x O O b = 5 x = 5 x = 53 = 75 b // x y b x X Vecto c = 05 x c = 05 x = 05 x = 05 3= 15 c // x y c x Ejemplo 8.- En la figua de la deecha apeciamos lo siguiente:, Vecto a = x a = x = x = 3 = 6 a // x y a x, Vecto b = 5 x b = 5 x = 5 x = 53 = 75 b // x y b x, Vecto c = 05 x c = 05 x = 05 x = 05 3= 15 c // x y c x Apéciese que figua 6 ( x) + ( x) = x x x 05 x = 5 x Si x es un númeo vecto libe cualquiea, del espacio, el poducto de un númeo eal po el vecto x, puede expesase en foma de suma. Veamos un ejemplo: Ejemplo 9.- 5x = x + x + x + x + x 5x = ( x) + ( x) + ( x) + ( x) + ( x) = x x x x x x = x + x + x ; x = x x = x + x ( ) ( ) 3 3

27 Matemáticas de º de bachilleato Página 0 El Espacio Afín 16.Popiedades del poducto de un nº eal po un vecto libe.- Hemos visto el poducto de un númeo eal po un vecto libe del espacio, es deci, el poducto de un α 0ú po un x V 3. Se tata de una opeación. Veamos las popiedades que tiene esta opeación: 1.Ley de composición extena.- El poducto de un númeo eal po un vecto libe es oto vecto libe del espacio Matemáticamente: α R y x V se veifica que αx V 3 3 Ota foma de expesa esta popiedad es como una aplicación del conjunto R V en el conjunto V 3. Es deci: 3 3 R V V A cada pa ( α, x ) le coesponde un vecto αx ( α, x) αx.asociativa.- αβ, R y x 3 V se veifica que ( αβ ) x = α β x ( ) En esta popiedad destacamos los siguientes detalles: ( α β) x α ( β x) Poducto de numeo & po vecto Poducto de numeo & po vecto Poducto de numeos & Poducto de numeo & po vecto 3 En geneal los puntos ( ) suelen omitise cuando no existe confusión posible, es deci, podemos pone ( α β) x = α ( β x) o en ocasiones ( α β) x = α( βx) Ejemplo 10.- En la figua 7 tenemos una unidad de longitud ( u ) y un vecto libe x. Hemos constuido los vectoes x, 3( x ) y ( 3 ) x Obsévese que 3( x ) = ( 3 ) x = 6x figua 7

28 Matemáticas de º de bachilleato Página 1 El Espacio Afín 3.Distibutividad especto de la suma de númeos eales.- α, β R y x 3 V, se veifica que ( α + β) x = αx + βx Obseva lo siguiente: ( α + β) x = α x + βx suma de 4 84 suma de numeos & vectoes Ejemplo 11.- En la figua 8 tenemos una unidad de longitud y un vecto libe x. Hemos constuido los vectoes x, 3x, x + 3x y ( + 3) x Obsévese que 5x = ( + 3) x = x + 3x 4.Distibutividad especto de la suma de vectoes.- α R y x y 3, V, se veifica que α( x + y ) = αx + αy Obseva lo siguiente: α ( x + y) suma de vectoes poducto de numeo & po vecto α x + α y suma de vectoes Ejemplo 1.- En este ejemplo compobamos la popiedad anteio de modo gáfico. figua 9

29 Matemáticas de º de bachilleato Página El Espacio Afín figua 9.a Tenemos dos vectoes libes del espacio, xey. Los hemos situados haciéndoles coincidi en un mismo punto. figua 9.b Hemos sumado los vectoes paa obtene x + y y posteiomente obtenemos el vecto ( x + y) figua 9.c En este caso hemos constuido xyy, los hemos sumado y obtenido el vecto. x + y Puede apeciase con una egla o compás como los vectoes ( x + y) y x + y tienen el mismo tamaño (igual módulo), además de la misma diección (son paalelos) y el mismo sentido. 5.Poducto de 1 po un vecto libe.- El poducto del númeo eal 1 po un vecto libe cualquiea, es ese vecto libe Matemáticamente: x R, se veifica que 1x = x En efecto:! 1x = 1 x = 1 x = x! 1x // x po se poducto de un númeo eal po un vecto! 1x x po se 1>0 Po tanto, 1x = x 17.El espacio vectoial de los vectoes libes del espacio.- Recodemos lo que hemos visto anteiomente: " Vecto libe del espacio. El conjunto de los vectoes libes del espacio V 3. " Suma de vectoes libes del espacio. Popiedades de la suma. " El gupo conmutativo de los vectoes libes del espacio. ( V 3, + ). " Poducto de un númeo eal po un vecto libe del espacio. Popiedades. Pues bien, el conjunto de los vectoes libes del espacio con las opeaciones suma y poducto de un númeo eal po un vecto y las popiedades vistas, se dice que tiene estuctua de Espacio vectoial sobe ú Se expesa ( V 3, +, ú ), donde + epesenta la suma de vectoes y ú el poducto de numeo eal po vecto. También puede expesase V 3 ( ú ). Po tanto: 3 ( V, +, R) Espacio vectoial de los vectoes libes del espacio 3 V ( R) Re cueda: es la opeacion int ena en V : x, y V es x + y = z V es la opeacion extena en V : α R y x V es αx V 3 3 3

30 Matemáticas de º de bachilleato Página 3 El Espacio Afín 18.Otas popiedades de la opeación extena de V 3 (ú).- Las popiedades del poducto de un númeo eal po un vecto vistas anteiomente en el apatado 16, son axiomáticas, es deci, se deducen de la popia definición. Las popiedades que veemos a continuación se deducen o demuestan de las axiomáticas. Veamos: Popiedad I.- v El poducto del númeo eal 0 po un vecto libe cualquiea es el vecto libe o Es deci: 0 x = o Demostación: α R αx = α + x = αx + x x = o c q d x V 3 ( 0) Popiedad II.- v v El poducto de un númeo eal cualquiea po el vecto libe o es el vecto libe o Es deci: α o = o Demostación: α R αx = α x + o = αx + αo αo= o c q d x V 3 ( )... Popiedad III.- El poducto de &1 po un vecto libe cualquiea es igual al opuesto de ese vecto Es deci: ( 1) x = x Demostación: o = 0x = [ 1+ ( 1) ] x = 1x + ( 1) x = x + ( 1) x = o ( 1) x es el opuesto de x ( 1) x= x 19.Combinación lineal de vectoes libes del espacio.- $ Sean uyv dos vectoes de V 3 (ú). u es combinacion & lineal de v α R u = αv Gáficamente se intepeta del siguiente modo: u es combinacion & lineal de v u // v Recuedese que si u// v puede se u v o u v

31 Matemáticas de º de bachilleato Página 4 El Espacio Afín Ejemplo 13.- En la figua 30 tenemos epesentada la unidad de longitud u y los vectoes libes ayb 3 b es combinación lineal de a ya que b = a, es deci, b // a 3 a es combinación lineal de b ya que a = 1 b, es deci, a // b Obsévese que si u es combinación lineal de v, entonces v es combinación lineal de u. En efecto: 1 { 1 ucomblindev.. u= α v u= v = v = v = v v = u si α α α α 1 1 α 0 α α v es combinacion & lineal de u Nótese también que si dos vectoes no tiene la misma diección (no son paalelos), ninguno de ellos es combinación lineal del oto. u, v y w $ Sean tes vectoes de V 3 (ú). Se dice que el vecto u es combinación lineal de vyw si existen dos númeos eales α y β tales que u = α v + β w Matemáticamente: u es combinacion lineal de v y w α, β R u = αv + βw Definición gáfica: u es combinacion lineal de v y w u esta & en el plano deteminado po vyw Debe entendese que dados dos vectoes libes vyw, siempe podemos enconta un plano del espacio que contenga a esos vectoes (no olvida que los vectoes libes pueden

32 Matemáticas de º de bachilleato Página 5 El Espacio Afín desplazase). Pues bien, el vecto u es combinación lineal de los vectoes vywsi también podemos situalo en ese plano. En el caso en que sea imposible que el vecto u esté en un plano donde se encuenten vyw, decimos que u no es combinación lineal de vyw. Ejemplo 14.- En la figua 31 tenemos la explicación gáfica de que un vecto u es combinación lineal de otos dos vyw. figua 31 figua 31.a Tenemos tes vectoes libes del espacio: u, v y w Hemos seleccionado un punto O del espacio. figua 31.b Hemos tasladado vyw al punto O. El punto O y los vectoes vyw están en un plano al que denominamos J.

33 Matemáticas de º de bachilleato Página 6 El Espacio Afín figua 31.c Tasladamos el vecto u al punto O y ocue que dicho vecto está contenido en el plano J, es deci, el oigen O y su extemo están en J. Hay un plano que contiene a los tes vectoes. figua 31.d Po el método del paalelogamo obsevamos que el vecto u es suma de un vecto α v y oto vecto β w, es deci, u es combinación lineal de vyw. En el caso en que al situa el vecto u en el punto O (punto donde hemos hecho coincidi peviamente los vectoes vyw), no estuviese contenido en el plano J (plano que foman el punto O y los vectoes libes vyw), no es posible enconta una suma de vectoes del tipo α v + β w que sea igual al vecto u, es deci, el vecto u no es combinación lineal de los vectoes vyw. Ejemplo 15.- En la figua 3 tenemos la explicación gáfica de que un vecto u que no es combinación lineal de otos dos vyw. figua 3 Obsévese en la figua 3.c como al situa el vecto libe u en el punto O, este vecto no está en el plano Π, es deci, la ecta diección del vecto u ataviesa dicho plano, esto es, se tata de una ecta no contenida en Π. En la figua 3.d se apecian las diecciones de los vectoes u, v y w, siendo imposible enconta una expesión de la foma que sea α v + β w u igual al vecto. En definitiva, el vecto u no es combinación lineal de los vectoes vyw. En geneal: u es combinacion lineal de v y w u, v y w pueden ponese en el mismo plano

34 Matemáticas de º de bachilleato Página 7 El Espacio Afín Si un vecto libe (distinto de o ) es combinación lineal de otos dos, entonces alguno de estos (o ambos) es combinación lineal de los otos dos. En efecto: S Supongamos que u ( u o ) es combinación lineal de vyw. Esto significa que u= α v + β w, siendo α y/o β distintos de ceo. S Supongamos que es α 0. Entonces: α β α α β β v es combinacion v = u w v = u w v = u w & ( ) α α α lineal de u y w S Obsévese el motivo de exigi que u o. Si fuese u= o podía se : S o= 0v + 0w 0v = o 0w / α, β R v = αo+ βw v uyw w uyv en cuyo caso no seía combinación lineal de, ni de. No obstante, obsévese que puede ocui lo siguiente: u= o ; v y w tales que v = α w En este caso o= v α w, es deci, u= o es combinación lineal de vyw. Despejando v : v = o+α w, es deci, v es combinación lineal de u = o y w. Ejemplo Supongamos tes vectoes libes del espacio, u, v y w tales que u = 3 v 4 w. Queemos expesa el vecto w como combinación lineal de los otos dos. Veamos: u= 3 v 4 w ; 4 w= 3 v u ; 4 4 w= 4 3 v 4u ; w= 3 v 4u Tenemos así el vecto w como combinación lineal de los vectoes uyv. t, u, v y w S Sean cuato vectoes de V 3 (ú). Se dice que el vecto t es combinación lineal de u, v y w si existen tes númeos eales α, β y γ tales que t = αu + βv + γ w Matemáticamente: t es comb. lineal de u, v y w α, β, γ R t = αu+ βv + γ w Gáficamente : En este caso el vecto t puede obtenese como la suma de un vecto α u + β v = x, que estaá en un plano donde se encuenten uyv, con oto vecto γ w, que seá paalelo al vecto w, es deci, t = x +γ w. En la figua 33 hemos epesentado cuato vectoes, t, u, v y w del espacio, expesando el vecto t como combinación lineal de los otos tes. Apéciese como t es la suma de un vecto α β u + v = x (que está en el plano deteminado po uyv ) y oto vecto paalelo a w. En este dibujo se apecia también que α > 0, β > 0 y γ > 0 (no siempe debe se así).

35 Matemáticas de º de bachilleato Página 8 El Espacio Afín En la figua 33 tenemos lo siguiente: i Los vectoes t, u, v y w situados en un punto O. Queemos expesa t como combinación lineal de u, v y w i Hemos deteminado el plano que foman uyv (plano Π ). Hemos tazado desde el extemo de t una paalela a la diección de w hasta que cota al plano Π en un punto P. x = OP uyv( x = αu+ βv) t t t = x+γ w i El vecto libe es combinación lineal de. i El vecto está en el plano que foman xyw, es deci, es combinación lineal de xyw, en conceto. En definitiva : t = αu+ βv + γ w j Del mismo modo podíamos obtene u como combinación lineal de los otos tes, en conceto seía: α β β γ γ 1 u= t v w ; u= α t α v α w También podíamos obtene vyw como combinación lineal de los otos tes. 0.Vectoes libes del espacio linealmente dependientes.-. Sean uyv dos vectoes libes del espacio, es deci, u v 3, V ( R) Se dice que uyv son linealmente dependientes, si existen dos númeos eales α y β (alguno de ellos distinto de ceo) tales que α u + β v = o. Matemáticamente: u y v son linealmente dependientes { α, β R αu + βv = o alguno 0

36 Matemáticas de º de bachilleato Página 9 El Espacio Afín Obseva lo siguiente: Supongamos que uyv son dos vectoes libes linealmente dependientes. Entonces, α, β R ( α 0 o β 0) αu+ βv = o (*) Supongamos que es α 0. Entonces: β αu = βv ; u = v. Es deci, u = k v con k R α Es deci, u es combinacion & lineal de v Po tanto: Si dos vectoes libes uyv son linealmente dependientes, entonces uno de ellos es combinación lineal del oto Matemáticamente: u y v linealmente dependientes u = α v o v = α u Ahoa nos peguntamos: Si u es combinación lineal de v, seán uyv linealmente dependientes? Veamos: Supongamos que u es combinación lineal de v. Entonces α R u= αv Entonces podemos pone que u α v = o Po tanto, existen dos númeos, 1 y &α (el 1 0 ) tales que 1u α v = o. Deducimos que uyv son linealmente dependientes. Po tanto: (**) Si un vecto es combinación lineal de otos, entonces son linealmente dependientes. De (*) y (**) deducimos que : uyv son linealmente dependientes ] Uno de ellos es combinación lineal del oto. La intepetación gáfica es la siguiente: uyv son linealmente dependientes ] uyv tienen la misma diección. Es deci: En la figua 34 se apecia que u// v u = α v y v = 1 α u u α v = o

37 Matemáticas de º de bachilleato Página 30 El Espacio Afín. Sean u, v y w tes vectoes libes del espacio, es deci, u v w 3,, V ( R) Se dice que u, v y w son linealmente dependientes, si existen tes númeos eales α, β y γ (alguno de ellos distinto de ceo) tales que αu + βv + γ w = o. Matemáticamente: u, v y w son linealmente dependientes α, β, γ R αu + βv + γw = o 13 alguno 0 u, v y w En este caso también es válida la siguiente equivalencia: son linealmente dependientes ] Uno de ellos es combinación lineal de los otos dos Demostemos esta última equivalencia: ) u, v, w linealmente dependientes α, β, γ R αu + βv + γw = o 13 a lguno 0 β γ ( suponiendo α 0) αu= βv γ w u= α v α w u es combinacion & lineal de v y w Uno de los tes es combinacion & lineal de losotos dos (. c q. d) ) Supongamos que u es comb. lineal de v y w α, β R u = αv + βw u αv βw= o 1, α, β R u αv βw= o u, v y w son linealmente dependientes ( c. q. d.). La intepetación gáfica de que tes vectoes libes del espacio sean linealmente dependientes es la siguiente: Los tes vectoes pueden u, v y w son linealmente dependientes situase en un mismo plano Es deci: figua 35

38 Matemáticas de º de bachilleato Página 31 El Espacio Afín figua 35.a En esta figua tenemos tes vectoes libes del espacio y un punto O. Nos peguntamos si son linealmente dependientes. figua 35.b Hemos situado los tes vectoes haciendo oigen en el punto O. Existe un plano que los contiene? figua 35.c Existe un plano Π del espacio que contiene al punto O y a los tes vectoes. Po tanto, los tes vectoes son linealmente dependientes. Ejemplo 17.- figua 36 En este ejemplo vemos gáficamente como podían esta situados tes vectoes del espacio que no son linealmente dependientes. Obsévese que hemos situado tes vectoes libes u, v y w coincidiendo en un punto O y constuido el plano que contiene a los vectoes uyv. Apeciamos que el vecto w queda fuea de ese plano Π, po lo que podemos asegua que el vecto w no es combinación lineal de los otos dos. Del mismo modo, si constuyéamos el plano que contiene a los vectoes uyw, veíamos como el vecto v quedaía fuea de ese plano, es deci, v no seía combinación lineal de los otos dos. Po último, si constuimos el plano que contiene a los vectoes vyw, veíamos como el vecto u no estaía contenido en ese plano, esto es, u no es combinación lineal de vyw. En definitiva, si ninguno de los tes vectoes es combinación lineal de los otos dos, los vectoes no son linealmente dependientes. Ejemplo 18.- figua 37 En la figua 37 tenemos epesentados tes vectoes del espacio que son linealmente dependientes. Expliquemos esto: figua 37.a En esta figua hemos epesentado la unidad, el punto O y los tes vectoes u, v y w. Puede apeciase (tomando medidas) que u = 15 ; v = 5 y w = 165. También podemos obseva que u// v y v = 5 3 u, es deci, v es combinación lineal de u (y vicevesa). figua 37.b Hemos desplazado los tes vectoes la punto O. figua 37.c Es evidente que existe un plano Π del espacio que contiene al punto O y a los tes vectoes, es deci, son linealmente dependientes (alguno de ellos es combinación lineal de los otos dos).

39 Matemáticas de º de bachilleato Página 3 El Espacio Afín Ejemplo 19.- Consideemos nuevamente los tes vectoes del ejemplo anteio (ejemplo 18). Nos hacemos la siguiente pegunta: Es posible expesa cualquiea de ellos como combinación lineal de los otos dos? Veamos: 3, Con los datos del ejemplo anteio, es fácilmente apeciable que u= 5 v + 0w, es deci, el vecto u es combinación lineal de los vectoes vyw. 5, También podemos pone que v = 3 u + 0w, esto es, el vecto v es combinación lineal de los vectoes uyw., Sin embago, el vecto w no puede expesase de la foma w= α u+ β v, es deci, el vecto w no es combinación lineal de los otos dos. Paa compende esto, debe apeciase que cualquie vecto α u y cualquie oto β v tienen la misma diección (que es distinta de la de w ), po lo que es imposible que la suma α u+ β v sea igual a w. 1.Vectoes libes del espacio linealmente independientes Sean uyv dos vectoes libes del espacio, es deci, u, v V (R). Se dice que uyv son linealmente independientes, si al expesalos de la foma α u + β v = o, debe se necesaiamente α = β = 0" Matemáticamente: u y v son linealmente independientes / { α, β R αu + βv = o alguno 0 Po tanto, si existen dos númeos α y β (alguno de ellos distinto de ceo) tales que se veificase que α u + β v = o, los vectoes no seían linealmente independientes (seían linealmente dependientes). - De las definiciones de dependencia e independencia lineal de dos vectoes libes, se deduce que: u y v son linealmente u y v no son linealmente independientes dependientes - Deducimos que si dos vectoes son linealmente independientes, entonces ninguno de ellos es combinación lineal del oto, ya que entonces seían linealmente dependientes.

40 Matemáticas de º de bachilleato Página 33 El Espacio Afín - La intepetación gáfica de dos vectoes libes linealmente independientes es: Dos vectoes libes del espacio son linealmente independientes sí y sólo sí tienen diecciones distintas. Visualmente se apeciaía al obseva que sus diecciones son ectas no paalelas. Ota foma es que si situamos ambos vectoes haciéndoles coincidi sus oígenes en un mismo punto O, únicamente existe un plano del espacio que contiene a ese punto y a los vectoes. Veamos: figua 38 figua 38.a Tenemos dos vectoes libes u, v y un punto del espacio, O. figua 38.b Hemos situado los vectoes en el punto O y obsevamos que este punto y los vectoes deteminan un único plano. uyv son linealmente independientes 3 ' Sean u, v y w tes vectoes libes del espacio, es deci, u, v, w V ( R). Se dice que u, v y w son linealmente independientes, si al expesalos de la foma α u + β v + γ w = o, debe se necesaiamente α = β = γ = 0" Matemáticamente: u, v y w son linealmente independientes / α, β, γ R αu + βv + γ w = o alguno 0 Po tanto, si existen tes númeos α, β y γ (alguno de ellos distinto de ceo) tales que se veificase que α u + β v + γ w = o, los vectoes no seían linealmente independientes (seían linealmente dependientes). ' De las definiciones de dependencia e independencia lineal de dos vectoes libes, se deduce que: u, v y w son linealmente u, v y w no son linealmente independientes dependientes

A r. 1.5 Tipos de magnitudes

A r. 1.5 Tipos de magnitudes 1.5 Tipos de magnitudes Ente las distintas popiedades medibles puede establecese una clasificación básica. Un gupo impotante de ellas quedan pefectamente deteminadas cuando se expesa su cantidad mediante

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