UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES

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1 UNIDAD 6: SISTEMAS DE ECUACIONES ÍNDICE DE LA UNIDAD 1.- INTRODUCCIÓN SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA RESOLUCIÓN DE SISTEMAS Método matricial Método de Gauss Sistemas de Cramer. Regla de Cramer DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS SISTEMAS HOMOGÉNEOS ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS ACTIVIDADES SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES INTRODUCCIÓN. Uo de los pricipales objetivos del Álgebra clásica ha sido la resolució de ecuacioes y sistemas de ecuacioes. Desde este puto de vista, el Álgebra tedría más de 2000 años de atigüedad pero hasta la Edad Media o se desarrolla de mao de los árabes. Después, alcaza su madurez y espledor e Europa, sobre todo e el reacimieto italiao. 2.- SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Defiició 1: Se llama ecuació lieal co icógitas a toda ecuació poliómica de primer grado co icógitas. Defiició 2: Llamamos sistema lieal de m ecuacioes co icógitas a todo cojuto de m ecuacioes lieales co icógitas. Se expresa e la forma: a11x1 + a12x a1 x = b1 a 21x1 + a 22x a 2 x = b2... (1)... a m1x1 + a m 2x a m x = bm Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 1

2 A lo largo de la uidad solo abordaremos el estudio de los sistemas lieales de ecuacioes, por lo que, frecuetemete os referiremos a ellos como sistemas de ecuacioes, si decir lieales y supoiedo que lo so. Defiició 3: Dado u sistema lieal como (1), llamamos solució del sistema a toda - upla de úmeros reales que satisfaga las m ecuacioes de la expresió (1). Defiició 4: Dos sistemas se dice que so equivaletes si tiee las mismas solucioes. 3.- CLASIFICACIÓN DE SISTEMAS Defiició 5: U sistema de ecuacioes se dice que es: Sistema icompatible (S.I.) cuado o tiee solució. Sistema compatible determiado (S.C.D.) cuado tiee ua úica solució. c) Sistema compatible idetermiado (S.C.I.) cuado tiee ifiitas solucioes. Clasificar o discutir u sistema es determiar cuátas solucioes tiee, es decir, determiar si es icompatible, compatible determiado o compatible idetermiado. A lo largo de la uidad, cocretamete e el puto 6, abordaremos la discusió de sistemas co más profudidad. Nota 1: (Trasformacioes equivaletes e sistemas lieales). Las siguietes trasformacioes e u sistema da lugar a sistemas equivaletes: Multiplicar (o dividir) ua ecuació por u escalar o ulo. Sumarle a ua ecuació ua combiació lieal de las restates. c) Elimiar ua ecuació que sea combiació lieal de otras del sistema. 4.- EXPRESIÓN MATRICIAL DE UN SISTEMA Nota 2: (Expresió matricial de u sistem Si más que recordar el producto de matrices, todo sistema lieal como el visto e la defiició 2, se puede expresar a11 a a1 x1 b1 a21 a a2 x2 b2 matricialmete de acuerdo co la expresió: = am 1 am a m x b m A partir de esta igualdad, llamado a11 a a1 x1 b1 a21 a a2 x2 b2 A = , X =... y B =..., a a a x b m1 m2 m m podemos escribir la llamada expresió matricial del sistema, que sería A X = B Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 2

3 A la matriz A se le llama matriz de coeficietes y, auque de mometo o la usaremos, defiimos tambié la matriz ampliada del sistema como la matriz a11 a12... a1 b1 a21 a22... a2 b2 * A = am 1 am2... am b m 2x 5y + 3z = 4 Ejemplo 1: El sistema x 2y + z = 3 es u sistema de 3 ecuacioes co 3 icógitas. 5x + y + 7z = 11 Es imediato ver que x = 5, y = 0, z = 2 es ua solució del sistema. Se trata de u sistema compatible determiado. Su expresió matricial es: siedo su matriz de coeficietes A = y la ampliada A RESOLUCIÓN DE SISTEMAS x y = 3, z = E este puto de la uidad veremos los diferetes métodos que usaremos para resolver sistemas lieales de ecuacioes. Comezaremos por el método quizás meos usado por ser el que más operacioes requiere y porque está quizás más relacioado co el cálculo matricial que co los sistemas de ecuacioes. A cotiuació veremos el método de Gauss, el más uiversal y eficaz que, además sirve para resolver cualquier tipo de sistemas. Fialmete abordaremos la regla de Cramer, bastate rápida y eficaz pero limitada a sistemas cocretos Método matricial o de la matriz iversa El método matricial es u método de resolució de sistemas lieales basado e el cálculo matricial. Supogamos u sistema geeral como el sistema (1) de la defiició 2 y cosideremos su expresió matricial A X = B tal y como hemos visto e la ota 2. Realmete hemos trasformado u sistema lieal e ua ecuació matricial. E el caso e que A sea regular, existirá la matriz iversa de A, por lo que multiplicado a izquierda 1 e ambos miembros de la expresió matricial os queda que X = A B, que es justo lo que hicimos e la uidad aterior cuado resolvíamos ecuacioes matriciales. x + y + z = 1 Ejemplo 2: Cosideremos el sistema x + 2y + 2z = 0. Etoces, su expresió matricial 2x + y z = x x 1 es: y = 0. Así pues, llamado: A = 1 2 2, X = y y B = z z 1 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 3 *

4 El sistema lieal es equivalete a la ecuació matricial A X = B. Ahora bie, es imediato ver que: A = 4. Así pues, A es regular siedo A = Así pues, x = despejado X de la forma habitual X = A B = y 2 4 = = z = 1 Se propoe la Actividad Método de Gauss Como hemos cometado ates, el método de Gauss es el más uiversal y eficaz de todos los métodos ya que computacioalmete es bastate eficiete y además es válido para todo tipo de sistemas. Por ello, es el más recomedado e la mayoría de los casos. Su mecaismo lo hemos visto ya e la uidad de matrices. Básicamete cosiste e trasformar el sistema de partida e otro equivalete que sea escaloado mediate trasformacioes equivaletes (ver ota 1). Para ahorrar tiempo, estas trasformacioes se suele hacer directamete sobre la matriz ampliada del sistema (por filas), ya que las icógitas o sufre modificació algua e igua de las trasformacioes. Ua vez obteido u sistema equivalete pero escaloado, se puede ir sustituyedo los valores de la icógita de abajo a arriba (fase de subid hasta determiarlas todas. Veámoslo más claramete co u ejemplo de cada tipo: Ejemplo 3: 2x 5y + 3z = ' F1 F2 F2 = F2 2F1 * x 2y + z = 3 A = ' F3 = F3 5F 1 5x + y + 7z = ' x 2y + z = 3 x = 2y z + 3 = = 5 F3 = F3 + 11F y + z = 2 y = z + 2 = = z = 26 z = 2 Por tato, se trata de u S.C.D., cuya solució es: x = 5, y = 0, z = 2 x 3y + 7z = ' F2 = F2 5F1 * 5x y + z = 8 A = x + 4y 10z = ' ' F3 = F3 F1 F3 = 2F3 F ' 1 F = F x = + λ 2 2 x 3y + 7z = y = λ 7y 17z = z = 7 λ (Lo elegimos) Se trata, pues, de u S.C.I. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 4

5 c) x 3y 2z = x y + 15z = 3 A = ' F3 = F3 F 1 x 8y 21z = ' ' F2 = F2 2F1 F3 = F3 + F2 * x 3y 2z = y + 19z = 11, sistema que es evidetemete u S.I. ya que la = 7 última ecuació carece de solució y resulta ua cotradicció. Se propoe la Actividad Sistemas de Cramer. Regla de Cramer Defiició 6: Se dice que u sistema lieal de ecuacioes es de Cramer si su matriz de coeficietes es cuadrada y regular, es decir, co determiate o ulo. a11x1 + a12x a1 x = b1 a 21x1 + a 22x a 2 x = b2 Proposició 1: (Regla de Cramer) Sea... u sistema de... a 1x 1 + a 2x a x = b Cramer. Etoces es u sistema compatible determiado y la solució viee dada por: b a a a b a a a b b a a a b a a a b b a a a 1 b a x = 1, x 2,... x A = A = a a b 1 2 A x + y z = 1 Ejemplo 4: Resolvamos el siguiete sistema por Cramer: x + 2y + 2z = 0. Lo primero es 2x + y z ver que efectivamete es de Cramer = 4 0 Es u sistema de Cramer Aplicamos la regla de Cramer: x = = = 2, y = = = 2, z = = = Se propoe la Actividad 3. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 5

6 Nota 3: Auque la regla de Cramer está diseñada y es adecuada para sistemas de Cramer, puede aplicarse ua variate de la misma para sistemas compatibles cualesquiera. Como veremos más adelate (Teorema de Rouché-Fröbeius), u sistema es compatible cuado el rago de la matriz de coeficietes coicide co el de la matriz ampliada y determiado cuado dicho rago comú coicide co el úmero de icógitas. Elimiado las ecuacioes que sea combiació lieal de las demás y ombrado co parámetros aquellas cuyas columas sea combiació lieal de las demás, podemos aplicar la regla de Cramer al uevo sistema. Veámoslo más claramete co u ejemplo: Ejemplo 5: Aalicemos el sistema: 3x 2y + z = 2 2x + 5y 3z = 15. Es fácil ver que: 11x y = = Además, 3 1 = Así pues, rg A = 2 y la 2ª columa depede liealmete de las 11 0 otras dos. Es tambié fácil ver que rg A * = 2. Como veremos más adelate, esto implica que el sistema es compatible idetermiado e fució de u parámetro que, lógicamete podemos tomar y (ya que es la icógita que o iterviee e el meor de orde 2 3x + z = 2 + 2y tomado). Así pues, si llamamos y = λ, el sistema queda equivalete a, 11x = 21+ y que ya sí es u sistema de Cramer e fució de λ, por lo que la solució del sistema es: 2 + 2λ λ 21+ λ 0 21 λ λ 41 19λ x = = = + λ, y = λ, z = = = + λ Como podemos ver e el ejemplo, o es el método más adecuado para SCI ya que es bastate más largo que el de Gauss. 6.- DISCUSIÓN DE SISTEMAS. TEOREMA DE ROUCHÉ-FRÖBENIUS Discutir o clasificar u sistema es decir de qué tipo es: compatible determiado, compatible idetermiado o icompatible. Ates de resolverlo podemos determiar de qué tipo es. El resultado para discutir u sistema es el siguiete teorema: a11x1 + a12x a1 x = b1 a 21x1 + a 22x a 2 x = b2 Proposició 2: (Teorema de Rouché-Fröbeius) Sea: a m1x1 + a m 2x a m x = bm u sistema de m ecuacioes lieales co icógitas. Sea A su matriz de coeficietes y A* su matriz ampliada como de costumbre. Etoces: Si rg A = rg A* = El sistema es compatible determiado (S.C.D.) Si rg A = rg A* < El sistema es compatible idetermiado (S.C.I.) c) Si rg A rg A* El sistema es icompatible (S.I.) Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 6

7 Nota 4: Es importate teer e cueta que rg A rg A *, ya que A* tiee siempre las mismas filas que A y ua columa más. Este detalle, auque muy simple, es de eorme utilidad ya que os ahorra e muchas ocasioes, teer que determiar rg A *. Nota 5: E muchas ocasioes los sistemas depederá de uo o dos parámetros, cosa que complica sustacialmete la discusió. Por ello, tedremos que distiguir los diferetes casos e fució de los ragos de A y de A*. Ejemplo 6: Estudiemos la compatibilidad de los siguietes sistemas: 2x 5y + 3z = x 2y + z = 3 A* = Es fácil ver que A = 13 0 rg A = 3. Ahora 5x + y + 7z = Rouché Fröbeius bie, como A* tiee solo 3 filas y siempre rg A rg A* rg A* = 3 S. C. D. x 3y + 7z = x y + z = 8 A* = x + 4y 10z = Es imediato ver que A = 0. Así pues, rg A < 3. Si cosideramos el meor 1 3 = 1 0 rg A = 2. Aalicemos ahora rg A *. 5 1 Si orlamos co la 3ª columa, os queda A = 0, así pues, la 3ª columa depede liealmete de las dos primeras, co lo que rg A* = rg = 2, ya que su Rouché Fröbeius determiate es fácil ver que da cero. Así pues, rg A = rg A* = 2 < 3 S. C. I. c) x 3y 2z = x y + 15z = 3 A* = Es imediato ver que A = 0 y como el x 8y 21z = meor 1 3 = 5 0 rg A = 2. Veamos ahora rg A *. Al igual que e el apartado b, si 2 1 orlamos co la 3ª columa, como A = 0, etoces dicha columa depede liealmete de las dos primeras, luego Así pues, rg A rg A * S. I rg A* = rg = Rouché Fröbeius, porque su determiate es Ejemplo 7: Veamos ahora u ejemplo co parámetros: ax + y + z = 1 a x + ay + z = 1 A* = 1 a 1 1 A = a 3a + 2 = 0 a = 1 ( doble), a = 2. x + y + az = a 1 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 7

8 Veamos los diferetes casos que se puede dar: R F Caso 1: Si a 1 y a 2 A 0 rg A = rg A* = 3 S. C. D Caso 2: Si a = 1 A* = , co lo que, claramete rg A = rg A* = 1, ya que todos los meores de A* de órdees mayor que 1 so ulos al ser todas las filas y columas iguales. Así pues rg A = rg A* = 1< 3 S. C. I. Caso 3: a = 2 A* = Es evidete que orlamos por la 4ª columa Se propoe la Actividad = 3 0 rg A = 2. Si = 9 0 rg A* = 3. Luego rg A rg A* S. I SISTEMAS HOMOGÉNEOS Defiició 7: U sistema de ecuacioes se llama homogéeo cuado la columa de térmios idepedietes esté formada por ceros, es decir, cuado es de la forma: a11x1 + a12x a1 x = 0 a 21x1 + a 22x a 2 x = a m1x1 + a m 2x a m x = 0 Nota 6: Es evidete, al ser rg A = rg A *, que u sistema homogéeo es siempre compatible. Será determiado cuado rg A = e idetermiado cuado rg A <. Además tiee siempre ua solució, llamada solució trivial, que es: x 1 = 0, x 2 = 0,... x = 0. Ejemplo 8: Veamos u par de ejemplos: x + y + z = 0 2x y + z = 0. Es evidete que se trata de u sistema homogéeo. Veamos si es x 2y z = compatible determiado o idetermiado. A = = 3 0 rg A = rg A* = 3 SC.. D Evidetemete al ser compatible determiado, su solució es la trivial: x = 0, y = 0, z = 0 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 8

9 x y z = x + y 2z = 0 A = = 0. Pero: = 2 0 rg A = rg A * = 2 S. C. I x 4y z = Para resolverlo os podemos quedar co las dos primeras ecuacioes, ya que so las filas del meor o ulo y, por tato, la 3ª fila depede de las dos primeras. Así pues: x = 3λ x y z = 0 x y z = 0. Aplicado Gauss. Llamado y = λ y = λ. x + y 2z = 0 2y z = 0 z = 2λ Se propoe la Actividad ELIMINACIÓN DE PARÁMETROS La elimiació de parámetros es ua herramieta ecesaria, sobre todo para uidades posteriores que cosiste e el problema iverso a resolver u S.C.I., es decir, elimiar uo o varios parámetros es ecotrar u sistema lieal cuyas solucioes sea las dadas. El úmero de ecuacioes del sistema es el úmero de icógitas meos el úmero de parámetros. Coviee tambié teer e cueta que las ecuacioes o so úicas, sio que depede de ciertas eleccioes que haremos e los métodos. Veámoslo más claramete co u ejemplo: x = 1+ λ Ejemplo 9: Elimiemos el parámetro del sistema: y = 2 3λ. Como hay 3 icógitas y 1 z = 5 λ parámetro, el úmero de ecuacioes será 3-1=2. Hay dos formas de hacerlo: 1ª Forma: Despejar los parámetros y sustituir e el resto de ecuacioes. x = 1+ λ λ = x + 1 y = 2 3( x + 1) 3x + y = 1 y = 2 3λ z = 5 ( x + 1) x + z = 4 z = 5 λ 2ª Forma: Utilizado el rago. x = 1+ λ x + 1= λ x Es evidete que: y = 2 3λ y 2 = 3λ y 2 = λ 3, co lo que la columa z = 5 λ z 5 = λ z 5 1 x x y 2 depede liealmete de la columa 3 y, por tato rg y 2 3 = 1. Por z 5 1 z 5 1 tato, todos los meores de orde 2 debe ser ulos. Elegimos dos de ellos y os x x x y = 1 proporcioa las ecuacioes: = 0 y = 0. y 2 3 z 5 1 x z = 4 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 9

10 Ejemplo 10: Veamos ahora u ejemplo co dos parámetros: x = 1 α + β y = 2 + 3α 2β z = 1 α + 7β 1ª Forma: Despejar los parámetros y sustituir e el resto de ecuacioes. So 3-2=1 ecuació. x = 1 α + β α = 1+ β x y = 2 + 3α 2β y = 2 + 3( 1 + β x) 2β β = 3x + y 1. Igualado las x + z + 2 z = 1 α + 7β z = 1 ( 1+ β x) + 7β β = 6 x + z + 2 dos expresioes de 3x + y 1 = 19x + 6y z = 8 6 2ª Forma: Utilizado el rago. Razoado como ates: x x Fácil rg y = 2 y = 0 19x + 6y z 8 = 0 z z Se propoe la Actividad ACTIVIDADES ACTIVIDADES INTERCALADAS EN LA TEORÍA Actividad 1: Resuelve los sistemas siguietes utilizado el método matricial: x y z = 6 x + 3z = 2 2x + 5y 3z = 0 2x + 3y + z = 23 5x + 4y + z = 42 x + 2y 3z = 10 Actividad 2: Resuelve los siguietes sistemas utilizado el método de Gauss: 2x 5y + 3z = 4 x 2y + z = 3 5x + y + 7z = 11 x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11 c) x 3y 2z = 7 2x y + 15z = 3 x 8y 21z = 11 d) x + y + z = 2 3x 2y z = 4 2x + y + 2z = 2 e) 3x 4y + 2z = 1 2x 3y + z = 2 5x y + z = 5 x 2y = 3 f) 2x + 3y + z = 4 2x + y 5z = 4 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 10

11 Actividad 3: Resuelve los siguietes sistemas utilizado la regla de Cramer: 3x + 2y z = 12 2x + y + z = 9 x + y + z = 6 x + y + z = 3 2x y + z = 2 x y + z = 1 c) x + 5y 3z = 7 2x y + z = 11 4x + 3y 4z = 3 Actividad 4: Discute los siguietes sistemas e fució del parámetro: x + y + kz = 1 kx + k y + z = k x + y + z = k + 1 ( 1) x + y = 7 mx y = 11 x 4y = m Actividad 5: Discute y resuelve los sistemas homogéeos siguietes: 3x 5y + z = 0 x 2y + z = 0 x + y = 0 x y z = 0 x + y + 3z = 0 x 5y 9z = 0 Actividad 6: Elimia los parámetros e los siguietes casos: x = 3 + 4λ + 5µ y = 2 λ + µ z = 4 + λ 3µ x = 3 4α y = 2 + α z = 1 α c) x = 1+ 2α + 3β y = 2 + α β z = 3 α + 3β t = 3α β ACTIVIDADES DE DESARROLLO Actividad 7: Resuelve, si es posible, los siguietes sistemas: x + 2y + z = 9 x y z = 10 2x y + z = 5 x + 2y + z = 3 2x y + z = 1 c) x + 2y z = 1 2x 4y + 2z = 3 x + y + z = 2 d) 2x 3y + z = 0 3x y = 0 4x + y z = 0 Actividad 8: Estudia los siguietes sistemas y resuélvelos por el método de Gauss: x 2y 3z = 1 x 4y 5z = 1 2x + 2y + 4z = 2 2x 3y + z = 0 x + 2y z = 0 4x + y z = 0 c) x + y + 3z = 2 4x + 2y z = 5 2x + 4y 7z = 1 d) y + z = 1 x y = 1 x + 2y + 3z = 2 e) 5x + 2y + 3z = 4 2x + 2y + z = 3 x 2y + 2z = 3 f) x y + 3z 14t = 0 2x 2y + 3z + t = 0 3x 3y + 5z + 6t = 0 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 11

12 Actividad 9: Resuelve los siguietes sistemas utilizado la regla de Cramer: x + y z = 1 x y + z = 1 x + y + z = 1 3x y = 2 2x + y + z = 0 3y + 2z = 1 c) 2x + y + z = 2 x 2y 3z = 1 x y + z = 3 Actividad 10: Resuelve los siguietes sistemas para los valores de m que lo hace compatible: x + 2y = 3 2x y = 1 4x + 3y = m x y 2z = 2 2x + y + 3z = 1 3x + z = 3 x + 2y + 5z = m Actividad 11: Dado el sistema x 2y = 3 2x + 3y + z = 4 Clasifícalo y resuélvelo. Añade al sistema ua ecuació de modo que resulte otro sistema compatible idetermiado c) Lo mismo para que resulte compatible determiado. d) Lo mismo para que resulte icompatible. Actividad 12: Discute los siguietes sistemas y resuélvelos cuado sea posible: 2x y = 4 2x + y z = 1 x + y / 2 = x y + z = x + ky = 2 5x 5y + 2z = m Actividad 13: Se cosidera el sistema de ecuacioes lieales: x + 2y + 3z = 1 x + ay + 3z = 2. 2x + ( 2 + y + 6z = 3 Ecuetra u valor de a para el cual el sistema sea icompatible. Discute si existe algú valor del parámetro a para el cual el sistema sea compatible determiado. c) Resuelve el sistema para a = 0. Actividad 14: Discute los siguietes sistemas e fució del parámetro a y resuélvelos e el caso e que sea compatibles idetermiados: x + y + z = a 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 ax + y z = 0 2x + ay = 2 x + z = 1 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 12

13 Actividad 15: Discute los siguietes sistemas e fució del parámetro: 2y z = a ( m 1) x my = 2 3x 2z = 11 6mx ( m 2) y = 1 m y + z = 6 2x + y 4z = a c) x + + y + bz = b + 2 x + by + z = b bx + y + z = 2 b + 1 ( ) px + y z = d) px + ( p) y = ( ) px + 2y 1+ p z = 0 Actividad 16: Cierta marca de pitura es elaborada co tres igredietes: A, B y C, comercializádose e tres toos diferetes. El primero se prepara co 2 uidades de A, 2 de B y 1 de C; el segudo co 1 uidad de A, 2 de B y 2 de C, y el tercero co ua uidad de cada igrediete. El bote del primer too se vede a 23, el segudo a 19 y el tercero a 14. Sabiedo que el marge comercial (o gaaci es de 3 por bote, qué precio por uidad tiee cada uo de los tres igredietes? Actividad 17: E ua reuió, cierta parte de los presetes está jugado; otra parte está charlado y, el resto, que es la cuarta parte, está bailado. Más tarde, 4 cambia el juego por el baile, 1 deja la charla y se poe a jugar y dos deja el baile y se poe a charlar. Tras estos cambios, el úmero de persoas que practica cada ua de las tres actividades es el mismo. Cuátas persoas hay e la reuió?7 Actividad 18: Para u partido de fútbol se poe a la veta tres tipos de localidades: Fodo, Geeral y Tribua. Se sabe que la relació etre los precios de las localidades de Tribua y Geeral es 4/3 y etre Geeral y fodo es 6/5. Si al comprar tres localidades, ua de cada clase, se paga e total 28,5, cuál es el precio de cada tipo de localidad? Actividad 19: U fabricate produce 42 electrodomésticos. La fábrica abastece a tres tiedas, que demada toda la producció. E ua cierta semaa, la primera tieda solicitó tatas uidades como la seguda y la tercera jutas, mietras que la seguda pidió u 20% más que la suma de la mitad de lo pedido por la primera más la tercera parte de lo pedido por la tercera. Qué catidad de electrodomésticos solicitó cada tieda? Actividad 20: La edad de ua madre es, e la actualidad, el triple que la de su hijo. La suma de las edades del padre, madre e hijo es 80 años y, detro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. Cuátos años tiee actualmete cada uo? Actividad 21: E cierta heladería de Sevilla, por ua copa de la casa, dos horchatas y cuatro batidos te cobra 34 u día. Otro día, por 4 copas de la casa y 4 horchatas te cobra 44, y u tercer día, te pide 26 por ua horchata y cuatro batidos. Tiees motivos para pesar que alguo de los tres días te ha presetado ua cueta icorrecta? Actividad 22: U cajero automático cotiee 95 billetes de 10, 20 y 50 y u total de Si el úmero de billetes de 10 es el doble que el úmero de billetes de 20, averigua cuátos billetes hay de cada tipo. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 13

14 Actividad 23: U joyero tiee tres clases de moedas: A, B y C. Las moedas de tipo A tiee 2 gramos de oro, 4 gramos de plata y 14 gramos de cobre; las de tipo B tiee 6 gramos de oro, 4 gramos de plata y 10 gramos de cobre, y las de tipo C tiee 8 gramos de oro, 6 gramos de plata y 6 gramos de cobre. Cuátas moedas de cada tipo debe fudir para obteer 44 gramos de oro, 44 gramos de plata y 112 gramos de cobre? Actividad 24: U autobús trasporta 90 viajeros co 3 tarifas diferetes: 1ª: Viajeros que paga el billete etero, que vale 0.70 euros. 2ª: Estudiates, co descueto del 50%. 3ª: Jubilados, co descueto del 80%. Se sabe que el úmero de estudiates es 10 veces el de jubilados y que la recaudació total ha sido de 46,76 euros. Platea, si resolver, el sistema de ecuacioes ecesario para determiar el úmero de viajeros, de cada tarifa, que va e el autobús. Actividad 25: U cliete de u supermercado ha pagado u total de 156 euros por 24 litros de leche, 6 kg de jamó serrao y 12 litros de aceite de oliva. Platea y resuelve u sistema de ecuacioes para calcular el precio uitario de cada artículo, sabiedo que 1 litro de aceite cuesta el triple que uo de leche y que 1 kg de jamó cuesta igual que 4 litros de aceite más 4 litros de leche. Actividad 26: E ua tieda de supermercado ofrece dos lotes formados por distitas catidades de los mismos productos. El primer lote está compuesto por u jamó, tres quesos y siete chorizos y su precio es de 565. El segudo lote lleva u jamó, cuatro quesos y diez chorizos y su precio es de 740. Podrías averiguar cuádo debería valer u lote formado por u jamó, u queso y u chorizo? Justifica la respuesta. Actividad 27: Los lados de u triágulo mide 7, 8 y 9 cm. Co cetro e cada vértice se dibuja tres circuferecias tagetes etre sí dos a dos. Calcula la logitud de los radios de dichas circuferecias. Actividad 28: Dos amigos ivierte cada uo. El primero coloca ua catidad A al 4% de iterés; ua catidad B, al 5%, y el resto al 6%. El otro ivierte la misma catidad A al 5%; la B, al 6%, y el resto, al 4%. Determia las catidades A, B y C sabiedo que el primero obtiee uos itereses de 1050, y el segudo, de 950. Actividad 29: Tres amigos acuerda jugar tres partidas de dados de forma que cuado uo pierda etregará a cada uo de los otros dos ua catidad igual a lo que cada uo posea e ese mometo. Cada uo perdió ua partida, y al fial cada uo teía 24. Cuáto teía cada jugador al comezar? ACTIVIDADES DE SELECTIVIDAD Actividad 30: (2003) Cosidera las matrices: x A = y X= y z Siedo I la matriz idetidad de orde 3, calcula los valores de λ para los que la matriz A + λi o tiee iversa. Resuelve el sistema A X = 3 X e iterpreta geométricamete el cojuto de todas las solucioes. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 14

15 Actividad 31: (2003) Cosidera las matrices x A = 0 m 3, B= 1 y X= y 4 1 m 3 z 1 Para qué valores de m existe A? 1 Siedo m = 2, calcula A y resuelve el sistema A X c) Resuelve el sistema A X = B para m = 1. = B. Actividad 32: (2003) Cosideremos el sistema: x + my z = 2 + 2my mx y + 4z = 5 + 2z 6x 10y z = 1 Discute las solucioes del sistema segú los valores de m. Resuelve el sistema cuado sea compatible idetermiado. Actividad 33: (2003) Ua empresa ciematográfica dispoe de tres salas, A, B y C. Los precios de etrada a estas salas so de 3, 4 y 5 euros, respectivamete. U día la recaudació cojuta de las tres salas fue de 720 euros y el úmero total de espectadores fue de 200. Si los espectadores de la sala A hubiera asistido a la sala B y los de la sala B a la sala A, se hubiese obteido ua recaudació de 20 euros más. Calcula el úmero de espectadores que acudió a cada ua de las salas. Actividad 34: (2004) Sabiedo que la matriz A = a 1 a tiee rago 2, cuál es el valor de a? Resuelve el sistema de ecuacioes: x y = z 1 Actividad 35: (2004) Se sabe que el sistema de ecuacioes: úica solució. x x y + αy = 1 + αz = 1 + z = α tiee ua Prueba que α 0. Halla la solució del sistema. Actividad 36: (2004) Determia a y b sabiedo que el sistema de ecuacioes x + 3y + z = 1 x + y + 2z = 1 tiee al meos dos solucioes distitas. ax + by + z = 4 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 15

16 x + λy = λ Actividad 37: (2004) Cosidera el sistema de ecuacioes x y ( 1) λ + + λ z = 1 λx + y = 2+ λ Clasifica el sistema segú los valores del parámetro λ. Resuelve el sistema cuado sea compatible idetermiado. Actividad 38: (2004) U tedero dispoe de tres tipos de zumo e botellas que llamaremos A, B y C. El mecioado tedero observa que si vede a 1 las botellas del tipo A, a 3 las del tipo B y a 4 las del tipo C, etoces obtiee u total de 20. Pero si vede a 1 las del tipo A, a 3 las del B y a 6 las del C, obtiee u total de 25. Platea el sistema de ecuacioes que relacioa el úmero de botellas de cada tipo que posee el tedero. Resuelve dicho sistema. c) Puede determiarse el úmero de botellas de cada tipo de que dispoe el tedero? (Te e cueta que el úmero de botellas debe ser etero y positivo). Actividad 39: (2004) Cosidera el sistema de ecuacioes: mx + 2y + z = 2 x + my = m 2x + mz = 0 Determia los valores de m para los que x = 0, y = 1 y z = 0, es solució del sistema. Determia los valores de m para los que el sistema es icompatible. c) Determia los valores de m para los que el sistema tiee ifiitas solucioes. x + 3y + z = 0 Actividad 40: (2004) Cosidera el sistema de ecuacioes 2x 13y + 2z = 0 ( a + 2) x 12y + 12z = 0 Determia el valor de a para que tega solucioes distitas de la solució trivial y resuélvelo para dicho valor de a. mx y = 1 Actividad 41: (2004) Cosidera el sistema de ecuacioes x my = 2m 1. Clasifica el sistema segú los valores de m. Calcula los valores de m para los que el sistema tiee ua solució e la que x = 3. x + y + z = 2 Actividad 42: (2005) Cosidera el sistema: λx + 3y + z = 7 x + 2y + ( λ + 2) z = 5 Clasifica el sistema segú los valores de λ. Resuelve el sistema cuado se compatible idetermiado. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 16

17 x + 2y + z = 5 Actividad 43: (2005) Cosidera el sistema de ecuacioes mx + 2z = 0 my z = m Determia los valores de m para los que el sistema tiee ua úica solució. Calcula dicha solució para m = 1. Determia los valores de m para los que el sistema tiee ifiitas solucioes. Calcula dichas solucioes. c) Hay algú valor de m para el que el sistema o tiee solució? Actividad 44: (2005) Cosidera el sistema: ( b + 1) x + y + z = 2 x + ( b + 1) y + z = 2 x + y + ( b + 1) z = 4 Clasifica el sistema segú los valores del parámetro b. Resuelve el sistema cuado sea compatible idetermiado. 3x + 2y z = 5 Actividad 45: (2005) Cosidera el sistema: x y ( m 4) z = my 2x 3y + z = 0 Determia los valores del parámetro m para los que el sistema tiee solució úica. Resuelve el sistema cuado tega ifiitas solucioes y da ua solució e la que se cumpla que x = 19. Actividad 46: (2005) Álvaro, Marta y Guillermo so tres hermaos. Álvaro dice a Marta: si te doy la quita parte del diero que tego, los tres hermaos tedremos la misma catidad. Calcula lo que tiee cada uo si etre los tres juta 84 euros. Actividad 47: (2005) Cosidera el sistema de ecuacioes x + my + z = 0 x + y + mz = 2 mx + y + z = m Para qué valores de m el sistema tiee al meos dos solucioes? Para qué valores de m el sistema admite solució e la que x = 1? Actividad 48: (2005) E ua excavació arqueológica se ha ecotrado sortijas, moedas y pedietes. Ua sortija, ua moeda y u pediete pesa cojutamete 30 gramos. Además, 4 sortijas, 3 moedas y 2 pedietes ha dado u peso total de 90 gramos. El peso de u objeto deformado e irrecoocible es de 18 gramos. Determia si el mecioado objeto es ua sortija, ua moeda o u pediete, sabiedo que los objetos que so del mismo tipo pesa lo mismo. Actividad 49: (2006) Resuelve: x y + 2 = z 3 2 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 17

18 Actividad 50: (2006) Sea A = 0 m 3 3 m Determia los valores de m R para los que la matriz A tiee iversa. Para m = 0 y siedo X ( x y z), XA = = resuelve ( ) Actividad 51: (2006) Cosidera las matrices x 0 A = 2 1 1, X = y y O = 0 m m z 0 Halla el valor m R para que la matriz A o tiee iversa. Resuelve AX = O para m = 3. Actividad 52: (2006) Cosidera el sistema de ecuacioes Clasifica el sistema segú los valores de λ. Resuélvelo para λ = 2. Actividad 53: (2006) Cosidera el sistema de ecuacioes: Clasifica el sistema segú los valores de λ. Resuelve el sistema para λ = 2. Actividad 54: (2006) Cosidera el sistema de ecuacioes: Clasifica el sistema segú los valores de λ. Resuelve el sistema para λ = 2. Actividad 55: (2006) Cosidera el sistema de ecuacioes: Clasifica el sistema segú los valores de λ. Resuelve el sistema para λ = 1. Actividad 56: (2007) Cosidera el sistema de ecuacioes λx + y z = 1 x y z + λ + = λ 2 x + y + λz = λ λx y z = 1 x + λy + z = 4 x + y + z = λ + 2 x y + z = 2 x + λy + z = 8 λx + y + λz = 10 x + y z = 4 3x + λy + z = λ 1 2x + λy = 2 ax + y + z = 4 x ay + z = 1 x + y + z = a + 2 Resuélvelo para el valor de a que lo haga icompatible idetermiado. Resuelve el sistema que se obtiee para a = 2. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 18

19 Actividad 57: (2007) Calcula la matriz iversa de A = Escribe e forma matricial el siguiete sistema y resuélvelo usado la matriz x + y = 1 hallada e el apartado aterior. y + z = 2 x + z = 3 A 1 x + y + z = 0 Actividad 58: (2007) Cosidera el sistema de ecuacioes 2x + λy + z = 2 x + y + λz = λ 1 Determia el valor de λ para que el sistema sea icompatible. Resuelve el sistema para λ = 1. Actividad 59: (2007) Clasifica y resuelve el siguiete sistema segú los valores de a. x + y + z = 0 ( 1) a + y + 2z = y x 2y + ( 2 z = 2z Actividad 60: (2007) Se sabe que el sistema de ecuacioes lieales λx + y + ( λ + 1) z = λ + 2 x + y + z = 0 tiee más de ua solució. ( 1 λ ) x λy = 0 Calcula, e dicho caso, el valor de la costate λ. Halla todas las solucioes del sistema. Actividad 61: (2007) Resuelve el siguiete sistema para los valores de m que lo hace compatible. x + my = m mx + y = m mx + my = 1 x + y + mz = 1 Actividad 62: (2007) Cosidera el sistema de ecuacioes my z = 1 x + 2my = 0 Clasifica el sistema segú los valores de m. Resuelve el sistema cuado se compatible idetermiado. Actividad 63: (2008) Dado el sistema de ecuacioes lieales Clasifícalo segú los valores de λ. Resuélvelo para λ = 1. x + λy z = 0 2x + y + λz = 0 x + 3y λz = λ + 1 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 19

20 Actividad 64: (2008) Cosidera el siguiete sistema de ecuacioes lieales. x + y + z = a 1 2x + y + az = a x + ay + z = 1 Discútelo segú los valores del parámetro a. Resuelve el sistema que se obtiee para a = 2. Actividad 65: (2008) Sabemos que el sistema de ecuacioes 2 x y + 3 z = 1 x + 2y z = 2 tiee las mismas solucioes que el que resulta de añadirle la ecuació ax + y + 7z = 7. Determia el valor de a. Calcula la solució del sistema iicial de dos ecuacioes, de maera que la suma de los valores de sus icógitas sea igual a la uidad. Actividad 66: (2008) U cajero automático cotiee solo billetes de 10, 20 y 50 euros. E total hay 130 billetes co u importe de 3000 euros. Es posible que e el cajero haya triple úmero de billetes de 10 que de 50? Supoiedo que el úmero de billetes de 10 es el doble que el úmero de billetes de 50, calcula cuátos billetes hay de cada tipo? Actividad 67: (2008) Dado el siguiete sistema: x + y = 1 ky + z = 0 x + ( k + 1) y + kz = k + 1 Determia el valor del parámetro k para que sea icompatible. Halla el valor del parámetro k para que la solució tega x = 2. Actividad 68: (2008) Halla los valores del parámetro m que hace compatible el sistema de ecuacioes: x + 2y 2z = 2 2x y z m + + = 2 x + 3y z = m Actividad 69: (2008) Determia razoadamete los valores del parámetro m para los que el siguiete 2x + y + z = mx sistema de ecuacioes tiee más de ua solució: x + 2y + z = my x + 2y + 4z = mz Resuelve el sistema aterior para el caso m = 0 y para el caso m = 1. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 20

21 Actividad 70: (2008) Cosidera la matriz A m m m m m m. 2 2 = 2 Halla los valores del parámetro m para los que el rago de A es meor que 3. x 1 Estudia si el sistema A y = 1 z 1 obteidos e el apartado aterior. tiee solució para cada uo de los valores de m x Actividad 71: (2009) Cosidera la matrices A = y X = y z Calcula, si existe, A 1. Resuelve el sistema AX = 3X e iterpreta geométricamete el cojuto de sus solucioes. Actividad 72: (2009) Tratamos de adiviar, mediate ciertas pistas, los precios de tres productos A, B y C. Pista 1: Si compramos ua uidad de A, dos de B y ua de C gastamos 118 euros. Pista 2: Si compramos uidades de A, + 3 de B y tres de C gastamos 390 euros. Hay algú valor de para el que estas dos pistas sea icompatibles. Sabiedo que = 4 y que el producto C cuesta el triple que el producto A, calcula el precio de cada producto. Actividad 73: (2009) Discute segú los valores del parámetro λ el siguiete sistema Resuélvelo para λ = 1. λx + λy = 0 x + λz = λ x + y + 3z = 1 Actividad 74: (2009) Ua empresa evasadora ha comprado u total de 1500 cajas de pescado e tres mercados diferetes, a u precio por caja de 30, 20 y 40 euros respectivamete. El coste total de la operació ha sido euros. Calcula cuáto ha pagado la empresa e cada mercado, sabiedo que e el primero de ellos ha comprado el 30 % de las cajas. Actividad 75: (2009) Dado el sistema de ecuacioes lieales Discútelo segú los valores del parámetro λ. Resuélvelo para λ = 1. x + λy + z = 4 x + 3y + z = 5 λx + y + z = 4 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 21

22 Actividad 76: (2009) Resuelve el sistema de ecuacioes: x + z = 2 x + y + 2z = 0 x + 2y + 5z = 2 Calcula λ sabiedo que el siguiete sistema tiee algua solució comú co el del x + y + z = 1 apartado ( x + y + 3z = 1 x + 2y + λz = 3 Actividad 77: (2009) Sea el sistema de ecuacioes x + y = m + 1 x + my + z = 1 mx + y z = m Determia los valores de m para los que el sistema es compatible. Resuelve el sistema para m = 1. Actividad 78: (2010) Sea las matrices A = α 1 3 y B = α 4 Determia los valores de α para los que A tiee iversa. Calcula la iversa de A para α = 1. c) Resuelve, para α = 1, el sistema AX = B. Actividad 79: (2010) Cosidera el sistema 3 x 2 y + z = 5 2x 3y + z = 4 Calcula razoadamete u valor de λ para que el sistema resultate al añadirle la ecuació x + y + λz = 9 sea compatible idetermiado. Existe algú valor de λ para que el sistema resultate o tiee solució? λx + y + z = λ + 2 Actividad 80: (2010) Sea el siguiete sistema de ecuacioes 2x λy + z = 2 x y + λz = λ Discútelo segú los valores de λ. Resuelve el sistema para λ = 1. Actividad 81: (2010) Cosidera el siguiete sistema: Discútelo segú los valores de m. Resuélvelo para m = 1. ( m + 2) x y z = 1 x y + z = 1 x + my z = m Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 22

23 Actividad 82: (2010) x + λy + z = λ Discute, segú los valores del parámetro λ, el sistema: x 2y ( 2) λ + + λ+ z = 2 x + 3y + 2z = 6 λ Resuelve el sistema aterior para λ = 0. λx + 2y + 6z = 0 Actividad 83: (2010) Cosidera el sistema de ecuacioes: 2x + λy + 4z = 2 2x + λy + 6z = λ 2 Discútelo segú los valores del parámetro λ. Resuélvelo para λ = x Actividad 84: (2011) Dada las matrices A = 2 t + 1 t 1 y X = y 2t 1 0 t + 3 z Calcula el rago de A segú los diferetes valores de t. Razoa para qué valores de t el sistema homogéeo AX = O tiee más de ua solució. Actividad 85: (2011) Cosidera el sistema de ecuacioes: Discútelo segú los valores del parámetro a. Resuélvelo cuado sea posible. 2x 2y + 4z = 4 2x + z = a 3x 3y + 3z = 3 Actividad 86: (2011) Dado el sistema de ecuacioes lieales Clasifica el sistema segú los valores del parámetro λ. Resuelve el sistema para λ = 0. λx + y + z = 1 x + λy + z = 2 λx + y + z = 1 Actividad 87: (2012) U estudiate ha gastado 57 euros e ua papelería por la compra de u libro, ua calculadora y u estuche. Sabemos que el libro cuesta el doble que el total de la calculadora y el estuche jutos. Es posible determiar de forma úica el precio del libro? Y el de la calculadora? Razoa las respuestas. Si el precio del libro, la calculadora y el estuche hubiera sufrido u 50 %, u 20% y u 25% de descueto respectivamete, el estudiate habría pagado u total de 34 euros. Calcula el precio de cada artículo. Actividad 88: (2012) Cosidera el sistema de ecuacioes: Clasifica el sistema segú los valores del parámetro k. Resuélvelo para k = 1. c) Resuélvelo para k = 1. x + y + kz = 1 2x + ky = 1 y + 2z = k Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 23

24 Actividad 89: (2012) Dado el sistema de ecuacioes: kx + 2y = 3 x + 2kz = 1 3x y 7z = k + 1 Estudia el sistema para los distitos valores del parámetro k. Resuélvelo para k = 1. x + ( k + 1) y + 2z = 1 Actividad 90: (2012) Cosidera el sistema de ecuacioes: kx + y + z = 2 x 2y z = k + 1 Clasifícalo segú los distitos valores de k. Resuélvelo para k = 2. Actividad 91: (2012) Cosidera el siguiete sistema kx + 2y = 2 2x + ky = k x y = 1 Prueba que el sistema es compatible para cualquier valor del parámetro k. Especifica para qué valores del parámetro k es determiado y para cuáles idetermiado. c) Halla las solucioes e cada caso. x y = λ Actividad 92: (2012) Cosidera el sistema de ecuacioes 2λy + λz = λ x 2y + λz = 0 Clasifícalo segú los distitos valores del parámetro λ. Resuélvelo para λ = 0 y para λ = 1. x + y + z = λ + 1 Actividad 93: (2012) Cosidera el sistema de ecuacioes 3y + 2z = 2λ + 3 3x + ( λ 1) y + z = λ Resuelve el sistema para λ = 1. Halla los valores de λ para los que el sistema tiee solució úica. 1 1 c) Existe alguos valores de λ para el que el sistema admite la solució, 0, 2 2? Actividad 94: (2012) Cosidera el sistema: x + ky + 2z = k + 1 x + 2y + kz = 3 ( k + 1) x + y + z = k + 2 Determia los valores de k para los que el sistema tiee más de ua solució. Existe algú valor de k para el cual sistema o tiee solució? c) Resuelve el sistema para k = 0. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 24

25 10.- SOLUCIONES A LAS ACTIVIDADES. Actividad 1: x = 106, y = 64, z = 36 x = 5, y = 4, z = 1 Actividad 2: x = 5, y = 0, z = 2 x = 1+ 2 λ, y = λ, z = 7λ c) SI d) x = 1, y = 2, z = 3 e) SI f) x = 0, y = 3 / 2, z = 1/ 2 Actividad 3: x = 3, y = 2, z = 1 x = 1, y = 1, z = 1 c) Actividad 4: Si k 1 S. C. D. Si k = 1 S. I. Actividad 5: Si m = 2 S. C. D. Si m = 31 S. C. D. Si m 2 y m 31 S. I. x = 0, y = 0, z = 0 x = λ, y = 2 λ, z = λ x =, y =, z = Actividad 6: 2x + 17y + 9z = 76 x + 4y = 11 x + 4z = 1 c) 2x 9y 5z = 31 x + 2y 5t = 3 Actividad 7: x = 1, y = 1, z = x = 3 λ, y = λ, z = 5λ 5 5 c) No tiee solució d) x = λ, y = 3 λ, z = 7λ Actividad 8: x = 1 + λ, y = λ, z = λ x = λ, y = 3 λ, z = 7λ c) x = 3 / 2, y = 1/ 2, z = 0 d) x = λ, y = 1 λ, z = λ e) x = 1, y = 1, z = 1 f) x = λ, y = λ, z = 0, t = 0 Actividad 9: x = 1, y = 1, z = 1 x = 1, y = 5, z = 7 c) x = 1, y = 2, z = 2 Actividad 10: Es compatible para m = 7, siedo su solució x = 1, y = 1. Es compatible para m = 1, siedo sus solucioes x = 1 λ, y = 1 7 λ, z = 3λ. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 25

26 Actividad 11: Es compatible idetermiado, siedo sus solucioes x = 1+ 2 λ, y = 2 + λ, z = λ Por ejemplo: x + y + z = 5. c) Por ejemplo: x + 2y 7z = 3. d) Por ejemplo: x + y + z = 6. Actividad 12: Si k 1/ 2 S. C. D y la solució es: x = 2, y = 0 Si k = 1/ 2 S. C. I. y la solució es: x = λ, y = 4 + 2λ El sistema es icompatible para cualquier valor de m. Actividad 13: a = 2 No existe c) x = 2 3 λ, y = 1/ 2, z = λ Actividad 14: Si a 1 y a 2 S. C. D. Si a = 1 S. I. Si a = 2 S. C. I. siedo su solució: x = 1 λ, y = 0, z = λ Si a 1 y a 2 S. C. D. Si a = 1 S. I. Si a = 2 S. C. I. siedo su solució: x = 1 + λ, y = 2 λ, z = λ Actividad 15: 2 2 m m + 4 m 10m 1 Si m 2 / 5 y m 1 S. C. D. y la solució es: x =, y = 2 2 5m + 3m 2 5m + 3m 2 Si m = 2 / 5 o m = 1 S. I. Si a 6 S. I. Si a = 6 S. C. D. y la solució es: x = 5, y = 4, z = 2 c) d) ( ) 2 b + 1 b b + 2 Si b 1 y b 2 S. C. D. siedo su solució: x =, y =, z = b 1 b 1 b 1 Si b = 1 S. I. Si b = 2 S. C. I. siedo su solució: x = 3 λ, y = λ, z = 2 + 3λ Si p 0, p 1, p 1 S. C. D. siedo su solució: x = 0, y = 0, z = 0 Si p = 0 S. C. I. siedo su solució: x = λ, y = 0, z = 0 Si p = 1 S. C. I. siedo su solució: x = 0, y = λ, z = µ Si p = 1 S. C. I. siedo su solució: x = 2 λ, y = λ, z = λ Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 26

27 Actividad 16: Los precios so 6, 3 y 2 euros respectivamete. Actividad 17: Hay 24 persoas (11 jugado, 7 charlado y 6 bailado) Actividad 18: Las de fodo vale 7,5, las de geeral 9 y las de tribua 12. Actividad 19: La primera solicitó 21, la seguda 15 y la tercera 6. Actividad 20: El padre tiee 40 años, la madre 30 y el hijo 10. Actividad 21: Sí, ya que el sistema es icompatible. Actividad 22: 50 billetes de 10, 25 billetes de 20 y 20 billetes de 50. Actividad 23: 5 moedas de clase A, 3 de clase B y 2 de clase C. Actividad 24: Hay 46 viajeros ormales, 40 estudiates y 4 jubilados. Actividad 25: El litro de leche vale 1, el de aceite 3 y el kg de jamó 16. Actividad 26: El lote debe costar 215. Actividad 27: Mide 3, 4 y 5 cm respectivamete Actividad 28: Las catidades so 5000, 5000 y respectivamete. Actividad 29: El que pierde la 1ª partida teía 39, el que pierde la 2ª partida teía 21 y el que pierde la 3ª partida pierde 12. Actividad 30: λ 3 y λ 3 x = λ, y = 2 λ, z = λ Actividad 31: m 1 y m 3 c) x = 1 + λ, y = 1 3 λ, z = λ Actividad 32: = A y x = 0, y = 1, z = 1 Si m 3 y m 5 S. C. D. Si m = 3 S. C. I. Si m = 5 S. I x = 7 λ, y = 5 λ, z = 8λ 8 8 Actividad 33: Acudiero 100 persoas a la sala A, 80 a la B y 20 a la C. Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 27

28 Actividad 34: a = 5 Actividad 35: 2 1 x = 8 λ, y = 7 λ, z = λ 5 10 Hacerlo α 2 α α x = 1, y =, z = Actividad 36: a = 4, b = 8 Actividad 37: Si λ 1 y m 1 S. C. D. Si λ = 1 S. I. Si λ = 1 S. C. I. x = λ, y = 1 + λ, z = 0 Actividad 38: x + 3y + 4z = 20 x + 3y + 6z = 25 x = 10 3 λ, y = λ, z = 5 / 2 c) No, ya que z = 5 / 2 Actividad 39: Para cualquier valor. Para igú valor. c) m = 0, m = 2, m = 2 Actividad 40: a = 10 ; x = λ, y = 0, z = λ Actividad 41: Si m 1 y m 1 S. C. D. Si m = 1 S. C. I. Si m = 1 S. I. m = 4 3 Actividad 42: Si λ 1 y λ 2 S. C. D. Si λ = 1 S. I. Si λ = 2 S. C. I. x = 1 2 λ, y = 3 + λ, z = λ Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 28

29 Actividad 43: m 1 y m 0 ; x = 2, y = 2, z = 1 m = 0 x = 5 3 λ, y = λ, z = 0 c) m = 1 Actividad 44: Si b 0 y b 3 S. C. D. Si b = 0 S. I. Si b = 3 S. C. I. x = 2 + λ, y = 2 + λ, z = λ Actividad 45: m 7 x = λ, y = 7 λ, z = 19λ x = 1, y = 7, z = 19 Actividad 46: Álvaro tiee 35, Marta 21 y Guillermo 28. Actividad 47: m = 2 m 1 Actividad 48: Es ua moeda Actividad 49: x = 1, y = 1, z = 1 Actividad 50: m 2 y m 3 x = 2, y = 1, z = 1 Actividad 51: m = 3 x = λ, y = λ, z = λ Actividad 52: Si Si Si Si λ 0, λ 1, λ 1 S. C. D. λ = 0 S. I. λ = 1 S. C. I. λ = 1 S. C. I x =, y =, z = Actividad 53: Si λ 1 y λ 1 S. C. D. Si λ = 1 S. C. I. Si λ = 1 S. I. x = 1, y = 0, z = 3 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 29

30 Actividad 54: Si λ 1 y λ 2 S. C. D. Si λ = 1 S. I. Si λ = 2 S. C. I. x = 4 λ, y = 2, z = λ Actividad 55: Si Si λ 1 S. C. D. λ = 1 S. C. I. x = 2 λ, y = λ, z = λ Actividad 56: 3 5 a = 1 x =, y = λ, z = λ 2 2 Actividad 57: 4 1 x =, y = 1, z = A 1/ 2 1/ 2 1/ 2 = 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 1/ 2 x = 3, y = 2, z = 0 Actividad 58: λ = 2 x = 2, y = 2 λ, z = λ Actividad 59: Si a 2 y a 3 x = 0, y = 0, z = 0 Si a = 2 x = 0, y = λ, z = λ Si a = 3 x = 5 λ, y = 2 λ, z = 3λ Actividad 60: λ = 2 x = 2 λ, y = 3 λ, z = λ Actividad 61: Si m = 1 x = 1 λ, y = λ Si m = 1/ 2 x = 1, y = 1 Actividad 62: Si m 1 S. C. D. Si m = 1 S. C. I. x = 2 2 λ, y = 1 + λ, z = λ Actividad 63: Si λ 1 y λ 3 S. C. D. Si λ = 1 S. C. I. Si λ = 3 S. I. x = 2 λ, y = λ, z = 3λ Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 30

31 Actividad 64: Si a 1 y a 2 S. C. D. Si a = 1 S. I. Si a = 2 S. C. I. x = 1 λ, y = 0, z = λ x Actividad 65: a = 8 x = 6 / 5, y = 1/ 5, z = 2 / 5 Actividad 66: No 80 billetes de 10, 10 de 20 y 40 de 50. Actividad 67: k = 1 k = 2 Actividad 68: m = 1, m = 2 Actividad 69: m = 1, m = y m = 2 2 m = 0 x = 0, y = 0, z = 0 m = 1 x = λ, y = 2 λ, z = λ Actividad 70: m = 0, m = 1 Si m = 0 S. I. Si m = 1 S. C. I. x = 1 λ µ, y = λ, z = µ Actividad 71: 2 / 9 2 / 9 1/ 9 = 2 / 9 1/ 9 2 / 9 1/ 9 2 / 9 2 / 9 1 A x = λ, y = 2 λ, z = λ Actividad 72: = 3 A vale 23, B vale 13 y C vale 69. Actividad 73: Si λ 0 y λ 6 S. C. D. Si λ = 0 S. C. I. Si λ = 6 S. I. x = 0, y = 1 3 λ, z = λ Actividad 74: Ha pagado Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 31

32 Actividad 75: Si λ 1 y λ 3 S. C. D. Si λ = 1 S. C. I. Si λ = 3 S. I. x = 7 / 2 λ, y = 1/ 2, z = λ Actividad 76: x = 2 λ, y = 2 3 λ, z = λ λ = 3 Actividad 77: m = 0, m = 1 x = 1/ 2 λ, y = 1/ 2 + λ, z = 2λ Actividad 78: α 2 y α 3 / 2 Actividad 79: A = λ = 0 No existe. Actividad 80: Si Si λ 1 S. C. D. λ = 1 S. C. I. x = 1/ 3, y = 4 / 3 λ, z = λ Actividad 81: Si λ 1 y λ 1 S. C. D. Si λ = 1 S. C. I. Si λ = 1 S. I. x = 1/ 2 + λ, y = 1/ 2 + λ, z = 2λ Actividad 82: Si λ 0 y λ 8 S. C. D. Si λ = 0 S. C. I. Si λ = 8 S. I. x = λ, y = 2 λ, z = λ Actividad 83: Si λ 2 y λ 2 S. C. D. Si λ = 2 S. C. I. Si λ = 2 S. I. x = 3 λ, y = λ, z = 1 Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 32

33 Actividad 84: Si t 1 y t 2 rg A = 3 Si t = 1 rg A = 2 Si t = 2 rg A = 2 t = 1 y t = 2 Actividad 85: Si a 3 S. I. Si a = 3 S. C. I. x = 3 / 2 λ, y = 1/ λ, z = 2λ Actividad 86: Si λ 0 y λ 1 S. C. D. Si λ = 0 S. C. I. Si λ = 1 S. I. x = 2 λ, y = 1 λ, z = λ Actividad 87: No El libro vale 38, la calculadora 15 y el estuche 4. Actividad 88: Si k Si k 1 S. C. D. = 1 S. C. I. x = λ, y = 1 λ, z = λ c) x = 1/ 2, y = 0, z = 1/ 2 Actividad 89: Si k 7 y k 1 S. C. D. Si k = 7 S. I. Si k = 1 S. C. I. x = 1+ 2 λ, y = 1 λ, z = λ Actividad 90: Si k 0 y k 2 S. C. D. Si k = 0 S. I. Si k = 2 S. C. I. x = 7 / 5 λ, y = 4 / 5 3 λ, z = 5λ Actividad 91: Hacer Actividad 92: Si k Si k 2 S. C. D. = 2 S. C. I. c) k 2 x = 0, y = 1 k = 2 x = 1 + λ, y = λ Si λ 0 y λ 1 S. C. D. Si λ = 0 S. C. I. Si λ = 1 S. C. I. λ = 0 x = 0, y = 0, z = λ λ = 1 x = 1 + λ, y = λ, z = 1 2λ Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 33

34 Actividad 93: x = 1/ 3 λ, y = 5 / 3 2 λ, z = 3λ λ 1 c) λ = 1 Actividad 94: k = 3, k = 0, k = 2 No c) x = 2 λ, y = 3 / 2 λ, z = 1/ 2 λ NOTA IMPORTANTE: Las actividades de la 30 a la 94 so de Selectividad. E las dos págias web siguietes se ecuetra las solucioes de todos los exámees de forma detallada: Matemáticas II. 2º de Bachillerato A. Prof.: Satiago Martí Ferádez Págia 34