Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son: 1º. A A

Tamaño: px

Comenzar la demostración a partir de la página:

Download "Solución: Las transformaciones y el resultado de hacer el determinante en cada caso son: 1º. A A"

Ernesto Ayala Guzmán
hace 7 años
Vistas:

1 Memáis II Deerminnes PVJ7 Se l mriz Se l mriz que resul l relizr en ls siguienes rnsformiones: primero se mulipli por sí mism, espués se min e lugr l fil segun l erer finlmene se muliplin oos los elemenos e l segun olumn por. lulr el eerminne e l mriz, usno pr ello ls propiees e los eerminnes. Ls rnsformiones el resulo e her el eerminne en so son: º. º. Se min os fils, luego el eerminne mi e signo º. Se mulipli un olumn por, luego el eerminne que muliplio por omo , 8 7 se enrá que 88 José Mrí Mrínez Meino SM,

2 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, LRJ7 Se P Hll os ríes e ese polinomio e gro uro. plino rnsformiones se iene: P Sumno l primer olumn l segun; l ur l erer Desrrollno por l segun fil [ ]. omo se r e r os ríes s on oservr que P uno o. No: No es neesrio esrrollr el eerminne e form omple, ni mpoo her heho ls rsformiones que hemos inio. srí on oservr que si o el eerminne enrí os fils igules, por no, su vlor serí.

3 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, LRS7 Oener, en funión e,, el eerminne e l mriz Resno l primer fil os ls emás se iene: Desrrollno por l ur olumn:

4 Memáis II Deerminnes ES7 Se un mriz ur e oren. puno Si semos que el eerminne e l mriz es 8, uáno vle el eerminne e? Esrie l propie e los eerminnes que hs uso pr oener ese vlor., punos lul pr qué vlores e se umple que 8, sieno l mriz n Propie: Si es un mriz ur e oren n se umple que k k. Luego, si es e oren,. k k. Por no, 8 ; omo 8 Si, pr que o José Mrí Mrínez Meino SM,

5 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, NJ7 onoio que, lul el vlor el siguiene eerminne. Uilizno ls propiees e los eerminnes se iene: se ere el for e l primer fil se inroue el en l segun fil se ere el for e l segun olumn

6 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, NJ onsier, sieno un número rel. [ puno] lul el vlor e. [ puno] lul en funión e, los eerminnes e, sieno l rspues e. [, punos] Eise lgún vlor e pr el que l mriz se siméri? Rzon l respues. I ; ; L úni soluión omún es. Es eviene que no, pues pr ulquier vlor e.

7 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, 7 VJ7 Ds ls mries 7 lulr el eerminne e l mriz oener el vlor e pr el que iho eerminne vle.,8 punos. Demosrr que l mriz no iene invers pr ningún vlor rel e., punos. Hieno rnsformiones e Guss se iene: esrrollno por l erer olumn [ ] omo l mriz es e imensión 7. Si se ese que, enones. Un mriz no iene invers uno su eerminne vle. Por no, hrá que ver que. En efeo, plino ls propiees e los eerminnes: 7 sno for omún e l primer fil, pues iene os fils igules.

8 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, 8 RS7 Sen β k k, punos Esuir pr qué vlores e β l mriz iene invers. puno lulr puno Hllr l mriz invers e. L mriz no iene invers en ningún so, pues su eerminne siempre vle. β β β L mriz iene invers, pues. Su invers es ij, sieno ij l mriz e los junos e. Es mriz e los junos es: k k k ij. Luego, ij k k k.

9 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, 9 MJ7 lul el rngo e l mriz λ λ en funión el prámero λ R. Pr qué vlores el prámero λ R iene invers l mriz? No se pie hllrl. Si summos l fil ª l ª, λ λ λ λ λ Hieno el eerminne se iene: λ λ λ λ λ Por no: Si λ /, el rngo e es, pues. Si λ, el rngo es es, pues el menor. Si λ /, el rngo es es, pues el menor /. En onseueni, omo un mriz iene invers uno su eerminne es isino e, l mriz enrá invers pr oo vlor e λ /.

10 Memáis II Deerminnes LJ7 Hllr pr qué vlores e es inversile l mriz. lulr l invers pr Pr que un mriz se inversile es neesrio que su eerminne se isino e. Por no, omo o, l mriz será inversile pr oo vlor e. Pr l mriz que:. L mriz e sus junos es: ij. Luego, su invers es ij / José Mrí Mrínez Meino SM,

11 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, GJ7 Sen,, ls fils primer, segun erer, respeivmene, e un mriz ur M e oren, on em. lul el vlor el eerminne que iene por fils,,. D l mriz, hll os mries e Y que verifiquen: Y Y sieno l mriz rspues e. Uilizno ls propiees e los eerminnes se iene: l fil se le res l fil l fil se le sum l fil se mi l fil por l fil Y Y sumno / / Y Y resno Y / / Y Hieno l invers: / / / Y L mriz invers e viene por ij, sieno ij l mriz e los junos e.

12 Memáis II Deerminnes RMJ7 i Definiión e rngo e un mriz. [, punos] ii lulr el rngo e según los vlores el prámero k. [ puno] k k iii Esuir si poemos formr un se e R on ls olumns e según los vlores el prámero k. Inique on qué olumns. [ puno] i Rngo e un mriz es el número e fils o e olumns que es mriz iene linelmene inepenienes. El rngo es mién el oren el mor menor no nulo e es mriz ii Vmos lulr el rngo por menores; pr filir el rjo rnsformmos l mriz iniil. l olumn ª le resremos l olumn ª: l olumn ª: l olumn ª: k k k k Ovimene h menores e oren que son isinos e ero. Por ejemplo. Luego el rngo, es mor o igul que. Vemos los menores e oren : k k 9, que es nulo si k ; k k 9, que vle si k Por no, el rngo e siempre será. Si k, el º menor es isino e ero; si k, el primer menor es isino e ero; si k ±, mos menores son no nulos. iii prir e l respues nerior poemos r os soluiones..ª Si k, ls olumns ª, ª ª formn se e R..ª Si k, ls olumns ª, ª ª formn se e R. No. Puee verse que h or posiili: on ls olumns ª, ª ª si k /. No es posile formr se on ls olumns ª, ª ª. José Mrí Mrínez Meino SM,

13 Memáis II Deerminnes EJ7, punos lul el rngo e l mriz, según los vlores el prámero 8 9 puno Esrie ls propiees el rngo que hs uso. Definiión. Rngo e un mriz es el oren el mor menor no nulo; es igul l número e fils linelmene inepeniene e l mriz. Tmién es igul l número e olumns linelmene inepenienes e ih mriz. omo puee oservrse l erer fil e l mriz es proporionl l segun: ; por no puee suprimirse pr el álulo el rngo. Eso es, rngo r 8 r. 9 8 hor vemos que los menores que se formn on ls res primers olumns son nulos, pues ms olumns son proporionles. ormmos un menor e oren on l ur olumn. omo Vlrá uno ; será isino e si. 8 Por no: Si el rngo e es. Si el rngo es. Se hn io inino en el pro. José Mrí Mrínez Meino SM,

14 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, LS7 Disuir, en funión el número rel m, el rngo e l mriz m m. Hieno su eerminne se iene: m m m m m m Por no: Si m, omo, el rngo e es. Si m, se iene que l mriz enrá rngo. Puee verse que iene un menor e oren no nulo. Si m, l mriz, que iene rngo pues vrios menores e oren son isinos e.

15 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, MS7 lulr un mriz ur sieno que verifi sieno. Despejmos l mriz : I lulo e l invers e : ij Done l mriz e los junos es: ij. Luego Por no: I

16 Memáis II Deerminnes NJ7 Se onsier l mriz. λ [ puno] Deermin l mriz. [,7 punos] Deermin los vlores e λ pr los que l mriz iene invers. [,7 punos] lul pr λ. λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ λ Pr que l mriz eng invers es neesrio sufiiene que su eerminne se isino e. λ λ λ. λ λ λ ± omo λ λ si λ enrá invers., pr los vlores e λ l mriz Si λ,. Su invers, ij José Mrí Mrínez Meino SM,

17 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, 7 PJ7 Sen ls mries Esui, en funión e, el rngo e ls mries. puno lul, pr, l mriz que verifi., punos omo semos, el rngo e un mriz es el oren el mor menor no nulo. Tmién es igul l número e fils o olumns que ih mriz iene linelmene inepenienes. Por no, en los os sos, el rngo no puee ser mor que. El rngo es mor o igul que, pues el menor. Pr ver si puee ser hemos su eerminne. uno / Por no: si /, el rngo e es ; si /, su rngo es. omo l mriz es un mpliión e l mriz, onsiermos oro e los menores e oren, M. Ese menor mién se nul pr /. En onseueni: si /, el rngo e es ; si /, su rngo es. No: Porí oservrse que. Pr,. omo, l mriz iene invers. En onseueni:. L mriz invers viene por ij, sieno ij l mriz e los junos e, que es: ij. Luego Por no,

18 Memáis II Deerminnes José Mrí Mrínez Meino SM, 8 IS7 mriz se le soi el polinomio p, one ini el eerminne e. Diremos que p es el polinomio rerísio e l mriz. Se pie: Enonrr un mriz que eng omo polinomio rerísio p. uáns mries h on ese mismo polinomio rerísio? punos Si iene invers, emosrr que el polinomio rerísio e l invers,, es p punos Oservión: De l leur el enunio se eue que l esriir el polinomio rerísio se h eio omeer un error un err, pues por efiniión p Luego p. Por no, en el enunio se h mio un signo. Ese heho no vrí l respues el pro ; en mio, en el pro esurirímos que lgo fll. Nosoros primos el polinomio rerísio orreo. Si p. Ese sisem iene infinis soluiones, pero por neo se puee hllr un e ells. Es el so e:,,. Por no, l mriz pei es. Si iene invers, su invers es / / / /. Por no, su polinomio rerísio será: p

19 Memáis II Deerminnes 9 MS Ds ls mries I 8 puno. ompror que e e que e I e ei., punos. Se M un mriz ur e oren. Se puee segurr que umple que em em? Rzonr l respues., punos Enonrr os ls mries urs M, e oren, les que em I em ei e 8 8 Por or pre, e 9 8. Por no, e. Luego, e e I e I Por or pre, e ei. Por no, e I e ei. Es un propie generl. Si son mries urs e l mism imensión, enones e e e. En priulr, em e M M em em em Tmién puee emosrse omno M. Por un pre: M, sieno su eerminne: M Por or pre: Evienemene, oinien. M Si M M I em I Por or pre: em ei Luego, pr que em I em ei es neesrio que Ls mries M uss son e l form: M José Mrí Mrínez Meino SM,

Documentos relacionados

DETERMINANTES. 1. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de. a, b, c, d R.

DETERMINANTES. 1. Utiliza las propiedades de los determinantes para calcular el valor de. a, b, c, d R. Memáis II Deerminnes DETERMINNTES Oservión: L morí e esos ejeriios se hn propueso en ls prues e Seleivi, en los isinos isrios universirios espñoles.. Uiliz ls propiees e los eerminnes pr lulr el vlor e,,,