PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA

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1 Departamento de Física Aplicada Universidad de Castilla-La Mancha Escuela Técnica Superior Ing. Agrónomos PRÁCTICA 6: PÉNDULO FÍSICO Y MOMENTOS DE INERCIA Materiales * Varilla delgada con orificios practicados a intervalos regulares. * Soporte. * Tramo de varilla corto adaptable a la varilla delgada. * Cronómetro. 1. Fundamento Un péndulo físico es un sólido rígido de forma arbitraria que puede oscilar en un plano vertical alrededor de un eje perpendicular a un plano que contenga a su centro de masas. El punto de intersección del eje con dicho plano es el punto de suspensión. La posición de equilibrio es aquella en que el centro de masas se encuentra en la misma vertical y por debajo del punto de suspensión. En la figura 1 se presenta esquemáticamente un sólido plano de pequeño espesor utilizado como péndulo físico. -1-

2 O d θ c.m. mg Figura 1. Sólido plano empleado como péndulo físico. El punto de suspensión es O, su centro de masas es c.m., y la distancia entre ambos se representa por d. En la posición indicada, formando un ángulo θ con la vertical, el peso produce respecto a O un momento que se opone al aumento del ángulo. Se producen oscilaciones como consecuencia de desviaciones de la posición de equilibrio, ya que entonces el peso del cuerpo, aplicado en su centro de masas, produce un momento respecto del punto de suspensión que tiende a restaurar la posición de equilibrio. El momento respecto del punto de suspensión O es: τ = d m g (1) donde d es la distancia entre c.m. y el punto de suspensión y m es la masa del cuerpo. El módulo de este momento puede escribirse como: τ = - mgd sen θ () El signo negativo indica que se trata de un momento recuperador, es decir, actuando en sentido opuesto a las variaciones angulares. Este momento puede relacionarse por medio de la ecuación fundamental de la dinámica de rotación con la aceleración angular α del péndulo y su momento de inercia I respecto al punto de suspensión. En forma escalar la relación es: τ = I α (3) Teniendo en cuenta la ecuación (), esto puede escribirse como: Péndulo físico y momentos de inercia --

3 I α + mgd sen θ = 0 (4) La aceleración angular α es la derivada segunda del ángulo θ respecto al tiempo. En el caso (frecuente) de oscilaciones de pequeña amplitud, en las que se verifica que sen α α, la ecuación (4) puede reescribirse como una ecuación diferencial de segundo orden que corresponde a un movimiento armónico simple: d θ dt + mgd I θ = 0 (5) La frecuencia angular de este M.A.S. es: Y su periodo de oscilación vale: ω = mgd I (6) I T = π mgd (7) Oscilaciones de una varilla delgada Una varilla delgada en forma de paralelepípedo, larga en comparación con su anchura y grosor, puede utilizarse como péndulo físico para realizar medidas de periodos o de momentos de inercia. Aquí consideraremos una varilla homogénea como la mostrada en la figura. en la que se han practicado pequeños orificios a lo largo de su eje de simetría a intervalos regulares. Estos orificios sirven como puntos de suspensión. y y a L (c.m.) L d (a) (b) Figura. Varilla delgada de longitud L. (a) Vista frontal. Los agujeros para su suspensión se han practicado a intervalos regulares y. (b) Vista lateral. La distancia entre el punto de suspensión y el extremo superior es a. La distancia entre el punto de suspensión y el c.m. es d. Péndulo físico y momentos de inercia -3-

4 Se puede demostrar fácilmente que el periodo teórico de una varilla suspendida en la forma indicada en la figura oscilando con pequeñas amplitudes está dada por: Τ = π 1 L + d (8) g 1d Esto puede escribirse en forma similar a la ecuación que nos da el periodo de un péndulo simple: Τ = π k g (9) donde hemos llamado L k = + d (10) 1d Momentos de inercia El momento de inercia de una varilla delgada con respecto a un eje perpendicular que pase por su c.m. es (1/1)mL. donde m es su masa y L su longitud. Respecto de cualquier otro eje paralelo al primero, el momento de inercia puede obtenerse aplicando el teorema de Steiner. Así, el momento de inercia cuando la varilla está suspendida de un punto O situado a una distancia a de su extremo es: I m L O = + a(a L ) (11) 3 Supongamos que a la varilla se le coloca sobre su c.m. otro tramo más corto con la misma densidad lineal de masa, según muestra la figura 3. La masa de este tramo corto es x m, y su longitud x L, donde 1 x>0 es la fracción de longitud y masa del tramo corto con respecto a la varilla. El momento de inercia de este conjunto es la suma de los momentos de inercia de los dos elementos que lo componen, y se puede expresar como: I m L a(a L + x L x 1 total = + a(a L ) + ) (1) 4 Péndulo físico y momentos de inercia -4-

5 a O a d L (c.m.) L d (c.m.) (a) (b) Figura 3. Varilla con tramo corto superpuesto. (a) Vista frontal. (b) Vista lateral. Las distancias a y d tienen el mismo significado que en la figura.. Parte experimental Se dispone de una varilla homogénea de longitud L =180 cm, con orificios practicados cada 5 cm, y un cronómetro capaz de apreciar 0.01 s. Se dispone de dos tipos de tramo corto, uno de 30 cm y otro de 0 cm..1. Tómense lecturas de los periodos de las oscilaciones utilizando como puntos de suspensión los orificios situados a distancias a = 5 cm, 10 cm, 15 cm... del extremo de la varilla hasta llegar a a = 60 cm. Para determinar los periodos se medirá el tiempo invertido en 10 oscilaciones en cada uno de los orificios utilizados; cada medida de dicho tiempo se repetirá al menos seis veces (es decir, se miden seis tandas de diez oscilaciones cada vez, y el tiempo de oscilación sobre cada orificio es la media). Precaución: en todas las medidas debe asegurarse de que el péndulo oscila en un plano, sin movimientos de bamboleo. Péndulo físico y momentos de inercia -5-

6 .. Añadir a la varilla un tramo corto sobre su centro de masas empleando un tornillo y una tuerca como fijación. Determinar el factor x para dicho tramo corto por medida de longitudes. Mídase el periodo de oscilación del sistema suspendiéndolo del agujero situado a 5 cm del extremo superior. Esta medida también se repetirá seis veces al menos, y se tomará como tiempo de oscilación la media correspondiente. 3. Tratamiento de datos 1º) Con los datos obtenidos en el apartado.1 de la sección tratamiento de datos, realícense las siguientes tablas y representaciones gráficas: a) Construir una tabla donde figuren las siguientes columnas: i) valores de distancia a desde el punto de suspensión hasta el extremo; ii) valores de distancia d hasta el c.m. (d=[l/]-a); iii) valores de k calculados para cada d según ecuación (10); i4) valores del tiempo invertido en N oscilaciones (la media de los tiempos medidos en las tandas de 10 oscilaciones); i5) valores del periodo T medido para cada a (columna anterior dividida por el número de oscilaciones) y por último i6) valores del cuadrado del periodo T medido para cada a (semejante a la Tabla 1 de la sección 5). b) Construir una representación gráfica en papel milimetrado colocando los cuadrados del periodo en abcisas y los valores calculados de k en ordenadas. Medir gráficamente la pendiente de la recta obtenida. Qué valor para la aceleración de la gravedad se obtiene con esta pendiente? (expresar dicho valor con su error correspondiente). Emplear luego un ajuste por mínimos cuadrados para obtener la misma pendiente, y el valor de la aceleración de la gravedad. En qué ecuación de la parte teórica de esta práctica se basa este tratamiento de datos? c) Construir una representación gráfica en papel milimetrado colocando los valores de la distancia a en abcisas y los valores del cuadrado del periodo en ordenadas. º) Realizar los cálculos siguientes: Péndulo físico y momentos de inercia -6-

7 a) Calcular el momento de inercia de la varilla utilizada y del conjunto (varilla + tramo corto), ecuaciones (11) y (1), en función de la masa m de la varilla. Determinar los periodos de oscilación teóricos (según las dimensiones del péndulo físico utilizado) para ambos casos, utilizando el valor más exacto conocido de la gravedad en el lugar donde se lleva a cabo el experimento (consultar al profesor). Nota: no pase por alto que la masa del conjunto (varilla + tramo corto) es mayor que la de la varilla, y que en las ecuaciones (11) y (1) el símbolo m se refiere siempre a la masa de la varilla; la masa del conjunto (varilla + tramo corto) es m (1+x). b) Obtener los errores estandar de los tiempos medidos para la oscilación de la varilla y del conjunto (varilla + tramo corto) cuando a = 5 cm. Comprobar si los valores teóricos del periodo obtenidos en el apartado anterior coinciden dentro del margen de error experimental con los periodos medidos experimentalmente. 4. Preguntas 1. Aplicando el teorema de Steiner deducir la ecuación (8).. Aplicando el teorema de Steiner deducir la ecuación (11). 3. Aplicando el teorema de Steiner deducir la ecuación (1). 4. Cuál es el valor de la gravedad obtenido? A qué factores debe atribuirse la posible diferencia con el valor real de la gravedad en el laboratorio? 5. Cómo varía el periodo de oscilación a medida que el punto de suspensión se acerca al centro de masas? Aumenta o disminuye? Podría justificar esto? 6. A partir de la comparación de los periodos teóricos con los experimentales pedida en el apartado 3 º b), podría concluirse que los momentos de inercia son aditivos? Razone la respuesta. 5. Ejemplo Se presenta a continuación un ejemplo basado en medidas (que no se especifican) tomadas en el laboratorio, así como su tratamiento. Péndulo físico y momentos de inercia -7-

8 Tabla 1. Ejemplo de tabla para el procesado de datos. Los valores de la columna d están en cm, los de la columna T en s. Los asteriscos (*) indican los valores que deben medirse, mientras que los dobles asteriscos (**) representan los cálculos a realizar a partir de las medidas. La representación gráfica de una serie de medidas realizada en el laboratorio se encuentra en la figura 4. Longitud de la varilla: L = 1.80 m; número de oscilaciones N = 10. a (cm) d =(L/-a) K (m) t (s) T (s) T 1 5 (*) 85 (**) (**) (*) (**) (**) 10 (*) 80 (**) (**) (*) (**) (**) 3 15 (*) 75 (**) (**) (*) (**) (**) 4 0 (*) 70 (**) (**) (*) (**) (**) 5 5 (*) 65 (**) (**) (*) (**) (**) 6 30 (*) 60 (**) (**) (*) (**) (**) 7 35 (*) 55 (**) (**) (*) (**) (**) 8 40 (*) 50 (**) (**) (*) (**) (**) 9 45 (*) 45 (**) (**) (*) (**) (**) (*) 40 (**) (**) (*) (**) (**) (*) 35 (**) (**) (*) (**) (**) 1 60 (*) 30 (**) (**) (*) (**) (**) 1.5 k (m) T (s ) Figura 4. Representación gráfica de k frente a T. La pendiente experimental de la recta resultó m/s, lo que da para la gravedad un valor de 9.83 m/s (aquí no se presenta el cálculo de errores). El coeficiente de correlación de la recta es r = Péndulo físico y momentos de inercia -8-

9 5 4.8 ( s ) 4.6 T a (cm) Figura 5. Variación de T con la distancia a al extremo de la varilla. Péndulo físico y momentos de inercia -9-

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