Guía breve de análisis de series temporales unidimensionales con Gretl

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1 Guía breve de análisis de series temporales unidimensionales con Gretl 1. Pasos a seguir 1. Representación de la serie temporal (Variable Gráfico de series temporales). 2. Serie temporal no estacionaria en varianza?: Si no queda claro a partir de la representación gráfica, recurrimos al gráfico rango media (Variable Gráfico rango-media). Si el coeficiente de la recta estimada es significativamente distinto de cero, entonces la serie no es estacionaria en varianza. Para inducir estacionariedad en varianza calculamos logaritmos de la serie temporal (Añadir Logaritmos de las variables seleccionadas). 3. Si la serie temporal no es estacionaria en media aplicamos diferencias regulares tantas veces como consideremos oportuno (Añadir Primeras diferencias de las variables seleccionadas). En la práctica no es necesario diferenciar más de dos veces. 4. Una vez se tenga que la serie temporal es estacionaria (todo lo seguros que podamos estar) representamos sus funciones de autocorrelación simple, FAC, y parcial, FACP (Variable Correlograma). Serán coeficientes significativamente distintos de cero aquellos que salgan de la franja de confianza. Para los valores dudosos consultar los p-valores asociados (adviértase que puesto que se calcula un intervalo de confianza al 95 %, no debe extrañar que algún coeficiente salga de las bandas de confianza). 5. Si al representar el correlograma apreciamos dependencia estacional, aplicamos diferencias estacionales tantas veces como consideremos oportuno (Añadir Diferencias estacionales de las variables seleccionadas). En la práctica no es necesario diferenciar más de dos veces. 6. Una vez propuestos una bateria de modelos para la serie temporal tras la identificación (la componente regular se observa en los primeros s de la FAC y FACP, mientras que la estacional en los múltiplos de la estacionalidad) se procede a su estimación (Modelo Series temporales ARIMA): Como variable independiente incluir la serie temporal original o transformada mediante logaritmo, nunca la diferenciada regular o estacionalmente. Especificar los órdenes de las estructuras autorregresivas y de medias móviles así como las diferencias realizadas (tanto de la parte regular como de la estacional). Dejar las opciones especificadas por defecto. 7. Validación de resultados obtenidos: Los coeficientes han de ser significativamente distintos de cero. Las raíces han de ser en módulo mayores que 1 (estacionariedad e invertibilidad). Los residuos han de ser ruido blanco: 1

2 Guardar los residuos como nueva variable (en la ventana de resultados Guardar Residuos). Los coeficientes de la FAC y FACP han de tener todos sus coeficientes nulos (la presencia de algún tipo de estructura puede ayudar a reidentificar el modelo). 8. Obtención de predicciones (en ventana de resultados Análisis Predicciones). Indicamos el número de observaciones para los que queremos obtener predicciones y dejamos los valores por defecto en la nueva ventana. 9. Otra opción es dejar algunas observaciones finales fuera de la estimación para obtener predicciones para ellas: Establecer el número de observaciones con las que se desea hacer la estimación (Muestra Establecer rango). Volver a estimadar el modelo especificado. Establecer las observaciones que hemos dejado fuera con anterioridad como aquellas para las que se desea predecir (en la ventana de resultados Análisis Predicciones). En la ventana que aparece debe salir por defecto dichas observaciones en el dominio de predicción (si no es así, especificarlo). Dejar resto de opciones por defecto. 1. Selección de modelos: en el caso de haber considerado cómo válidos más de un modelo, seleccionar uno de ellos a partir de los valores obtenidos para los criterios de Akaike, Schwarz y Hannan- Quinn (quedarse con aquel modelo que presente menor valor en estos criterios). Importante: No se deben mezclar valores obtenidos en un criterio con los obtenidos en otro, es decir, la comparación (y decisión consecuente) sólo es posible cuando se comparan valores de un mismo criterio. Por ejemplo, no es admisible comparar un valor del criterio de Akaike con el de Schwarz. Para realizar la comparación se ha de partir de la misma variable dependiente. Es decir, no es posible comparar los valores de estos criterios si en un modelo se tiene la variable original y en otra su logaritmo. 2. Análisis de la temperatura en Granada El presente documento sobre el análisis de procesos ARIMA con el software econométrico Gretl lo estoy elaborando a finales del mes de Julio de 215 (tampoco es necesario especificar el día). Ya sé que hay muchas variables económicas muy relevantes 1, pero a día de hoy lo único que me interesa es la caló que hace. Así que he buscado datos sobre las temperaturas mensuales en la ciudad de Granada con el objetivo de conocer lo que nos espera en el futuro siguiendo los pasos del apartado anterior resumidos en la Figua 1. Sin embargo, por desgracia, sólo he podido encontrar datos desde enero de 1981 hasta diciembre de 21, por lo que la predicción que nos sería útil es demasiado lejana y no demasiado fiable 2. La representación gráfica de dichos datos 3 (ver Figura 2) se puede observar: 1 El lector puede repetir los pasos aquí dados para la serie del IPC mensual español desde enero de 22 a junio de 215 ( o para el PIB trimestral español desde 1995 a 215 ( 2 Recordemos que las series de tiempo son útiles para realizar predicciones a corto plazo. 3 Los datos están disponibles en la dirección Eco3-TemperaturasGranada.gdt. 2

3 Serie Temporal Es estacionaria? SI NO Inducir estacionariedad Identificación Estimación NO Validación SI Deshacer transformaciones NO Pronóstico adecuado SI Modelo aceptado Figura 1: Pasos a seguir para analizar una serie temporal mediante procesos ARIMA La serie temporal es estacionaria en varianza. Aún así, haciendo el gráfico rango-media (ver Figura 3) se obtiene que los puntos de distribuyen de forma aleatoria. Es más, la pendiente es estadísticamente cero (p-valor mayor que.5), luego la serie es estacionaria en varianza. Un patrón repetitivo: temperaturas altas en los meses de verano y bajas en los de invierno. Por tanto, podemos pensar que hay una componente estacional en la serie de datos. Esta cuestión se confirma al observar en la FAC un comportamiento sinusoidal con valores extremos en los múltiplos de seis 4 (ver Figura 4). Por tanto, para eliminar la componente estacional consideramos diferencias estacionales en la serie obteniendo la representación de la Figura 5. Podemos pensar que la serie es estacionaria en media, sin embargo, si calculamos unas diferencias regulares se obtiene una representación gráfica donde parece más clara la estacionariedad en media (ver Figura 6). Además, si se observa la representación gráfica del correlograma de la serie con sólo diferencias estacionales (ver Figura 7) se tiene que: La parte regular podría 5 corresponder a un AR(1), MA(1) o ARMA(1,1), según se considere que a) la FAC decrece y la FACP se corta, b) la FAC se corta y la FACP decrece o c) ambas decrecen. La parte estacional podría corresponder a un MA(1) 12 ya que la FAC se corta en el primer estacional y la FACP decrece en los s estacionales. 4 Ojo! Una vez corregida la componente estacional es cuando nos debemos de fijar en los múltiplos de s. 5 Digo podría ya que interpretar una representación gráfica del correlograma es una cuestión subjetiva de manera que donde un investigador observa una cosa otro puede observar otra. 3

4 Temperatura Figura 2: Representacíón gráfica de las temperaturas en la ciudad de Granada desde enero de 1981 a diciembre de gráfico rango media de Temperatura 21 2 rango media Figura 3: Representacíón gráfico rango-media 4

5 FAC de Temperatura /T FACP de Temperatura /T Figura 4: Correlograma de la serie de tiempo original 6 4 sd T emperatura Figura 5: Representacíón gráfica de las diferencias estacionales de la serie de tiempo 5

6 8 6 4 d s d T emperatur Figura 6: Representacíón gráfica de las diferencias regulares de las diferencias estacionales de la serie de tiempo FAC de sd T emperatura /T FACP de sd T emperatura /T Figura 7: Correlograma de la serie de tiempo con diferencias estacionales 6

7 FAC de d s d T emperatur /T FACP de d s d T emperatur /T Figura 8: Correlograma de la serie de tiempo con diferencias estacionales y regulares Mientras que si se observa el correlograma de la serie de tiempo con diferencias estacionales y regulares (ver Figura 8) se tiene que: La parte regular correponde a un MA(1) ya que la FAC se corta y la FACP decrece. La parte estacional sigue correspondindo a un MA(1) 12. Por tanto, se podrían analizar cuatro modelos distintos: ARIMA(1,, )x(, 1, 1) 12, ARIMA(,, 1)x(, 1, 1) 12, ARIMA(1,, 1)x(, 1, 1) 12, ARIMA(, 1, 1)x(, 1, 1) 12. En este documento se va a trabajar con el primero y el cuarto, si bien el lector podría completarlo analizando el resto de modelos. Para el modelo ARIMA(1,,)x(,1,1) 12 se obtienen los siguientes resultados: Modelo 1: ARIMA, usando las observaciones 1982:1 21:12 (T = 348) Variable dependiente: (1 L s )Temperatura Desviaciones típicas basadas en el Hessiano Coeficiente Desv. Típica z Valor p const φ Θ Media de la vble. dep D.T. de la vble. dep media innovaciones.999 D.T. innovaciones Log-verosimilitud Criterio de Akaike Criterio de Schwarz Hannan Quinn

8 AR MA (estacional) Real Imaginaria Módulo Frecuencia Raíz 1 3,8278, 3,8278, Raíz 1 1,1293, 1,1293, Se puede observar que: Los coeficientes son significativamente distintos de cero. Aunque el término independiente no lo sea lo dejaremos en el modelo (otra opción es estimar el mismo modelo sin término independiente). Las raíces de los polinomios característicos son, en módulo 6, mayores que 1. Luego el proceso es estacionario e invertible. El proceso estimado corresponde a (1,261244B)(1 B 12 )y t =,14195+(1,885525B 12 )ɛ t. Por otro lado, tras guardar los residuos de este modelo: Su representación (ver Figura 9) parace indicar estacionariedad en media y varianza. Su correlograma (ver Figura 1) tiene prácticamente todos sus s nulos 7. Realizado el correspondiente contraste de normalidad en ningún caso 8 se rechaza la hipótesis nula de normalidad (p-valores mayores que.5). Por tanto, se podría decir que los residuos corresponden a ruido blanco gaussiano y, en tal caso, la identificación y estimación realizadas son válidas. Para el modelo ARIMA(,1,1)x(,1,1) 12 se obtienen los siguientes resultados: Modelo 2: ARIMA, usando las observaciones 1982:2 21:12 (T = 347) Variable dependiente: (1 L)(1 L s )Temperatura Desviaciones típicas basadas en el Hessiano Coeficiente Desv. Típica z Valor p const θ Θ Media de la vble. dep D.T. de la vble. dep media innovaciones.612 D.T. innovaciones Log-verosimilitud Criterio de Akaike Criterio de Schwarz Hannan Quinn MA MA (estacional) Real Imaginaria Módulo Frecuencia Raíz 1 1,71, 1,71, Raíz 1 1,962, 1,962, 6 Si la raíz es real, el módulo coincide con el valor absoluto. Si la raíz es imaginaria, es decir, de la forma a ± b i, el módulo correponde a a 2 + b 2. 7 Adviértase que puesto que se ha calculado un intervalo de confianza al 95 % no debe extrañarnos que algún coeficiente, para k relativamente grande, salga de las bandas de confianza. Eso sí, no confundir este comentario con los s significativamente distintos de cero debido a la estacionalidad. 8 Gretl oferece los contrastes de Doornik-Hansen, Shapiro-Wilk, Lilliefors y Jarque-Vera. 8

9 uhat Figura 9: Representación gráfica de los residuos del modelo ARIMA(1,,)x(,1,1) FAC de uhat /T FACP de uhat /T.5 Figura 1: Correlograma de los residuos del modelo ARIMA(1,,)x(,1,1) 12 9

10 uhat Figura 11: Representación gráfica de los residuos del modelo ARIMA(,1,1)x(,1,1) 12 Se puede observar que: Los coeficientes son significativamente distintos de cero. Las raíces de los polinomios característicos son, en módulo, mayores que 1. Luego el proceso es estacionario e invertible. El proceso estimado corresponde a (1 B)(1 B 12 )y t =,515 + (1,934533B)(1,912273B 12 )ɛ t. Por otro lado, tras guardar los residuos de este modelo: Su representación (ver Figura 11) parace indicar estacionariedad en media y varianza. Sus FAC y FACP (ver Figura 12) tienen el primer claramente no nulo, es decir, los residuos tienen cierta estructura que no ha sido recogida en el modelo. Realizado el correspondiente contraste de normalidad en ningún caso se rechaza la hipótesis nula de normalidad (p-valores mayores que.5). Por tanto, no se podría decir que los residuos corresponden a ruido blanco y, en tal caso, la identificación y estimación realizadas no son válidas 9. Supongamos que el segundo modelo hubiese sido válido, con cuál de los dos modelos me quedo? Atendiendo a los valores obtenidos para los distintos criterios de selección de modelos (ver tabla del Cuadro 1) se tiene que en todos los casos son menores para el modelo ARIMA(1,,)x(,1,1) 12, por lo que nos quedaríamos con este modelo. En la Figura 13 se recogen las temperaturas observadas, las estimadas y las predicciones realizadas para 24 meses con el modelo validado. 9 Para reespecificar el modelo puede ser útil el correlograma de los residuos. Éstos sugieren en la parte regular una estructura AR(1), MA(1) o ARMA(1,1) dependiendo de si se considera que a) la FAC decrece y la FACP se corta, b) la FAC se corta y la FACP decrece y c) ambas decrecen. En tal caso el modelo se reespecificaría como ARIMA(1,1,1)x(,1,1) 12, ARIMA(,1,2)x(,1,1) 12 ó ARIMA(1,1,2)x(,1,1) 12. Se aconseja al lector analizar estas opciones. 1

11 FAC de uhat /T FACP de uhat /T.5 Figura 12: Correlograma de los residuos del modelo ARIMA(,1,1)x(,1,1) 12 Criterio Ajaike Schwarz Hannan-Quinn ARIMA(1,,)x(,1,1) ARIMA(,1,1)x(,1,1) Cuadro 1: Valores para los distintos criterios de selección de modelos en los dos modelos considerados 3 25 Temperatura predicción Intervalo de 95 por ciento Figura 13: Predicción para dos años con el modelo ARIMA(1,,)x(,1,1) 12 11

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