Capítulo 3: Integral definida. Módulos 12 al 17. I. Notación sigma. En los ejercicios 1 a 5 escriba en forma de sumatoria la suma dada.

Transcripción

1 Módulos l 7 I Nocó sgm E los ejerccos escr e form de sumor l sum dd l + l 6 + l 8 + l 6 6 Supog que f ( ) 8, g( ) y h( ) Clcule el vlor de l epresó dcd e los ejerccos -e c e [ f ( ) g( ) h( )] d [ f ( ) g( )] [ g( ) h( )] [ f ( ) g( )] + [ g( ) h( )] + [ h( ) f ( )] [ f ( ) g( ) h( )] [ f ( ) g( )] h( ) 7 Clcule el vlor de ls sums dds e los ejerccos -g (8 ) 7 (8 k ) c k ( ) d e m m f k k k g m k ( ) k k Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 87

2 8 Demuesre l sguee fórmul: r r r = ; r r (Ayud: llme S = r = r r r + r y cosdere l dferec S rs) 9 E los lerles -f evlúe ls sums dds ( k k ) k ( j ) c j 7 k ( ) k k d 7 ( ) e r r ( ) f r j j Deerme pr cuál(es) de los lerles -d se verfc l guldd: ( ) ( j) j j j c k d k k k r r r r Demuesre que m j j j j S ( k ) ( k k k ), y s demás k k ( k ) k, demuesre que k k k k ( )( ) 6 Predo de l guldd [ k ( k ) ] [k k ] demuesre que k k k k ( )( ) 6 Demuesre ls pres,, v y v del eorem del módulo Ejerccos de los módulos l 7 88

3 II Prcó de u ervlo Dds ls sguees prcoes: P,,, 9, u prcó de [,]; P,,9,8, u prcó de [,] ; P,,,,, 9, u prcó de [,]; P,,,,, u prcó de [,] : Deerme los suervlos e los cules cd prcó dvde l ervlo ddo Ecuere P, P, P y P Seleccoe dos prcoes del ervlo [,], les que u de ells se más refd que l or Se l fucó f ( ) defd e el ervlo [,] y se P,,,,,, u prcó de [,] Hlle los suervlos e los cules P dvde l ervlo [,] Cuál es l orm de l prcó? S M k y m k represe el mámo y mímo vlor de f ( ) e el k-ésmo suervlo, respecvmee, hlle 6 M kk y k 6 k m k k,,,, u prcó de [, ] Demuesre que: Se P P c c c P k k k,,, u prcó de [ c, c],,, u prcó de [ k, k], s k III Iegrl de Rem E los ejerccos 7 use l defcó de l egrl defd (segú Rem) pr clculr f ( ) d, sedo f () l fucó dd, omdo u prcó regulr del ervlo [, ] y elgedo ls como se euc e cd cso f ( ) e el ervlo [, ] ; : eremo derecho del -ésmo suervlo (recágulos crcuscros) f ( ), e el ervlo [, ]; : eremo zquerdo del -ésmo suervlo (recágulos scros) Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 89

4 f e el ervlo [, ]; : eremo derecho del -ésmo suervlo ( ), f ( ), e el ervlo [, ]; f ( ), e el ervlo [ ]; 6 f ( ) 6, e el ervlo [, ]; : eremo derecho del -ésmo suervlo (recágulos scros) 7 f ( ) 6, e el ervlo [, ]; : eremo zquerdo del -ésmo suervlo (recágulos crcuscros) 8 Demuesre, usdo l defcó de l egrl defd, que: e d e e (Ayud: ome u prcó regulr del ervlo [, ], : eremo zquerdo del -ésmo suervlo Use pr l sum el ejercco úmero 8 del prdo I «Nocó sgm» y e el líme use l regl de L Hopl) IV Propeddes de l egrl defd y eorem del vlor medo E los lerles - coloque u V o u F segú se verddero o flso el eucdo correspodee Jusfque su respues S f ( ) y g( ) so egrles e [, ], eoces su sum es egrle e [, ], y l egrl de l sum es l sum de ls egrles de cd fucó S f ( ) y g( ) so egrles e [, ], eoces su produco es egrle e [, ], y l egrl de su produco es el produco de ls egrles de cd fucó c S f ( ) y g( ) so egrles e [, ], eoces su cocee es egrle e [, ], y l egrl de su cocee es el cocee de ls egrles de cd fucó d S f ( ) y g( ) so egrles e [, ] y f ( ) g( ) pr odo [, ], eoces f ( ) d g( ) d e S f ( ) es cou y f ( ) pr odo [, ], eoces f ( ) d Ejerccos de los módulos l 7 9

5 f S f ( ) d, eoces f ( ) pr odo [, ] g S f ( ) d, eoces f ( ) = pr odo [, ] h S f ( ) y f ( ) d, eoces f ( ) = pr odo [, ] eoces [ ( ) ( )] f g d S f ( ) d g( ) d, E los ejerccos supog que f () y g () so fucoes cous e y que demás: f ( ) d ; f ( ) d ; g( ) d Clcule el vlor de l epresó dcd: f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d [ f ( ) g( )] d f ( ) d f ( ) d g( ) d f ( ) d f ( ) d f ( ) d g( ) d g( ) d [ f ( ) g( )] d g( ) d [ f ( ) g( )] d g( ) d [ f ( ) + 7 g( )] d [ f ( ) 7 g( )] d Se f ( ) y g( ) dos fucoes les que Clcule 7 [ f ( ) g ( )] d 7 7 f ( ) d =, f ( ) d = y g( ) d 6 Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 9

6 Clcule f ( ) d e cd uo de los sguees csos: s f ( ) s s s f ( ) 6 s E los lerles -f hlle el vlor de cd u de ls sguees egrles defds: d d d e d c d d f d E los lerles -f sguees ecuere u pr de vlores M y m l que m( ) f ( ) d M ( ) 7 d 6 d c e ( 8 ) d d ( 7) d f d ( ) d 6 S f es cou e [, ], demuesre que f ( ) d f ( ) d (sugerec: f ( ) f ( ) f ( ) 7 Ecuere el vlor de c que ssfce el eorem del vlor medo pr egrles s: ) 7 d d c ( ) d 8 Pr los lerles -e verfque l vldez del eorem del vlor medo pr egrles y deerme el vlor (s) de C de l coclusó: c f ( ) e [, ] f ( ) e [, ] f ( ) ] e [, Ejerccos de los módulos l 7 9

7 d f ( ) e e [, ] e f ( ) 9 e [, ] 9 Demuesre que el eorem del vlor ermedo grz que l ecucó ere y ee u ríz Dé u ejemplo de u fucó pr l cul f ( ) pr odo de [, ], f ( ) pr lgú de [, ] y demás f ( ) d Supógse que f es u fucó pr l cul f ( ) s Demuesre que ese l meos u úmero c e [,] l que f ( c) c (sugerec: hg g( ) f ( ) ) V Teorems fudmeles del cálculo E cd uo de los ejerccos 6 ulce el prmer eorem fudmel del cálculo pr clculr l dervd que se dc D d D d ( ) 7 D d D ( ) d D d 6 D d, 8 7 U fucó F esá defd pr odo rel por l fórmul F( ) d Hlle u polomo cudráco P( ) c l que: P() F(), P() F() y P() F() 8 Ecuere u fucó f y u vlor de l cose c, l que: f ( ) d cos pr odo c E los ejerccos 9 clcule l dervd de l fucó F() dd 9 ( ) (se ) F d ( ) se cos F d d ( ) F d ( ) (se ) F d ( ) F e d F( ) e d Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 9

8 ( ) F d 6 F ( ) e d 7 F( ) cos u du 8 u du F( ) 9 F( ) e d F( ) d u e d ( ) F e d g ( ) d ( ) f ( ) d F E los ejerccos 8 clcule el líme dcdo usdo l regl de L Hopl se d lm d lm lm u e du 7 d lm d lm ( cos ) d lm 9 Deerme los ervlos dode crece y decrece, sí como mé los eremos relvos, de l fucó: ( ) f d Deerme los ervlos de cocvdd de l gráfc, sí como los puos de fleó, de l fucó: ( ) ( ) f e d E los lerles - evlúe cd u de ls sguees egrles defds: ( ) d dy ( y ) c d ( ) d d e d f ( ) d g dy ( y ) h d ( ) 9 d Ejerccos de los módulos l 7 9

9 j se ( ) d k d l ( ) d m 6 se e cos d 8 (l ) d o e d p q r s d, hcedo 7 8 d, hcedo u 7 8 d, hcedo u d ( ), hcedo w 7 9 d, hcedo 9 u L ley de ccó de ms e químc resul de l ecucó dferecl: d k( )( ); k,,, d dode es l cdd de susc e el momeo que resul de l reccó de ors dos Supog que = cudo = Resuelv es ecucó dferecl e el cso e que > Demuesre que lm ( ) (s > ) Supog que = y = y que se form g de l susc e muos Cuáo hrá e hor? v Resuelv l ecucó dferecl s = E muchos prolems de crecmeo de l polcó hy u co superor que o puede resrse Supogmos que l Terr o sopor u polcó de ms de 6 mlloes y que hí mlloes de hes e 9 y mlloes e 97 Eoces, s y( ) es l polcó e ños después de 9, u modelo propdo pr és es l ecucó dferecl: dy Ky(6 y) d Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 9

10 Resuelv es ecucó dferecl Ecuere l polcó e el ño Cuádo l polcó será de 9 mlloes? Los oquímcos h propueso el modelo dy k( A y)( B y) d como u modelo pr l produccó de l rps prr del rpsógeo e l dgesó, dode k >, A es l cdd cl de rpsógeo y B es l cdd cl de rps Resuelv l ecucó dferecl L ecucó dferecl dy k( y m)( M y), d co k ; m y M, h sdo ulzd pr modelr lguos prolems de crecmeo Resuelv es ecucó dferecl y ecuere lm y( ) 6 S m, so eeros posvos, demuesre que: s se m se d s m m 7 Clcule cosm cos d ; m 8 Se N f ( ) se ( ) Ulce el ejercco 6 pr compror cd u de ls sguees egrles: m s m N f ( ) se ( m) d s m N N f ( ) d 96 Ls egrles de ese po prece e ls llmds seres de Fourer, que ee plccoes e el clor, l vrcó de u cuerd y oros feómeos físcos Recuerde que: se se [cos ( ) cos ( )], cos cos [cos ( ) cos( )] Ejerccos de los módulos l 7

11 9 Teorem de Págors pr egrles defds Se f, g y h res fucoes que ssfce ls sguees codcoes: c g( ) f c y ( ) c h f, c sedo,, c eeros posvos que cumple c Demuesre que: c g( ) d h( ) d f ( ) d Eso dc que ls áres de regoes smlres cosruds e dos ceos de u rágulo recágulo es gul l áre cosrud sore l hpoeus Geomércmee es como se muesr e l fgur : V Iegrles mprops Fgur Alce l covergec o dvergec de ls sguees egrles mprops (-) Pr ls covergees deerme su vlor e d e d c d d d e 9 e d f d d d g (l ) h (l ) d ( ) j d k d ( 9) l d m e se d ( se ) d Cpíulo : Iegrl defd Elemeos áscos de cálculo egrl y seres 97

12 Alce l covergec o dvergec de ls sguees egrles mprops del po II Pr ls covergees deerme su vlor d ( ) d c 9 d d d ( ) e d ( ) f d g d h d d L fucó gmm ( ) esá defd por: ( ) u e u du; Demuesre que ( ) u e u d Iegrdo por pres, muesre que ( ) ( ) c Demuesre que () d Usdo los resuldos y c demuesre que s, eoces ( )! Usdo l fucó gmm clcule ls sguees egrles mprops: e d e d c h e d (h cose) Demuesre que h h e d ; 6 E l eorí elecromgéc, el poecl mgéco u de u puo sore el eje de u o crculr esá ddo por: u Ar d ( r ), dode A, r y so coses Evlúe u Ejerccos de los módulos l 7

13 7 Demuesre que l egrl mprop d dverge, pero lm d 8 Demuesre que l egrl mprop e d coverge (cero) 9 Pruee que R e d pr odo R R Dscu l verdd o flsedd de l sguee guldd Rzoe su respues f ( ) d lm f ( ) d R R R Cpíulo : Iegrl defd

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