R = a) En el caso de la primera serie, 1/n sines impar a n = 0 sines par

Transcripción

1 298 Series de potecias y fucioes elemetales 8.4. Ejercicios Ejercicios resueltos 8.4. Calcule las sumas de las siguietes series: a) x + x3 3 x5 5 +x b) x 3 3 x x7 5 7 x Solució: La primera operació a realizar es calcular el radio de covergecia de la serie para determiar el domiio de la fució que defie la correspodiete serie. El radio de covergecia viee dado por la fórmula R = lím sup a. a) E el caso de la primera serie, / sies impar a = 0 sies par Observése que o existe lím a, ya que los térmios pares tiee límite 0 mietras que los impares tiee límite. Afortuadamete la fórmula del radio de covergecia sólo requiere el límite superior, que siempre existe. Recordemos que el límite superior es el supremos de los putos que sea límite de algua subsucesió, y eso e este caso sigifica que lím sup a =. Por tato el radio de covergecia es y la serie a) defie ua fució f : (, ) R que se os pide determiar. Sabemos quef es cotiua y derivable e (, ) viedo su derivada dada por la derivació térmio a térmio, es decir, siedo f (x) = + x2 2 x4 4 +x6 + + ( )+x2 + = +g(x) 6 2 g(x) := x2 2 x4 4 +x6 + + ( )+x Si pudieramos calculargpodríamos calcularf, y por tato, mediate itegració, obtedríamos f. E cosecuecia, olvidamos temporalmete uestro problema iicial y tratamos de calcular g. Co razoamietos ideticos a los ateriores teemos queges derivable e (, ) y que g (x) =x x 3 +x 5 x 7 + = 298 x ( x 2 ) = x +x 2

2 8.4 Ejercicios 299 por tratarse de ua progresió geométrica idefiida de razó x 2. Por tato, itegrado, g(x) = 2 log( +x2 ) +C siedo C ua costate. Pero al ser g(0) = 0 (sumar la correspodiete serie) ha de serc= 0 y hemos coseguido uestro primer objetivo: calcularg. Así pues, f (x) = + 2 log( +x2 ) = f(x) =x + 2 log( +x2 ) lo que coduce ua vez calculada la primitiva que aparece e la fórmula aterior a f(x) =x +x log ( x 2 + ) 2 (x arctgx) +K siedok ua costate, cuyo valor es 0 ya quef(0) = 0 (sustituir e la serie correspodiete). Todas las cuetas que acabamos de hacer so legítimas parax (, ), siedo así que e dicho itervalo se cumple, segú hemos demostrado, que f(x) =x +x log ( x 2 + ) 2 (x arctgx). (8.5) Para acabar aalicemos el comportamieto de la serie e los extremos del itervalo. Parax=la serie es covergete porque lo garatiza el criterio de Leibiz. Parax= tambié lo es por el mismo motivo. Así que el domiio def es el itervalo (, ] siedof cotiua e dicho itervalo como cosecuecia del criterio de Abel 8..9 de covergecia e el borde. La fució h(x) :=x +x log ( x 2 + ) 2 (x arctgx) está defiida y es cotiua e todo R y coicide cof e (, ), pero al ser ambas cotiuas tambié coicide e [, ] ( por qué?) y la fórmula (8.5) es válida e [, ]. b) El radio de covergecia de la seguda serie es R = lím sup a = 2+ lím (2+)(2 ) = lím (2 + ) lím (2 ) = = Para ver que ambos límites vale observemos que el primero de ellos es ua subsucesió de ( ) y sabemos que lím = ; el segudo puede ser visto 299

3 300 Series de potecias y fucioes elemetales como ua subsucesió de ( m m 2) m y lím m m m 2 = lím m m+ 2 m 2 =. La fució f(x) := x3 3 x x7 5 7 x está defiida e (, ) y es derivable siedo La fucióg defiida por f (x) = x2 x4 3 +x6 5 x =x( x x3 3 +x5 5 x7...) =:xg(x) 7 g(x) = x x3 3 +x5 5 x tambié tiee radio de covergecia, como es fácil comprobar, y puede calcularse fácilmete derivado (para obteer ua geométrica) e itegrado sucesivamete como e el apartado aterior obteiedo queg(x) =x/(+x 2 ). Etoces f (x) = x2 = f(x) =x arctgx +C +x2 siedoc= 0 porquef(0) = 0 (haciedox = 0 e la serie que defief). Siguiedo las pautas del apartado aterior es secillo ver quef(x) =x arctgx para todox [, ] Escriba el desarrollo de la fucióf(x) = 2 log2 ( +x) como serie de potecias de x y determie el itervalo de covergecia del desarrollo. Idicació: calcule el desarrollo def. Solució: La derivada esf (x) = log( +x) +x siedo log( +x) = ( ) x+ =0 +, +x = ( ) x. =0 El radio de covergecia de ambas series es. Así pues para cadax (, ) es ( log( +x) )( = ( ) x ) ( ) x +x = debido a que ambas series so absolutamete covergetes e [ x,x] y a la proposició =0

4 8.4 Ejercicios 30 El coeficiete de gradode la serie producto es c = i+j= i 0 j ( ) i i ( )j = i+j= i 0 j Asíf (x) = = ( ) H x y por tato ( ) i = ( ) f(x) = ( ) H = + x+. i Para calcular el radio de covergecia de esta serie hacemos i = ( ) H lím sup H H = lím H = lím =, H co lo que el radio de covergecia es Dada la serie ( ) +x2 = 2 () Determie el radio de covergecia de la serie. (2) Seaf(x) el valor de la suma de la serie e los putos e que coverja. Aalice justificadamete el domiio y la cotiuidad def. Calculef(x). (3) Demuestre que ( ) + = 2 =π 4 (4) Aalice razoadamete la covergecia y covergecia absoluta de la serie siguiete Utilice el apartado aterior, etre otras cosas, para calcular la suma de esta serie. Solució: El radio de covergecia de la serie viee dado por lím sup a = lím /(2 ) = puesto que la sucesió aterior es ua subsucesió de cuyo límite sabemos que es. Utilizado teoremas geerales sabemos que la serie coverge e 30

5 302 Series de potecias y fucioes elemetales cada puto de (, ) y es ua fució cotiua e ifiitamete derivable e ese itervalo, cuyas derivadas se calcula derivado formalmete térmio a térmio la serie propuesta. Tambié coverge e x = como cosecuecia del teorema de Leibiz, porque la serie = ( ) + es alterada y el 2 valor absoluto del térmio geeral es ua sucesió moótoa decreciete. Parax = se trata de ( ) +( )2 = 2 = ( ) ( )2 = 2 = ( ) = 2 y co la misma argumetació aterior tambié es covergete. Por tato el domiio def es [, ] además utilizado el teorema de Abel sobre covergecia e el borde, sabemos quef es cotiua o sólo e (, ) sio e [, ]. Para calcular f derivaremos formalmete la serie e u puto arbitrario x (, ) obteiedo f (x) = ( ) + (2 ) x2 2 = 2 = ( ) + x 2 2 = = +x 2 por tratarse la última de ua serie geométrica cuya suma sabemos calcular. Así puesf es ua primitiva de /( +x 2 ), es decir,f(x) = arctgx +C. Para determiarc hemos de coocer el valor def e algú puto; pero a partir de la serie que defief es imediato quef(0) = 0, de modo quec= 0 y f(x) = arctgx para cadax (, ). Pero comof y arctg so ambas cotiuas e [, ] y, segú acabamos de ver, coicide e (, ) ecesariamete coicide tambié ex=±. E particular ( ) + = 2 = =f() =π 4. Esta fórmula permite calcular aproximacioes decimales de π co la precisió deseada, ya que al tratarse de ua serie alterada el criterio de Leibiz determia que el error cometido al tomar ua suma-esima es iferior al valor absoluto del sumado imediatamete posterior. Auque teóricamete la cuestió de obteer valores aproximados para ese úmero π itroducido de forma abstracta e 8.2. está zajada, el cálculo deπ co esta serie o es muy eficaz debido a que la covergecia es leta. 302

6 8.4 Ejercicios 303 Puesto que máxima puede hacer sumas fiitas podemos obteer valores aproximados para π co bastate comodidad. Cocretamete sum ( (4*(-)^(+))/(2*-),,,000),umer; proporcioa el valor E cambio utilizado la serie (véase el ejercicio?? e la págia??). π = 6 ( ) (2 + ) ( ) (2 + ) =0 =0 que tiee ua covergecia más rápida, el resultado para sum ( (6*(-)^)/((2*+)*5^(2*+)) - (4*(-)^)/((2*+)*239^(2*+)),,0,4),umer; es La serie propuesta e el último apartado puede escribirse e la forma ( ) k+ k= 2k(2k + )(2k + 2) y el estudio de la covergecia absoluta de la misma equivale a estudiar la covergecia de (2k) = 3 8 k 3 k= que resulta ser covergete por tratarse de ua armóica de orde 3. Para hacer la suma realizaremos la descomposició e fraccioes simples obteiedo (co uas secillas cuetas) que k= 2k(2k + )(2k + 2) = 4k 2k + + 2(2k + 2). Maxima puede realizar la descomposició mediate la orde partfrac(/( 2* * (2*+) * (2*+2) ),); que da como resultado ( + ) + 4 Ahora podemos escribir la serie e la forma ( ) k+ 2k(2k + )(2k + 2) = k= ( ( ) k+ k= 4k ) 2k + + = 2(2k + 2) ( ) k+ 4k= k ( ) k+ k= 2k + + ( ) k+ 4k= k + = 4 log 2 +π 4 4 (log 2 ) =π

7 304 Series de potecias y fucioes elemetales obteiedo así la suma buscada Desarrolle e serie de potecias la fucióf(x) = log +x y pruebe que si x es u etero co>0 se tiee log + = 2 k=0 (2k + )(2 + ) 2k+ Utilizado dicha serie determie cuatos térmios hay que tomar para obteer ua aproximació del valor de log 2 co error iferior a 0 3. Cooce otra serie para log 2? Cuatos térmios hay que tomar para obteer el mismo tamaño de error? Solució: Sabemos que si x < log( +x) =x x 2 /2 +x 3 /3 + + ( ) +x + = ( ) +x. Lo cual os permite escribir el desarrollo de log( x) = log( + ( x)) para x < y, por tato, el desarrollo de log +x x E particular la suma = log( +x) log( x) = (x x 2 /2 +x 3 /3 + + ( ) +x +...) ( x x 2 /2 x 3 /3 + + x +...) = 2x + 2 x x x2k+ 5 2k + + = 2 k 0 2 k=0 (2k + )(2 + ) 2k+ x 2k+ 2k +. correspode a hacerx =, que ciertamete cumple x < siempre que 2+. Por tato la suma de esta serie es log = log + E particular, tomado = se obtiee la fórmula log 2 = 2 k=0 304 (2k + )(3) 2k+ (8.6)

8 8.4 Ejercicios 305 que permite calcular log 2 de forma aproximada sumado u cierto úmero de térmios. Otra fórmula para calcular log 2, como ya sabemos, es log 2 = ( )+ + = ( ) + (8.7) Para obteer ua aproximació a log 2 podemos sumar los primerosptérmios e dichas series. El error que cometemos es, exactamete, log 2 S p, que coicide co la suma p+a. Si deseamos que el error sea meor que 0 3, podemos () Utilizar la fórmula (8.7): e cuyo caso al tratarse de ua serie alterada sabemos (teorema de Leibiz) que el error cometido al sumar los primerosptérmios es meor que el valor absoluto del térmiop + y por cosiguiete habremos de realizar la suma de los 999 primeros térmios!! (2) Utilizar la fórmula (8.6): e cuyo caso para estimar el error cometido o os sirve el teorema de Leibiz y tedremos que elegirppara que se tega 2 03 (2k + )(3) 2k+< Pero 2 k=p+ k=p+ (/3) 2k+ (2k + ) < 2 (2p + ) k=p+ ( 3 ) 2k+ = ) 2 9 2p+3, (2p + ) 8( 3 por lo que la covergecia de la serie es muy rápida ahora. ( 2 9 Coseguir determiar u úmero etero positivo p tal que 2p+3 (2p+) 8 3) puede hacerse maualmete esayado cop =,p = 2, etc. Pero co ayuda de Maxima el proceso es muy secillo. Defiimos la fució f(p):=9/(4*(2*p+)*3^(2*p+3)); y luego podemos calcular el valor f(p) para valores de p crecietes hasta que f(2); os proporcioa /4860. Así que log 2 es aproximadamete sum (2/((2*k+)*3^(2*k+)), k, 0, 2),umer; cuyo valor segú Maxima es co error iferior a /000. Realizadas de forma maual, la dificultad de las cuetas e uo y otro caso es muy sigifitativa. 305

9 306 Series de potecias y fucioes elemetales Propuestos 8.) Determie el radio de covergecia de las series de potecias cuyo térmio geeral se señala a cotiuació. ( ) a! x (!) 2 (2)! x k! x a+ x log a x h 2 x <h< ( (2+) )2 x (!) 3 (3)! x 8.2) Desarrolle e serie de potecias la fució log(x + +x 2 ), arc tgx y calcule el radio de covergecia de la serie obteida. Desarrolle e serie de potecias dex la fució 2x+3 x+ 8.3) Estudie el domiio de covergecia y la suma de las series ( ) x3 = = x ( + 2)!. 8.4) Estudie la covergecia y calcule las sumas de las series siguietes. =0 = x x! ( ) x 2 = 2(2 ) =0 (3 2 +)x 8.5) Determie el radio de covergecia de la serie de potecias ( ) a x =0 Seaf(x) el valor de la suma de dicha serie. Demuestre quef (x)( +x) = af(x) y determief(x). 8.6) Calcule las sumas de las siguietes series: a) 2 +x 5 +x2 8 +x3... b) x x Idicació: Para el primero haga el cambio variablex =t 3 8.7) Sea la serie ( ) x 2+ (2 + )(2 ). 306

10 8.4 Ejercicios 307 a) Determie el radio de covergecia de la serie b) Seaf(x) el valor de la suma de la serie e los putos e que coverja. Estudie el domiio def y la cotiuidad. Calculef(x). c) Deduzca la suma de la serie ( ) ) Es coocido que las calculadoras os proporcioa el valor de ciertas fucioes a través del cálculo itero de uos pocos térmios de las series de potecias que las represeta. Así, por ejemplo, podría ofreceros los valores de las fucioes arc tgx o log( +x) a través de sus represetacioes: arc tgx = ( ) x2+ =0 2 + log( +x) = ( ) +x = Si embargo el radio de covergecia de dichas series es y, por tato, las represetacioes dadas sólo tiee setido e el itervalo (, ) (icluyedo, quizás, alguo de los extremos). Puede idear algú procedimieto por el cual sea posible evaluar aproximadamete dichas fucioes e putos que o esté e dicho itervalo? 8.9) Se cosidera la serie 0( ) 3+. a) Estudie la covergecia. b) Pruebe que ( ) = 0 +x 3dx. c) Calcule el valor de la suma de la serie. 307