EDUCACIÓ SECUNDÀRIA 3 MATEMÀTIQUES UNITAT 5 ÀREA DE FIGURES PLANES

Transcripción

1 EDUCACIÓ SECUNDÀRIA 3 MATEMÀTIQUES UNITAT 5 ÀREA DE FIGURES PLANES a) Presentació b) Avaluació Inicial c) Competències d) Activitats e) Autoavaluació f) Altres recursos: bibliografia i recursos en xarxa g) Reforços Educatius h) Ampliacions / Proposta d investigació Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 1

2 A/ PRESENTACIÓ Per a calcular l àrea total d un prisma, es calculen les arrees dels polígons que el delimiten i es sumen. Pel càlcul del volum s utilitza el principi de Cavalieri, el qual diu així: «Si dos cossos tenen la mateixa altura i bases d igual àrea, i al tallar-los per qualsevol pla paral lel a les bases, l àrea de les seccions es la mateixa, ambdós tenen igual volum.» Per a comprovar el principi de Cavalieri, observem aquesta figura: A l esquerra tenim un grup de totxanes iguals, unes sobre les altres, i a la dreta, estan les mateixes totxanes desordenades. Es obvio que, en els dos casos, el volum que ocupen és el mateix. Observem que si tallem amb un pla a qualsevol altura, la secció és la mateixa. El desenvolupament pla d un prisma recte està compost per un rectangle i els dos polígons que formen les bases. Un dels costats del rectangle coincideix amb el perímetre de la base, i l altre, amb l alçada del prisma. L àrea lateral (àrea del rectangle) és igual al perímetre de la base per la altura: A L = P B h L àrea total és la suma de l àrea lateral i l àrea de les bases: A T = A L + A Base = P B h + 2 A Base Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 2

3 El volum d un prisma de base qualsevol, pel principi de Cavalieri, serà igual que el d un ortoedre amb la mateixa secció, es a dir, amb la mateixa àrea de la base. V PRISMA = àrea de la base altura = A Base h Si el prisma no es recte, el seu volum, segons el principi de Cavalieri, serà el mateix que el del prisma recte amb igual secció i altura. La única diferència es que, en aquest cas, l altura no coincideix amb l aresta lateral. B/AVALUACIÓ INICIAL Amb les activitats que et proposem a continuació pretenem que comprovis el que en saps del coneixements que en el decurs d aquesta unitat aprendràs. No t amoïnis si no et surten bé les activitats. El que és important és que t adonis on t equivoques per poder-ho repassar o bé aprendre-ho a les pàgines següents. 1. Calculeu la superfície que cal pintar en una habitació que té forma ortogonal i que mesura 3 m d ample, 4,5 m de llarg i 2,6 m d alt. Observació: el terra no es pinta i suposem que l habitació té una finestra de 2 m d ample i 1 m d altura i una porta de 80 cm d ample i 2 m d alt. 2. Tenim un camp de forma rectangular que té una base que és 10 metres més llarga que d amplada, i se sap que el seu àrea és de 130 metres quadrats. Si el volem tancar amb una tanca de ferro que costa 5 euros/metre, determina el cost de tancar el terreny. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 3

4 3.-Determina l àrea de la zona pintada de la figura, sabent que la circunferència té un diàmetre de 10 cm. 4.- Calcula l àrea que es pot gravar( a la fotografia l àrea colorejada) d un disc compacte. Quin percentatge de l àrea total s aprofita per gravar? 5.-L àrea d un triangle isòsceles és de 24 m 2 i els costat desigual fa 6m.Calcula la longitud dels altres costats? C/CONTINGUTS Objectius Determinar diferents llocs geomètrics. Identificar els punts i les rectes notables d un triangle. Aplicar el teorema de Pitàgores en diferents contextos. Calcular l àrea de paral lelograms i de triangles. Trobar l àrea de polígons regulars. Calcular l àrea de polígons qualssevol, descomponent-los en figures d àrees conegudes. Trobar l àrea del cercle i de les figures circulars. Resoldre problemes reals que impliquin el càlcul d àrees de figures planes. Continguts Llocs geomètrics. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 4

5 Punts i rectes notables d un triangle. Teorema de Pitàgores. Utilització del teorema de Pitàgores en la resolució de problemes geomètrics i de la vida quotidiana. Àrea de polígons i de figures circulars. Obtenció de l àrea de paral lelograms, de triangles i de polígons regulars. Determinació de l àrea d una forma poligonal qualsevol, descomponent-la en altres figures més simples. Càlcul de l àrea de figures circulars. Treball amb competències Competència en el coneixement del medi i en la interacció amb el món físic Identificar, analitzar, descriure i construir, amb precisió i destresa, figures planes presents tant en el medi social com en el natural, i utilitzar les propietats geomètriques que hi estan associades en les situacions requerides. Competència per a l autonomia i la iniciativa personal Usar instruments, tècniques i fórmules, individualment i en grup, per mesurar longituds, angles i àrees de figures planes. Aplicar el raonament deductiu i inductiu en contextos geomètrics. Resoldre problemes que impliquin el càlcul de l àrea de figures planes, descomponent-les en figures d àrees conegudes. Expressar els resultats numèrics dels problemes i indicar les unitats de mesura emprades. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 5

6 D/ACTIVITATS BÀSIQUES, APRENDRE A APRENDRE Recorda que si tens cap dubte has de recórrer al teu llibre de text i als apunts donats pel professors pel que fa a aquest tema. 1. Teorema de Pitàgores. Exercici 1.-Esbrina quines de les dades següents poden ser les longituds dels costats d un triangle rectangle. a) a = 5 cm, b = 3 cm, c = 4 cm. b) a = 6 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. c) a = 10 cm, b = 8 cm, c = 6 cm. d) a = 25 cm, b = 24 cm, c = 7 cm. Exercici 2.- Calcula la hipotenusa (a) o els catets (b o c) dels triangles següents: a) b = 32 cm, c = 24 cm, calcula a. b) b = 45 cm, c = 32 cm, calcula a. c) a = 169 cm, b = 65 cm, calcula c. d) a = 289 cm, b = 255 cm, calcula c. Exercici 3.-El telefèric de la ciutat A va des de la base d una muntanya fins al Cim cim. Observa l esquema i calcula: Ciutat A a) La distància que recorre el telefèric des de la base de la muntanya fins al cim. b) La distància que hi ha des del cim de la muntanya fins a la ciutat C. 2.-Àrees de polígons. 800m 1500m 3200m Ciutat B Ciutat C Exercici 4.-Calcula l àrea de les figures del tangram que hi ha en el marge, prenent com a unitat de superfície el triangle D. a) L àrea del paral lelogram C. b) L àrea del quadrat E. c) L àrea del triangle G. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 6

7 d) L àrea del triangle A. Calcula l àrea en cm 2 de cada una de les figures anteriors, sabent que cada catet del triangle D mesura 1 5 cm Exercici 5.-Calcula l àrea de les figures següents: a) b) c) Exercici 6.- Calcula l àrea de la zona pintada de cada figura. 10 cm 10 cm 10 cm Exercici 7.- Calcula l àrea d un triangle els costats del qual fan 5cm, 8cm i 10 cm. Exercici 8.-calcula l àrea del següent rectangle. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 7

8 Exercici 9.-Determina l àrea del següent trapezis isòsceles. Exercici 10.-Determina l àrea de regular: a) Un hexàgon regular de 2cm de costat. b) Un octògon regular de 48 cm de perímetre. Exercici 11.-Determina l àrea d un cercle circumscrit a un triangle rectangle equilàter de 6cm de costat. Exercici 12.-calcula l àrea de les següents figures: Exercici 13.- Cadascú dels cinquanta pisos d un edifici tenen una forma semblant a la de la figura adjunta. El costat de l hexàgon fa 30m. Si es vol emmoquetar el terra amb una moqueta que costa 20 euros el metre quadrat, quant s ha de pagar per emmoquetar tot l edifici? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 8

9 Exercici 14.- Volem fer un cercle amb lloses a un jardí quadrat tal com síndica a la figura adjunta. a)calcula quin és el valor de l àrea enllosada. b) Quina àrea ha quedat amb gespa? Exercici 15.- Un jardiner ha plantat una zona de gespa en forma de corona circular. On la longitud del segment més gran que podem traçar-hi és de 15 metres, com es veu a la figura. Quin és l àrea de gespa plantada pel jardiner. Exercici 16.- Calcula l àrea i el perímetre de les següents figures: Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 9

10 Exercici 17.- Fixa t a la figura següent, si els costats del rectangle fan 15 cm i 20 cm. Determina quin és el radi de la circumferència, quin és l àrea del rectangle i del cercle, quin percentatge de l àrea del cercle és ocupat pel rectangle? Quin percentatge queda en blanc? Exercici 18.- Quina és la distància que hi ha entre el punt més alt de l edifici i la part més allunyada de l ombra? Exercici 19.-Un pastisser ha cobert de sucre la part superior de 200 rosquilles com la de la figura. Si ha fet servir 5 kg de sucre, quants grams de sucre fan falta per obrir cada centímetre quadrat de rosquilla? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 10

11 Exercici 20.-Una escala de 20 metres de longitud està recolzada sobre una paret. El peu de l escala dista 6 metres de la paret. Quina altura arriba l e4scala sobre la paret? Exercici 21.-En Màrius té un jardí en forma de romboide.un dels costats fa 45 metres. A més, hi ha un camí i en coneixem les mides. Calcula el perímetre i l àrea del jardí. Exercici 22.-Un pintor decora una tanca amb una d aquestes figures. Si cobra el metre quadrat de tanca pintada a 32 euros, quant cobrarà per cadascuna? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 11

12 Exercici 23.-Volem construir un repetidor al cim d una muntanya que per assegurar les comunicacions de quatre localitats que hi ha a la zona. Les quatre localitats que són Argant, Bern, Diders i Cabrers es troben localitzades als vèrtexs d un rectangle i les distàncies entre elles són: Argant-Bern 100 km Bern-Cabrers 60 km El cim de la muntanya es troba localitzat a 50 km de Argant i a 80 km de Bern, tal com pot veure al mapa: Les altres dues distàncies no es `poden mesurar fàcilment degut al llac que hi ha al mig. Sabem pel funcionament d uns altres repetirdors que s han fet servir en situacions similars que si la distància del poble al repetidor és superior als 90 km no es rebria correctament el senyal. Serà acceptable el senyal que rebran els pobles de Diders i Cabrers. E/AUTOAVALUACIÓ 1.- La figura següent representa la rotonda de una població. A la part central hi ha una estàtua, i la part que queda entre la circumferència interna i l externa es vol conrrear amb gespa.a més de tancar la circumferència externa amb una tanca que costa 5 euros/ metre i la llavar que es vol conrrear costa 6 euros/kg necessitant 4 kg per cada metre quadrat. Determina el preu per construir la rotonda. (1,67 punts) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 12

13 2.- Calcula l àrea i el perímetre de la figura següent: (1,67 punts) 3.-Calcula l àrea i el perímetre de la figura següent: (1,67 punts) 4.-Cadascú dels trenta pisos d un edifici tenen una forma semblant a la de la figura adjunta. El costat de l hexàgon fa 30m. Si es vol emmoquetar el terra amb una moqueta que costa 20 euros el metre quadrat, quant s ha de pagar per emmoquetar tot l edifici? (1,67 punts) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 13

14 5.-Calcula el costat d un triangle isòsceles de costat desigual 6m i àrea de 24 metres quadrats. (1,67 punts) 6.- La figura mostra una plaça, en la qual s ha de posar a la part circular una estàtua i a l àrea que queda entre el quadrat i el cercle es vol conrear amb gespa, es necessita 2 kg gespa/per metre quadrat i cada kg de gespa costa 2 euros, a més es vol tancar tot el perímetre de la plaça amb una tanca que costa 4 euros el metre. Determina el cost total de tots dos procesos. (1,67 punts) F/ALTRES RECURSOS: BIBLIOGRAFIA I RECURSOS EN XARXA a. Bàsiques: Matemàtiques 3r ESO. Grup Promotor Santillana. Matemàtiques 3r ESO. Ed. S.M b. Complementaries: Apunts i problemes resolts i plantejats pel professor a classe. RECURSOS EN XARXA: PROYECTO E-MATH Pàgina amb eines tecnològiques. CENTRO NACIONAL DE INFORMACIÓN Y COMUNICACIÓN EDUCATIVA (CNICE) DEL MINISTERIO DE EDUCACIÓN, CULTURA Y DEPORTE PROYECTO DESCARTES Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 14

15 Pàgina del Ministeri dèducació i ciència. Conté unitats didàctiques i es pot fer servir en la web o bé descarregar-se arxius. PÁGINA DE LA SOCIEDAD ANDALUZA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA PÁGINA CHILENA DE MATEMÁTICAS Pàgina amb recursos lúdics. Història de la Matemàtica i biografies de matemàtics il lustres. FERMATSI (Fondos en Español & English de Recursos Matemáticos de Secundaria en Internet) Recursos en anglès i espanyol, llistats de pàgines web d interés i problemes d enginy. KALIPEDIA Web desenvolupada per l editorial Santillana. Té una secció organitzada en Quatre continguts: àlgebra, arimètica, estadística i probabilitat i funcions i geometria. Molt exemples d a plicacions de la matemàtica a la vida quotidiana, problemes, exercicis HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS EL PARAÍSO DE LAS MATEMÁTICAS Aplicacions informàtiques, història de les matemàtiques, jocs, calculadores, descarregues de documents, cursos, G/REFORÇOS EDUCATIUS 1.-Calcula la diagonal, el perímetre i l àrea de les següents figures: a) b) Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 15

16 c) d) d) f) 2.-Calcula l àrea d un hexàgon inscrit en una circujmgerència de radi 4 cm. 3.-Calcular l àrea d un quadrat inscrit en una circumferència de radi 5 cm. 4.-Calcula l àrea d un triàngle equilàter inscrit en una circumferència dee radi 6 cm. 5.-En un quadrat de costat 2 metres s inscribeix un cercle i dins d aquest una altre quadrat, i dins l últim quadrat una altre cercle.determina l àrea compresa entre lúltim quadrat i l últim cercle. 6.-El perímetre d un trapezi isósceles és de 110 metres, les bases amiden 40 metres i 30 metres.cuan mesuren els costats no paralel ls? Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 16

17 7.-Si els costats no paralel ls d un trapezi isósceles es porllonguen, es forma un triangle equilàter de costat 6 cm. Si el trapezi té una altura que és la meitat de la del triangle, quina és l àrea del trapezi?. 8.-L àrea d un quadrat és de 2304 metres quadrats, quin seria els costat d un hexàgon regular que tingués el mateix perímetre?. 9.-En una circumferència de radi 4 metres, s inscribeix un quadrat, i sobre els costats del quadrati cap a l exterior es construeixen trigangles equilàters.quina és l àrea de la figura que en surt?. 10.-A un hexàgon regular de 4 metres de costat, se li inscribeix una circumferència i se li circunscribeix una altra, quina és l àrea de la figura que surt d aquesta operación?. 11.-En una cirucumferència una corda té una longitud de 48 cm i dista del centre del cercle 7 cm.quin és l àrea del cercle?. 12.-Calcula l àrea de la corona cirucular determinada per les dues circumferèn cies inscrita i circunscrita a un quadrat de 8 metres de diagonal. 13.-Dins un cercle de 4 metres de radi es traça un angle de 60º. Determina l àrea compresa entre el segment ciruclar i el triangle que surt si unim els extrems de tots dos radis que formen el segment ciruclar Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 17

18 H/AMPLIACIONS. PROPOSTAS D INVESTIGACIÓ. 1.- Observa aquesta manera de demostrar el teorema de Pitàgores gràficament. Fixa t en les figures i respon les preguntes. b c Figura 1 Figura 2 b a c a a b b a b a c c b a a c c c b a) Els dos quadrats grans de les figures 1 i 2, són iguals? Quant mesura el costat de cada un? b) L àrea dels quatre triangles que hi ha a l interior de la figura 1, és igual a l àrea dels quatre triangles que hi ha a l interior de la figura 2? Per què? c) L àrea pintada de la figura 1, és igual a l àrea pintada de la figura 2? d) Quina és l àrea pintada de la figura 1? I de la figura 2? e) Es compleix que a 2 = b 2 + c 2? 2.- Quant mesura cada costat del rectangle? 10 cm x 1 x Calcula el costat d un quadrat sabent que la diagonal mesura 10 2 cm. 5.- En un jardí de forma rectangular, de dimensions 80m i 90m, es construeix un estany rectangular que té els costats de 10m i 15m. La terra extreta s amuntega al voltant de l estany i el nivell del terreny s eleva, d aquesta manera, 3cm. Calcula la fondària de l estany. Sistema Educativo SEK Aula Inteligente Matemàtiques, Unitat 5 18