NOTAS DE CLASE: ANALISIS MEDIA-VARIANZA

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1 NOTAS DE CLASE: ANALISIS MEDIA-VARIANZA Miguel Robles Universidad de Piura, Agosto 00 1 Teoría de la Cartera: el caso particular de la media-varianza El Modelo CAPM: donde E (R i ) = R f + i (E (R m ) R f ) i = cov(r i; R m ) (R m ) cov (R i ; R m ) = E [(R i E(R i ))(R m E(R m ))] cov (R i ; R m ) = E (R i R m ) E (R i ) E(R m ) Notar que el modelo CAPM únicamente requiere conocer la media (marginal y conunta) y varianza de los retornos de los activos nancieros de la economía 1.1 Supuestos que permiten trabajar sólo con la media y varianza de los retornos Los agentes económicos maximizan la utilidad del consumo (supuesto estándar de la teoría económica) Considerar el consumo como una variable aleatoria (supuesto estándar en módelo con incertidumbre, nanzas) Teoría de la utilidad esperada: los agentes maximizan la utilidad esperada max EU(C) 1

2 Expansión de Taylor para U(C) alrededor de E(C) U(C) = 1X j=0 U j (E(C) j! (C E(C)) j = U(E(C) + U 0 (E(C) (C E(C)) + U 00 (E(C) (C E(C)) + U 000 (E(C) (C E(C)) + :::!! Tomar Valor Esperado para obtener E(U(C)) E (U(C)) = U(E(C) + U 00 (E(C) E (C E(C)) + U 000 (E(C) E (C E(C)) + :::!! De aquí puede notarse que se necesita cualquiera de las siguientes condiciones para que la utilidad esperada sólo dependa de la media y varianza de C: 1. Que C se distribuya normal (en rigor funciones elípticas), con lo cual todos los momentos centrados superiores al segundo son iguales a cero. Sin embargo, el supuesto de retornos normales es poco deseable en tanto reconocemos que en general los retornos están truncados en 100%.. Que la función de utilidad U(C) sea cuadrática lo que signi ca que las derivadas superiores al segundo orden se hacen iguales a cero. El problema de asumir funciones de utilidad cuadráticas es que implican en algún punto saciedad con respecto a la riqueza y por otro lado una aversión absoluta al riesgo creciente Utilidad con sólo media y varianza E (U(C)) = U(E(C)) + U 00 La media incrementa la utilidad esperada (E(C) E (C E(C))! La varianza dismimuye la utilidad esperada (porque U 00 (E(C) < 0)

3 Curvas de indiferencia media U U U 1 U 0 varianza La Frontera E ciente Si nos interesa obtener un determinado retorno esperado Cómo con gurar un portafolio tal que tengamos la menor varianza? Surge el concepto de la La Frontera E ciente de Markowitz: nos dice cuál es el portafolio que entrega un determinado retorno esperado y a la vez la menor varianza la mínima varianza.1 Estimación de la Frontera E ciente y el Portafolio de Mínima Varianza Considerar todos los activos nancieros disponibles. Sea n el número de instrumentos nancieros, tal que disponemos de los instrumentos 1; ; ; :::; n Qué información necesitamos? Los retornos esperados: vector E(R) E(R) = 6 E(R 1 ) E(R ). E(R n )

4 Las varianzas y covarianzas de los retornos para los n activos nancieros: matriz (R 1 ) cov(r 1 ; R ) : : : cov(r 1 ; R n ) cov(r ; R 1 ) (R ) : : : cov(r ; R n ) = cov(r n ; R 1 ) cov(r n ; R ) : : : (R n ) Notar que la matriz es simétrica Cómo se de ne un portafolio? Lo de nimos por la participación de cada activo en el valor total del portafolio (o monto a invertir). Vector = 6 P donde i es la participación del activo nanciero i en el portafolio. Notar que n i = 1 Retorno esperado de un portafolio cualquiera 1. n 0 E(R) i=1 Varianza del portafolio EJEMPLO: Dos activos nancieros con retornos esperados y varianzas y covarianzas: E(R) = = 0: 0: 0: 0: 0: 0:6 Considerar el portafolio p = 0:0 0:80 El valor esperado del portafolio p es: E(R p ) = 0 pe(r) = 0: 0:8 0: 0: = 0:

5 La varianza del portafolio p es 0 p p = 0: 0:8 0: 0: 0: 0:6 = 0: 0:8 0: 0: 0: 0:6 = 0:68 0:0 0:80 0:0 0:80 Fórmula conocida ( 1 R 1 + R ) = 1 (R 1 ) + (R ) + 1 cov(r 1 ; R ) = 0:0 (0:) + 0:8 (0:6) + 0:0 0:80 ( 0:) = 0:68. Estimacion en forma matricial Elementos exogenos: E(R); ; E(R p ) Variables de elección Queremos encontrar el portafolio que minimiza la varianza dado un retorno para el portafolio igual a p sujeto a min 0 0 E(R) = p (1) donde Lagrangiano: 0 i = 1 () i = L = 0 + p 0 E(R) + [1 0 i] max min L ;

6 Condiciones de primer orden = E(R) i = = 1 1 E(R) + 1 i () Reemplazar en las restricciones (1) y () 1 E(R) + 1 i 0 E(R) = p 1 E(R) + 1 i 0 i = Re-ordenar términos E(R) 0 1 E(R) + i 0 1 E(R) = E(R p ) () Sea E(R) 0 1 i + i 0 1 i = () A = E(R) 0 1 i B = E(R) 0 1 E(R) C = i 0 1 i Entonces () y () se pueden re-escribir como B + A = p (6) Tal que conforman un sistema de dos ecuaciones en dos incógnitas ; Resolver el sistema de ecuaciones: A 1) Multiplicar la primera ecuación por B y sumar las dos ecuaciones A + C = () A + A B = A B p Restando A + C = C A A = B B p 1 6

7 Despejar = A p B (BC A ) (8) Reemplazar en () y despejar = A " 1 + A p B C (BC A ) # (9) Reemplazar (8) y (9) en () para obtener el portafolio óptimo = 1 1 E(R) + 1 i () = 1 " " 1 + A p B # C A (BC A 1 E(R) + A p B # ) (BC A ) 1 i Re-ordenar términos = 1 E(R) A + C (BC A ) 1 BC E(R) p A (BC A ) 1 E(R) A 1 i (BC A ) p + B 1 i (BC A ) = 1 E(R) A BC A (BC A ) 1 E(R) + B 1 i (BC A ) + C (BC A ) 1 A 1 i E(R) p (BC A ) p = BC A BC A (BC A ) 1 E(R) + B 1 i (BC A ) + C (BC A ) 1 A 1 i E(R) p (BC A ) p Sea = B 1 i A 1 E(R) (BC A ) + C 1 E(R) A 1 i (BC A ) p Entonces = 1 D D = BC A B 1 i A 1 E(R) + C 1 E(R) A 1 i p Finalmente tenemos Donde = g + h p g = B 1 i A 1 E(R) D

8 h = C 1 E(R) A 1 i D A = E(R) 0 1 i B = E(R) 0 1 E(R) C = i 0 1 i Notar que es lineal en p = g + h p Dado un nivel de retorno esperado para el portafolio p la varianza mínima del portafolio sera Entonces (R p ) = 0 0 = g + h p 0 g + h p 0 = g 0 + h 0 p ) g + h p 0 = g 0 g + g 0 h p + h 0 h p Nótese que esta es la ecuación de una parábola EJERCICIO CON NUMEROS ALEATORIOS: activos nancieros 0 períodos Retornos se distribuyen normal con las siguientes medias y desvios estándar Medias (): SD (): Generamos series de 0 números aleatorios: distribución normal estándar z Los retornos para cada activo se construyen a partir de la siguiente expresión r = + z Vector de Medias y Matriz Varianza-Covarianzas empíricas 8

9 E(R) = 6 0:190 0:10 0:1 0:119 0:080 = 6 0:00 0:001 0:000 0:0016 0:0008 0:001 0:009 0:0006 0:0016 0:000 0:000 0:0006 0:001 0:0009 0:000 0:0016 0:0016 0:0009 0:016 0:0010 0:0008 0:000 0:000 0:0010 0:008 A = E(R) 0 1 i = 0:999 B = E(R) 0 1 E(R) = :1 C = i 0 1 i = 160: 1 D = BC A = 018: g = B 1 i h = C 1 E(R) D A 1 E(R) D = 6 A 1 i = 6 0:9 0:8 0:06 0:161 1:8 6:1809 :10 1:01 0:1 11:819 Ecuación de parábola 0 = g 0 g + g 0 h p + h 0 h p 0 = 0:01 0:0 1 p + 0:80 16 p Frontera E ciente 9

10 0. Frontera de Posibilidades de Inversion Media Varianza Restricciones en la elección del portafolio e ciente (Minimización restringida).1 Las Ventas Cortas En nuestro ejercicio anterior el portafolio e ciente para alcanzar un retorno esperado de 1% es % = 0:1 0:88 0:19 0:0908 0:186 10

11 Que quiere decir invertir -18.6% en el activo? En este caso implica actuar como vendedor de tal activo en lugar de comprador. Esto es lo que se conoce como venta corta Básicamente una venta corta genera ujos [+ ] Problema de Optimización con restricciones a la venta corta sujeto a min 0 0 E(R) = p 0 i = 1 0 j = 1 j = 1; : : : ; n Resolver numéricamente (programa en MATLAB en anexo) 11

12 0. Frontera de Posibilidades de Inversion Media Varianza. Restricciones en la composición del portafolio e ciente Ejemplo: El total invertido en los activos, y no puede exceder del 10% del portafolio El problema de optimización sería sujeto a min 0 0 E(R) = p 0 i = 1 0 j = 1 j = 1; : : : ; n 1

13 + + 0:10 Solución numérica 0. Frontera de Posibilidades de Inversion Media Varianza 1

14 El Portafolio Óptimo Portafolio Óptimo media varianza Aplicación: Restricción a la Inversión Extranjera de las AFP Argumento a favor de la restriccón: Las AFP quieren tomar mas riesgo que los pensionista 1

15 Distintos grados de aversión al riesgo media Alta aversión al riesgo Baja aversión al riesgo varianza Argumento en contra: Enfrentamos una Frontera Restringida Aplicación empírica para evaluar el costo de la Frontera Restringida DOCUMENTO DE TRABAJO N : CUANTIFICACIÓN DE LOS COSTOS DE LOS LÍMITES DE INVERSIÓN PARA LOS FONDOS DE PENSIONES CHILENOS Solange Berstein y Rómulo Chumacero Abril 00 Superintendencia de AFP Banco Central de Chile 1